Bai Tap Danh Cho HSK Lop 6A

BÀI TẬP DẠY THÊM

TÍNH TỔNG CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬTBẰNG CÁCH KHỬ LIÊN TIẾP

Ví dụ 1. Tính tổngA = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n

Lời giải. Ta có

2A = 1(2− 0) + 2(3− 1) + 3(4− 2) + · · ·+ n[(n+ 1)− (n− 1)]

= 1 · 2 + 2 · 3− 1 · 2 + 3 · 4− 2 · 3 + · · ·+ n(n+ 1)− n(n− 1) = n(n+ 1) ⇒ A =n(

Ví dụ 2. Tính tổngB = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1)


4B = 4 + 3(5− 1) + 5(7− 3) + · · ·+ (2n− 1)[(2n+ 1)− (2n− 3)]

= 4 + 3 · 5− 1 · 3 + 5 · 7− 3 · 5 + · · ·+ (2n− 1)(2n+ 1)− (2n− 1)(2n− 1)

= 4− 1 · 3 + (2n− 1)(2n+ 1) = 4n2 ⇒ B = n2

Ví dụ 3. Tính tổngC = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n(n+ 1)Lời giải. Ta có

3C = 1 · 2(3− 0) + 2 · 3(4− 1) + 3 · 4(5− 2) + · · ·+ n(n+ 1)[(n+ 2)− (n− 1)]

= 1 · 2 · 3− 0 · 1 · 2 + 2 · 3 · 4− 1 · 2 · 3 + 3 · 4 · 5− 2 · 3 · 4 + · · ·+ n(n+ 1)(n+ 2)−

= n(n+ 1)(n+ 2) ⇒ C =n(n+ 1)(n+ 2)

3

Nhận xét. Bằng cách tương tự bài toán 3, ta có thể tính được các biểu thứcD = 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · ·+ n(n+ 1)(n+ 2)

E = 1 · 2 · 3 · 4 + 2 · 3 · 4 · 5 + 3 · 4 · 5 · 6 + · · ·+ n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)Đáp số

D =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

4

E =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4)

5Ví dụ 4. Tính tổngF = 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2

1



F = 1(2− 1) + 2(3− 1) + 3(4− 1) + · · ·+ n[(n+ 1)− 1]

= 1 · 2− 1 + 2 · 3− 2 + 3 · 4− 3 + · · ·+ n(n+ 1)− n

= [1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n(n+ 1)]− (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)

= C − A =n(n+ 1)(n+ 2)

3−

n(n+ 1)

2=

n(n+ 1)(2n+ 1)

6

Ví dụ 5. Tính tổngG = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3


G = 12(2− 1) + 22(3− 1) + 32(4− 1) + · · ·+ n2[(n+ 1)− 1]

= 12 · 2 + 22 · 3 + 32 · 4 + · · ·+ n2(n+ 1)− (12 + 22 + 32 + · · ·+ n2)

= 1 · 2(1 + 0) + 2 · 3(1 + 1) + 3 · 4(1 + 2) + · · ·+ n(n+ 1)[1 + (n− 1)]− F

= [1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n(n+ 1)] + [1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · ·+ (n− 1)n(

= C − F + [1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · ·+ (n− 1)n(n+ 1)]

Ta có

C − F =n(n+ 1)(n+ 2)

3−

n(n+ 1)(2n+ 1)

6=

n(n+ 1)

2

Biểu thức trong ngoặc vuông tính tương tự như tính D, ta tính được(n− 1)n(n+ 1)(n+ 2)

4Từ đó

G =n(n+ 1)

2+

(n− 1)n(n+ 1)(n+ 2)

4=

[

n(n+ 1)

2

]2

Nhận xét. Nếu ta chưa có được biểu thức C và F có thể tính theo cách sau:

C − F = (1 · 2− 12) + (2 · 3− 22) + (3 · 4− 32) + · · ·+ [n(n+ 1)− n2]

= 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = A =n(n+ 1)

2

Ví dụ 6. Tính các tổng sau

H =1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ · · ·+

1

n(n+ 1)

I =1

1 · 3+

1

3 · 5+

1

5 · 7+ · · ·+

1

(2n+ 1)(2n+ 3)

2



H =2− 1

1 · 2+

3− 1

2 · 3+

4− 3

3 · 4+ · · ·+

(n+ 1)− n

n(n+ 1)= 1−

1

2+

1

2−

1

3+

1

3−

1

4+ · · ·+

1

n−

n

= 1−1

n+ 1=

n

n+ 1

2I =3− 1

1 · 3+

5− 3

3 · 5+

7− 5

5 · 7+ · · ·+

(2n+ 3)− (2n+ 1)

(2n+ 1)(2n+ 3)

= 1−1

3+

1

3−

1

5+

1

5−

1

7+ · · ·+

1

2n+ 1−

1

2n+ 3

= 1−1

2n+ 3=

2n+ 2

2n+ 3⇒ I =

n+ 1

2n+ 3

Ví dụ 7. Tính tổng

K =1

1 · 2 · 3+

1

2 · 3 · 4+

1

3 · 4 · 5+ · · ·+

1

n(n+ 1)(n+ 2)Lời giải. Ta có

2K =3− 1

1 · 2 · 3+

4− 2

2 · 3 · 4+

5− 3

3 · 4 · 5+ · · ·+

(n+ 2)− n

n(n+ 1)(n+ 2)

=1

1 · 2−

1

2 · 3+

1

2 · 3−

1

3 · 4+

1

3 · 4−

1

4 · 5+ · · · +

1

n(n+ 1)−

1

n(n+ 1)(n+ 2)

=1

1 · 2−

1

n(n+ 1)(n+ 2)=

n(n+ 3)

2(n+ 1)(n+ 2)

⇒ K =n(n+ 3)

4(n+ 1)(n+ 2)

Ví dụ 8. Tính các tổng sauM = 3 + 32 + 33 + · · ·+ 3n

N =1

3+

1

32+

1

33+ · · ·+

1

3n


2M = 3(3− 1) + 32(3− 1) + 33(3− 1) + · · ·+ 3n(3− 1) = 32 − 3 + 33 − 32 + 34 − 33 + ·

= 3n+1 − 3 ⇒ M =3n+1 − 3

2

2N =3− 1

3+

3− 1

32+

3− 1

33+ · · ·+

3− 1

3n= 1−

1

3+

1

3−

1

32+

1

32−

1

33+ · · ·+

1

3n−1−

3

= 1−1

3n⇒ N =

3n − 1

2 · 3n

Bài tậpBài 1. Tính các tổng sau

3


P = 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + 4 · 6 + · · ·+ n(n+ 2)

Q = 1 · n+ 2(n− 1) + 3(n− 2) + · · ·+ (n− 1)2 + n · 1R = 14 + 24 + 34 + · · ·+ n4

S =1

1 · 2 · 3 · 4+

1

2 · 3 · 4 · 5+

1

3 · 4 · 5 · 6+ · · ·+

1

n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)Bài 2. So sánh

A =1 + 5 + 52 + · · · 52012

1 + 5 + 52 + · · · 52011với B =

1 + 3 + 32 + · · · 32012

1 + 3 + 32 + · · · 32011

Bài 3. Tính tỷ sốM

N, biết

M =1

1 · 300+

1

2 · 301+

1

3 · 302+ · · ·+

1

101 · 400; N =

1

1 · 102+

1

2 · 103+

1

3 · 104+

· · ·+1

299 · 400

TỔNG CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT1

Ta đã gặp các bài toán tính tổng phân số mà tử và mẫu của chúng được

viết theo quy luật. Chẳng hạn, tính tổng3

4.7+

3

7.10+

3

10.13+ . . .+

3

73.76. Ta

thấy tử của chúng không thay đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu; thừasố cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu sau.

Phương pháp giải loại toán này là dùng công thứcm

b(b+m)=

1

b−

1

b+mđể

viết số mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số. Số trừ của nhóm trướcbằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp, còn lại số bị trừ đầu tiên và sốtrừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng.

Nếu mỗi số hạng có dạng phức tạp hơn như2m

b(b+m)(b+ 2m)thì ta dùng

công thức:2m

b(b+m)(b+ 2m)=

1

b(b+m)−

1

(b+m)(b+ 2m)để viết mỗi số

hạng thành một hiệu của hai phân số. Chẳng hạn2

1.2.3=

1

1.2−

1

2.3(ở đây

m = 1; b = 1) hay4

1.3.5=

1

1.3−

1

3.5(ở đây m = 2; b = 1).

Chú ý: Ta có thể chứng minh công thức trên bằng cách làm phép trừ ở vế phải.

Ví dụ 1. Tính tổng A =1

10+

1

15+

1

21+ · · ·+

1

120.

Giải.1Theo chuyên đề 5 trang 79 - NC & một số chuyên đề Toán 6 - Bùi Văn Tuyên

4


A =1

10+

1

15+

1

21+ · · ·+

1

120

=2

20+

2

30+

2

42+ · · ·+

2

240

= 2 · (1

4 · 5+

1

5 · 6+

1

6 · 7+ · · ·+

1

15 · 16)

= 2 · (1

4−

1

5+

1

5−

1

6+

1

6−

1

7+ · · ·+

1

15−

1

16)

= 2 · (1

4−

1

16)

= 2 ·3

16=

3

8Nhận xét:

Ta thấy lúc đầu trong tổng đã cho, các số hạng đều có tử là 1 nhưng mỗimẫu không phải là tích của hai thừa số có hiệu bằng 1 (10 = 2 ·5; 15 = 3 ·5; 21 =3 · 7; . . .) vì vậy ta đã áp dụng tính chất cơ bản của phân số, nhân cả tử và mẫucủa mỗi phân số với 2, ta được các mẫu mới lần lượt là 20, 30, 42, . . . , 240. Tathấy 20 = 4 · 5; 30 = 5 · 6; 42 = 6 · 7; . . . thỏa mãn yêu cầu có hiệu của hai thừasố bằng 1. Nhưng tử của mỗi phân số lúc này không phải bằng 1 mà là 2 nênta phải dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đặt 2 rangoài dấu ngoặc.Ví dụ 2. Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lý nhất:

a) A =4

3 · 7+

4

7 · 11+

4

11 · 15+ · · ·+

4

107 · 111

b) B =2

15+

2

35+

2

63+ · · ·+

2

399

c) C =7

10 · 11+

7

11 · 12+

7

12 · 13+ · · ·+

7

69 · 70

d) D =6

15 · 18+

6

18 · 21+

6

21 · 24+ · · ·+

6

87 · 90

e) E =32

8 · 11+

32

11 · 14+

32

14 · 17+ · · ·+

32

197 · 200

f) F =1

25 · 27+

1

27 · 29+

1

29 · 31+ · · ·+

1

73 · 75

g) G =15

90 · 94+

15

94 · 98+

15

98 · 102+ · · ·+

15

146 · 150

h) H =10

56+

10

140+

10

260+ · · ·+

10

1400Hướng dẫn.a) A =

4

3 · 7+

4

7 · 11+

4

11 · 15+ · · ·+

4

107 · 111=

1

3−1

7+1

7−

1

11+ · · ·+

1

107−

1

111

=1

3−

1

111=

12

37

b) B =2

15+

2

35+

2

63+ · · ·+

2

399=

1

3−

1

5+

1

5−

1

7+ · · ·+

1

19−

1

21

5


=1

3−

1

21=

2

7

c) C =7

10 · 11+

7

11 · 12+

7

12 · 13+ · · · +

7

69 · 70

= 7 · (1

10−

1

11+ · · ·+

1

69−

1

70)

= 7 · (1

10−

1

70)

=3

5

d) D =6

15 · 18+

6

18 · 21+

6

21 · 24+ · · ·+

6

87 · 90

= 2 · (1

15−

1

18+ · · ·+

1

87−

1

90)

= 2 · (1

15−

1

90)

=1

9

e) E =32

8 · 11+

32

11 · 14+

32

14 · 17+ · · ·+

32

197 · 200

= 3 · (1

8−

1

11+ · · ·+

1

197−

1

200)

= 3 · (1

8−

1

200)

=9

25

f) F =1

25 · 27+

1

27 · 29+

1

29 · 31+ · · ·+

1

73 · 75

=1

2· (

2

25 · 27+

2

27 · 29+

2

29 · 31+ · · ·+

2

73 · 75)

=1

2· (

1

25−

1

27+ · · ·+

1

73−

1

75)

=1

2· (

1

25−

1

75)

=1

75

g) G =15

90 · 94+

15

94 · 98+

15

98 · 102+ · · ·+

15

146 · 150

=15

4· (

4

90 · 94+

4

94 · 98+

4

98 · 102+ · · ·+

4

146 · 150)

=15

4· (

1

90−

1

94+ · · ·+

1

146−

1

150)

=15

4· (

1

90−

1

150)

=1

60

h) H =10

56+

10

140+

10

260+ · · ·+

10

1400=

5

28+

5

70+

5

130+ · · ·+

5

700

6


=5

3· (

3

4 · 7+

3

7 · 10+

3

10 · 13+ · · ·+

3

25 · 28)

=5

3· (1

4−

1

7+ · · ·+

1

25−

1

28)

=5

3· (1

4−

1

28)

=5

14Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ta luôn có:

1

1 · 6+

1

6 · 11+

1

11 · 16+ · · ·+

1

(5n+ 1)(5n+ 6)Hướng dẫn.

1

5· (

5

1 · 6+

5

6 · 11+

5

11 · 16+ · · ·+

5

(5n+ 1)(5n+ 6))

=1

5· (1−

1

5n+ 6)

=1

5·5n+ 6− 1

5n+ 6

=1

5·5(n+ 1)

(5n+ 6)

=n+ 1

5n+ 6

Ví dụ 4. Tìm x ∈ Z, biết:

a) x−20

11 · 13−

20

13 · 15−

20

15 · 17− · · · −

20

53 · 55=

3

11

b)1

21+

1

28+

1

36+ · · ·+

2

x(x+ 1)=

2

9

c) x+4

5 · 9+

4

9 · 13+

4

13 · 17+ · · ·+

4

41 · 45= −

37

45Hướng dẫn.

a) x−20

11 · 13−

20

13 · 15−

20

15 · 17− · · · −

20

53 · 55=

3

11

⇔ x− (20

11 · 13+

20

13 · 15+

20

15 · 17+ · · ·+

20

53 · 55) =

3

11

⇔ x− 10(2

11 · 13+

2

13 · 15+

2

15 · 17+ · · ·+

2

53 · 55) =

3

11

⇔ x− 10(1

11−

1

55) =

3

11

⇔ x−8

11=

3

11⇔ x = 1

b)1

21+

1

28+

1

36+ · · ·+

2

x(x+ 1)=

2

9

⇔2

42+

2

56+

2

72+ · · ·+

2

x(x+ 1)=

2

9

7


⇔ 2 · (1

6 · 7+

1

7 · 8+

1

8 · 9+ · · ·+

1

x(x+ 1)) =

2

9

⇔ 2 · (1

6−

1

x+ 1) =

2

9

⇔1

3−

2

x+ 1) =

2

9

⇔2

x+ 1=

1

3−

2

9

⇔2

x+ 1=

1

9=

2

18⇔ x + 1 = 18

⇔ x = 17Đáp số: x = −1.Ví dụ 5. Chứng minh rằng:

a) A =1

1 · 2 · 3+

1

2 · 3 · 4+

1

3 · 4 · 5+ · · ·+

1

18 · 19 · 20<

1

4

b) B =36

1 · 3 · 5+

36

3 · 5 · 7+

36

5 · 7 · 9+ · · ·+

36

25 · 27 · 29< 3

c) C =1

22+

1

32+

1

42+ · · ·+

1

n2< 1 (n ∈ N;n ≥ 2)

d) D =1

42+

1

62+

1

82+ · · ·+

1

(2n)2<

1

4(n ∈ N;n ≥ 2)

e) E =2!

3!+

2!

4!+

2!

5!+ · · ·+

2!

n!< 1 (n ∈ N;n ≥ 3)

f) F =1

26+

1

27+

1

28+ · · ·+

1

50= 1−

1

2+

1

3−

1

4+ · · ·+

1

49−

1

50Hướng dẫn.

a) A =1

1 · 2 · 3+

1

2 · 3 · 4+

1

3 · 4 · 5+ · · ·+

1

18 · 19 · 20

=1

2· (

2

1 · 2 · 3+

2

2 · 3 · 4+

2

3 · 4 · 5+ · · ·+

2

18 · 19 · 20)

=1

2· (

1

1 · 2−

1

2 · 3+

1

2 · 3−

1

3 · 4+ · · ·+

1

18 · 19−

1

19 · 20)

=1

2· (1

2−

1

19 · 20) =

1

2·189

380=

189

760<

189

756=

1

4

b) B =36

1 · 3 · 5+

36

3 · 5 · 7+

36

5 · 7 · 9+ · · ·+

36

25 · 27 · 29

= 9 · (4

1 · 3 · 5+

4

3 · 5 · 7+

4

5 · 7 · 9+ · · ·+

4

25 · 27 · 29)

= 9 · (1

1 · 3−

1

3 · 5+

1

3 · 5−

1

5 · 7+ · · ·+

1

25 · 27−

1

27 · 29)

= 9 · (1

3−

1

783) = 9 ·

260

783=

260

87<

261

87= 3

c) C =1

22+

1

32+

1

42+ · · ·+

1

n2=

1

2 · 2+

1

3 · 3+

1

4 · 4+ · · ·+

1

n · n

8


<1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ · · ·+

1

(n− 1)n

=1

1−

1

2+

1

2−

1

3+ · · ·+

1

n− 1−

1

n

= 1−1

n< 1

d) D =1

42+

1

62+

1

82+ · · ·+

1

(2n)2<

1

4=

1

22· (

1

22+

1

32+

1

42+ · · ·+

1

n2) <

1

4· 1 =

1

4

Theo câu c) thì1

22+

1

32+

1

42+ · · ·+

1

n2< 1

e) E =2!

3!+

2!

4!+

2!

5!+ · · ·+

2!

n!= 2!(

1

3!+

1

4!+

1

5!+ · · ·+

1

n!)

< 2 · (1

2 · 3+

1

3 · 4+

1

4 · 5+ · · ·+

1

(n− 1)n)

= 2 · (1

2−

1

n) = 1−

2

n< 1

f) F =1

26+

1

27+

1

28+ · · ·+

1

50

= 1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · ·+

1

50− (1 +

1

2+

1

3+ · · ·+

1

25)

= 1 +1

2+

1

3+ · · ·+

1

50− 2(

1

2+

1

4+

1

6+ · · ·+

1

50)

= 1−1

2+

1

3−

1

4+ · · ·+

1

49−

1

50

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT ĐỂ SO SÁNH HAI PHÂNSỐ2

Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (cách so sánh hai"tích chéo" thực chất chính là quy đồng mẫu), trong một số trường hợp cụ thể,tùy theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phươngpháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng, trong đó pháthiện ra số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng.1. Dùng số 1 làm trung gian.

a) Nếua

b> 1 và

c

d< 1 thì

a

b>

c

d.

b) Nếua

b= 1 +M ;

c

d= 1 +N mà M > N thì

a

b>

c

d.

M và N theo thứ tự gọi là "phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho.Nếu hai phân số có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân số nào có "phầnthừa" lớn hơn thì lớn hơn.

Chẳng hạn77

76= 1 +

1

76;84

83= 1 +

1

83.

2Theo chuyên đề 4 trang 67 - NC & một số chuyên đề Toán 6 - Bùi Văn Tuyên

9


Vì1

76>

1

83nên

77

76>

84

83.

c) Nếua

b= 1−M ;

c

d= 1−N mà M > N thì

a

b<

c

d.

M và N theo thứ tự gọi là "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị của hai phânsố đã cho.Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có "phần bù"lớn hơn thì nhỏ hơn.

Chẳng hạn42

43= 1−

1

43;58

59= 1−

1

59.

Vì1

58>

1

59nên

42

43<

58

59.

2. Dùng một phân số làm trung gian.Ví dụ 1. So sánh

18

31và

15

37.

Giải. Xét phân số trung gian18

37(phân số này có tử là tử của phân số thứ

nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ hai).

Ta thấy18

31>

18

37;18

37>

15

37.

Suy ra18

31>

15

37(tính chất bắc cầu).

Nhận xét:- Ta cũng có thể lấy phân số

15

31làm phân số trung gian (phân số này có tử là

tử của phân số thứ hai, còn mẫu là mẫu của phân số thứ nhất).- Ta rút ra nhận xét: Trong hai phân số, phân số nào vừa có tử lớn hơn, vừa cómẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (với điều kiện các tử và mẫu đều dương).

Ví dụ 2. So sánh12

47và

19

77.

Giải.Cả hai phân số

12

47và

19

77đều xấp xỉ

1

4nên ta dùng phân số

1

4làm trung gian.

Ta có12

47>

12

48=

1

4(1).

19

77<

19

76=

1

4(2).

Từ (1), (2) suy ra12

47>

19

77.

Bài tập luyện tập.Bài1.(bài 295 NC & một số chuyên đề Toán 6 - Bùi Văn Tuyên) So sánh:

a)64

85và

73

81.

b)n+ 1

n+ 2và

n

n+ 3với (n ∈ N

∗).

Hướng dẫn.

10


a) Dùng phân số64

81làm phân số trung gian ta được

64

85<

73

81.

b) Dùng phân sốn+ 1

n+ 3làm phân số trung gian ta được

n+ 1

n+ 2>

n

n+ 3.

Bài2(bài 296 NC & một số chuyên đề Toán 6 - Bùi Văn Tuyên) So sánh:

a)67

77và

73

83.

b)456

461và

123

128.

c)2003.2004− 1

2003.2004và

2004.2005− 1

2004.2005.

Hướng dẫn.a)

67

77có phần bù tới 1 là

10

77.

73

83có phần bù tới 1 là

10

83mà

10

77>

10

83nên

67

77<

73

83.

b) Các phân số đã cho có phần bù tới 1 là5

461và

5

128mà

5

461<

5

128nên

456

461>

123

128.

c) Các phân số đã cho có phần bù tới 1 là1

2003.2004và

1

2004.2005, mà

1

2003.2004>

1

2004.2005nên

2003.2004− 1

2003.2004<

2004.2005− 1

2004.2005.


a)11

32và

16

49.

b)58

89và

36

53Hướng dẫn.

a)11

32>

11

33=

1

3;16

49<

16

48=

1

3. Vậy

11

32>

16

49

b)58

89<

58

87=

2

3;36

53>

36

54=

2

3. Vậy

58

89<

36

53Bài4(bài 298 NC & một số chuyên đề Toán 6 - Bùi Văn Tuyên)So sánh các phân số:

A =3535.232323

353535.2323;B =

3535

3534;C =

2323

2322.

Hướng dẫn.A =

3535.232323

353535.2323=

35.101.23.10101

35.10101.23.101= 1

B =3535

3534= 1 +

1

3534;C =

2323

2322= 1 +

1

2322.

Vì1

3534<

1

2322nên A < B < C.


11


A =5.(11.13− 22.26)

22.26− 44.52và B =

1382 − 690

1372 − 548Hướng dẫn.

A =5.(11.13− 22.26)

22.26− 44.52=

5.11.13(1.1− 2.2)

22.26(1.1− 2.2)=

5

4= 1 +

1

4

B =1382 − 690

1372 − 548=

138(138− 5)

137(137− 4)=

138

137= 1 +

1

137

Vì1

4>

1

137nên A > B.


a)53

57và

531

571

b)25

26và

25251

26261Hướng dẫn.

a)53

57=

530

570có "phần bù" tới 1 là

40

570531


40

571, vì

40

570>

40

571nên

53

57<

531

571

b)25


1

26=

1010

26260;25251


1010

26261

vì1010

26260>

1010

26261nên

25

26<

25251

26261.

Bài7(bài 301 NC & một số chuyên đề Toán 6 - Bùi Văn Tuyên)

Cho a, b,m ∈ N∗. Hãy so sánh:

a+m

b+ nvới

a

b.

Hướng dẫn.Ta xét ba trường hợp

a

b= 1;

a

b< 1;

a

b> 1.

a) Trường hợpa

b= 1 ⇔ a = b thì

a+m

b+m=

a

b= 1.

b) Trường hợpa

b< 1 ⇔ a < b ⇔ a+m < b+m.

a+m

b+mcó "phần bù" tới 1 là

b− a

b+m.

a

bcó "phần bù" tới 1 là

b− a

b, vì

b− a

b+m<

b− a

bnên

a+m

b+m>

a

b.

c) Trường hợpa

b> 1 ⇔ a > b ⇔ a+m > b+m.

a+m

b+mcó "phần thừa" so với 1 là

a− b

b+m.

a

bcó "phần thừa" so với 1 là

a− b

b, vì

a− b

b+m<

a− b

bnên

a+m

b+m>

a

b.

Bài8(bài 302∗ NC & một số chuyên đề Toán 6 - Bùi Văn Tuyên)

Cho A =1011 − 1

1012 − 1;B =

1010 + 1

1011 + 1. Hãy so sánh A với B.

12


Hướng dẫn.Dễ thấy A < 1. Áp dụng kết quả bài 7 nếu

a

b< 1 thì

a+m

b+m>

a

bvới (m > 0).

Vậy A =1011 − 1

1012 − 1<

(1011 − 1) + 11

(1012 − 1) + 11=

1011 + 10

1012 + 10<

10(1010 + 1)

10(1011 + 1)=

1010 + 1

1011 + 1=

B, do đó A < B.Bài9(bài 303 NC & một số chuyên đề Toán 6 - Bùi Văn Tuyên)So sánh các phân số sau mà không cần thực hiện các phép tính ở mẫu:

A =54.107− 53

53.107 + 54;B =

135.269− 133

134.269 + 135.

Hướng dẫn.

A =(53 + 1).107− 53

53.107 + 54=

53.107 + 107− 53

53.107 + 54=

53.107 + 54

53.107 + 54= 1.

B =(134 + 1).269− 133

134.269 + 135=

134.269 + 269− 133

134.269 + 135=

134.269 + 136

134.269 + 135> 1,

do đó A < B.Bài10(bài 304 NC & một số chuyên đề Toán 6 - Bùi Văn Tuyên) So sánh:

a) (1

80)7 với (

1

243)6.

b) (3

8)5 với (

5

243)3.

Hướng dẫn.a) (

1

80)7 > (

1

81)7 = (

1

34)7 =

1

328.

(1

243)6 = (

1

35)6 =

1

330, vì

1

328>

1

330nên (

1

80)7 > (

1

243)6.

b) (3

8)5 = (

3

23)5 =

243

215; (

5

243)3 = (

5

35)3 =

125

315.

Chọn phân số243

315làm phân số trung gian để so sánh ta được

243

215>

125

315.

Từ đó suy ra (3

8)5 > (

5

243)3.

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

1. Phương pháp đưa về phương trình ước sốTa gọi phương trình ước số là phương trình có vế trái là một tích các biểuthức có giá trị nguyên, vế phải là một hằng số nguyên.Bằng cách tìm ước của hằng số đó, ta tìm được nghiệm nguyên của phươngtrình đã cho.Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trìnhxy − x− y = 2.Lời giảiBiến đổi phương trình thành

13


x(y − 1)− y = 2 ⇔ x(y − 1)− (y − 1) = 2 + 1 ⇔ (y − 1)(x− 1) = 3.Vì x và y là các số nguyên nên x− 1 và y− 1 là các số nguyên và là ước của 3.Do vai trò bình đẳng của x và y trong phương trình nên có thể giả sử rằngx ≥ y, khi đó x− 1 ≥ y − 1.Lúc đó ta có

[

{

x− 1 = 3

y − 1 = 1{

x− 1 = −1

y − 1 = −3

⇔

[

{

x = 4

y = 2{

x = 0

y = −2

Các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình là (x; y) ∈ {(4; 2); (2; 4); (0;−2); (−2; 0)}.2. Phương pháp biểu thị ẩn theo một ẩn còn lại rồi dùng tính chiahếtBằng cách biểu thị x theo y (hoặc biểu thị y theo x) ta lấy lại Bài tập 1rồitách ra các giá trị nguyên và dùng tính chất chia hết, khi đó ta có lời giải Bàitập 1 như sau:Lời giảixy − x− y = 2 ⇔ x(y − 1) = y + 2.Ta thấy y 6= 1 (vì nếu y = 1 thì 0x = 3 vô nghiệm).

Do đóy + 2

y − 1.

Tách ra ở phân thứcy + 2

y − 1các số nguyên được

x =y + 2

y − 1=

y − 1 + 3

y − 1= 1 +

3

y − 1(1).

Do x là số nguyên nên3

y − 1là số nguyên, do đó y − 1 ∈ U(3) = {±1;±3}

TH1. Nếu y − 1 = −3 ⇔ y = −2, thay vào (1) ta được x = 0

TH2. Nếu y − 1 = −1 ⇔ y = 0, thay vào (1) ta được x = −2TH3. Nếu y − 1 = 1 ⇔ y = 2, thay vào (1) ta được x = 4

TH4. Nếu y − 1 = 3 ⇔ y = 4, thay vào (1) ta được x = 2Kết hợp cả bốn TH trên ta được:Đáp số: (x; y) ∈ {(4; 2); (2; 4); (0;−2); (−2; 0)}.Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình2xy − x+ y = 3.Lời giải2xy − x+ y = 3 ⇔ 4xy − 2x+ 2y = 6

⇔ 2x(2y − 1) + (2y − 1) = 6− 1⇔ (2y − 1)(2x+ 1) = 5

2x+ 1 và 2y − 1 lấy các giá trị nguyên (x; y) là (0; 3); (−1;−2); (2; 1); (−3; 0).

14


2x - 1 1 -1 5 -52y - 1 5 -5 1 -1

Chú ýĐể viết vế trái (2xy − x + y) thành một tích, ta có thể biến đổi thành x(2y −

1) +1

2(2y − 1). Do đó ta nhân hai vế của phương trình 2xy − x + y = 3 với 2

rồi trừ 1 vào hai vế để đưa về phương trình ước số.Bài tập luyện tậpBài 1. Tìm các số nguyên x, y sao choa) 2xy − 6x+ y = 13

⇔ y = 3 +10

2x+ 1(1)

⇔ (2x+ 1)(y − 3) = 10 (2)Chú ý.Tùy vào từng bài mà ta có thể dùng (1) hoặc (2)

Các bài tiếp theo biến đổi tương tự và làm như bài 1.Cũng có thể biến đổi về như (2) rồi làm như bài 2.b) 6xy − 9x− 4y + 6 = 1c) 2xy − x+ 2y = 13

d) x+ 6 = y(x− 1)e) x− 3 = y(x+ 2)

f) xy − 5x− 3y = −8g) x2y − 5x− xy = 0h) x2 − 3x+ 2y − 11 = 0

i) xy − x + xy − 4 = 0Bài 2.Tìm số nguyên n sao choa) n+ 2 chia hết cho n− 1b) 2n+ 7 chia hết cho n+ 1

c) 2n+ 1 chia hết cho 6− n

d) 3n chia hết cho 5− 2n

e) 4n+ 3 chia hết cho 2n+ 6Lời giảiCăn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu và tích, ta có thể rút ra phươngpháp chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau:Nếu A

...B thì (mA+ nB)...B với (m, n ∈ Z).

a) (n+ 2)...(n− 1) ⇒ [(n+ 2)− (n− 1)]

...(n− 1)

hay 3...(n− 1). Do đó n− 1 ∈ U(3) = {±1;±3}

(ở đây U(3) = U(3) = {−3;−1; 1; 3})Với n− 1 = −3 ⇒ n = −3 + 1 = −2

Với n− 1 = −1 ⇒ n = −1 + 1 = 0

15


Với n− 1 = 1 ⇒ n = 1 + 1 = 2

Với n− 1 = 3 ⇒ n = 3 + 1 = 4Vậy với n ∈ {−2; 0; 2; 4} thì n+ 2 chia hết cho n− 1

Tương tự cho các câu b), c), d)

e)4n+ 3

2n+ 6=

2(2n+ 6)− 9

2n+ 6= 2−

9

2n+ 6Để 4n+ 3 chia hết cho 2n+ 6, tức là 2n+ 6 ∈ U(9) = {±9;±3;±1}

Với 2n+ 6 = −9 ⇒ 2n = −15 ⇒ n = −15

2(loại).

Với 2n+ 6 = −3 ⇒ 2n = −9 ⇒ n = −9

2(loại).

Với 2n+ 6 = −1 ⇒ 2n = −7 ⇒ n = −7

2(loại).

Với 2n+ 6 = 1 ⇒ 2n = −5 ⇒ n = −5

2(loại).

Với 2n+ 6 = 3 ⇒ 2n = −3 ⇒ n = −3

2(loại).

Với 2n+ 6 = 9 ⇒ 2n = 3 ⇒ n =3

2(loại).

Vậy không có số tự nhiên n nào để 4n+ 3 chia hết cho 2n+ 6

MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁCBài 1.a) Tìm các chữ số tự nhiên x, y sao cho (2x+ 1)(y − 5) = 12.b) Tìm n là số nguyên sao cho 4n− 5 chia hết cho 2n− 1.c) Tìm các chữ số tự nhiên x, y để số 62xy427 chia hết cho 99.Bài 2.a) Tìm các chữ số tự nhiên x, y để số 1x8y2 chia hết cho 36.b) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28.c) So sánh: 222333 và 333222

Bài 3. Chứng minh rằng nếu ab = 2 · cd thì abcd...67Hướng dẫn

abcd = 100 · ab+ cd = 201cd...67 (vì ab = 2 · cd)

Bài 4. Chứng minh rằng :a) abcdabc chia hết cho 7, 11 và 13.b) abcdeg chia hết cho 23 và 29, biết rằng abc = 2 · deg.c) Chứng minh rằng nếu ab + cd + eg chia hết cho 11 thì abcdeg chia hết cho11.d) Cho abc+ deg chia hết cho 37. Chứng minh rằng abcdeg chia hết cho 37.e) Cho abc− deg chia hết cho 7. Chứng minh rằng abcdeg chia hết cho 7.f) Tìm chữ số a biết rằng 20a20a20a chia hết cho 7.Hướng dẫna) abcdabc = 1000 · abc + abc = 1001 · abc = 7 · 11 · 13 chia hết cho 7, 11, 13

16


b) abcdeg = 1000 · abc + deg = 2001 · deg = 3 · 23 · 29 · deg chia hết cho 23, 29(vì abc = 2 · deg)c) abcdeg = 10000 · ab+ 100 · cd+ eg = 9999 · ab+ 99 · cd+ (ab+ cd+ eg) chiahết cho 11.d) abcdeg = 1000 · abc+ deg = 999 · abc+ (abc+ deg) chia hết cho 37e) abcdeg = 1000 · abc+ deg = 1001 · abc− (abc− deg) chia hết cho 7f) n = 20a20a20a = 20a20a · 1000 + 20a = (20a · 1000 + 20a) · 1000 + 20a

= 1001 · 20a · 1000 + 20aTheo đề bài n chia hết cho 7, mà 1001 chia hết cho 7 nên 20a chia hết cho 7.Ta có 20a = 196 + (4 + a), chia hết cho 7 nên a+ 4 chia hết cho 7. Vậy a = 3Bài 5. Có hai số tự nhiên x, y nào mà (x+ y)(x− y) = 1002 hay không ?Hướng dẫnGiả sử tồn tại các số tự nhiên x và y mà

(x+ y)(x− y) = 1002 (1)Không thể xảy ra trường hợp trong x và y có một số chẵn, một số lẻ vì nếu xảyra thì x+ y và x− y đều lẻ nên tích (x+ y)(x− y) là số lẻ, trái với (1).Vậy x và y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Khi đó x+ y và x− y cùng chẵn nêntích (x + y)(x− y) chia hết cho 4, trong khi đó 1002 không chia hết cho 4, vôlý.Bài 6. Tìm n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:a) (n+ 10)(n+ 15) chia hết cho 2.b) n(n+ 1)(n+ 2) chia hết cho 2 và cho 3.c) n(n+ 1)(2n+ 1) chia hết cho 2 và cho 3.Hướng dẫna) Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ.b), c) Xét ba trường hợp: n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + 2 (k ∈ N).Bài 7.a) Tìm các số tự nhiên chia cho 4 thì dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3.b) Tìm các số tự nhiên chia cho 8 thì dư 3, còn chia cho 125 thì dư 12.Hướng dẫna) Các số chia hết cho 25 tận cùng là 00, 25, 50, 75 nên các số chia cho 25 dư 3có tận cùng bằng 03, 28, 53, 78.Các số chia hết cho 4 có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 nênsố chia hết cho 4 dư 1 có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 dư 1.Trong các số 03, 28, 53, 78 chỉ có 53 chia cho 4 dư 1.

Vậy các số chia cho 4 thì dư 1, chia cho 25 thì dư 3 là các số có tận cùng là53.b) Trước hết tìm các số chia cho 125 thì dư 12, đó là các số có tận cùng là012, 137, 262, 512, 637, 762, 887. Trong các số trên chọn số chia cho 8 dư 3.Đáp số: Các số có tận cùng bằng 387

17


Bài 8. Tìm các chữ số a, b sao cho:a) a− b = 4 và 7a5b1 chia hết cho 3.b) a− b = 6 và 4a7 + 1b5 chia hết cho 9.Hướng dẫna) Số 7a5b1

...3 ⇒ 7 + a+ 5 + b+ 1...3 ⇒ 13 + a+ b

...3⇒ a+ b chia cho 3 dư 2 (1)

Ta có a− b = 4 nên:4 ≤ a ≤ 90 ≤ b ≤ 5

Suy ra 4 ≤ a+ b ≤ 14 (2)Mặt khác a− b là số chẵn nên a+ b là số chẵn (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: a+ b ∈ {8; 14}Với

{

a+ b = 14

a− b = 4⇔

{

a = 9

b = 5

Với{

a+ b = 8

a− b = 4⇔

{

a = 6

b = 2

b) 4a7 + 1b5...9 ⇒ 512 + 10(a+ b)

...9 ⇒ 504 + 8 + 9(a+ b) + a+ b...9

⇒ a+ b chia cho 9 dư 1.Do a+ b ≥ a− b = 6 nên a+ b = 10. Từ đó tìm được a = 8, b = 2.Bài 9.a) Cho A = 2+ 22 +23 + · · ·+ 260. Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.b) Cho B = 3+33+35+ · · ·+31991. Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41.Bài 10. Tìm các số nguyên x, y, sao cho:a) (2x+ 1)(y − 3) = 10b) (3x− 2)(2y − 3) = 1

c) (x+ 1)(2y − 1) = 12d) x+ 6 = y(x− 1)

e) x− 3 = y(x+ 2)f) xy − x− y = 2.g) 2xy − x+ y = 3.h) 6xy − 9x− 4y + 6 = 1i) 2xy − x+ 2y = 13

k) x+ 6 = y(x− 1)l) x− 3 = y(x+ 2)

m) xy − 5x− 3y = −8n) x2y − 5x− xy = 0

o) x2 − 3x+ 2y − 11 = 0

18


p) xy − x+ xy − 4 = 0

Bài 11. Tìm số tự nhiên n, sao cho:a) n+ 4 chia hết cho n+ 1

b) n2 + 4 chia hết cho n+ 2c) 13n chia hết cho n− 1

d) n+ 2 chia hết cho n− 1e) 2n+ 7 chia hết cho n+ 1

f) 2n+ 1 chia hết cho 6− n

g) 3n chia hết cho 5− 2nh) 4n+ 3 chia hết cho 2n+ 6

Bài 12.a) Tìm số tự nhiên a, biết rằng 264 chia cho a dư 24, còn 363 chia cho a dư 43.b) Tìm số tự nhiên a, biết rằng 398 chia cho a dư 38, còn 450 chia cho a dư 18.c) Tìm số tự nhiên a, biết rằng 350 chia cho a dư 14, còn 320 chia cho a dư 26.Hướng dẫna) Số 264 chia cho a dư 24 nên a là ước của 264− 24 = 240 và a > 24

Số 363 chia cho a dư 43 nên a là ước của 363− 43 = 320 và a > 43Do đó a là ước chung của 240 và 320, đồng thời a > 43UCLN(240, 320) = 80, ước chung lớn hơn 43 là 80. Vậy a = 80.Câu b, c tương tựBài 13. Có 100 quyển vở và 90 bút chì được thưởng đều cho một số học sinh,còn lại 4 quyển vở và 18 bút chì không đủ chia đều. Tính số học sinh đượcthưởng.Hướng dẫnSố học sinh là ước chung của 100− 4 = 96 và 90− 18 = 72, đồng thời lớn hơn18.Đáp số: 24 học sinhBài 14. Phần thưởng cho học sinh của một lớp học gồm 128 vở, 48 bút chì,192 nhãn vở. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng nhưnhau, mỗi phần thưởng gồm bao nhiêu quyển vở, bút chì, nhãn vở ?Hướng dẫnSố phần thường lớn nhất là UCLN(128, 48, 192).Đáp số: Chia được nhiều nhất 16 phần thưởng, mỗi phần thưởng gồm 8 vở, 3bút chì, 12 nhãn vởBài 15. Ba khối 6, 7, 8 theo thứ tự có 300 học sinh, 276 học sinh, 252 học sinhxếp hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau. Có thểxếp nhiều nhất mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng ? Khi đómỗi khối có bao nhiêu hàng ngang ?Hướng dẫnSố hàng dọc nhiều nhất là UCLN(300, 276, 252).

19


Đáp số: Xếp được nhiều nhất thành 12 hàng dọc. Khi đó, khối 6 có 25 hàngngang, khối 7 có 23 hàng ngang, khối 8 có 21 hàng ngang.bài 16. Người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành một số phầnthưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng,mỗi phần thưởng có bao nhiêu bút bi, bút chì, tẩy ?Hướng dẫnSố phần thường phải tìm là UCLN(200, 240, 320) = 40. Mỗi phần thưởng có 5bút bi, 6 bút chì, 8 tẩyBài 17. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3, cho 5, cho 7 được sốdư theo thứ tự là 2, 3, 4.Lời giải

a = 3m+ 2 (m ∈ N) ⇒ 2a = 6m+ 4, chia 3 dư 1

a = 5n+ 3 (n ∈ N) ⇒ 2a = 10n+ 6, chia 5 dư 1a = 7p+ 4 (m ∈ N) ⇒ 2a = 14p+ 4, chia 7 dư 1

Do đó: 2a− 1 ∈ BC(3, 5, 7). Để a nhỏ nhất thì 2a− 1 là BCNN(3, 5, 7)BCNN(3, 5, 7) = 105

2a− 1 = 105

2a = 106a = 53

Bài 18. Một số tự nhiên chia cho a cho 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 thì dư 3,chia cho 6 thì dư 4 và chia hết cho 13.a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có tính chất trên.b) Tìm dạng chung của tất cả các số có tính chất trên.Lời giảia) Gọi x là số phải tìm thì x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6 nên x + 2 là bội chungcủa 3, 4, 5, 6.BCNN(3, 4, 5, 6) = 60 nên x+ 2 = 60n, do đó x = 60n− 2 (n = 1, 2, 3, . . .).Ngoài ra x phải là số nhỏ nhất có tính chất trên và x phải chia hết cho 13.Lần lượt cho n = 1, 2, 3, . . . ta thấy n = 10 thì x = 598 chia hết cho 13. Số nhỏnhất phải tìm là 598.b) Số phải tìm phải thỏa mãn hai điều kiện: x+ 2 chia hết cho 60 (1)

x chia hết cho 13 (2)Từ (1) suy ra x+ 182 chia hết cho 60.Từ (2) suy ra x+ 182 chia hết cho 13.Vì (13, 60) = 1 nên x+ 182 = 780k hay x = 780k − 182 (k = 1, 2, 3, . . .).Với k = 1, giá trị của x bằng 598.(trong cách biến đổi trên, ta lần lượt thêm các bội của 60 vào x + 2, đượcx + 62, x+ 122, x+ 182, . . . , số 182 chia hết cho 13).Bài 19. Tìm các bội chung của 40, 60, 126 và nhỏ hơn 6000.Đáp số: 2520, 5040.

20


bài 20. Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500, sao cho chia nó cho 15, cho 35 được cácsố dư theo thứ tự là 8 và 13.Hướng dẫnGọi số phải tìm là n, ta tìm được n+ 22 ∈ BC(15, 35).Đáp số: 83, 188, 293, 398.Bài 21. Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho n chia cho 8 thì dư7, chia cho 31 thì dư 28.Hướng dẫn

n+ 1...8 ⇒ n+ 1 + 64

...8 ⇒ n+ 65...8 (1)

n+ 3...31 ⇒ n+ 3 + 62

...31 ⇒ n+ 65...8 (2)

Từ (1) và (2): n+ 65...BCNN(8, 31)

⇒ n+ 65...248

⇒ n = 248k − 65 (k ∈ N∗)

Với k = 3 thì n = 679.Với k = 4 thì n = 927.Với k = 5 thì n = 1175.Bài 22.a) Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, sao cho chia nó cho 2, cho 3, cho 4,cho 5, cho 6 ta được các số dư theo thứ tự là 1, 2, 3, 4, 5.b) Tìm dạng chung của các số tự nhiên a chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 thì dư4, chia cho 6 thì dư 5, chia hết cho 13.Hướng dẫna) Gọi số phải tìm là n.Ta có n+ 1 ∈ BC(2, 3, 4, 5, 6).Từ đó n = 60k − 1 (k ∈ N).Đáp số: n = 959.b) a+ 1 chia hết cho 4, cho 5, cho 6, nên a+ 1

...BCNN(4, 5, 6), tức là a+ 1...60.

Biến đổi:a+ 1

...60 ⇒ a+ 1− 300...60 ⇒ a− 299

...60 (1)

a...13 ⇒ a− 13 · 23

...13 ⇒ a− 299...13 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a− 299...BCNN(60, 13) ⇒ a− 299

...780.Dạng chung của a là: a = 780k + 299 (k ∈ N).Bài 23. Tìm số tự nhiên có ba chữ số như nhau, biết rằng số đó có thể đượcviết dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1.Lời giảiGọi số phải tìm là aaa, số đó được viết dưới dạng

1 + 2 + 3 + · · ·+ n (n ∈ N). Ta có:n(n+ 1)

2= 111a, do đó:

n(n+ 1) = 2 · 3 · 37 · a

21


Vì n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37 nên tồn tại một trong hai thừa sốn, n+ 1 chia hết cho 37.

Chú ý rằng n và n+ 1 đều nhỏ hơn 74 (vìn(n+ 1)

2là số có ba chữ số) nên ta

xét hai trường hợp:

a) n = 37 thìn(n+ 1)

2=

37 · 38

2= 703, (loại).

b) n = 38 thìn(n+ 1)

2=

36 · 37

2= 666, thỏa mãn yêu cầu của bái toán.

Vậy số phải tìm là 666, viết đươch dưới dạng 1 + 2 + 3 + · · ·+ 36.Bài 24. Cho biết a+ 4b chia hết cho 13, (a, b ∈ N). Chứng minh rằng 10a+ b

chia hết cho 13.Lời giải

Đặt a+ 4b = x; 10a+ b = y. Ta biết x...13, cần chứng minh y...13.

Cách 1. Xét biểu thức:10x− y = 10(a+ 4b)− (10a+ b) = 10a+ 40b− 10a− b = 39b.Như vậy 10x− y

...13.Do x

...13 nên 10x...13. Suy ra y

...13.Cách 2. Xét biểu thức:4y − x = 4(10a+ b)− (a+ 4b) = 40a+ 4b− a− 4b = 39a.Như vậy 4y − x

...13.Do x

...13 nên 4y...13. Ta lại có (4, 13) = 1 nên y

...13.Cách 3. Xét biểu thức:3x+ y = 3(a+ 4b) + (10a+ b) = 3a+ 12b+ 10a+ b = 13a+ 13b.Như vậy 3x+ y

...13.Do x

...13 nên 3x...13. Suy ra y

...13.Cách 4. Xét biểu thức:x + 9y = a+ 4b+ 9(10a+ b) = a+ 4b+ 90a+ 9b = 91a+ 13b.Như vậy x+ 9y

...13.Do x

...13 nên 9y...13. Ta lại có (9, 13) = 1, nên y

...13.Nhận xét: Trong các cách giải trên, ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khirút gọn có một hạng là bội của 13, khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bộicủa 13.Hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên ta xét biểu thức 10x− y nhằmkhử a (tức là làm cho hệ số a bằng 0), xét biểu thức 3x+ y nhằm tạo ra hệ sốa bằng 13.Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 nên ta xét biểu thức 4y− x nhằm khửb, xét biểu thức x+ 9y nhằm tạo ra hệ số b bằng 13.Bài 25.a) Cho biết 3a+ 2b chia hết cho 17, (a, b ∈ N). Chứng minh rằng 10a+ b chia

22


hết cho 17.b) Cho biết a− 5b chia hết cho 17, (a, b ∈ N). Chứng minh rằng 10a + b chiahết cho 17.Hướng dẫna) Đặt 3a+ 2b = x; 10a+ b = y. Cần chứng minh y

...17.Có thể xét các biểu thức: 2y − x, 8x+ y, 9x− y, 10x− 3y, . . .b) Đặt a− 5b = x; 10a+ b = y.Có thể xét các biểu thức: y − 10x, x+ 5y, . . .

Bài 26.a) Chứng minh rằng: Nếu 3x + 5y chia hết cho 7 thì x + 4y chia hết cho7 (x, y ∈ N). Điều ngược lại có đúng không ?b) Chứng minh rằng: Nếu 2x + 3y chia hết cho 17 thì 9x + 5y chia hết cho17 (x, y ∈ N). Điều ngược lại có đúng không ?Hướng dẫnĐiều ngược lại ở hai câu a) và b) đều đúng.a) Xét 2(3x+ 5y) + (x+ 4y).b) Xét 4(2x+ 3y) + (9x+ 5y).Bài 27. Tìm x, y ∈ Z biết

a)x

7=

9

yvà x > y.

b)−2

x=

y

5và x < 0 < y.

c)x− 4

y − 3=

4

3và x− y = 5.

d)x

15=

3

yvà x < y < 0.

Bài 28. Cho phân sốa

b. Chứng minh rằng:

Nếua− x

b− y=

a

bthì

x

y=

a

b.

Bài 29. Hai phân số sau có bằng nhau không ?abab

cdcd;

ababab

cdcdcdBài 30. Chứng minh rằng với n ∈ N

∗, các phân số sau là tối giản:

a)3n− 2

4n− 3; b)

4n+ 1

6n+ 1; c)

12n+ 1

30n+ 2Bài 31.a) Cho phân số A =

3n− 5

n+ 4. Tìm n ∈ Z để A có giá trị nguyên.

b) Cho phân số B =n+ 1

n− 3(n ∈ Z, n 6= 3)

i) Tìm n để B có giá trị nguyên.

23


ii) Tìm n để B là phân số tối giản.

c) Cho phân số C =n+ 1

n− 2.

i) Tìm n ∈ Z để C có giá trị nguyên.ii) Tìm n ∈ Z để C có giá trị lớn nhất.

d) Cho phân số D =10n

5n− 3.

i) Tìm n ∈ Z để D có giá trị nguyên.ii) Tìm giá trị lớn nhất của D.

e) Cho phân số E =6n− 1

3n+ 2.

i) Tìm n ∈ Z để E có giá trị nguyên.ii) Tìm n ∈ Z để E có giá trị nhỏ nhất.Bài 32.a) Tìm m, n ∈ Z để cho

1

m+

n

6=

1

2.

b) Tìm m, n ∈ Z để chom

2−

2

n=

1

2.

Bài 33.a) Cho S =

3

10+

3

11+

3

12+

3

13+

3

14. Chứng minh rằng 1 < S < 2 (hoặc có

thể thay câu chứng minh đó bằng câu chứng minh rằng S không phải là số tựnhiên).

b) Cho S =1

31+

1

32+

1

33+ . . .+

1

60. Chứng minh rằng

3

5< S <

4

5.

c) Cho S =3

1 · 4+

3

4 · 7+

3

7 · 10+ . . .+

3

n(n+ 3)với n ∈ N

∗.

Chứng minh rằng S < 1.

d) Cho S =1

22+

1

32+

1

42+ . . .+

1

92. Chứng minh rằng

2

5< S <

8

9.

Bài 34.a) Cho

a

b> 0. Chứng minh rằng

a

b+

b

a≥ 2.

Lời giảiKhông giảm tính tổng quát, giả sử a ≥ b suy ra a = b+m (m ≥ 0).

Ta cóa

b+

b

a=

b+m

b+

b

b+m= 1 +

m

b+

b

b+m≥ 1 +

m

b+m+

b

b+m=

1 +b+m

b+m= 1 + 1 = 2.

Vậya

b+

b

a≥ 2.

Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi m = 0 ⇔ a = b.

b) Cho a, b, c ∈ N∗ và S =

a+ b

c+

b+ c

a+

c+ a

b.

i) Chứng minh S ≥ 6.

24


ii) Tìm giá trị nhỏ nhất của S.c) Cho a, b, c ∈ N

∗ và x+ y + z = 5.

Biết S1 =b

ax+

c

az; S2 =

a

bx +

c

by; S3 =

a

cx+

b

cy.

Chứng minh rằng S ≥ 10.Bài tập ∗

Bài 1. ChoA =

1

4·3

6·5

8· · ·

995

998·997

1000và B =

2

5·4

7·6

9. . .

996

999·998

1001a) So sánh A và B.

b) Chứng minh A <1

12900Bài 2. So sánh tổng gồm 1000 số hạng

S =1

1 · 2 · 4+

2

2 · 5 · 7+

1

3 · 8 · 10+ · · ·+

1

1000 · 2999 · 3001với

5

24.

Bài 3. So sánh tổng gồm 2008 số hạng

S =5

1 · 2 · 3+

8

2 · 3 · 4+

11

3 · 4 · 5+ · · ·+

6026

2008 · 2009 · 2010với 2.

Bài 4. So sánh hai sốA =

326

1955+

988

1975+

662

1985và B =

3951

3950+

1

5955+

1

11730Bài 5. Cho m số nguyên dương. Hãy tìm các chữ số x và y (x 6= 0) sao choA = xy5 + 100(m+ 5)m là số chính phương.Bài 6. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a, b, c) sao cho (a+ b+ c)2−2a+2blà số chính phương.Bài 7. Tìm số chính phương có bốn chữ số khác nhau, biết rằng khi viết số đótheo thứ tự ngược lại thì được số mới có bốn chữ số cũng là số chính phươngvà chia hết cho số ban đầu.Bài 8. Cho 2010 số tự nhiên a1, a2, . . . , a2010 thỏa mãn điều kiện

1

a111+

1

a112+

1

a113+ · · ·+

1

a112010=

1005

1024.

Hãy tính A =a62010a51

+a62009a52

+a62008a53

+ · · ·+a61

a52010Bài 9. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng

(2x + 1)(2x + 2)(2x + 3)(2x + 4)− 5y = 11879Bài 10. So sánh

a) A =22009 + 1

22010 + 1và B =

22010 + 1

22011 + 1

b) C =10101010

20102010và D =

20102010

30103010

Bài 11. Viết các số chính phương liên tiếp 12, 22, . . . , 20102 liền nhau ta đượcsố A = 14916 . . .4040100. Nếu đặt dấu ” + ” vào giữa hai chữ số nào đó của sốA thì được tổng của hai số B và C.

25


26

Bai Tap Danh Cho HSK Lop 6A

Documents

Transcript of Bai Tap Danh Cho HSK Lop 6A