Bahan ajar kalkulus
Click here to load reader
-
Upload
lukmanulhakim-almamalik -
Category
Documents
-
view
186 -
download
35
Transcript of Bahan ajar kalkulus
Bahan Ajar
Mata Kuliah
KALKULUS
Politeknik PIKSI Ganesha Bandung
2011
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim, Assalamu’alaikum warahmatullah wabarakatuh.
Segala puji hanya bagi Allah subhanahu wata’ala yang telah memberikan kenikmatan Iman dan Islam serta kesehatan jasmani, sehingga atas segala karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan modul mata kuliah kalkulus ini.
Penulis menyadari penyusunan modul mata kuliah kalkulus ini dapat terwujud atas bimbingan, arahan, dan bantuan berbagai pihak yang telah memberikan masukan yang berharga bagi penulis. Untuk itu pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada : 1. Bapak Drs. K. Prihartono AH., S.Sos.,MM. selaku direktur Politeknik Piksi
Ganesha 2. Kepada team dosen mata kuliah kalkulus, terima kasih atas masukan dan
motivasi yang diberikan kepada penulis. 3. Seluruh Staf Politeknik Piksi Ganesha, dan 4. Mahasiswa/i Politeknik Piksi Ganesha Jurusan MIF dan TIK, terima kasih
untuk saran dan kritik sehingga penulis dapat menyelesaikan tulisan ini. Modul mata kuliah kalkulus itu berisi tentang materi sistem bilangan, sistem
koordinat, fungsi dan grafik, limit dan kekontinuan, turunan dan penggunasnnya, integral dan penggunaannya serta deret bilangan dan jumlah. Penulis menyadari banyak sekali kekurangan dalam modul ini untuk itu dibutuhkan dukungan dari semua pihak untuk penyempurnaanya.
Penulis berharap agar modul mata kuliah kalkulus ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa/i dalam membantu proses pembelajaran. Wassalamu’alaikum warahmatullah wabarakatuh.
Bandung, 29 Maret 2011
Penulis
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................. 1 DAFTAR ISI ............................................................................................................. 2 DAFTAR GAMBAR ................................................................................................ 5 DESKRIPSI MATA KULIAH ................................................................................ 6 TUJUAN KOMPETENSI UMUM ......................................................................... 6 TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS ...................................................................... 6 BAB 1 SISTEM BILANGAN .................................................................................. 7 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS ................................................................... 7 B. URAIAN MATERI .............................................................................................. 7
B.1 SISTEM BILANGAN REAL ................................................................... 7 B.2 SIFAT – SIFAT BILANGAN REAL ....................................................... 8 B.3 PANGKAT DAN AKAR KUADRAT ................................................... 8 B.4 PERSAMAAN .......................................................................................... 9 B.5 PERTIDAKSAMAAN ............................................................................. 10 1.5.1 SELANG (INTERVAL) .................................................................. 10 B.6 NILAI MUTLAK ...................................................................................... 11
1.6.1 SIFAT – SIFAT NILAI MUTLAK ................................................. 12 C. RANGKUMAN ................................................................................................ 14 D. TUGAS BAB 1 .................................................................................................. 14 E. DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 14 BAB II SISTEM KOORDINAT .............................................................................. 15 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS .............................................................. 15 B. URAIAN MATERI .......................................................................................... 15
2.1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS .................................................... 15 2.2 KEMIRINGAN GARIS/GRADIEN ...................................................... 16
C. RANGKUMAN ................................................................................................ 20 D. TUGAS BAB 2 .................................................................................................. 20 E. DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 20 BAB III FUNGSI DAN GRAFIKNYA .................................................................. 21 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS .............................................................. 21 B. URAIAN MATERI .......................................................................................... 21
3.1 FUNGSI REAL .......................................................................................... 21 3.2 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI ..................................................... 22 3.3 FUNGSI LINIER ....................................................................................... 23 3.4 FUNGSI KUADRAT ................................................................................ 24 3.5 FUNGSI DENGAN HARGA MUTLAK ............................................... 25 3.6 FUNGSI INVERS...................................................................................... 26 3.7 OPERASI FUNGSI .................................................................................... 26 3.8 FUNGSI KOMPOSISI .............................................................................. 27
C. RANGKUMAN ................................................................................................ 28 D. TUGAS BAB 3 .................................................................................................. 29
2
E. DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 29 BAB IV FUNGSI DAN LIMIT ............................................................................... 30 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………... 30 B. URAIAN MATERI…………………………………………………………... 30 4.1 PENDAHULUAN LIMIT……………………………………………... 30
4.2 TEOREMA LIMIT……………………………………………………… 31 4.3 LIMIT SATU SISI (LIMIT SEPIHAK)………………………………… 34
C. RANGKUMAN……………………………………………………………… 36 D. TUGAS BAB 4……………………………………………………………….. 36 E. DAFTAR PUSTAKA………………………………………………...……... 36 BAB V KONTINUITAS FUNGSI………………………………………………. 37 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………. 37 B. URAIAN MATERI………………………………………………………….. 37
5.1 KONTINUITAS FUNGSI……………………………………………… 37 C. RANGKUMAN…………………………………………………………….. 39 D. TUGAS BAB 5………………………………………………………………. 40 E. DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………….. 40 BAB VI TRIGONOMETRI……………………………………………………… 41 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS……………………………………….... 41 B. URAIAN MATERI………………………………………………………….. . 41
6.1 FUNGSI TRIGONOMETRI…………………………………………..... 41 6.2 ATURAN KUADRAN SINUS, KOSINUS, TANGEN......................... 42 6.3 GRAFIK SINUS, KOSINUS, DAN TANGEN………………………… 42 6.4 EMPAT FUNGSI TRIGONOMETRI LAINNYA.................................. 44 6.5 KESAMAAN TRIGONOMETRI........................................................... 44
C. RANGKUMAN……………………………………………………………… 45 D. TUGAS BAB 6………………………………………………………………. 46 E. DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………….. 46 BAB VII TURUNAN…………………………………………………………..... 47 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………. 47 B. URAIAN MATERI…………………………………………………………. 47
7.1 KECEPATAN DAN PERCEPATAN………………………………. 49 C. RANGKUMAN…………………………………………………………….. 50 D. TUGAS BAB 7………………………………………………………………. 50 E. DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………….. 50 BAB VIII PENGGUNAAN TURUNAN………………………………………. 51 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………. 51 B. URAIAN MATERI…………………………………………………………. 51
8.1 MAKSIMUM DAN MINIMUM…………………………………...... 51 8.2 KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN FUNGSI NAIK / TURUN
/KONSTAN PADA SELANG INTERVAL……………………..... 54 8.3 TURUNAN KEDUA DAN KECEKUNGAN……………................ 55
C. RANGKUMAN……………………………………………………..…….... 56 D. TUGAS BAB 8………………………………………………………………. 57 E. DAFTAR PUSTAKA………………………………………………..…….... 57 BAB IX INTEGRAL............................................................................................... 58
3
A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS……………………………….………. 58 B. URAIAN MATERI…………………………………………………………. 58
9.1 INTEGRAL TENTU............................................................................. 60 C. RANGKUMAN…………………………………………………………...... 61 D. TUGAS BAB 9………………………………………………………………. 61 E. DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………….. 61 BAB X PENGGUNAAN INTEGRAL................................................................. 62 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………. 62 B. URAIAN MATERI………………………………………………………….. 62 10.1 LUAS DAERAH BIDANG RATA....................................................... 62 C. RANGKUMAN……………………………………………………………... 65 D. TUGAS BAB 10……………………………………………………………… 65 E. DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………... 65 BAB XI DERET BILANGAN DAN JUMLAH..................................................... 66 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………... 66 B. URAIAN MATERI………………………………………………………….. 66 C. RANGKUMAN…………………………………………………………….... 71 D. TUGAS BAB 11……………………………………………………………… 72 E. DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………... 72
4
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman 1.1 Skema Bilangan 7 2.1 Titik-titik A, B, dan P dalam koordinat Cartesius 15 2.2 Titik – titik P, Q dan R dalam koordinat cartesius 15 2.3 Kemiringan garis AB dalam koordinat cartesius 16 2.4 Persamaan garis sejajar 17 2.5 Dua buah garis yang saling tegak lurus 18 3.1 Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 – 2 23 3.2 Sketsa grafik fungsi f(x) = x3 – 2x 23 3.3 Persamaan garis y = x – 2 24 3.4 Persamaan garis y = x2 – 4 25 3.5
Persamaan y x 25
3.6 Persamaan 2 4y x
26
5.1 Grafik untuk menjelaskan kontinuitas fungsi f(x) 37
5
A. Deskripsi Mata Kuliah Mata kuliah ini bermaksud untuk memperkenalkan ilmu – ilmu dasar kalkulus yang umum digunakan dalam bidang ilmu informatika. Materi-materi pokok yang akan dibahas dalam mata kuliah ini antara lain meliputi: sistem bilangan, persamaan garis dan grafiknya, fungsi dan limit, kontinuitas fungsi, fungsi trigonometri, turunan dan aplikasinya, teknik pengintegralan dan aplikasinya, deret bilangan dan jumlah.
B. Tujuan Kompetensi Umum
Setelah mengikuti perkuliahan, mahasiswa diharapkan akan dapat: 1) menjelaskan manfaat dan ruang lingkup ilmu dasar kalkulus, 2) memilih dan menggunakan teknik-teknik perhitungan untuk memecahkan permasalahan perhitungan di lingkungan kerjanya masing-masing. 3) menggunakan ilmu kalkulus untuk melatih logika yang menunjang bidang ilmu informatika
C. Tujuan Kompetensi Khusus
Setelah mahasiswa mengikuti perkuliahan ini diharapkan mampu: 1. Mengenal jenis-jenis bilangan 2. Mengerti tentang garis lurus dan grafik persamaan. 3. Memahami arti fungsi, relasi dan grafik fungsi 4. Memahami tentang operasi fungsi dan limit 5. Memahami arti kontinu dan diskontinu pada fungsi 6. Memahami tentang fungsi dan grafik pada trigonometri. 7. Memahami konsep dasar turunan dan penggunaannya pada bidang
ekonomi. 8. Memahami konsep dasar integral dan penggunaannya. 9. Memahami cara menghitung suatu deret bilangan dan penulisan jumlah
dan sigma.
6
BAB I SISTEM BILANGAN
A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS
Pada materi sistem bilangan ini mahasiswa diharapkan mampu mengenal jenis-jenis bilangan dan penggunaanya, mahasiswa juga mampu menyelesaikan berbagai persoalan persamaan dan pertidaksamaan, lalu juga mengerti tentang sifat-sifat harga mutlak.
B. URAIAN MATERI 1.1 Sistem Bilangan Real
Skema Bilangan Himpunan Bilangan Riil merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut:
Gambar 1.1 Skema bilangan
Bilangan dapat dikelompokan atas 1. Bilangan Asli : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . 2. Bilangan Cacah : 0 , 1 , 2 , 3 , 4, 5 , . . . 3. Bilangan Prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . Bilangan Prima yaitu bilangan yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. 4. Bilangan Bulat : . . ., -3, -2, -1, 0 , 1 , 2 , 3 , . . . 5. Bilangan Real R yang terdiri atas Bilangan Rasional dan Bilangan
Irrasional a. Bilangan Rasional
� Disajikan dalam bentuk b
a , dimana b tidak sama dengan 0 (ditulis b
≠ 0), dengan a dan b bilangan bulat. � Apabila disajikan dalam bilangan desimal, yaitu bilangan yang
disajikan dengan menggunakan tanda koma (,) apabila nilainya
7
antara 0 dengan 1, maka pada desimalnya (bilangan di sebelah kanan tanda koma) terjadi pengulangan bilangan atau “terhenti” pada 0. Contoh 1.1
a. 5714...,0,285714287
2
b. 1,333...3
4 ,
c. 3.¼ = 0,250.. .
b. Bilangan Irrasional - Merupakan kawan (komplemen) dari bilangan rasional. - Apabila disajikan dalam bilangan desimal, maka pada desimalnya
tidak akan terjadi pengulangan. Contoh 1.2
a. = 3,141592654…, yang biasanya diidentikan dengan 7
22
b. bilangan eksponensial, yaitu e = 2,7182818…
c. bilangan akar yang tidak dapat dirasionalkan, seperti 2 , 5 , dan sejenisnya.
6. Bilangan Kompleks, yaitu bilangan yang disajikan dalam bentuk a + ib
dengan a dan b bilangan real, i= 1 , i yang dinamakan bilangan imaginer. Pada bagian ini a dinamakan bagian real dan b bagian imaginer.
1.2 Sifat – sifat Bilangan Riil
1. Tertutup a + (b x c) 2. Komutatif a + b = b + a 3. Assosiatif
a. Penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c) b. Perkalian ( a . b ) . c = a . ( b . c )
4. Distributif (a + b) . c = ac + ab
1.3 Pangkat dan Akar Kuadrat Setiap bilangan positif mempunyai dua akar akar kuadrat, misalnya 4
adalah 2 dan -2, dan 16 adalah 4 dan -4 Untuk 0a , lambang a disebut akar kuadrat utama dari a, yang
menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a
. . . ..... maka dapat ditulis n
n
x a a a a a x a
atau a x
8
1.4 Persamaan a. Persamaan Linear
Bentuk umum: ax + b = 0 dengan a ≠ 0 dan b bilangan real, dan x adalah variabel.
Jawab : dari persamaan ax + b = 0 adalah a
bx
contoh 1.3 : selesaikan persamaan 4 0x Jawab :
4 0
4
x
x
Jadi 4x
b. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0 dengan a, b dan c bilangan real, dan x adalah variabel. Penyelesaian Persamaan Kuadrat � Dengan Memfaktorkan � Dengan Rumus
Jika x1 dan x2 merupakan jawab persamaan kuadrat, maka rumus untuk mencari akar-akarnya adalah
2a
4acbb-x
2
1,2
Diskriminan D = b2 – 4ac , untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Kemungkinan-kemungkinan diskriminan: (1) D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua jawab yang
berlainan. (2) D = 0, maka persamaan memiliki satu jawab bilangan real, (3) D < 0, maka persamaan memiliki jawab bilangan kompleks.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0, maka berlaku sifat:
x1 + x2 = a
b dan x1 . x2 =
a
c
contoh 1.4 : selesaikan persamaan 2 6 16 0y y
Jawab :
2 6 16 0
2 8 0
2 0 8 0
2 8
y y
y y
y y
y y
Jadi 2 dan 8y y
9
1.5 Pertidaksamaan � Bentuk umum pertaksamaan adalah :
A x C x
B x D x
� dengan A (x), B (x), C (x), dan D (x) : suku banyak. (tanda < dapat diganti oleh >, ≥, ≤) � Himpunan semua bilangan riil x yang memenuhi pertaksamaan disebut
dengan Himpunan Penyelesaian (Hp) pertaksamaan (berupa selang).
1.5.1 Selang (Interval) Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan ba . Berturut-turut didefinisikan:
Penulisan Himpunan Penulisan Selang Grafik bxax [a,b] [ ]
a b bxax (a,b) ( )
a b bxax [a,b) [ )
a b bxax (a,b] ( ]
a b axx [a,∞) [
a axx (a, ∞) (
a axx (-∞,a] ]
a axx (-∞,a) )
a
Contoh 1.5 Selesaikanlah pertidaksamaan 2 7 4 2x x dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya. jawab :
2 7 4 2
2 4 5 (tambahkan 7)
2 5 (tambahkan -4x)
5 1(kalikan dengan - )
2 2
x x
x x
x
x
Jadi HP =
5 5, :
2 2x x
10
Contoh 1.6
Selesaikanlah pertidaksamaan 23 2 0x x dan perlihatkan grafik
himpunan penyelesaiannya. Jawab :
23 2 1 3 2
1 0 3 2 0
1 3 2
2
3
x x x x
x x
x x
x
jadi kita mempunyai titik pemecahan di -2/3 dan 1 maka HP = 2, 1,
3
Contoh 1.7
Selesaikanlah pertidaksamaan 2 5
12
x
x
dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya. Jawab :
2 51
22 5 22 5
1 0 02 23
02
x
xx xx
x xx
x
Mempunyai titik pemecahan di 2 dan 3 maka Hp = 2,3
contoh 1.8
selesaikan pertidaksamaan 2
1xx dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya. jawab :
2
21 0
1 220 0
xx
x xx x
x x
mempunyai titik pemecahan : x = 1, x = -2, dan x = 0 maka Hp = , 2 0,1
1.6 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, nilai mutlak suatu bilangan riil x, dinyatakan oleh x , didefinisikan sebagai berikut :
, jika 0
, jika 0
x x x
x x x
11
2
2 2
2 2
x x
x x
x y x y
1.6.1 Sifat-sifat Nilai Mutlak
1. 0
2.
3. , jika , dimana 0
4. , jika , atau
5. .
6. , 0
7.
8.
a
a a
a b b a b b
a b a b a b
a b a b
aab
b b
a b a b
a b a b
Hal penting yang perlu diingat bahwa : Contoh 1.8 : a. 2 =2, karena 2 0
b. 2 = - ( -2) = 2, karena 2 0
Contoh 1.9 : Selesaikan pertidaksamaan 3 5 1x dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya. jawab :
3 5 1 atau 3 5 1
3 4 atau 3 6
4atau 2
3
x x
x x
x x
maka Hp : 4, 2,3
Contoh 1.10 :
Selesaikan pertidaksamaan 3 5x dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya. jawab :
5 3 5
5 3 5 3
8 2
x
x
x
maka Hp : : 8 2x x
12
Contoh 1.11 : Selesaikan pertidaksamaan 3 1 2 6x x dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya. jawab :
2 2
2 2
2
3 1 2 6 3 1 2 12
3 1 2 12
9 6 1 4 48 144
5 54 143
5 11 13
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
titik – titik pemecahannya yaitu -13 dan 11/5 Maka Hp : 11
13,5
Contoh 1.12 :
Tentukan semua nilai x sehingga 32x
2x
.
Jawab :
3
2x
2xdan3
2x
2x
32x
2x33
2x
2x
Selanjutnya, karena:
2xatau5
6x
02x
65x
032x
2x3
2x
2x(i).
atau
6xatau2x
02x
6x
032x
2x3
2x
2x(ii).
maka, diperoleh: 6xatau5
6x .
Contoh 1.13
Tentukan penyelesaian 32x
2x
.
Jawab :
2x6,x5
6
2x0,6x65x
2x0,3636x5x
2x,44xx94x
02x,2x32x32x
2x
2
22
Jadi, penyelesaian adalah 2,6,25
6
.
13
C. RANGKUMAN Sifat – sifat Bilangan Riil
1. Tertutup a + (b x c) 2. Komutatif a + b = b + a 3. Assosiatif
a. Penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c) b. Perkalian ( a . b ) . c = a . ( b . c )
4. Distributif (a + b) . c = ac + ab Sifat-sifat Nilai Mutlak
1. 0
2.
3. , jika , dimana 0
4. , jika , atau
5. .
6. , 0
7.
8.
a
a a
a b b a b b
a b a b a b
a b a b
aab
b b
a b a b
a b a b
D. TUGAS BAB 1 1. Nyatakanlah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan dalam
cara penulisan selang dan sketsakan grafiknya.
2
1. 2 16 25
2. 6 2 3 1
3. 2 7 15 0
2 34. 0
13
5. 25
x x
x
x x
x
x
x
2
3
6. x 5x 14 0
7. x 2x 1 0
x 48. 3x
2x 13 2
9. x x 12x
10. xx 5
.
2. Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan !
1. 43x 4. 523x 7. 73x21
2. 2x
1 5. 3
x
2 8. 2
x
1x
3. 21x
12x
6. 3x2x 9. 2x1x
14
BAB II SISTEM KOORDINAT
A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS Pada materi sistem koordinat ini mahasiswa diharapkan mampu mengenal sistem koordinat cartesius, memahami konsep jarak menggunakan teorema phytagoras, mengetahui konsep kemiringan garis/gradien pada garis sejajar dan tegak lurus.
B. URAIAN MATERI 2.1 SISTEM KOORDINAT CARTESIUS
Sistem koordinat cartesius terdiri dari 2 garis lurus, satu garis mendatar (horisontal) dan garis yang lain tegak (vertikal).
Garis mendatar ini disebut sumbu-x, sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y.
Contoh 2.1 Koordinat titik A adalah (-1,4), titik B adalah (3,-1) dan titik P adalah (5,2).
Gambar 2.1 Titik-titik A, B, dan P dalam koordinat Cartesius
Lihat gambar di bawah ini :
Gambar 2. 2 titik – titik P, Q dan R dalam koordinat cartesius
)2,5(P
)4,1(A
)1,3( B
15
Lihat gambar diatas, pandang dua titik P dan Q sembarang, masing – masing dengan koordinat (x1, y1) dan (x2, y2) bersama dengan R – titik dengan koordinat – koordinat (x2, y1) – P dan Q adalah titik – titik sudut sebuah
segitiga siku – siku (gambar 3.1). Panjang PR dan RQ masing – masing 2 1x x
dan 2 1y y . Jika teorema Pythagoras diterapkan maka akan diperoleh
ungkapan untuk mendefinisikan jarak antara P dan Q.
Jarak 2 2
2 1 2 1,d P Q x x y y
Contoh 2.1 : Carilah jarak antara
a. P (-2, 3) dan Q (4, -1)
b. 2, 3P dan ,Q
Jawab :
a. 2 2, 4 2 1 3 36 16 52d P Q
b. 2 2
, 2 3 4.971 2.23d P Q
2.2 KEMIRINGAN GARIS/GRADIEN
Gambar 2.3 kemiringan garis AB dalam koordinat cartesius
Kemiringan (m) adalah ukuran kecuraman suatu garis, seperti terlihat pada gambar 2.3 diatas maka kita dapat mendefinisikan bahwa kemiringan (m) AB adalah :
2 1
2 1
y ym
x x
16
a. Bentuk Kemiringan Titik Garis yang melalui titik (tetap) (x1, y1) dengan kemiringan m mempunyai persamaan :
1 1y y m x x Contoh 2.2: Cari persamaan garis yang melalui (-4, 2) dan (6, -1) Jawab:
Kemiringan m adalah : 2 1
2 1
1 2 3
6 4 10
y ym
x x
Sehingga dengan menggunakan titik (-4, 2) sebagai titik tetap, maka didapatkan persamaan :
1 1
32 4
10
y y m x x
y x
b. Bentuk Ax + By + C = 0
Akan sangat menarik untuk mempunyai suatu bentuk yang meliput semua garis, termasuk garis – garis tegak.
Contoh 2.3: 2 4 2y x Bentuk ini dapat ditulis : 4 6 0x y
c. Garis – Garis Sejajar
Jika dua garis mempunyai kemiringan sama, maka keduanya sejajar. Jadi 2 2y x dan 2 5y x merupakan garis – garis sejajar; keduanya
mempunyai kemiringan 2, garis yang kedua adalah 3 satuan di atas yang pertama untuk setiap nilai x, seperti terlihat dibawah ini :
Gambar 2.4 persamaan garis sejajar
Untuk kemiringan garis sejajar nilai 1 2m m
17
Contoh 2.4: Carilah persamaan garis yang melalui (6, 8) yang sejajar dengan garis yang mempunyai persamaan 3x – 5y = 11
Jawab : Persamaan 3x – 5y = 11 dapat pula diubah bentuk menjadi :
5 3 11
3 11
5 5
y x
y x
Dari persamaan diatas terlihat bahwa kemiringan garis adalah 3
5,
persamaan garis yang diinginkan adalah :
1 1
38 6 3 5 22 0
5
y y m x x
y x x y
d. Garis – Garis Tegak Lurus
Gambar 2.5 dua buah garis yang saling tegak lurus
Andaikan 1 1 1,P x y suatu titik pada l1 dan 2 2 2,P x y titik pada l2, seperti
diperlihatkan pada gambar 3.4. menurut teorema pythagoras 1 2P OP merupakan sudut siku-siku jika dan hanya jika :
2 2 2
1 2 1 2, , ,d P O d P O d P P
2 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2x y x y x x y y
Setelah penguraian dan penyederhanaan, persamaan ini menjadi
1 2 1 22 2 0x x y y atau 1 2
1 2
y x
x y
18
1
1
y
x adalah kemiringan untuk l1 , sedangkan 2
2
y
x kemiringan untuk l2.
sehingga 1 2P OP adalah sudut siku-siku jika dan hanya jika kemiringan – kemiringan dua garis tersebut berbanding terbalik satu sama lain.
Untuk persamaan garis yang saling tegak lurus nilai kemiringan adalah :
1 2 1
2
1. 1m m atau m
m
Contoh 2.5:
Carilah persamaan garis yang melalui titik potong garis – garis dengan persamaan 3 4 8 6 10 7x y dan x y , yang tegak lurus garis pertama.
Jawab : Untuk mencari titik potong (x, y) maka gunakan metode eliminasi :
3 4 8 2 6 8 16
6 10 7 1 6 10 7
18 9
1
2
x y x x y
x y x x y
y
y
Lalu substitusikan nilai 1
2y ke salah satu persamaan :
3 4 8
13 4 8
2
2
x y
x
x
Jadi titik potongnya di (2, 1/2 ) Persamaan garis pertama yaitu 3 4 8x y , dapat diubah bentuk menjadi :
34 3 8 8
4y x y x
Dari persamaan diatas didapatkan bahwa 1
3
4m
Maka kemiringan yang tegak lurus garis pertama adalah :
1 2
2 2
. 1
3 4. 1
4 3
m m
m m
Persamaan garis yang diinginkan adalah :
1 1
1 4 4 8 12
2 3 3 3 2
y y m x x
y x y x
Atau bisa ditulis : 8 6 13 0x y
19
C. RANGKUMAN
Rumus jarak antara P dan Q.
Jarak 2 2
2 1 2 1,d P Q x x y y
Kemiringan (m) adalah ukuran kecuraman suatu garis, seperti terlihat pada gambar 2.3 diatas maka kita dapat mendefinisikan bahwa kemiringan (m) AB adalah :
2 1
2 1
y ym
x x
Untuk persamaan garis yang saling tegak lurus nilai kemiringan adalah :
1 2 1
2
1. 1m m atau m
m
D. TUGAS BAB 2
A. Gambarkan titik-titik berikut pada bidang koordinat dan kemudian carilah jarak titik-titik tersebut. 1. (2,-1) , (5,3) 2. (4,2),(2,4) 3. (-2,1), (7,13)
B. Cari kemiringan dari garis yang mengandung dua titik yang diberikan lalu tuliskan persamaan garis dari soal C ke dalam bentuk Ax + By + C = 0 1. (2,3) dan (4,8) 2. (-4,2) dan (8,2) 3. (-6,0) dan (0,6)
C. Tulislkan persamaan garis melalui (3,-3) yang: 1. Sejajar garis y = 2x +5 2. Tegak lurus garis y = 2x + 5 3. Sejajar garis 2x + 3y = 6 4. Tegak lurus garis 2x + 3y =6 5. Sejajar garis x = 8 6. Tegak lurus garis x = 8
20
2 1F x x
BAB III FUNGSI DAN GRAFIKNYA
A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS
Pada materi fungsi dan grafiknya ini mahasiswa diharapkan mampu mengenal jenis-jenis fungsi dan penggunaanya, mengetahui tentang daerah asal dan daerah hasil, mampu menyelesaikan berbagai persoalan berbagai jenis fungsi, mampu menggambar grafik fungsi.
B. URAIAN MATERI 3.1 FUNGSI RIIL
Daerah asal Daerah hasil sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain function/Df), dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah nilai (range function/Rf) fungsi tersebut. misalnya, jika F adalah fungsi dengan aturan 2 1F x x dan jika
daerah asal dirinci 1,0,1,2,3 maka daerah nilainya adalah 1,2,5,10
4 10
2 5
1 2
0 1
-1 Contoh 3.1 : Cari daerah asal alamiah untuk :
a. 1
3f x
x
Jawab : daerah asal alamiah untuk f adalah : 3x R x , x tidak
boleh sama dengan 3 untuk menghindari pembagian 0, karena pembagian dengan 0 akan akan bernilai tak hingga.
•
•
•
•
•
21
b. 29g t t
jawab :
2
2
9 0
9
9 3
t
t
t t
Sehingga daerah asal yang didapat : 3 3,3t R t atau
c. 3 2 4y x x
jawab :
3 2 4
3 0 2 4 0
3 2 4
3 2
x x
x atau x
x x
x x
Sehingga daerah asal yang didapat : 2 3fD x x
Contoh 3.2 : Untuk 2 2f x x x , cari nilai f(4), f(2-h), [f(2-h)-f(4)]
Jawab :
2
2
2
2
2
4 4 2.4 8
2 2 2 2
4 4 4 2
2
2 4 2 8
f
f h h h
h h h
h h
f h f h h
3.2 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI Bila daerah asal dan daerah nilai sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi tersebut dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat.
Contoh 3.3 Buatlah sketsa grafik fungsi f a. f(x) = x2 – 2 b. f(x) = x3 – 2x
Penyelesaian: Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 – 2 dapat dilihat pada gambar 3.1 dan sketsa grafik fungsi f(x) = x3 – 2x dapat dilihat pada gambar 3.2.
22
Gambar 3.1 Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 – 2
Gambar 3.2 Sketsa grafik fungsi f(x) = x3 – 2x
Atau bisa dilihat pada tabel berikut ini :
Fungsi Daerah Asal Daerah Nilai
2 2f x x R : 2y R y
3 2g x x x R R
3.3 FUNGSI LINIER
Bentuk Umum y=ax+b Dimana : x = variabel bebas y = variabel tak bebas a dan b = konstanta dan a ≠ 0
x f(x) -3 7 -2 2 -1 -1 0 -2 1 -1 2 2 3 7
X f(x) -3 -21 -2 -4 -1 1 0 0 1 -1 2 4 3 21
23
Contoh 3.4 : Buat grafik y = x – 2
Jawab :
X y = x - 2 0 -2 1 -1 2 0
Gambar 3.3 persamaan garis y = x - 2
3.4 FUNGSI KUADRAT
Bentuk Umum 2y ax bx c
Dimana : x = variabel bebas y = variabel tak bebas a, b dan c = konstanta dan a ≠ 0 LANGKAH MENGGAMBAR a > 0 kurva (terbuka ke atas)
a < 0 kurva (terbuka ke bawah) Cari nilai D = b2 – 4ac
1. Untuk D < 0 tidak memotong sumbu x 2. Untuk D = 0 memotong sumbu x di satu titik 3. Untuk D > 0 memotong sumbu x di dua titik
Cari titik potong sumbu x y = 0 sumbu y x = 0
Cari titik puncak ,2 4
b DP
a a
Contoh 3.5 : Buat grafik 2 4y x Jawab :
a > 0 kurva (terbuka ke atas) D = b2 – 4ac
D = 0 – 4 (1)(-4) = 16 > 0 (artinya D > 0, memotong sumbu x di dua titik) Mencari titik potong (x,y)
Untuk y = 0 untuk x = 0 0 = x2 – 4 y = x2 – 4 -x2 = - 4 y = 0 – 4 x = ± 2 y = -4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
y
x
24
Mencari titik puncak
0 16, , 0, 4
2 4 2 4
b DP
a a
-5
-4
-3
-2
-1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
Gambar 3.4 persamaan garis y = x2 – 4
3.5 FUNGSI DENGAN HARGA MUTLAK Menggambar grafik fungsi dengan harga mutlak harus diatas sumbu x Untuk menggambar fungsi yang mengandung harga mutlak, adalah
sebagai berikut : , jika 0
, jika 0
x x x
x x x
Contoh 3.6 : 1. Gambar grafik dari y x
Jawab :
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
Gambar 3.5 persamaan y x
X < 0 Y = - x (x , y) - 1 - 2
1 2
( - 1, 1 ) ( -2, 2 )
X ≥ 0 y = x ( x, y )
0 1 2
0 1 2
( 0, 0 ) ( 1, 1 ) ( 2, 2 )
25
2. Gambar grafik dari 2 4y x
Jawab : -2x + 4 bila 2x – 4 < 0 2x < 4 2 4y x x < 2
2x – 4 bila 2x – 4 ≥ 0
2x ≥ 4 x ≥ 2
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
x
y
Gambar 3.6 persamaan 2 4y x
3.6 FUNGSI INVERS
Invers artinya kebalikan f-1(x) , dibawah ini adalah contoh untuk fungsi invers :
Contoh 3.7 :
1
2 4
2 4
42
2 2
22
f x y x
x y
y yx
xf x
3.7 OPERASI FUNGSI Fungsi bukanlah bilangan, tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b, dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g. Operasi pada fungsi meliputi jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat.
Contoh 3.8 :
3
52
xf x dan g x x
X < 2 y = - 2x + 4 (x , y) 1 0
2 4
( 1, 2 ) ( 0, 4 )
X ≥ 2 y = 2x – 4 ( x, y )
2 3 4
0 2 4
( 2, 0 ) ( 3, 2 ) ( 4, 4 )
26
Jawab :
2 2
22
3. 5
23
. 52
3. . . . 5
2
3.
2 5
3 6 9.
2 4
xa f g x f x g x x
xb f g x f x g x x
xc f g x f x g x x
f xf xd x
g g x x
x x xe f x f x
3.8 FUNGSI KOMPOSISI Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x). Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f, atau dituliskan sebagai berikut : g f x g f x
Contoh 3.9 : 1. 2 1f x x dan g x x , maka ?f g x dan g f x
Jawab :
2
2
2 2 2
1
1
1 1 1 1
f g x f g x g f x g f x
f x g x
f x x g x x
f x x g x x x
Dari jawaban diatas terlihat bahwa nilai f g x g f x
2. Andaikan 2
63
9
xf x x dan g x
x
, cari nilai
dan daerah asalnya, 5f g x dan f g Jawab :
27
2
2 2 2
6
9
3
6 18 183
9 9 9
f g x f g x
xf
x
f x x
x x xf g x
x x x
Syarat daerah asal :
2
2
9 0
9
x
x
x
Jadi daerah asal alamiahnya : , 3 3,fD
2
2
18
9
18 5 905
45 9
xf g x
x
f g
C. RANGKUMAN
Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain function/Df), dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah nilai (range function/Rf) fungsi tersebut. Fungsi bukanlah bilangan, tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b, dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g. Operasi pada fungsi meliputi jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat. Fungsi komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f, atau dituliskan sebagai
berikut : g f x g f x ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x). Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f.
28
D. TUGAS BAB 3 1. Untuk f(x) = x2 – 1, hitunglah :
a. f(1) b. f(1/x) c. f(0) d. f(3x) e. f(-6) f. f(1/2) g. f(2t) h. f(t2) i. f(k) j. f(k-1)
2. Untuk f(x) = )1(x
x
dan g(x) = x1 carilah :
a. (f+g)(2) b. (g/f) (3) c. (f o g)(x) d. (g o f)(x) e. (g o f)(0) f. (f . g)(x)
3. Carilah daerah asal dari : 2 14
xy x x dan y
x
4. Buatlah sketsa grafik dari fungsi harga mutlak : 2 9 6 3y x dan y x
29
BAB IV FUNGSI DAN LIMIT
A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS
Pada materi fungsi dan limit ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang teorema limit, limit sepihak yang meliputi limit kanan dan limit kiri, dan mahasiswa juga mampu menyelesaikan berbagai macam persoalan limit fungsi.
B. URAIAN MATERI
4.1 PENDAHULUAN LIMIT Untuk sebuah fungsi y = f(x), bagaimana perilaku dari f(x) jika x mendekati
c, akan tetapi x tidak sama dengan c (x≠c).
Contoh, kita ambil fungsi f(x)= x+1 dan g(x) = 1x
1x2
dan akan kita cari
berapa nilai fungsinya jika nilai x mendekati (atau menuju) 1. Untuk itu kita buat tabel nilai f(x) dan g(x) untuk berbagai nilai x sebagai berikut.
x f(x) = x+1 x g(x) = 1x
1x 2
0.9 1.9 0.9 1.9 0.95 1.95 0.95 1.95 0.99 1.99 0.99 1.99 0.999
1
1.999 ?
0.999 1
1.999 ?
1.001 2.001 1.001 2.001 1.01 2.01 1.01 2.01 1.1 2.1 1.1 2.1
Dari kedua tabel di atas terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x
mendekati 1 dan nilai g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1. Dapat dikatakan bahwa “limit dari f(x) adalah 2 jika x mendekati 1 “ dan “
limit dari g(x) adalah 2 jika x mendekati 1”, masing-masing ditulis:
1x
lim
(x + 1) = 2 dan 1
limx 1x
1x 2
= 2
Secara umum dapat dinyatakan bahwa:
c xlim
f(x) = L
jika x mendekati c maka f (x) mendekati L dan f(c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c.
30
Jika ditulis cx
lim
f(x) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati fungsi
f(x) dari dua arah, yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri.
Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga.
xlim x = ∞ dan
xlim
x
1 = 0
4.2 TEOREMA LIMIT Jika )(lim xf
cx dan )(lim xg
cx keduanya ada dan Rk maka berlaku
pernyataan-pernyataan berikut: a. AA
cx
lim , RcA, .
b. cxcx
lim .
c. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx
d. )(lim)(lim xfkxkfcxcx
e. )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx
f. )(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
cx
cx
cx
, asalkan 0)(lim
xgcx
Contoh 4.1
a. 6lim7xlim2xlim6)7x(2xlim2x2x
2
2x
2
2x
067.22.2
6limxlim7xlim2
6limxlim7xlim2
2
2x2x
2
2x
2x2x
2
2x
b. 12xlim7x.lim12x7xlim1x1x1x
712.17.11)(2xlimxlim71x1x
c. 3
1
21)5.(
31)2.(
2)(5xlim
3)(2xlim
25x
32xlim
1x
1x
1x
31
Contoh 4.2
Hitung 4
23lim
2
2
2
x
xxx
.
Penyelesaian: Karena limit di atas mempunyai penyebut sama dengan 0, atau hasilnya adalah 0/0, maka kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Akan tetapi hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada contoh soal 4.2, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, dan bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar,
untuk 2x diperoleh:
2x
1x
2)2)(x(x
1)2)(x(x
4x
23xx2
2
Sehingga :
Nilai 4
1
22
12
2
1lim
4
23lim
22
2
2
x
x
x
xxxx
Contoh 4.3
Tentukan 1x
1xlim
1x
.
Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya.
2111lim1
11lim
1
1lim
111
x
x
xx
x
xxxx
.
Contoh 4.4
Tentukan 16
8lim
4
3
2
x
xx
.
Penyelesaian:
3223
22
244
33
24
3
2 )2()2.()2.()2(
)2()2.()2(lim
)2(
)2(lim
16
8lim
xxxx
xxx
x
x
x
xxxx
8
3
8888
444
8x4x2x
4x2xlim
23
2
2x
.
Contoh 4.5
Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya.
32
Kita faktorkan fungsi kuadratnya
Contoh 4.6 :
Hitung 5
limx
5
21
x
x
Penyelesaian :
5
21
x
x
= 5
21
x
x
. 21x
21x
= 21
1
x
Maka 5
limx
5
21
x
x =
5limx
21
1
x =
4
1
Contoh 4.7 :
2
23
2
22 2 2
23 2
23
2 2 2 22
0
3
3 3
22
33 3
3 61. lim
2 2 3 72 13 2 1 1
2. lim lim lim4 2 2 2 4
3 3 3 927 3 27 93. lim
9 2 2 3 6 6 2
24. lim 2
22 2 2
5. lim1 111 0
x
x x x
x
h
x
x
x xx xx x x
x x x x
x x
x x
x hx h xx h xx
h h
xx x
xxx xx x
33
4.3 LIMIT SATU SISI (LIMIT SEPIHAK) Limit Satu Sisi (Limit-kanan dan limit-kiri) adalah ide untuk melihat apa
yang terjadi terhadap sebuah fungsi ketika kita dekati dari suatu nilai x tertentu dari suatu arah tertentu (kiri atau kanan).
Limit Kanan
Jika ditulis Lxfcx
)(lim maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari
dari kanan.
Limit Kiri Jika ditulis Lxf
cx
)(lim maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari
dari kiri.
Contoh 4.8 a. 0lim
0
x
x (x didekati dari kanan)
b. xx 0lim tidak ada. (x didekati dari kiri)
c. Untuk bilangan bulat n nxlim
nx
dan 1nxlim
nx
Contoh 4.9 Diberikan fungsi
1x,x
1x,1x2
)x(f3
Karena untuk x < 1 adalah fungsi 12 xxf )( , maka 1)1x2(lim)x(flim
1x1x
.
Secara sama, untuk x > 1, kita gunakan fungsi 1xlim)x(flim 3
1x1x
Selanjutnya, karena nilai )x(flim1)x(flim1x1x
maka 1)x(flim1x
.
34
Contoh 4.10 Tentukan )(lim
2xf
x jika diketahui:
2x,x
2x,x
)x(f
Penyelesaian: Jika x didekati dari kiri maka 2lim)(lim
22
xxf
xx
Jika x didekati dari kanan maka 2lim)(lim22
xxfxx
Karena limit kiri = limit kanan, maka 2)(lim2
xfx
.
Contoh 4.11 Diberikan fungsi berikut
2 5, 2
( )
1 3 , 2
y jika y
g y
y jika y
Hitung limit
Penyelesaian:
a.
b.
C. RANGKUMAN
Limit artinya mendekati. Secara umum dapat dinyatakan bahwa:
c xlim
f(x) = L jika x mendekati c maka f (x) mendekati L dan f(c) tidak
perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c.
35
Jika ditulis cx
lim
f(x) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati fungsi
f(x) dari dua arah, yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri.
Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga.
xlim x = ∞ dan
xlim
x
1 = 0
Limit Kanan Lxfcx
)(lim maka mengandung arti bahwa x mendekati c
dari dari kanan. Limit Kiri Lxf
cx
)(lim maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari
dari kiri.
D. TUGAS BAB 4 Untuk soal 1 – 6, Berapa nilai limit berikut.
1. )2(lim1
xx
2. xx
1lim
2 3. 2
1xxlim
4. 1
2lim
0
x
xx
5. xlim4x
6. 1x
1xlim
2
1x
Untuk soal 7 – 17, hitunglah masing-masing limit jika ada.
7. )20x(lim 2
5x
8. )1x3x(lim 2
2x
9.
3x
2xlim
0x
10. 4x
8x2xlim
2
2
2x
11.
1x
1xlim
1x
12.
8x
64xlim
3
6
2x
13. 1s
1slim
3
4
1s
14.
u1
1ulim
23
1u
15. 2
2
1x x1
3x2lim
16. 5x3
4xlim
2
2
2x
17. x
1x1lim
3
0x
2
2
1 1
1
1, 118. Diketahui:
2, 1
a. hitung lim dan lim
b. selidiki apakah lim ada, jika ada berapa nilainyax x
x
x xf x
x x x
f x f x
f x
36
BAB V
KONTINUITAS FUNGSI A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS
Pada materi kontinuitas fungsi ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang fungsi yang bersifat kontinu dan diskontinu.
B. URAIAN MATERI 5.1 KONTINUITAS FUNGSI Kadang-kadang nilai )(lim xf
cxsama dengan )(cf , kadang pula tidak sama.
Pada kenyataannya, meskipun )c(f tidak terdefinisikan, akan tetapi )(lim xf
cx mungkin ada.
Apabila )(lim xfcx
= )(cf maka dikatakan fungsi f kontinu di c.
Ada tiga syarat agar fungsi f(x) kontinu di c, yaitu: 1. f(c) ada atau terdefinisikan 2. xf
cxlim ada
3. cfxfcx
lim
xfy
Gambar 5.1 Grafik untuk menjelaskan kontinuitas fungsi f(x)
Pada gambar di atas, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam ),( ba
kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena )x(flim2xx
tidak ada, diskontinu di x3 karena nilai )x(flim3xx
tidak sama dengan nilai
fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.
a x1 x2 x3 x4 b
37
Contoh 5.1
Fungsi Heavyside H yang didefinisikan sebagai berikut.
0xjika1
0xjika0xH
Apakah fungsi ini kontinu di x = 0?
Penyelesaian: Syarat agar fungsi H(x) kontinu di x = 0, yaitu:
1. Jika x=0 maka H(0) = 1, nilai fungsi ada atau terdefinisikan 2. xH
x 0lim = 0, dan xH
x 0lim = 1,
limit fungsi H(x) tidak ada karena limit kiri ≠ limit kanan.
Ketiga syarat tidak terpenuhi, maka fungsi H(x) diskontinu di x = 0.
Contoh 5.2 Fungsi g didefinisikan dengan
2jika1
2jika2
42
x
xx
x
xg
Apakah fungsi tersebut kontinu di x = 2? Penyelesaian:
Fungsi kontinu jika memenuhi 3 syarat berikut. 1. Jika x=2 , maka g (2) = 1 � nilai fungsi ada
2. 42xlim2x
4xlimxglim
2x
2
2x2x
nilai limitnya ada yaitu 4
3. Nilai xglim2x
≠ g(2)
Karena ketiga syarat tidak terpenuhi maka fungsi g(x) tidak kontinyu di x = 2
Contoh 5.3
Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = 2
42
x
x di x = 2
Penyelesaian:
Diselidiki apakah tiga syarat fungsi kontinu dipenuhi f (x) = 2
42
x
x
1. f(2) = 0
0 suatu harga tak tentu. Jadi f(2) tidak ada
Karena syarat 1 tidak dipenuhi maka f(x) diskontinu di x = 2
38
Contoh 5.4
Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = 1
12
2
x
x di x = 1
Penyelesaian:
f (1) = 1 1
1-12
2
=
11
1 -1
=
2
0 = 0 , ada
2.1→x
lim f(x) = 1→x
lim 1
1-2
2
x
x =
11
1 - 1
=
2
0 = 0 , ada
3.1→x
lim f(x) = f ( 1 ) = 0
Jadi f(x) kontinu di x = 1
Contoh 5.5
Diberikan .xxf 21 Selidikilah kekontinuan fungsi f.
Penyelesaian: Jelas f tidak kontinu pada 1 , dan pada ,1 sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:
afaxxxfaxaxax
222 11lim1limlim
Jadi, f kontinu pada (-1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan: 10lim
1
fxf
x dan 10lim
1fxf
x
sehingga f kontinu dari kanan di x = -1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada 1,1 .
C. RANGKUMAN
Ada tiga syarat agar fungsi f(x) kontinu di c, yaitu: 1. f(c) ada atau terdefinisikan 2. xf
cxlim ada
3. cfxfcx
lim
39
D. TUGAS SOAL BAB 5
Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.
1. x
3xh(x) 2. 3 2 1xf(x) 3.
1x
2xf(x)
3
4. 3s
2sf(s)
2 5.
2t
4th(t)
2
6.
1x,23x
3x1,5
3 x,13x
g(x)
2
7.
31x,3x
31x02x,
0xx,
f(x)2
8. Selidiki kontinuitas x1
1f(x)
pada 5]1,[
9.Jika
7x3,x15
3x0,2xf(x) 2 maka tunjukkan bahwa f kontinu pada [0,7] .
40
BAB VI
TRIGONOMETRI A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS
Pada materi trigonometri ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang fungsi trigonometri, aturan sinus, cosinus tangen, dan grafiknya juga mengenai kesamaan trigonometri.
B. URAIAN MATERI
6.1 FUNGSI TRIGONOMETRI Fungsi-fungsi trigonometri umum didefinisikan berdasarkan atas sudut
segitiga seperti gambar berikut.
miring
datar
tegak
Dalam kalkulus, sudut diukur dalam radian daripada dalam derajat dengan persamaan berikut.
0 = 0 radian
90 = /2 radian
180 = radian
270 = 3/2 radian
360 = 2 radian
Sifat Dasar Sinus dan Kosinus
a. sin(+2) = sin b. cos(+2) = cos c. sin(-) = -sin d. cos(-) = cos e. sin (/2 - ) = cos f. cos (/2 - ) = sin
2 radian = 360
1 radian = 2
3600
=
0180
sin = miring
tegak
cos = miring
datar
41
6.2 Aturan Kuadran Sinus, Kosinus, Tangen
Tabel Sudut Istimewa Sinus, Cosinus, dan Tangen
x Sin x Cos x Tan x 0
6
4
3
22
33
45
6
0
12
22
32
1
32
22
12
0
1
32
22
12
0
12
22
32
1
0
33
1
3
3
1
33
0
6.4 GRAFIK SINUS, KOSINUS, DAN TANGEN
Grafik Sinus
Fungsi y(x) = sin x Berulang setiap 360º atau 2. Nilai antara +1 dan -1. |sin x| ≤ 1
Kuadran I
Sin, cos, tgn,
Kuadran II
Hanya sin
Kuadran III
Hanya tan
Kuadran IV
Hanya cos
0
90
180
270
360
42
Grafik Cosinus
Fungsi y(x) = cos x Berulang setiap 360º atau 2 Nilai antara +1 dan -1. |cos x| ≤ 1 Terjadi pergeseran fase sebesar
90º dari fungsi y = sin x.
Grafik Tangen
Fungsi y(x) = tan x Berulang setiap 180º atau . Tidak dapat didefinisikan
pada x=90º, 270º, …
Contoh 6.1
1. y(x) = 3 sin x Berulang setiap 360º.
Nilainya sekarang antara +3 dan -3
2. y(x) = sin 3x Berulang setiap 120º. Frekuensinya menjadi 3 × lebih besar. Nilainya tetap antara +1 and -1.
43
6.4 Empat Fungsi Trigonometri Lainnya
sin costan cot
cos sin
1 1sec csc
cos sin
x xx x
x x
x xx x
Contoh 6.2 :
1. Buktikan bahwa tangen adalah fungsi ganjil
Jawab :
sin sintan tan
cos cos
t tt t
t t
2. Periksa kebenaran kesamaan – kesamaan berikut :
2 2 2 21 tan sec 1 cot csct t t t
Jawab :
2 2 22 2
2 2 2
2 2 22 2
2 2 2
sin cos sin 11 tan 1 sec
cos cos cos
cos sin cos 11 cot 1 csc
sin sin sin
t t tt t
t t t
t t tt t
t t t
6.5 Kesamaan Trigonometri
Kesamaan ganjil - genap Kesamaan fungsi ko
sin sin sin cos2
cos cos cos sin2
tan tan tan cot2
x x x x
x x x x
x x x x
2 2
2 2
2 2
Kesamaan Phytagoras Kesamaan Penambahan
sin cos 1 sin sin cos cos sin
1 tan sec cos cos cos sin sin
tan tan1 cot csc tan
1 tan tan
x x x y x y x y
x x x y x y x y
x yx x x y
x y
2 2 2 2
Kesamaan sudut ganda
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
x x x
x x x x x
44
2 2
Kesamaan setengah-sudut
1 cos 2 1 cos 2sin cos
2 2
x xx x
Kesamaan Hasil Kali
1sin sin cos cos
21
cos cos cos cos21
sin cos sin sin2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
Kesamaan jumlah
sin sin 2sin cos2 2
cos cos 2cos cos2 2
x y x yx y
x y x yx y
C. RANGKUMAN Sifat Dasar Sinus dan Kosinus
a. sin(+2) = sin b. cos(+2) = cos c. sin(-) = -sin d. cos(-) = cos e. sin (/2 - ) = cos f. cos (/2 - ) = sin
45
D. TUGAS BAB 6 1. Konversikan nilai sudut berikut ke dalam bentuk radian (gunakan dalam
jawaban anda) a. 240o c. -60o e. -135o b. 540o d. 22,5o f. 6o
2. Konversikan ukuran radian berikut a. 7/6 c. 8 b. -/3 d. /18
3. Buat grafik berikut pada selang [0,2] a. y = sin 2x b. y = 2 cos 2x c. y = tan (½ x)
4. Tentukan nilai dari :
1
01
7 1. cos . cos 3
6 2
sin 330 cos 45 1. . sin
tan 270 2
a c
b d
5. Periksa kebenaran kesamaan berikut :
22
2
sec 1. sin
sec. cos tan cot csc
1 cos. tan
sin cos sin
ta t
tb t t t t
tc t
t t t
46
BAB VII TURUNAN
A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS Pada materi turunan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang konsep turunan, lalu dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari seperti menghitung kecepatan dan percepatan benda.
B. URAIAN MATERI
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah :
'
0limh
f c h f cf c
h
Asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan (terturunkan) di c. Pencarian turunan disebut pendiferensialan, bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.
Contoh 7.1 :
1. Andaikan '13 6. cari 4f x x f
Jawab :
'
0
0
0 0
4 44 lim
13 4 6 13 4 6lim
13lim lim13 13
h
h
h h
f h ff
h
h
hh
h
2. Jika '1. carif x f x
x
Jawab :
'
0 0
0 0
20
1 1
lim lim
1 1lim . lim .
1 1lim
h h
h h
h
f x h f x x h xf xh h
x x h h
x h x h x h x x
x h x x
47
3. Cari nilai g’(x), jika 2
3g x
x
Jawab :
'
2
2 23 3lim lim
2 3 2 3 21 1lim . lim .
3 3 3 3
2 2lim
3 3 3
x c x c
x c x c
x c
g x g c x cg cx c x c
c x x c
x c x c x c x c
x c c
Misalkan C, a, dan n adalah bilangan real dengan a> 0. Fungsi f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan (didiferensiasi).
Aturan Contoh
1. Kaidah bilangan konstanta Jika y C , maka ' 0y . Jika y= 5, maka ' 0y .
2. Kaidah Pangkat Jika ny x , maka 1' ny n x . Jika 7y x , maka 6' 7y x .
3. Kaidah Perkalian dengan Konstanta Jika ( )y C f x , maka ' '( )y C f x .
Jika 27y x , maka 2 1' 7 2 14y x x .
4. Perkalian Dan Pembagian
' ' '
' ''
2
.f x u v f x u v uv
u u v uvf x f x
v v
-
5. Penjumlahan dan Pengurangan: Jika ( ) ( )y f x g x , maka ' '( ) '( )y f x g x
Jika 43 7y x x , maka 3' 12 7y x .
6. Eksponensial bilangan natural Jika xy e , maka ' xy e .
Jika 3 xy e , maka 3 xy e .
7. Jika xy a , maka lnxy a a . Jika 3x
y , maka 3 ln3xy
8. Jika lny x , maka 1'y
x .
Jika 3 lny x , maka
1 3
' 3yx x
9. Jika logay x , maka 1'
lny
x a .
Jika 4logy x , maka 1
'ln 4
yx
48
Contoh 7.1 :
55 4 3
4' 4 3 ' 3 2
42 33
' 1/2 3/2 1/2
1/2 1/2 3/2
3
1. 5 6 3. 2 1
5 20 5 2 1 . 6
22. 3 30 2 1
3 2
3 3
2 23 3 1
22
y x x y x
y x x y x x
y x x x xx
y x x x
x x x
xx x
2
1/2 2
' 1/2 '
' ' '
1/2 2 1/2
2
4. . 3 6
misal: u 3 6
16 6
2
maka
1. 3 6 6 6
21 1
3 6 6 62
y x x x
x x v x x
u x v x
y u v uv
x x x x x
x x xx x
32
32
2' ' 2
4 2
32 4 2' ''
2 232
25.
6 4
misal: 2 6 4
2 3 6 4 .12
36 36 48 16
2 6 4 2 .36 36 48 16
6 4
xy
x
u x v x
u v x x
x x x
x x x x xu v uvmaka y
vx
7.1 KECEPATAN DAN PERCEPATAN Sebuah objek bergerak sepanjang sebuah garis koordinat. Apabila s=f(t)
menyatakan posisi suatu obyek yang bergerak sebagai fungsi waktu, maka kecepatan ditentukan oleh persamaan v = f(t), sedangkan
percepatan objek tersebut diperoleh dari turunan kecepatan atau a = dt
dv .
Jadi a = v = s = f (t)
49
Contoh 7.2 Jarak yang ditempuh suatu gerakan partikel mempunyai persamaan: s = 2 t3 - 4 t2 + t – 6. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel itu pada saat t. Penyelesaian : Kecepatan partikel merupakan turunan pertama dari jarak, sedangkan percepatan partikel merupakan turunan kedua dari jarak. Dengan demikian maka Jarak partikel adalah s = 2 t3 - 4 t2 + t – 6. Kecepatan partikel adalah v = s = 6 t2 – 8 t + 1 Percepatan partikel adalah a = v = s = 12 t - 8
C. RANGKUMAN
Di bawah ini adalah rumusan untuk turunan yaitu :
'
'
' 1
' 1
' ' '
' ''
2
0
.
n n
n n
f x k f x
f x kx f x x
f x x f x nx
f x kx f x knx
f x u v f x u v uv
u u v uvf x f x
v v
D. TUGAS BAB 7 1. Hitung Turunan (y’) dari :
a. 2
24
xy
x
e. y = (2x3 – 2x)(7x2 -
2
1x + 3)
b. y = 74
32
x
xx f. 21 2 2y x x x
c. y = (2 – x3)4 g. y= (2 – x3)4
d. y(x) = 1
1 2( ) x h. y = x 2 1
2. Jika f(x) = (x2 -1)2 ( x2 +1)2 tentukan f (x)
3. Jika f(x) = 1
22
3
x
xx tentukan f (x)
4. Posisi suatu gerakan partikel adalah : s = 2 sin 3t - 3 cos 2t. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel itu pada saat t.
50
BAB VIII PENGGUNAAN TURUNAN
A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS
Pada materi penggunaan turunan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang penggunaan turunan dalam mencari nilai maksimum dan minimum, kemonotanan dan kecekungan fungsi naik dan turun, dan juga dapat menyelesaikan masalah – masalah praktis dalam kehidupan sehari-hari, seperti mencari luas maksimum suatu bidang.
B. URAIAN MATERI
8.1 MAKSIMUM DAN MINIMUM Fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = c, jika dapat ditunjukkan bilangan
positif kecil h sedemikian rupa sehingga untuk setiap titik tertentu x1 < x2 yang terletak dalam interval (c-h, c+h) berlaku f(x1) < f(x2) .
Fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = c, jika dapat ditunjukkan bilangan positif kecil h sedemikian rupa sehingga untuk setiap titik tertentu x1 > x2 yang terletak dalam interval (c-h, c+h) berlaku f(x1) > f(x2) .
f(x1) < f(x2) f(x1) > f(x2) Definisi
Andaikan S adalah daerah asal atau domain f(x), dan memuat titik c. Kita katakan bahwa:
a. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika ( ) ( )f c f x untuk semua x dalam domain f .
b. f (c) adalah nilai minimum f pada S jika ( ) ( )f c f x untuk semua x dalam domain f .
c. f (c) adalah nilai ekstrim f(x) pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.
Keberadaan Maksimum-Minimum
Jika suatu fungsi f(x) kontinyu dalam suatu interval tertutup [a, b], maka fungis tersebut pasti mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada interval [a, b].
51
Teorema Titik-Kritis Jika f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yaitu c berupa salah satu:
a. Titik ujung dari I b. Titik stasioner dari f , yaitu f’(c) = 0. c. Titik singular dari f ( f’ (c) tidak ada).
Contoh 8.1 Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x3 + 3x2 pada selang [-½ , 2] Penyelesaian: Titik kritis terjadi:
a. Titik-titik ujung adalah x= -½ dan x=2 b. Titik stasioner adalah f(x)=0
f(x) = -2x3 + 3x2
f(x) = -6x2 + 6x = 0 maka x=0 dan x=1
c. Tidak ada titik singular. Jadi titik-titik kritisnya adalah -½, 0, 1, 2
Nilai-Nilai Ekstrim (Maksimum dan Minimum) Jika f kontinyu pada [a, b], maka untuk mendapatkan titik absolut ekstrem (nilai maksimum dan minimum) f pada selang [a, b] Langkah 1 Cari semua nilai titik kritis pada selang [a, b]. Langkah2 Hitung f(x) pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai
maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.
Contoh 8.2 Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari fungsi 3 2( ) 2 3 12f x x x x pada selang interval [-4. 2].
52
Penyelesaian: Langkah 1. Cari semua nilai-nilai kritis pada selang [a, b] Titik-titik kritis terjadi:
a. Titik-titik ujung adalah x = -4 dan x=2 b. Titik stasioner adalah f(x)=0
3 2
2
2
( ) 2 3 12
'( ) 6 6 12
6( 2)
6( 2)( 1)
f x x x x
f x x x
x x
x x
Apabila turunan pertamanya kita buat sama dengan nol atau f(x) = 0, maka kita dapatkan x = -2 dan x = 1. Oleh karena itu, f(x) mempunyai dua nilai kritis di x = -2 dan x = 1. Titik-titik kritisnya adalah -4, -2, 1, dan 2
Langkah 2. Hitung fungsi f(x) pada titik-titik kritis, yaitu ( 4)f , ( 2)f , (1)f , dan (2)f
X f(x) -4 -32
-2 20 1 -7 2 4
Dari tabel di atas, nilai hasil terbesar adalah 20 dan nilai hasil terkecil adalah -32. Nilai maksimum absolut dari fungsi pada selang interval [-4, 2] adalah ( 2) 20f , dan nilai minimum absolut fungsi pada selang interval [-4, 2] adalah ( 4) 32f .
(-2,20)
(‐4, ‐32)
53
MASALAH-MASALAH PRAKTIS Masalah praktis adalah masalah yang timbul dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh 9.3 Seorang peternak mempunyai 100 meter kawat berduri yang akan digunakan untuk membuat pagar identik yang berdampingan, seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksimum?
y
Karena harus terdapat tiga sisi sepanjang x, dapat kita lihat bahwa 0 ≤ x ≤ 100/3. Jadi masalahnya adalah memaksimumkan A pada [0, 100/3]. dA/dx = 50 – 3x = 0
x = 50/3.
8.3 KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN FUNGSI NAIK / TURUN /KONSTAN PADA SELANG INTERVAL
Diberikan suatu fungsi, ( )f x , yang dapat didiferensiasikan dan kontinyu
pada interval terbuka ( , )a b 1. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada ( , )a b , maka ( )f x naik pada ( , )a b . 2. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada, maka ( )f x turun pada ( , )a b . 3. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada, maka ( )f x konstan pada ( , )a b .
Contoh 8.3 Jika f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7, cari dimana fungsi f naik dan dimana turun.
Penyelesaian: Turunkan fungsi f(x).
Turunan fungsi f(x) adalah f (x) = 6x2 – 6x – 12 = 6 (x+1).(x-2) Cari dimana '( ) 0f x dan juga dimana '( ) 0f x . Untuk itu kita perlu
mencari batas dengan menjadikan turunan fungsi f (x) = 0. f (x)= 6x2 – 6x – 12 = 6 (x+1).(x-2) =0 Kita dapatkan bahwa jika '( ) 0f x maka nilai x = -1 dan x = 2. Kita gambarkan dalam grafik di bawah ini
x
Penyelesaian:
Andaikan x adalah lebar dan y adalah panjang seluruh keliling, keduanya dalam meter. Karena tersedia 100 meter kawat, maka kita dapatkan persamaan: 3x + 2y = 100 y = 50 – 3/2 x Luas total A = x.y = 50x – 3/2 x2
54
-1 0 2
Sekarang kita uji dimana daerah yang memenuhi syarat '( ) 0f x dan daerah yang memenuhi syarat '( ) 0f x . Dari grafik kita ambil nilai x = 0 untuk menguji daerah tersebut. a. Jika x = 0, maka f (0) = 6 (0+1).(0-2) = -12 f (0) < 0 (kurang dari nol),
maka selang tersebut kita beri tanda negatif. b. Jika x = 3, maka f (3) = 6 (3+1).(3-2) = 12 f (0) > 0 (lebih dari nol),
maka selang tersebut kita beri tanda positif. c. Jika x = -2, maka f (-2) = 6 (-2+1).(-2-2) = 24 f (0) > 0 (lebih dari nol),
maka selang tersebut kita beri tanda positif. -1 0 2
Jadi fungsi akan naik pada selang (-∞,-1] dan [2,∞), dan turun pada selang [-1,2].
8.3 TURUNAN KEDUA DAN KECEKUNGAN Jika suatu fungsi ( )f x dapat didiferensialkan selang interval terbuka ( , )a b , dan a. Jika turunan fungsi f(x) naik pada selang (a,b), maka ( )f x (dan
grafiknya) cekung ke atas di sana; b. Jika turunan fungsi f(x) turun pada selang (a,b), maka ( )f x cekung ke
bawah pada selang (a,b). Apabila f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka ( , )a b .
a. Jika ''( ) 0f x untuk semua x pada interval (a, b), maka f adalah cekung ke atas pada selang (a, b).
b. Jika ''( ) 0f x untuk semua x pada interval (a, b), maka f adalah cekung ke bawah pada (a, b).
c. Jika ''( ) 0f x atau ''( )f x tidak ada, titik balik terjadi pada , ( )x f x memberikan ( )f x perubahan kecekungan dan garis tangent ada pada , ( )x f x .
Contoh 8.4 Dimana f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah.
Penyelesaian: Turunan pertama fungsi:
f (x) = 6x2 – 6x – 12
+ + + + | ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐
55
Fungsi akan naik pada selang (-∞,-1] dan [2,∞), dan turun pada selang [-1,2] (lihat penyelesaian contoh 9.3).
Turunan kedua fungsi: f (x) = 12x – 6
Jika f (x) = 12x – 6 = 0, maka kita dapatkan nilai x = ½ Sekarang kita uji dimana daerah yang memenuhi syarat f (x) >0 dan daerah yang memenuhi syarat f (x) < 0.
Uji dengan x = 0 Jika x = 0, maka f (0) = 12.0 - 6 = - 6 f (0) < 0 (kurang dari nol), maka f
cekung ke bawah. Jika x = 1, maka f (1) = 12.1 - 6 = 6 f (0) > 0 (lebih dari nol), maka f
cekung ke atas. 0 1/2
Jadi fungsi akan cekung ke bawah pada selang (-∞,1/2], dan fungsi akan cekung ke atas pada selang [1/2,∞).
C. RANGKUMAN
Jika suatu fungsi f(x) kontinyu dalam suatu interval tertutup [a, b], maka fungsi tersebut pasti mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada interval [a, b]. Diberikan suatu fungsi, ( )f x , yang dapat didiferensiasikan dan kontinyu pada interval terbuka ( , )a b 1. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada ( , )a b , maka ( )f x naik pada ( , )a b . 2. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada, maka ( )f x turun pada ( , )a b . 3. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada, maka ( )f x konstan pada ( , )a b .
‐ ‐ ‐ ‐ ‐ | + + +
56
D. TUGAS BAB 8 1. Carilah titik-titik kritis dan nilai maksimum dan minimum dari fungsi
a. f(x) = -x2 + 4x -1 pada selang [0 , 3] b. f(x) = x2 + 3x pada selang [-2 , 1] c. f(x) = x3 - 3x +1 pada selang [-3/2 , 3]
d. f(x) = 21
1
x pada I = [-2,1]
e. 33 9 2f x x x pada 2,2
2. Jumlah dua buah bilangan adalah 30. Tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum.
5. Dengan mengambil tembok sebagai salah satu sisi, akan dibuat kandang ayam berbentuk persegi panjang dari pagar kawat sepanjang 30 m. Tentukan ukuran kandang agar luas kandang maksimal.
6. Suatu persegipanjang mempunyai luas 900 cm2. Tentukan ukuran persegipanjang agar kelilingnya minimum.
7. Dimana f(x) = 3
1 x3 – x2 – 3x + 4 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke
bawah. 8. Dimana f(x) = x3 – 3x2 – 1 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah. 9. Dimana f(x) = x3 – 12x naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah.
57
1/2
11
2
3/2
53 2
3 2
53 2 5
5
6 6
63
. 2 2
. 4 4
14
1 122
43
. 6 6 12
misal 6 3 6
6 6 12 2
2
2 26 3
62
3
a dx x C
b x dx x dx
x C
x C
c x x x dx
u x x du x dx
x x x dx u du
u du
u uC C
x xC
BAB IX INTEGRAL
A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS Pada materi integral ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang konsep integral, mampu menyelesaikan persoalan integral baik itu integral tak tentu maupun integral tentu.
B. URAIAN MATERI
Pada bab sebelumnya telah dikaji tentang pendiferensialan (penurunan), maka kebalikannya yaitu anti pendiferensialan (anti penurunan), atau biasa disebut dengan istilah integral. Penulisan integral yang lebih mudah diingat adalah penulisan Leibniz yaitu menggunakan lambang .... dx. Dibawah ini adalah beberapa rumusan
integral dengan C adalah konstanta, yaitu :
1
1
'
.
1.
1
.1
n n
rn
a k dx kx C
b x dx x Cn
g xc g x g x dx C
r
Contoh 9.1 :
58
2
2
2 2 1/ 2
1/ 2 3/ 2
. 1 ;
misalkan 1
2
11 2 ( 1)
21 1 2
2 2 3
d x x dx
u x
du x dx
x x dx x x dx
u du u C
Contoh 9.2
1. Cxxdxx
6155
6
1
15
1
2. .dx = x½.dx = 3
2
3
23
23 xx
/
+ C
3. 13x
.dx = x-3. dx = 213
1 213
x
x = - 1
2 2x + C
4. 2m2.dm = 3
2
12
2 312 m
m
+ C
5. 5 .d = 3
10
1
55
31
21
21
21
+C
6. 1
.d = -½.d = θ
θ2
21
21
/
/
+C
7. 3
2
2
1 2
3 3
xdx
x
Jawab :
3 32 2
32
32
52
52
2 2
2
( 1)2 1
32
1
1 2 1 2
3 3 3 3
1 2
3 3
1 1 2 1
3 2 1 3 1
1 2 2
3 3 5
1 4
3 15
x xdx dx dx
x x
x dx x dx
x x C
x x C
xC
x
8. 32 5xe dx
x
Jawab :
3 1
2 5 3 2 5
3ln | | 2 5
x x
x
e dx dx e dx dxx x
x e x C
9. culnu
du
59
9.1 INTEGRAL TENTU Misal f(x) kontinu pada ,a b dan f(x) adalah anti turunan dari f(x). Maka
b
a
f x dx F b F a , a merupakan batas bawah dan b adalah batas atas
pengintegralan. Dibawah ini adalah sifat – sifat yang berkaitan dengan integral tentu yaitu :
1. (sifat linier)
2.
b b b
a a a
c b c
a a b
pf x qg x dx p f x dx q g x dx
f x dx f x dx f x dx
Contoh 9.3 :
1. Hitung 3
2
3x dx
Jawab :
332
22
2 2
13 3
2
1 13 3 3 2 3 2
2 2
27 8 35
2 2 2
x dx x x
2. Hitung 4
2
0
2 1x x x dx
Jawab :
2
2 1/2
3/23/2 2
443/22 2
00
3/2
3/2
andaikan 2 1
2 1
2 2
3 3
22 1
3
220 0
3
220 59,63
3
u x x du x dx
x x x dx u du
u C x x C
x x x dx x x C
C C
60
C. RANGKUMAN RUMUS UMUM INTEGRAL
1. k dx kx C
2. ( ) ( )k f x dx k f x dx
3. [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
4. 1 1ln | |x dx dx x C
x
5. x xe dx e C
D. TUGAS BAB 9
1. (3x2 + 7x).dx 2. ( + + + 4x3)dx 3. dxxxx )()( 1266 253
4. dxxx .)( 102 4
5. dxxx
.)( 222
32
6. Tentukan nilai Integral dari fungsi berikut
a. f(x) = (x2+3x)15 (8x+12) c.
3
1
2 )323( dxxx
b.
2
3
3 )32( dxx d. f(x) = 3
4
x –
5
3
x
61
a b
R
y=f(x)
BAB X PENGGUNAAN INTEGRAL
A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS
Pada materi penggunaan integral ini mahasiswa diharapkan mampu menggunakan konsep perhitungan integral dalam kehidupan sehari – hari seperti menghitung luas bidang.
B. URAIAN MATERI
10.1 Luas daerah Bidang Rata Daerah Di atas Sumbu X. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah kurva pada bidang xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang (interval) a ≤ x ≤ b. Lihat gambar disamping, tinjaulah daerah R yang dibatasi oleh grafik – grafik dari y = f(x), x = a, x=b dan y=0. Kita mengacu R sebagai daerah di bawah y = f(x) antara x = a
dan x = b. Maka luasnya A (R) ditentukan oleh : b
a
A R f x dx
Contoh 10. 1 :
Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = 2x3 – x2 + 6x + 5, antara x = 0, dan x = 2
Jawab :
Kurva persamaan y = 2x3 – x2 + 6x + 5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3
y
x
R
62
a b
R
y=f(x)
23 2
0
24 3 2
0
4 3 2
2 6 5
1 13 5
2 3
1 12 2 3 2 5 2 0
2 3
8 11218 12 10
3 3
A R x x x dx
x x x x
Jadi luasnya adalah 112/3
Daerah Di Bawah Sumbu X.
Luas dinyatakan oleh bilangan yang tak negatif. Apabila grafik y = f(x) terletak di bawah sumbu x, maka
b
a
f x dx adalah bilangan yang
negatif. Sehingga tak dapat melukiskan suatu luas. Akan tetapi bilangan itu adalah negatif untuk luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b dan y = 0.
Contoh 10.2 :
1. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = (x2/3) – 4, sumbu x, x = -2 dan x = 3
Jawab :
Kurva persamaan y = (x2/3) – 4
R
63
3 32 2
2 2
33
2
4 43 3
27 84 12 8
9 9 9
145
9
x xA R dx dx
xx
2. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = x3 – 3x2 – x + 3, ruas sumbu antara x = 1 dan x = 2 dan oleh garis x = 2
Jawab :
Kurva persamaan y = x3 – 3x2 – x + 3
Pada kurva diatas terlihat bahwa sebagian di atas sumbu x dan sebagiannya lagi di bawah sumbu x, Luas masing – masing bagian ini harus dihitung secara terpisah, yaitu :
1 2
3 2 3 2
1 1
1 24 2 4 23 3
1 1
3 3 3 3
3 34 2 4 2
7 234
4 4
A R x x x dx x x x dx
x x x xx x x x
R
R
64
C. RANGKUMAN
Apabila grafik y = f(x) terletak di bawah sumbu x, maka b
a
f x dx adalah
bilangan yang negatif. Begitu juga sebaliknya apabila grafik y = f(x) terletak di
bawah sumbu x, maka b
a
f x dx adalah bilangan yang positif.
D. TUGAS BAB 10 :
Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang persamaannya diketahui dan hitunglah luas daerahnya.
2
2
3
2
4 4
1. 4 , 0, 0, 3
31
. 10 , 0, 2, 32
. , 0, 1, 8
. 2, 0
. , 2
a y x y x x
b y x y x x
c y x y x x
d x y y x
e x y x y
65
BAB XI DERET BILANGAN DAN JUMLAH
A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS Pada materi deret bilangan dan jumlah ini mahasiswa diharapkan mampu mengetahui sifat suatu deret, mahasiswa juga mampu menuliskan beberapa jumlah sigma dan melakukan perhitungannya.
B. URAIAN MATERI
Konvergen atau divergen suatu deret tak hingga dapat diperiksa melalui 5 tes di bawah ini yaitu : 1. Tes Jumlah 4. Tes Integral 2. Tes Banding 5. Tes Akar 3. Tes Rasio 1. Tes Jumlah - Konvergen jika lim nn
S ada
- Divergen jika lim nn
S
Contoh 11.1 : 1. Deret Tak Hingga : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) Maka : Un = 2n – 1, U1 = 1
1
2
1
21 1
2 1 1 22 2
n nS n u u
n n n n n
2lim limnn n
S n
Karena nilai limitnya tak hingga maka deret ini adalah divergen.
2. Deret Tak Hingga : 1
1 1 11 ... (deret geometri)
2 4 2n
Maka :
11
1
1
2 11
12
n nn
uu S
r
u r
1 1
lim lim 21 1
1 22
nn n
S
Karena nilai limit tak hingganya ada yaitu 2, maka deret ini konvergen. 2. Tes Banding
konvergen
divergenn n
n n
V u
V u
66
Contoh 11.2 :
1. Deret Tak Hingga : 1 1 1 1
...1 2 3 n
1 1
ambil pembanding n nV unn
1 2 3 Vn 1
1
1
2
1
3
un 1 1/2 1/3 Dilihat dari tabel diatas bahwa n nV u , maka deret tersebut adalah konvergen.
2. Deret Tak Hingga : 4
1
1nVn
Maka : 4 2
1 1, (pembanding)
1n nV un n
1 2 Vn 1
2
1
17
un 1 1/4
Dilihat dari tabel diatas bahwa n nV u , maka deret tersebut adalah konvergen.
3. Tes Rasio
11. lim 1 konvergen
12. lim 1 divergen
13. lim 1 pake cara lain
n
nn
n
nn
n
nn
u
u
u
u
u
u
Contoh 11.3 :
1. Deret Tak Hingga : 1 1 1 1
...2 4 8 2n
Maka : 1
1 1,
2 2n nnu u
1
1
1 12 2lim 11 12 2
nn
xn
u
u n
67
Karena setelah dicari deret bernilai 1 maka, deret diatas tidak bisa menggunakan tes rasio, tetapi menggunakan cara lainnya.
2. Deret Tak Hingga : 1 2 3
...3 9 27 3n
n
Maka : 1 1
1,
3 3n nn n
n nu u
1
1 1
11 1 3 1 33lim . .
3 3 .33
1 1 1 1 1 1 1lim . lim . lim
3 3 3 3
n nnn
n nnn
n
n n n
nu n n
nu n n
n n n
n n n
Nilai deret tersebut adalah 1/3, artinya deret tersebet bersifat konvergen
4. Tes Integral
Konvergen adan
c
f x dx
Divergen n
c
f x dx
Contoh 11.4 :
1
1 11.
1ln ln ln 1
n
n
c
u f xn x
dx xx
Karena nilainya tak hingga maka deret ini bersifat divergen
2 2
2 12
11 1
1 12.
1 1 1
1
1 1
1
0 1 1
nu f xn x
dx x dx xx x
Karena nilai deret tersebut 1, maka sifatnya konvergen 5. Tes Akar
lim nnn
u
L < 1 maka konvergen
L = 1 pakai cara lain L > 1 divergen
68
Contoh 11.5 :
11.
1 1 1lim lim 0 1 (bersifat konvergen)
n n
nnn n
un
n n
12.
ln
1 1 1lim lim 0 1 (bersifat konvergen)
lnln
n n
n nn n
un
nn
Penulisan Jumlah dan Sigma Perhatikan Jumlah : 12 + 22 + 32 + 42 + . . . + 1002 dan a1 + a2 + a3 + a 4 + . . . + 1002
untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita
tuliskan yang pertama sebagai 100
2
1i
i dan yang kedua yaitu
1
n
ii
a
kelinearan . Andaikan ia dan ib menyatakan dua barisan dan c suatu
konstanta, maka :
1 1
1 1 1
1 1 1
1.
2.
3.
n n
i ii i
n n n
i i i ii i i
n n n
i i i ii i i
ca c a
a b a b
a b a b
Contoh 11.6 :
1. Andaikan bahwa 100
1
60ii
a
dan 100
1
11ii
b
. Hitung 100
1
2 3 4i ii
a b
Jawab :
100 100 100 100
1 1 1 1
100 100 100
1 1 1
2 3 4 2 3 4
2 3 4
2 60 3 11 100 4
487
i i i ii i i i
i ii i i
a b a b
a b
69
2. Sederhanakanlah 11
n
i ii
a a
Jawab :
1 2 1 3 2 11
0 1 1 2 2 3 1
0
...
...
n
i i i o n ni
n n
n
n o
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a
a a
Beberapa Jumlah Khusus
1
2 2 2 2 2
1
11. 1 2 3 ...
2
1 2 12. 1 2 3 ...
6
n
i
n
i
n ni n
n n ni n
2
3 3 3 3 3
1
3 2
4 4 4 4 4
1
13. 1 2 3 ...
2
1 6 9 14. 1 2 3 ...
30
n
i
n
i
n ni n
n n n n ni n
Contoh 11.7 :
10 10 102 4
1 1 1
10
1
102
1
10 104 4 4
1 1
1. Hitung : a. , b. , c.
jawab:
10 10 1a. 55
2
10 10 1 20 1. 385
6
10 11 6000 900 10 1. 1 1
30
25.332
i i i
i
i
i i
i i i
i
b i
c i i
2. Hitung 10
1
2 5i
i i
Jawab :
10 10 10 102 2
1 1 1 1
2 5 2 10 2 10
2 285 10 55 220i i i i
i i i i i i
70
3. Cari suatu rumus untuk 1
2 5n
j
j j
Jawab :
2
1 1
2
1 1 1
2
2
2 5 3 10
3 10
1 2 1 13 10
6 2
2 3 1 9 9 606
3 34
3
n n
j j
n n n
j j j
j j j j
j j
n n n n nn
nn n n
n n n
C. RANGKUMAN
Kekonvergenan atau divergennya suatu deret tak hingga dapat diperiksa melalui 5 tes di bawah ini yaitu : Tes Jumlah, Tes Integral, Tes Banding, Tes Akar, Tes Rasio
Beberapa Jumlah Khusus
1
2 2 2 2 2
1
11. 1 2 3 ...
2
1 2 12. 1 2 3 ...
6
n
i
n
i
n ni n
n n ni n
2
3 3 3 3 3
1
3 2
4 4 4 4 4
1
13. 1 2 3 ...
2
1 6 9 14. 1 2 3 ...
30
n
i
n
i
n ni n
n n n n ni n
71
D. TUGAS BAB 11: 1. Tentukan sifat deret dibawah ini :
1 1 1. 1 ....
2 8 21 1 1 1
. ...4 5 6
na
bn
2. Cari nilai sigma berikut ini :
5 10 10 10
1 11 1 1 1
20 10 10 102
1 11 1 1 1
10
1
. 3 1 . 4 7 23 dan 44
1. 1 . 3 2 35 dan 17
2
2.
1
i ik i i i
i ij j j j
i
a k d a b dengan a b
b j e a b dengan a b
ci
72
DAFTAR PUSTAKA
1. Edwin J.Purcell Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Erlangga 1989
2. Wikaria Gazali soedadyatmodjo, kalkulus, Graha Ilmu 2005