1

BAHAN AJAR

ANALISIS REAL 1

DOSEN PENGAMPU

RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd.

NIDN. 0212088701

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO

2015

2

KATA PENGANTAR

حيمهللابسم ا حمن الر الر

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan

bagi kita dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-Nya yang

begitu melimpah.

Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad

SAW yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam.

Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Sistem Bilangan Real,

Limit Barisan dan Limit Fungsi. Semoga bahan ajar ini dapat

memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam

pembelajaran Analisis Real 1 bagi mahasiswa Pendidikan Matematika

Metro, September 2015

Penyusun

3

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

DEFINISI

Operasi biner pada himpunan A adalah fungsi dari A x A ke A.

Terdapat 2 operasi biner utama dalam sistem bilangan real. Yaitu

penjumlahan (+) dan perkalian (.)

Teorema 1.1

Sifat Aljabar dari

Pada himpunan bilangan real R terdapat dua operasi biner

penjumlahan (+) dan perkalian (.).

Dua operasi biner tersebut mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

(A1) (a+b) + c = a + (b+c),

(sifat assosiatif dari penjumlahan)

(A2)

(eksistensi elemen nol)

(A3) ( )

(Eksistensi elemen negatif)

(A4)

(Sifat komutatif dari penjumlahan)

(M1) ( ) ( )

(Sifat asosiatif dari perkalian)

(M2)

(Eksistensi elemen satuan)

(M3)

(Eksistensi invers)

(M4)

(Sifat komutatif dari perkalian)

4

(D) ( ) ( ) ( )

(Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)

Kesembilan teorema diatas dikenal dengan Aksioma Lapangan (Field)

Teorema 1.2

(a) Jika maka

BUKTI:

z + a = a, dengan menambahkan –a pada kedua ruas, diperoleh:

(z+a) + (-a) = a + (-a)

Pada ruas kanan:

(z+a) + (-a) = z + (a+(-a)) = z + 0 = z

Pada ruas kiri:

(a) + (-a) = 0

Jadi dapat disimpulkan bahwa z = 0

(b) Jika

BUKTI:

Diketahui

Terdapat

= 1

Kedua ruas dikalikan dengan

, sehingga diperoleh: ( )

Ruas kanan:

( )

(

)

Ruas kiri:

= 1

Sehingga dapat disimpulkan bahwa

5

Teorema 1.3

(a) Jika

Bukti:

, dengan menambahkan pada kedua ruas diperoleh:

( ) ( ) ( )

Pada ruas kiri:

( ) ( ) ( )

Pada ruas kanan:

( )

Jadi dapat disimpulkan bahwa

(b) Jika

Bukti:

Diketahui ,

Berdasarkan sifat M4,

Jika kedua ruas dikalikan

, maka diperoleh:

( )

Ruas kanan :

( ) (

)

Ruas kiri :

( )

Sehingga dapat disimpulkan bahwa:

6

Teorema 1.4

Misalkan diberikan sebarang , maka:

(a) Persamaan mempunyai penyelesaian tunggal

( )

Bukti:

Misalkan ( ) , maka

(( ) ) ( ( ))

Mengakibatkan bahwa ( ) merupakan penyelesaian

dari persamaan .

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa penyelesaian tersebut tunggal.

Misalkan adalah penyelesaian lain dari persamaan tersebut,

maka dan jika pada kedua ruas ditambahkan –a,

Maka diperoleh:

( ) ( ) ( )

Ruas kiri:

( ) ( ) ( )

Jadi dapat disimpulkan bahwa = ( )

Teorema 1.5

Jika , maka :

(a) (c) ( )

(b) ( ) (d) ( )( )

Bukti:

(a)

Dari sifat M2, selanjutnya dengan menambahkan pada

diperoleh:

( )

Dari teorema , maka dapat dilihat bahwa

7

Maka

(b) ( )

Bukti:

Dengan menerapkan sifat M3 dan M4, diperoleh:

( ) ( ) ( )

Dari teorema , sehingga disimpulkan:

( )

( )

(c) ( )

Bukti:

Dengan menerapkan sifat A4

Dan menggunakan teorema :

Sehingga disimpulkan bahwa:

( )

(d) ( ) ( )

Bukti:

Dengan menggunakan teorema: ( )

Kemudian subtitusi , maka diperoleh:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Teorema 1.6

Misalkan

8

(a) Jika

⁄ .

Bukti:

, maka

ada. Andaikan

= 0 dan kedua ruas dikalikan

dengan , maka diperoleh:

(

)

1 = 0

Kontradiksi, sehingga pengandaian

= 0 salah.

Haruslah

0

Selanjutnya karena (

) maka berdasarkan teorema:

Maka

Maka dapat disimpulkan bahwa

⁄

9

SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL

Teorema 2.1 Sifat-Sifat Urutan dari

Terdapat himpunan bagian tak kosong P dari yang disebut himpunan

bilangan real positif, yang memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) Jika

(b) Jika

(c) Jika , maka tepat saru dari di bawah ini akan dipenuhi:

P

sifat (c) disebut Sifat Trichotomy.

Definisi 2.2

(i) Jika bilangan real positif dan ditulis > 0.

(ii) Jika * + bilangan non negatif dan ditulis 0.

(iii) Jika bilangan real negatif dan ditulis < 0.

(iv) Jika * + bilangan non positif dan ditulis 0.

Definisi 2.3

Misalkan

(a) Jika , maka ditulis atau

(b) Jika * +, maka ditulis atau

Selanjutnya notasi mempunyai arti dan .

Dengan cara yang sama, jika

Teorema 2.4

Misalkan

(a) Jika , maka ditulis

(b) Dipenuhi tepat satu dari:

10

(c) Jika

Bukti:

(a) Jika , maka ditulis

Jika berarti , sheingga

dengan aksioma: Jika , diperoleh:

( ) ( ) . Jadi

(b) Dipenuhi tepat satu dari:

Dengan sifat Trichotomy, dipenuhi tepat satu dari:

( ) P

(c) Jika

Andaikan , maka 0, sehingga dari (b) diperoleh

atau P. Dengan kata lain, . Hal ini kontradiksi

dengan hipotesis . Maka pengandaian salah. haruslah

Teorema 2.5

(a) Jika

(b) 1

(c) Jika , maka

Bukti:

(a) Dengan sifat Trichotomy, jika maka atau

Jika , maka dengan aksioma diperoleh =

Dengan cara yang sama, jika , maka ( )( ) ,

Maka ( )( ) =(-1) .(-1) = (-1).(-1). =

Sehingga disimpulkan: jika

11

(b) 1

Karena

(c) Jika , maka

Dibuktikan dengan induksi matematika :

(i) untuk n = 1, benar 1 > 0

(ii) untuk n = k, maka k > 0. Akan dibuktikan untuk n = k + 1

karena dan , maka

sehingga dengan aksioma: , maka terbukti bahwa

k + 1 > 0

dari (i) dan (ii) terbukti bahwa:

Teorema 2.6

Misalkan

(a) Jika , maka

(b) Jika dan , maka

(c) Jika dan maka

Jika dan maka

(d) Jika maka

Jika maka

Bukti:

(a) Jika , maka

Jika , berarti , sehingga (a + c) – (b + c) = .

Jadi (a + c) > (b + c)

(b) Jika dan , maka

dan berarti dan , sehingga dengan sifat:

Jika maka , diperoleh:

12

(a + c) – (b + d) = (a – b) + (c – d)

Jadi

(c) Jika dan maka

Jika dan maka

Jika dan , berarti dan , sehingga dengan sifat:

Jika maka , diperoleh:

( ) .

jadi

Jika , berarti , sehingga

( ) ( ) . Jadi

Contoh:

1. Jika

Bukti !

(i)

Andaikan dan maka = =

Sehingga .

Kontradiksi dengan . maka haruslah

(ii)

, maka = = 0 . 0 = 0

, maka = = 0 . 0 = 0

Sehingga

Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa:

Jika

2. Jika

Bukti:

13

Dan telah diketahui bahwa:

Maka disimpulkan bahwa :

Teorema 2.7

Jika a, b a < b, maka

( )

Bukti:

Karena a < b, maka dengan teorema: jika a > b, maka a + c > b + c

Sehingga diperoleh :

2a = a + a < a + b dan a + b < b + b = 2b

Jadi 2a < a + b < 2b

Dengan teorema: 1 > 0, diperoleh : 2 > 0,dan

> 0 sehingga dapat

disimpulkan:

a =

(2a) <

(a + b) <

(2b) = b

Jadi a <

(a + b) < b

Berdasarkan teorema tersebut, maka dapat diambil kesimpulan

bahwa diantara dua bilangan real yang berbeda terdapat tak berhingga

bilangan real.

Teorema 2.8

Teorema ini sebagai akibat dari teorema 2.2.7, yaitu:

Jika b dan b > 0, maka

( )

Bukti:

Subtitusikan a = 0 pada teorema :

( )

14

Maka diperoleh

( )

Teorema 2.9

Jika dan

Bukti:

Andaikan a > 0, maka dari teorema

a.

Jika dipilih =

, maka 0 < < a.

Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa

, .

Jadi haruslah a = 0.

Teorema 2.10

Jika dan

Bukti:

Andaikan b < a. Misalkan

(a – b), maka > 0.

Sehingga diperoleh b < a -

Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa .

Jadi haruslah

Teorema 2.11

Jika ab > 0, maka dipenuhi salah satu:

(a) a > 0 dan b > 0

(b) a < 0 dan b < 0

Bukti:

Karena ab > 0, maka dan b .

Berdasarkan sifat Trichotomy, maka a > 0 atau a < 0.

Jika a > 0, maka berdasarkan teorema

, sehingga:

15

b = 1b = (

)a.b= (

)( )

Dengan cara yang sama, jika a < 0, maka

sehingga b = (

)( )

Contoh:

1. Buktikan bahwa 0 < a < b, maka √

( )

BUKTI:

Diketahui bahwa 0 < a < b

(√ √ )

√ √

√ √

√

( )

2. Buktikan bahwa (

( ))

( )

BUKTI:

( ) =

( ) 2 ( )

( )

( )

(

( ))

( )

16

NILAI MUTLAK

DEFINISI

Untuk a harga mutlak dari a, dinotasikan dengan | | didefinisikan

sebagai :

a; a

| | =

-a; a < 0

Sebagai contoh, | | = 3 dan | |= 2.

Dari definisi ini disimpulkan bahwa | | , a .

Teorema 3.1

(i) | | jika dan hanya jika a = 0

(ii) | | | | a

(iii) | | | || | a, b

(iv) jika c 0, maka | | jika dan hanya jika –c a c

(v) -| | a | | a

BUKTI:

(i) Dari definisi, jika a = 0 maka | | Sebaliknya, jika a 0, maka –a

0, sehingga | | 0. jadi, jika | | , maka a = 0.

(ii) Jika a = 0, maka | | 0 = | |. Jika a > 0, maka –a < 0

sehingga | |= a = -(-a) = | |. Jika a < 0 maka –a > 0 sehingga | |= -a

= | |.

(iii) Jika salah satu dari a, b bernilai nol, maka baik | | maupun | || |

sama-sama bernilai nol. Jika a > 0 dan b > 0, maka | |= ab = | || |. Jika

a > 0 dan b < 0, maka ab < 0 sehingga | |= -ab = a(-b) = | || |.

17

Untuk dua kasus yang lain dapat dikerjakan dengan cara yang sama.

(iv) Jika | | | | maka diperoleh a c dan –a c. Hasil ini memberikan

a c dan –c a sehingga -c a .

Sebaliknya, jika -c a c, maka a c dan –a c, yang berarti | | c.

(v) Subtitusikan c = | | ke dalam (iv)

Teorema 3.2

Ketaksamaan Segitiga:

Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku : | | | | | |

Bukti:

Dari teorema: -| | a | | dan -| | b | |. Jika dijumlahkan:

-(| |+| |) a + b | | | |

Dengan teorema: | | jika dan hanya jika –c a c

maka disimpulkan bahwa: | | | | | |

Teorema 3.3

Teorema ini muncul sebagai akibat dari adanya teorema 2, yaitu:

Jika a dan b sebarang bilangan real, maka:

(i) || | | || | |

| | | | | |

Contoh:

Fungsi f didefinisikan dengan f(x) = ( )

( ) untuk 1

Tentukan konstanta M sehingga | ( )| M, 1 .

Jawab:

Perhatikan terpisah pembilang dan penyebut dari:

| ( )| = | |

| |

18

Dengan ketaksamaan segittiga diperoleh:

| | | | + 4 | | + 4.3 + 1 = 22

Karena | | 3, 1 . dipihak lain:

| | 3 | | 3.1 - 1 = 2

Karena | | 1 .

Jadi

| |

, untuk x . Sehingga untuk 1 berlaku:

| ( )| | |

| | = 22 .

= 11. Jadi dipilih M = 11

DEFINISI

Misalkan a dan Persekitaran a didefinisikan sebagai

himpunan (a) = { | | }.

Untuk a pernyataan bahwa (a) ekuivalen dengan pernyataan:

- < x – a < < x < a +

Teorema 3.4

Misalkan a Jika x anggota dari persekitaran (a), maka x

= a.

Bukti:

Jika x memenuhi | | , maka menurut teorema:

jika a dan 0 maka a = 0

Sehingga diperoleh:

| | yaitu x = a.

Contoh:

1. Misalkan a Tunjukkan bahwa | | √

Jawab:

Dari definisi (i) | | a, a

19

= ( )

= √

(ii) | | -a, a

| | ( )

= √

Dari (i) dan (ii) maka | | √

2. Misalkan a Tunjukkan bahwa | |

Jawab:

Telah ditunjukkan bahwa | | √

Pilih a = , maka diperoleh:

| | √

| | √( ) = ( )

=

Jadi | |

20

SIFAT KELENGKAPAN DAN ARCHIMIDES

DEFINISI

Misalkan S himpunan bagian dari .

a) Bilangan dikatakan batas atas dari himpunan S jika berlaku

untuk setiap .

b) Bilangan dikatakan batas bawah dari himpunan S jika

berlaku untuk setiap .

DEFINISI

Misalkan S himpunan bagian dari .

a) Jika S terbatas di atas, maka batas atas u adalah supremum

(batas atas terkecil) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih kecil

dari u yang merupakan batas atas dari S.

b) Jika S terbatas di bawah, maka batas bawah v adalah infimum

(batas bawah terbesar) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih

besar dari v yang merupakan batas bawah dari S.

Teorema 4.1

Bilangan u adalah supremum dari himpunan tak kosong , jika dan

hanya jika memenuhi :

a) untuk setiap .

b) Jika , maka terdapat sehingga .

Bukti :

a) Dari definisi u merupakan batas atas dari himpunan S jika :

untuk setiap

Diketahui u merupakan supremum (batas atas terkecil) dari

himpunan S , maka dari definisi batas atas berlaku

untuk setiap

21

u adalah supremum dari himpunan S berarti tak ada bilangan

yang lebih kecil u yang merupakan batas atas dari S.

, berarti karena u adalah sup S.

, berarti terdapat sehingga .

Jadi , jika maka terdapat sehingga .

Teorema 4.2

a) Batas atas u dari himpunan tak kosong , merupakan

supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat

sehingga .

b) Batas bawah l dari himpunan tak kosong , merupakan

infimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat

sehingga .

Bukti:

a) Misalkan u adalah batas atas dari S yang memenuhi kondisi di atas.

Jika dan kita ambil , untuk setiap terdapat

sehingga .

Jadi v bukan batas atas dari S. Karena v sebarang bilangan yang lebih

kecil dari u , maka . Sebaliknya, misalnya dan

.

Karena , maka bukan batas atas dari S . Akibatnya

beberapa haruslah lebih besar daripada , yaitu .

b) Misalkan l adalah batas bawah dari S yang memenuhi kondisi di

atas. Jika dan kita ambil , untuk setiap terdapat

sehingga .

Jadi v bukan batas bawah dari S. Karena v sebarang bilangan yang lebih

besar dari l , maka . Sebaliknya, misalnya dan .

Karena , maka bukan batas bawah dari S .

22

Akibatnya beberapa haruslah lebih kecil daripada , yaitu

.

Teorema 4.3

(Sifat supremum dari R)

Setiap himpunan tak kosong di dalam R yang mempunyai batas atas

pasti mempunyai supremum di dalam R.

Bukti :

Misalkan S himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di bawah.

Himpunan * + terbatas di atas, dan dari sifat supremum

diperoleh bahwa ada. Akibatnya .

Teorema 4.4

(Sifat infimum dari R)

Setiap himpunan tak kosong di dalam R yang mempunyai batas bawah

pasti mempunyai infimum di dalam R.

Bukti :

Sifat analog dari infimum juga dapat dideduksi dari sifat supremum di

atas.

Teorema 4.5

(Sifat Archimides)

Jika maka x

Bukti :

Andaikan x tidak benar, yaitu x .

Oleh karena itu, x adalah batas atas dari N

sehingga dengan sifat supremum maka himpunan tak kosong N

mempunyai supremum u didalam R.

karena u – 1 < u, maka dengan teorema:

23

batas atas u dari himpunan tak kosong , merupakan supremum

dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat sehingga

.

maka terdapat N sehingga u – 1 < m.

Tetapi akibatnya u < m + 1.

Karena m + 1 N , maka kontradiksi dengan asumsi bahwa u adalah

adalah batas atas dari N.

Contoh:

1. Jika dan { }

Buktikan bahwa :

Jawab :

Akan dibuktikan bahwa :

i) Misalkan , maka

Sehingga au batas bawah dari aS , akibatnya :

ii) Misalkan v , maka

Sehingga

batas bawah dari S , akibatnya :

Dari i dan ii, maka terbukti bahwa

24

Latihan 1

1. Teorema 1.4 bagian b !

2. Teorema 1.6 bagian b !

3. Teorema 1.6 bagian c !

4. Teorema 2.2.6 bagian d !

5. Buktikan: jika , maka √

6. Jika a dan b |

| =

| |

| | !

7. Jika dan { }

Buktikan bahwa :

8. Misalkan S = {

; n N}.

Buktikan bahwa: inf S = 0 !