BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN - eldata11.topica.edu.vneldata11.topica.edu.vn/HocLieu/MAT101/Giao...

Bài 3: Phép tính tích phân

MAT101_Bài 3_v2.3013101225 43

BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Mục tiêu

Nắm được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng.

Làm được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định.

Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân.

Thời lượng Nội dung

Bạn nên dành mỗi tuần khoảng 90 phút để đọc kỹ lý thuyết và khoảng 120 phút trong vòng hai tuần để làm bài tập để nắm vững nội dung bài học này.

Bài này giới thiệu với các bạn các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng và các phương pháp tính các loại tích phân này.

Phép tính tích phân là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích, có nhiều ứng dụng trong bài toán kỹ thuật, kinh tế…

Hướng dẫn học

Bạn nên đọc kỹ lý thuyết để nắm được các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định và các loại tích phân suy rộng.

Bạn nên làm càng nhiều bài tập càng tốt để thành thạo phuơng pháp tính các loại tích phân đó.

Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ

44 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

3.1. Tích phân bất định

3.1.1. Khái niệm về tích phân bất định

3.1.1.1. Nguyên hàm

Bài này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số f (x) thì có tồn tại hay không

một hàm số F(x) có đạo hàm bằng f (x) ? Nếu tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x)

như vậy.

Định nghĩa:

Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên một khoảng D nếu:

F '(x) f (x), x D , hay dF(x) f (x)dx .

Ví dụ 1:

Vì: (sin x) ' cos x, x nên sin x là nguyên hàm của hàm số cos x trên .

Vì: 2 2 2 2

1 1 2xarctg x ' , x 1

1 x 1 x (1 x )

nên: 2

1arctg x

1 x

là một nguyên hàm của hàm số

2 2 2

1 2x

1 x (1 x )

trên \ 1 .

Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là duy nhất, nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó.

Định lý:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D thì:

Hàm số F(x) C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) , với C là một hằng số

bất kỳ.

Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều viết được dưới dạng F(x) C ,

trong đó C là một hằng số.

Chứng minh:

Giả sử C là một hằng số bất kỳ, ta có:

F(x) C ' F '(x) f (x) với mọi x D .

Theo định nghĩa F(x) C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D.

Ngược lại, giả sử (x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f (x) trên khoảng D.

Ta có:

F(x) (x) ' F '(x) '(x) f (x) f (x) 0, x D .

Suy ra F(x) (x) nhận giá trị hằng số trên khoảng D:

F(x) (x) C (x) F(x) C, x D .

Như vậy biểu thức F(x) C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) , mỗi

hằng số C tương ứng cho ta một nguyên hàm.


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 45

3.1.1.2. Tích phân bất định

Định nghĩa:

Tích phân bất định của một hàm số f (x) là họ các nguyên hàm F(x) C ; với x D ;

trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) và C là một hằng số bất kỳ. Tích

phân bất định của f (x)dx được ký hiệu là: f (x)dx .

Biểu thức f (x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số f được gọi là

hàm số dưới dấu tích phân.

Vậy: f (x)dx F(x) C , với F(x) là nguyên hàm của f (x) .

Ví dụ 2:

cos xdx sin x C

x xe dx e C .

3.1.1.3. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định

f (x)dx ' f (x) hay d f (x)dx f (x)dx

F '(x)dx F(x) C hay dF(x) F(x) C

af (x)dx a f (x)dx , ( a là hằng số khác 0)

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .

Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung:

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

trong đó , là các hằng số không đồng thời bằng 0

Các tính chất nói trên được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của tích phân bất định.

3.1.1.4. Các công thức tích phân cơ bản Các công thức tích phân sau đây được chứng minh bằng định nghĩa:

1xx dx C,( 1)

1

sin xdx cos x C

2

dxcotg x C

sin x

xx a

a dx C,(a 0,a 1)ln a

2 2

dx 1 a xln C

a x 2a a x

2

2

dxln x x C

x

dxln x C

x

cos xdx sin x C

2

dxtg x C

cos x

x xe dx e C

2 2

dx 1 xarctg C

x a a a

2 2

dx xarcsin C

aa x


46 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

3.1.2. Các phương pháp tính tích phân bất định

3.1.2.1. Phương pháp khai triển

Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân cơ bản ở trên. Một phương pháp đơn giản là phương pháp khai triển. Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định:

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .

Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số đơn giản mà đã biết được nguyên hàm của chúng, các hằng số được đưa ra bên ngoài dấu tích phân.

Ví dụ 3:

3 5

2 2 32 24

(2x x 3x )dx 2 x dx 3 x dx x x C5

4

3 31 dx x2sinx x dx 2 sinxdx x dx 2cosx ln x C

x x 4

2 2 2 2

dx 1 1 1dx arctg x C

x (1 x ) x 1 x x .

3.1.2.2. Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân

Nhận xét:

Nếu: f (x)dx F(x) C thì f (u)du F(u) C ; trong đó u u(x) là một hàm số

khả vi liên tục. Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo x.

Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân g(x)dx về dạng:

g(x)dx f (u(x))u '(x)dx

trong đó f (x) là một hàm số mà ta dễ dàng tìm được nguyên hàm F(x) . Khi đó tích

phân cần tính trở thành:

g(x)dx f (u(x))u '(x)dx f (u(x))du F(u(x)) C a 0

Trong trường hợp đơn giản u(x) ax b thì du adx , do đó nếu

f (x)dx F(x) C ta suy ra:1

f (ax b)dx F(ax b) Ca

a 0

Ví dụ 4:

1sin axdx cosax C

a . a 0

axax e

e dx Ca

a 0

sin x sin x sin xe cos xdx e d(sin x) e C


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 47

32

4

dx tg x(1 tg x)d(tg x) tg x C

cos x 3

32 2 2 21 1

x 1 3x dx 1 3x d(1 3x ) 1 3x C6 9

2

arccos x arcsin xI dx arcsin x arcsin xd(arcsin x)

21 x

2 31I arcsin x arcsin x C

4 3

.

3.1.2.3. Phương pháp đổi biến

Xét tích phân I f (x)dx ; trong đó f (x) là một hàm số liên tục. Để tính tích phân

này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép đổi biến sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được nguyên hàm một cách đơn giản hơn. Ta chia phương pháp đổi biến làm hai trường hợp là đổi biến xuôi x (t) và đổi biến ngược t (x) .

Phép đổi biến thứ nhất:

Đặt x (t) ; trong đó (t) là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục. Khi

đó ta có:

I f (x)dx f (t) '(t)dt

Giả sử hàm số g(t) f (t) '(t) có nguyên hàm là hàm G(t) , và t h(x) là

hàm số ngược của hàm số x (t) , ta có:

I g(t)dt G(t) C I G h(x) C .

Phép đổi biến thứ hai:

Đặt t (x) , trong đó (x) là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được

hàm f (x) g (x) '(x) . Khi đó ta có:

I f (x)dx g (x) '(x)dx .

Giả sử hàm số g(t) có nguyên hàm là hàm số

G(t) , ta có:

I G (x) C .

Ví dụ 5:

a) Tính tích phân: 1

xI dx

2 x

Đặt 2x 2sin t, t 0,2

, ta tính được:

dx 4sin t cos tdt ;

CHÚ Ý :

Khi tính tích phân bất định bằng phương pháp đổi biến số, sau khi tìm được nguyên hàm theo biến số mới, phải đổi lại thành hàm số của biến số cũ.


48 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

2

2

x 2sin ttg t

2 x 2(1 sin t)

.

Suy ra: 21

xI dx 4 sin tdt 2t sin 2t C

2 x

.

Đổi lại biến x, với x

t arcsin2

, ta thu được:

21

x xI dx 2arcsin 2x x C

2 x 2

.

b) Tính tích phân 2x

2 x

eI dx

e 1

.

Đặt x xe t e dx dt , ta có:

2

t 1I dt 1 dt t ln t 1 C

t 1 t 1 .

Đổi lại biến x, ta được: x x2I e ln(e 1) C .

c) Tính tích phân 3 x

dxI

1 4

.

Đặt x xt 2 dt 2 ln 2dx , tích phân trở thành:

23 2 2

dt 1 dt 1I ln(t t 1) C

ln 2 ln 2t ln 2 1 t t 1

.

Đổi lại biến x, ta có: x x3

1I ln(2 4 1) C

ln 2 .

3.1.2.4. Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u u(x) và v v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. Theo quy tắc lấy vi phân

d(uv) udv vdu uv d(uv) udv vdu .

Suy ra : udv uv vdu .

Xét tích phân: I f (x)dx .

Ta cần biểu diễn:

f (x)dx g(x)h(x) dx g(x) h(x)dx udv

và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u g(x); v h(x)dx .

Ta thường sử dụng phương pháp này khi biểu thức dưới dấu tích phân chứa một trong

các hàm số sau đây: xln x;a ; hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. Cụ thể:

Trong các tích phân n kx n nx e dx; x sin kxdx; x cos kxdx , n nguyên dương, ta thường

chọn: nu x


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 49

Trong các tích phân nx ln xdx , 1 và n nguyên dương, ta thường chọn nu ln x

Trong tích phân n nx arctg kxdx; x arcsin kxdx , n nguyên dương, ta thường chọn:

u arctg kx hoặc u arcsin kx ; ndv x dx .

Ví dụ 6:

Tính các tích phân bất định:

a) 1I ln xdx x ln x dx x ln x x C .

b) 22I x sin xdx .

Đặt 2u x ,dv sin xdx v cos x , ta được:

22I x cos x 2 x cos xdx .

Đặt u x,dv cos xdx v sin x , ta được:

2 22I x cos x 2 xsin x sin xdx x cos x 2xsin x 2cos x C.

c) x

3 2

xe dxI

(x 1)

.

Đặt x x2

dx 1u xe ;dv v ;du (x 1)e dx

(x 1) x 1

, ta được:

x x xx x

3

xe xe eI e dx e C C

x 1 x 1 x 1

.

d) x

4 x

xe dxI

1 e

.

Đặt x

x

x

e dx1 e t 2dt

1 e

; ta có:

4I 2 ln(t 1) ln(t 1) dt 2(t 1) ln(t 1) 2(t 1) ln(t 1) 4t C .

Đổi lại biến x ta có:

x

x x

x

xe dx2(x 2) 1 e 4ln 1 1 e 2x C

1 e

.

e) 5 2

x arcsin xI dx

1 x

.


50 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

Đặt 2

2 2

xdx dxu arcsin x;dv du ; v 1 x

1 x 1 x

, ta được:

2 25I 1 x arcsin x dx 1 x arcsin x x C .

f) x6I e cos 2xdx .

Đặt x xu cos 2x;dv e dx v e ;du 2sin 2xdx ; ta được:

x x6I e cos 2x 2 e sin 2xdx .

Đặt x xu sin 2x;dv e dx v e ;du 2cos 2xdx ; ta được:

x x x x x6 6I e cos2x 2 e sin2x 2 e cos2xdx e cos2x 2e sin2x 4I 5C .

Vậy: x

6

eI cos 2x 2sin 2x C

5 .

Trong các mục sau đây chúng ta sẽ xét tích phân bất định của một số dạng hàm cơ bản: Hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm chứa căn thức và trình bày một số phương pháp giải chung đối với tích phân các hàm này.

3.1.3. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ

Định nghĩa:

Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số có dạng: P(x)

f (x)Q(x)

,

trong đó P(x),Q(x) là các đa thức của x.

Một phân thức hữu tỷ có bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số là một phân thức hữu tỷ thực sự.

Bằng phép chia đa thức, chia P(x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức

hữu tỷ về dạng:

r(x)

f (x) H(x)Q(x)

Trong đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư trong phép chia.

Khi đó r(x)

Q(x) là một phân thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức H(x) được

tìm bởi công thức tích phân cơ bản:

n 1

n xx dx C

n 1

; n nguyên dương.

Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại r(x)

Q(x) trong hai trường hợp

đặc biệt: Mẫu số của phân thức là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai. Trong những trường hợp mẫu số phức tạp hơn, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa về hai trường hợp trên.


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 51

3.1.3.1. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc nhất

Xét tích phân:

P(x)

dxax b .

Trong đó P(x) là một đa thức. Ta biểu diễn hàm dưới dấu tích phân ở dạng sau:

P(x) C

Q(x)ax b ax b

.

Chúng ta sử dụng hai công thức sau để tính tích phân nói trên

n 1

n xx dx C,n 0

n 1

và

dx 1ln ax b C

ax b a

.

Ví dụ 7:

3 3 22 ln 2x 14x 2x 1 1 1 2x x x

dx 2x x dx C2x 1 2 2(2x 1) 3 2 2 4

.

3.1.3.2. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc hai

Xét tích phân: 2

P(x)dx

x px q .

Trong đó P(x) là một đa thức. Ta biểu diễn hàm dưới dấu tích phân ở dạng sau:

2 2

P(x) Mx NQ(x)

x px q x px q

.

Ta viết lại: M Mp

Mx N (2x p) N2 2

suy ra: 2

2 2 2

Mx N M d(x px q) Mp dxdx N

x px q 2 x px q 2 x px q

22

M Mp dxln x px q N .

2 2 x px q

Tích phân còn lại ở vế phải 2

dxJ

x px q

được tìm như sau :

Nếu tam thức 2x px q có hai nghiệm phân biệt 1 2x x ; ta có:

1

1 2 1 2 1 2 1 2 2

x xdx 1 1 1 1J dx ln C

(x x )(x x ) x x x x x x x x x x

.

Nếu tam thức 2x px q có nghiệm kép , ta có:

2

dx 1J C

(x ) x

.


52 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

Nếu tam thức 2x px q vô nghiệm, ta viết lại:

2 2

2 2 2 2p px px q x q X a , (a 0)

2 4

.

suy ra: 1 2x p

J arctg Ca 2a

.

Ví dụ 8:

Tính tích phân: 2

2 2 2

2x 3x 2 5x 5 2x 1 1dx 2 dx 2 dx dx

x x 1 x x 1 2 x x 1

2

2 2

5 d(x x 1) 5 dx2x

2 x x 1 2 (x 1/ 2) 3/ 4

25 5 2x 12x ln(x x 1) arctg C

2 3 3

3.1.3.3. Phương pháp hệ số bất định

Giả sử chúng ta muốn phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự P(x)

Q(x) thành tổng (hiệu)

của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Trước hết ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc

bậc hai: 1 m 1 na a b b2 21 m 1 1 n nQ(x) (x ) ...(x ) (x p x q ) ...(x p x q ) .

trong đó i j j, p ,q là các hằng số, i ja , b là các số nguyên dương, 1 i m;1 j n .

Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện đơn thức a(x ) , a là số nguyên dương thì

trong phân tích của phân thức P(x)

Q(x) xuất hiện các hạng tử dạng i

i

A

(x ), trong đó

iA là hằng số và 1 i a .

Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức 2 b(x px q) , b là số nguyên

dương thì trong phân tích của phân thức P(x)

Q(x) xuất hiện các hạng tử dạng

j j

2 j

B x C

(x px q)

, trong đó j jB ,C là các hằng số và 1 j b .

Sau khi viết được phân tích của P(x)

Q(x), ta tìm các hằng số i j jA ,B ,C bằng cách quy

đồng mẫu số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của nx ,n ở hai vế.

Ví dụ 9:

Tính các tích phân bất định

a) 4 3 2

1 2

x x 2x 2x 1I dx

(x 2)(x 1)

.


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 53

Chia tử số cho mẫu số ta được đa thức x và phần dư. Do mẫu số của phân thức có

các nhân tử là 2x 2 và x 1 nên ta viết lại phân thức ở dạng:

4 3 2

2 2 2

x x 2x 2x 1 1 A Bx Cx x

(x 2)(x 1) (x 2)(x 1) x 1 x 2

.

Quy đồng mẫu số ở hai vế

23 (A B)x (C B 2)x C

Đồng nhất hệ số của 2x , x và hệ số tự do, ta được:

A B 0 A 1

C B 2 0 B 1

C 1 C 1

Suy ra: 4 3 2

2 2 2

x x 2x 2x 3 1 1 2x 1x

(x 2)(x 1) x 1 2 x 2 x 2

.

Vậy tích phân bằng: 2 2x ln(x 2) 1 x

I ln x 1 arctg C2 2 2 2

.

b) 4 3 2

2 2 2

2x 10x 17x 16x 5I dx

(x 1) (x 2x 3)

.

Ta viết: 4 3 2

2 2 2 2

2x 10x 17x 16x 5 2 1 42

(x 1) (x 2x 3) x 1 (x 1) x 2x 3

.

Suy ra: 1 x 1

I 2x 2ln x 1 2 2 arctg Cx 1 2

.

3.1.4. Tích phân hàm lượng giác

3.1.4.1. Phương pháp chung

Xét tích phân R(sin x,cos x)dx , trong đó hàm dưới dấu tích phân là hàm số của

sin x,cos x . Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát x

t tg2

, khi đó:

2

2 2 2 2

2t 1 t 2t 2dtsin x ;cos x ; tg x ;dx

1 t 1 t 1 t 1 t

Tích phân đang xét được đưa về tích phân của hàm số của biến t .

Ví dụ 10:

Tính tích phân: sin x cos x 2

dx1 sin x cos x

.

Ta viết: sin x cos x 2 d(1 sin x cos x) dx

dx 21 sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cos x

.


54 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

Đặt x

t tg2

, suy ra:

dx dt

ln 1 t C1 sin x cos x 1 t

.

Thay lại biến cũ, ta được:

sin x cos x 2 x

dx ln 1 sin x cos x 2ln 1 tg C1 sin x cos x 2

.

3.1.4.2. Tích phân dạng m nsin x cos xdx , trong đó m, n là các số nguyên

Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t cos x .

Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt t sin x .

Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc:

2 21 cos 2x 1 cos 2xsin x ;cos x

2 2

rồi đưa về tích phân dạng k esin 2x cos 2xdx.

Ví dụ 11:

Tính các tích phân bất định

a) 3 21I sin x cos xdx

Đặt cos x t sin xdx dt ; ta có: 5 3 5 3

3 2 2 2 t t cos x cos xsin x cos xdx (1 t )t ( dt) C C

5 3 5 3 .

b) 4 22I sin x cos xdx

Sử dụng công thức hạ bậc ta có:

2

2 32

(1 cos2x) 1 cos2x 1I dx 1 cos2x cos 2x cos 2x dx

4 2 8

22

1 sin 2x 1 cos 4x 1I x dx (1 sin 2x)d(sin 2x)

8 2 2 2

3

2

1 x sin 2x sin 4x sin 2x sin 2xI C

8 2 2 8 2 6

.

Đối với tích phân 2I sau khi sử dụng công thức hạ bậc lần thứ nhất ta cũng có thể

tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới dấu tích phân bởi công thức:

3 33sin x sin 3x 3cos x cos3xsin x ;cos x

4 4

.


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 55

Áp dụng vào tích phân 2I , ta có:

2

1 1 cos 4x 3cos 2x cos 6xI 1 cos2x dx

8 2 4

2

1 x sin 2x sin 4x sin 6xI C

8 2 8 8 24

.

Trong trường hợp tổng quát sau khi sử dụng công thức hạ bậc, có thể xuất hiện các

tích phân dạng: sin ax cos bxdx; cosax cos bxdx; sin ax sin bxdx với a b .

Các tích phân dạng này có thể tính dễ dàng bằng cách biến đổi tổng như sau:

1sin ax cos bxdx sin(a b)x sin(a b)x dx

2

1 cos(a b)x cos(a b)x

C2 a b a b

.

1cosax cos bxdx cos(a b)x cos(a b)x dx

2

1 sin(a b)x sin(a b)x

C2 a b a b

.

1sin ax sin bxdx cos(a b)x cos(a b)x dx

2

1 sin(a b)x sin(a b)x

C.2 a b a b

Khi tích phân R(sin x,cos x)dx có thêm những tính chất đặc biệt, ta có thể sử

dụng các phép đổi biến như sau:

Đặt t = cosx nếu R (–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx). .

Đặt t = sinx nếu R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx).

Đặt t = tgx nếu R( sin x, cos x) R(sin x,cos x) .

Ví dụ 12:


dx

sin x cos x

Đặt t cos x dt sin xdx , ta có:

4 2 4 4 2 3

dx dt 1 1 1 1 1 1 1 t 1dt ln C

sin x cos x (1 t )t t t 2(t 1) 2(t 1) 3t t 2 t 1

4 3

dx 1 1 1 1 cos xln C

sin x cos x 3cos x cos x 2 1 cos x


56 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

3.1.5. Tích phân hàm chứa căn thức

Xét tích phân có dạng 2 2R(x, x )dx , 2 2R(x, x )dx , trong đó R(u, v) là

các hàm số hữu tỷ.

Đặt x tg t đối với tích phân 2 2R(x, x )dx .

Đặt x sin t hoặc x a cos t đối với tích phân 2 2R(x, x )dx .

Đặt xcos t

hoặc x

sin t

đối với tích phân 2 2R(x, x )dx .

Ví dụ 13:

Tính các tích phân sau:

a) 3

2 2(1 x ) dx

.

Đặt 2x sin t, t , dx cos tdt, 1 x cos t2 2

, và

32 2

2

dt(1 x ) dx tg t C tg(arcsin x) C

cos t

.

b) 2 2

dx

x 1 x .

Đặt 2

dtx tg t t , dx

2 2 cos t

, ta có:

22 2

dx cos tdt 1 1C C

sin t sin t sin(arctg x)x 1 x

.

3.2. Tích phân xác định

3.2.1. Khái niệm tích phân xác định. Điều kiện khả tích

3.2.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên đoạn a, b và giả sử f (x) không âm

trên đoạn đó. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số

y f (x) ( x a, b ); các đường thẳng x a, x b và trục Ox. Tính diện tích S của hình

thang cong AabB.

Ta chia đoạn a, b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

0 1 i nx a x ... x ... x b

Cách phân chia nói trên được gọi là một phân hoạch của đoạn a, b .

Tại mỗi điểm có hoành độ ix trên trục hoành ta kẻ các đường thẳng song song với

trục Oy. Các đường thẳng này giao với đồ thị của hàm số f (x) tại các điểm iA và sẽ


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 57

chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ i i i 1 i 1A x x A . Ta có thể xấp xỉ

diện tích của mỗi hình thang cong nhỏ đó bởi diện tích của hình chữ nhật có cùng đáy

dưới và chiều cao if ( ) , trong đó i là một điểm bất kỳ nằm giữa ix và i 1x . Gọi iS

là diện tích của hình thang cong nhỏ thứ i, ta có:

i i i 1 i i iS f ( )(x x ) f ( ) x .

Vậy diện tích S của hình thang cong AabB có thể xấp xỉ bởi công thức:

n 1

i ii 0

S f ( ) x

.

Tổng ở vế phải được gọi là tổng tích phân ứng với phân hoạch và cách chọn điểm

i i i 1x , x .

Khi số điểm chia n lớn lên vô hạn và độ dài các đoạn chia ix nhỏ dần thì cạnh trên

của hình chữ nhật thứ i càng sát với hình dáng của đồ thị của f (x) trên đoạn

i i 1x , x , phép xấp xỉ diện tích S bởi tổng diện tích các hình chữ nhật nói trên càng

chính xác. Khi n tiến ra vô cùng, giới hạn của tổng ở vế phải chính là diện tích S của hình thang cong AabB:

nS lim

(3.1)

Trong toán học, giới hạn ở vế phải trong những ràng buộc nhất định được gọi là tích

phân xác định của hàm số f (x) trên đoạn a, b

3.2.1.2. Định nghĩa tích phân xác định

Định nghĩa:

Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn a, b . Phân hoạch đoạn a, b bởi các điểm chia

0 1 i nx a x ... x ... x b

Trên mỗi đoạn i i 1x , x lấy một điểm i bất kỳ và lập tổng tích phân n 1

i ii 0

f ( ) x

.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn i i

n 1

i imax x 0 max x 0

i 0

I lim lim f ( ) x

, ( giới hạn này không

phụ thuộc vào cách chia đoạn a, b và cách chọn các điểm i ) thì hàm số f (x) được

gọi là khả tích trên đoạn a, b và I được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x)

trên đoạn a, b , và ký hiệu:

b

a

I f (x)dx

a, b tương ứng được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân.

Ví dụ 14:

Xét hàm hằng f (x) C, x 0,1 .


58 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

Với một phân hoạch bất kỳ của đoạn 0,1 và cách chọn điểm i i i 1x , x , ta lập

tổng tích phân:

n 1 n 1

i i ii 0 i 0

f ( ) x C x C

.

Theo định nghĩa tích phân xác định, ta có

i

1

max x 00

Cdx lim C

.

3.2.1.3. Điều kiện khả tích

Ta thừa nhận các định lý sau về tính khả tích của các hàm số.

Định lý 1:

Điều kiện cần để một hàm số f (x) khả tích trên đoạn a, b là nó bị chặn trên

đoạn đó.

Định lý 2:

Một hàm số f (x) xác định trên đoạn a, b khả tích trên đoạn đó nếu nó thoả mãn

một trong các điều kiện sau đây:

f (x) liên tục trên đoạn a, b .

f (x) đơn điệu và bị chặn trên a, b .

f (x) bị chặn và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn trên a, b .

CHÚ Ý :

Tích phân xác định của một hàm số khả tích f (x) trên đoạn a, b là một số xác định, do

đó tích phân không phụ thuộc vào ký hiệu của biến số dưới dấu tích phân

b b b

a a a

f (x)dx f (u)du f (t)dt ...

CHÚ Ý :

Từ định lý 2 khi đã biết hàm số f (x) khả tích trên đoạn a, b thì giới hạn của tổng tích

phân không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn a, b và cách chọn điểm i . Do đó khi

tính tích phân xác định của một hàm khả tích bằng định nghĩa, ta thực hiện việc chia đều

đoạn a, b , và chọn điểm i trùng với một trong hai đầu mút của đoạn i i 1x , x , (với

0 i n 1 ). Khi đó ta có

i ii(b a) b a

x a ; x ;n n

i ix hoặc i i 1x


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 59

Ví dụ 15:

Tính tích phân 1

2

0

x dx .

Dễ thấy hàm số 2f (x) x liên tục và do đó khả tích trên đoạn 0,1 . Phân hoạch đoạn

0,1 bởi các điểm chia

0 1 i n

i0 x x ... x ... x 1

n .

Chọn điểm i i 1

i 1x

n

, ta có tổng tích phân ứng với phân hoạch nói trên và cách

chọn điểm i là: 2n 1 n

23 3

i 0 i 1

1 i 1 1 n(n 1)(2n 1)i

n n n 6n

.

Vậy: 1

23n

0

n(n 1)(2n 1) 1x dx lim

6n 3

.

Từ ví dụ trên ta thấy cũng có thể ứng dụng tích phân xác định trong việc tìm giới hạn

của dãy số nS , bằng cách biểu diễn nS như tổng tích phân của một hàm số nào đó ứng

với một phân hoạch và cách chọn điểm i đặc biệt.

3.2.1.4. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định

Chúng ta đã biết mọi hàm số liên tục trên đoạn a, b đều khả tích trên đoạn đó, do đó

công thức (3.1) có thể viết lại dưới dạng :

b

a

S f (x)dx .

Như vậy nếu y f (x) là hàm số liên tục và f (x) 0 trên đoạn a, b thì tích phân xác

định của hàm số f (x) trên đoạn a, b là số đo diện tích của hình thang cong AabB

giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) trên đoạn đó và các đường thẳng

x a, x b, y 0 .

3.2.1.5. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định

Trong phần này ta luôn giả sử a b .

Nếu hàm số f (x) khả tích trên đoạn a, b thì:

b a

a b

f (x)dx f (x)dx .

Nếu f (x) khả tích trên đoạn a, b và c là một điểm bất kỳ nằm giữa a và b, thì hàm

số f (x) cũng khả tích trên mỗi đoạn a,c ; c, b và


60 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

b c b

a a c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx .

Tính chất tuyến tính của tích phân xác định

b b b

a a a

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

trong đó , là các hằng số và f (x);g(x) là các hàm số khả tích trên đoạn a, b .

Giả sử f (x),g(x) là hai hàm số khả tích trên đoạn a, b và f (x) g(x), x a, b , ta

có :

b b

a a

f (x)dx g(x)dx .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f (x) g(x) với mọi x a, b

Nếu f (x) khả tích trên đoạn a, b thì hàm số f (x) cũng khả tích trên đoạn đó và

b b

a a

f (x)dx f (x) dx .

Giả sử hàm số f (x) liên tục trên đoạn a, b thì tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao

cho :

b

a

f (x)dx f (c)(b a) .

3.2.2. Công thức đạo hàm theo cận trên

Giả sử f (x) là một hàm số liên tục trên đoạn a, b . Khi đó f (x) cũng khả tích trên

đoạn a, x với x là một điểm bất kỳ thuộc đoạn a, b .

Xét hàm số: x

a

(x) f (t)dt, x a,b .

Hàm số (x) được gọi là hàm cận trên.

Định lý:

Nếu f (x) là hàm số liên tục trên đoạn a, b thì hàm cận trên (x) là hàm khả vi liên

tục trên đoạn đó, và với mọi điểm x a, b ta có:

x

a

'(x) f (t)dt ' f (x)

.

Nhận xét:

Công thức nói trên cho ta thấy hàm cận trên (x) là một nguyên hàm của hàm số

dưới dấu tích phân f (x) trên đoạn a, b . Và như vậy mọi hàm số liên tục đều có

nguyên hàm.


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 61

3.2.3. Công thức Newton – Leibnitz

bb

aa

f (x)dx F(x) F(b) F(a)

trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số liên tục f (x) .

Công thức Newton – Leibnitz cho phép ta tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm số đó.

Chứng minh:

Do hàm cận trên (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn a, b nên ta có

F(x) (x) C .

Thay x a ta có: F(a) (a) C C .

Suy ra: x

a

f (t)dt (x) F(x) C F(x) F(a) .

Thay x b ta được: b

a

f (t)dt F(b) F(a) .

Ví dụ 16:

Tính các tích phân xác định:

a) 2

1

0

I x 1 dx .

Ta thấy rằng tích phân của hàm số f (x) x 1 không suy ra trực tiếp được từ

bảng các tích phân cơ bản, do đó ta cần khử được dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân. Do đó ta chia đoạn lấy tích phân thành hai đoạn: Trên đoạn

0,1 hàm số f (x) 1 x , trên đoạn 1, 2 hàm số f (x) x 1 . Sau đó dùng công

thức Newton – Leibnitz ta tính được tích phân:

1 21 2 2 2

1

0 1 0 1

x xI (1 x)dx (x 1)dx x x 1

2 2

.

b) 0

2

1

I x arctg(x 1)dx

.

Ta tìm một nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân

2 2 2

2

x x 1 x dxF(x) x arctg xdx arctg xd arctg x

2 2 2 1 x

.

Suy ra 2x 1

F(x) arctg x (x arctgx)2 2

và theo công thức Newton – Leibnitz:

0

1

2x arctg(x 1)dx F(0) F( 1)

4

.


62 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

3.2.4. Các phương pháp tính tích phân xác định

Ta đã biết công thức Newton – Leibnitz cho phép tính tích phân xác định khi đã biết nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân, do đó các phương pháp tính tích phân bất định đều được sử dụng để tính tích phân xác định như là: Phương pháp khai triển, biến đổi vi phân, đổi biến và tích phân từng phần. Tuy nhiên khi dùng phương pháp đổi biến, ta không cần phải đổi lại biến ban đầu mà chỉ cần tính lại cận tích phân tương ứng. Sau đây trình bày lại hai cách đổi biến đối với tích phân xác định, và công thức tích phân từng phần.

3.2.4.1. Phương pháp tích phân từng phần

b b

b

aa a

udv uv vdu

trong đó u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục.

Phương pháp này được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có chứa các

hàm số x xa ,e , ln x , các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược.

Ví dụ 17:


3x

0

I xe dx .

Đặt: 3x3x

du dxu x

edv e dx v

3

suy ra: 1 13x 3 3

13x 3x

000

xe 1 e 1 2e 1I e dx e

3 3 3 9 9

.

3.2.4.2. Phương pháp đổi biến

Giả sử ta cần tính tích phân b

a

f (x)dx , trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn a, b .

Phép đổi biến thứ nhất:

Đặt x (t) , trong đó:

Hàm số (t) xác định, liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn ,

( ) a, ( ) b .

Khi t biến thiên trong đoạn , hàm số x (t) nhận giá trị tương ứng trong

đoạn a, b .

Khi đó: b

a

f (x)dx f (t) '(t)dt g(t)dt

.

Phép đổi biến thứ hai:

Đặt t (x) , trong đó:


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 63

(x) là hàm số đơn điệu thực sự và có đạo hàm liên tục trên a, b

f (x)dx trở thành g(t)dt , trong đó g(t) là một hàm số liên tục trên đoạn (a), (b)

Khi đó: (b)b

a (a)

f (x)dx g(t)dt

.

Ví dụ 18:

a) Giả sử hàm số f (x) liên tục trên đoạn a,a .

Nếu f (x) là hàm chẵn thì a a

a 0

f (x)dx 2 f (x)dx

.

Nếu f (x) là hàm lẻ thì a

a

f (x)dx 0

.

Thật vậy ta có a 0 a

1 2

a a 0

I f (x)dx f (x)dx f (x)dx I I

.

Đối với tích phân I1, thay biến x t , ta có:

a

1

0

I f ( t)dt .

Do đó nếu f (x) là hàm lẻ thì: f (t) f ( t) 0 , và a

a

f (x)dx 0

.

Nếu f (x) là hàm chẵn thì: f (t) f ( t) 2f (t) , và a a

a 0

f (x)dx 2 f (x)dx

.

b) Tính tích phân: 2

2 x1

x 1J dx

x e

.

Đặt x xxe t (x 1)e dx dt .

Suy ra:

22 2e2e

2 2ee

dt 1 2e 1J

t t 2e

.

c) Tính tích phân: 2

2 2

0

K x 4 x dx .

Đặt x 2sin t, (0 t )2

, ta có:

2dx 2cos tdt, 4 x 2cos t .

Vậy: / 2/ 2 / 2

2 2

0 0 0

sin 4tK 16 sin t cos tdt 2 (1 cos 4t)dt 2 t

4

.

3.2.5. Ứng dụng của tích phân xác định

Xét một biến số x nhận các giá trị bằng số khác nhau một cách ngẫu nhiên, được gọi là

biến ngẫu nhiên. Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận một giá trị 0x nào đó được cho


64 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

bởi hàm mật độ xác suất. Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục x là một hàm số liên tục f (x) thoả mãn các điều kiện sau:

f (x) 0 .

Nếu miền biến thiên của biến x là đoạn A, B thì B

A

f (x)dx 1 .

Xác suất để x nhận giá trị trong khoảng a, b được tính bởi công thức:

b

a

P a x b f (x)dx, (A a b B) .

Ví dụ 19:

Gọi t là thời gian xếp hàng để mua hàng trong một cửa hàng lớn. Qua số liệu thực nghiệm người ta ước lượng được hàm mật độ xác suất:

23f (t) t , 0 t 5

125 .

Xác suất để một khách hàng phải xếp hàng trong thời gian từ 2 đến 3 phút là:

33 2 3

2 2

3t tP dt 0,152.

125 125

3.3. Tích phân suy rộng

Khi định nghĩa tích phân xác định, chúng ta đã xét các hàm số xác định trên một đoạn

hữu hạn a, b và bị chặn trên đoạn đó. Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng khái

niệm tích phân, từ đó đưa vào khái niệm tích phân suy rộng với cận vô hạn và tích phân của hàm số không bị chặn.

3.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn

Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng a, và khả tích trên mọi đoạn hữu

hạn a, A , (a A ) .

Định nghĩa:

Giới hạn của tích phân xác định A

a

f (x)dx khi A được gọi là tích phân suy rộng

của hàm số f (x) trên khoảng a, và ký hiệu như sau:

A

Aa a

f (x)dx lim f (x)dx

Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ta nói tích phân suy rộng a

f (x)dx

hội tụ. Ngược

lại, nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng ta nói tích phân đó phân kỳ.


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 65

Tương tự ta định nghĩa tích phân của một hàm số f (x) trên các khoảng , a và

, bởi các công thức sau:

a a

AA

f (x)dx lim f (x)dx

và A

AA'A '

f (x)dx lim f (x)dx

.

Ta có thể viết:a

a

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ.

Từ định nghĩa ta suy ra phương pháp tính tích phân suy rộng với cận vô hạn.

Ví dụ 20:

a) Tính tích phân 2

2

e

dx

x ln x(ln ln x)

Ta có:22

AA

2ee

dx 1 1 1

x ln x(ln ln x) ln ln x ln 2 ln ln A

2

A

2Ae

dx 1lim

x ln x(ln ln x) ln 2 .

Vậy:2

2

e

dx 1

x ln x(ln ln x) ln 2

.

b) Tính tích phân: 2 2

dx

(x 1)

.

Trước hết ta tính A

2 2A'

dx

(x 1) , đặt 22 2 2

dx dtx tg t cos tdt

(1 x ) 1 tg t

.

arctg Aarctg AA

2 2A' arctg A ' arctg A '

dx 1 cos 2t t sin 2tdt

(x 1) 2 2 4

Khi A ,A ' thì arctg A ;arctg A '2 2

suy ra: 2

2 2

2

dx t sin 2t

(x 1) 2 4 2

.

c) 0 0

0

AA A AA

x sin xdx lim x sin xdx lim x cos x sin x lim A cos A sin A

giới hạn này không tồn tại, do đó tích phân phân kỳ.

d) Xét sự hội tụ của tích phân: 1

dxI

x

.


66 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

Với mọi A 1 , ta có:

1A

1

(A 1) khi 1dx

1x

ln A khi 1

Với 1 : 1

A

A 1 1I lim

1 1

.

Với 1 : 1

A

A 1I lim

1

.

Với 1 : A

I lim ln A

.

Do đó tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khi 1 , và phân kỳ khi và chỉ khi 1 .

3.3.2. Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn

Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng a, b và khả tích trên mọi đoạn a, t ;

( t b bất kỳ), và x blim f (x)

. Điểm x b được gọi là điểm bất thường (điểm kỳ dị)

của hàm số f (x) .

Định nghĩa:

Giới hạn của tích phân t

a

f (x)dx khi t b ; được gọi là tích phân suy rộng của hàm

số f (x) trên khoảng a, b và được ký hiệu như sau:

b t

t ba a

f (x)dx lim f (x)dx

.

Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng, ta nói tích phân phân kỳ.

Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f (x) không bị chặn trên

khoảng a, b và a, b lần lượt nhận x a và x a, x b làm điểm bất thường.

b b

t aa t

f (x)dx lim f (x)dx

và b t '

t aa tt ' b

f (x)dx lim f (x)dx

.

Đối với tích phân có hai điểm bất thường x a, x b , ta có thể viết:

b c b

a a c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ.

Ví dụ 21:

a) 00 0

2 2t 1 t 1 t 11 t t

dx dxlim lim arcsin x lim arcsin t .

21 x 1 x


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 67

t1 t

2 2t 1 t 1 t 10 0 0

dx dxlim lim arcsin x lim arcsin t

21 x 1 x

.

1 0 1

2 2 21 1 0

dx dx dx

1 x 1 x 1 x

.

b) Xét sự hội tụ của tích phân 1

0

dxI

x .

Điểm bất thường của hàm số là x 0 .

Với mọi t 0,1 , ta có:

11

t

1 t khi 1

I(t) x dx 1ln t khi 1

Với 1 1

t 0

1 t 1I lim

1 1

.

Với 1 : 1

t 0

1 tI lim

1

.

Với 1 : t 0

I lim( ln t)

.

Vậy tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khi 1 , phân kỳ khi và chỉ khi 1.


68 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

TÓM LƯỢC CUỐI BÀI

Trong bài này chúng ta nghiên cứu các vấn đề sau:

Nguyên hàm của một hàm số.

Tích phân xác định của hàm số trên một đoạn.

Tích phân bất định của một hàm số.

Tích phân suy rộng cận vô hạn và của hàm không bị chặn.

Bài này nghiên cứu các định nghĩa, tính chất, phương pháp tính cơ bản của tích phân xác định và tích phân xác định, sự hội tụ của tích phân suy rộng.

Khi học, học viên cần nắm vững các khái niệm, các phương pháp tính tích phân, vận dụng thành thạo và linh hoạt các phương pháp đó trong tính tích phân và khảo sát tích phân suy rộng.


MAT101_Bài 3_v1.0013101225 69

CÂU HỎI ÔN TẬP

Hãy nêu công thức xác định hàm cận trên. Từ đó hãy chứng minh công thức Newton – Leibnitz.

Trình bày nội dung định lý đổi biến số đối với tích phân xác định. Ta có thể sử dụng phép đổi

biến 1

xt

để tính 1

21

dx

1 x được không?


70 MAT101_Bài 3_v2.3013101225

BÀI TẬP

1. Sử dụng phương pháp khai triển và biến đổi vi phân, tính các tích phân sau

a) 2

2

x 3dx

x 1

b) 2tg xdx

c) x 1 x 1

x

2 5dx

10

d)

2

3 5/ 2

x dx

(x 2)

e) x x

dx

e e f) 3

sin xdx

cos x .

2. Sử dụng phương pháp đổi biến và tích phân từng phần, tính các tích phân sau

a) ln xdx

x 1 ln x b) 3

2

sin x cos xdx

1 cos x

c) 21 x dx d) x ln(1 x)dx

e) xe sin 2xdx f) 2x arctg xdx .

3. Tính các tích phân sau

a) 1

0

4x 3dx

(2x 1)(x 5)

b)

1

21

x 1dx

x x 1

c) / 2

4 5

0

sin x cos xdx

d) / 2

/ 2

sin x sin 2x sin 3xdx

.

4. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau

a) 2

2

dx

x 2x 3

b) 1

0

ln xdx

c) 0

3

dx

x x d)

2

0

dx

(3 x) 2 x .

BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN - eldata11.topica.edu.vneldata11.topica.edu.vn/HocLieu/MAT101/Giao...

Documents

Transcript of BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN - eldata11.topica.edu.vneldata11.topica.edu.vn/HocLieu/MAT101/Giao...