Bahan Ajar Aljabar dan Trigonometri - USD

Aljabar dan TrigonometriYosep Dwi Kristanto https://orcid.org/0000-0003-1446-0422

UNIVERSITAS SANATA DHARMAY O G Y A K A R T A

https://orcid.org/0000-0003-1446-0422

Ciptaan disebarluaskan di bawah Lisensi Creative Commons Atribusi 4.0

Internasional.

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

FUNGSIUniversitas Sanata Dharmaf(x)

DEFINISIFUNGSI

FungsiSebagaiAturan

Fungsi adalah suatu aturan yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota range.

FungsiSebagaiPersamaan

𝑦𝑦 = 0,79 + 3,89𝑥𝑥

Variabel bebas

Variabel tergantung

NotasiFungsi

Input fungsi direpresentasikan dengan x, sedangkan output fungsi direpresentasikan dengan f(x).

𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0,79 + 3,89𝑥𝑥

Input Persamaan

Output

MenentukanNilaiFungsi

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥2 + 121

𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 5𝑡𝑡2 + 122

𝑓𝑓 𝑠𝑠 = 5𝑠𝑠2 + 123

𝑓𝑓 = 5 2 + 124

LATIHAN 1

MENENTUKAN NILAI FUNGSIMisalkan f(x) = x2 + 2x. Tentukan masing-masing nilai fungsi berikut.(a) f(1) (b) f(–2) (c) f(1/2)

FungsiSepotong-Sepotong

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �2𝑥𝑥 − 1, 𝑥𝑥 < 0𝑥𝑥2 − 4, 𝑥𝑥 ≥ 0

LATIHAN 2

NILAI FUNGSI SEPOTONG-SEPOTONGDidefinisikan fungsi f sebagai berikut.

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �5− 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≤ 5𝑥𝑥 − 5, 𝑥𝑥 > 5

Tentukan masing-masing nilai fungsi berikut.(a) f(–7) (b) f(12)

DomainFungsi

Kecuali jika ada informasi yang diberikan, domain suatu fungsi adalah himpunan semua bilangan real yang membuat bentuk aljabar dalam fungsi tersebut terdefinisi sebagai bilangan real.

CONTOH 1

MENENTUKAN DOMAIN FUNGSITentukan domain kedua fungsi berikut.(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1

𝑥𝑥−3(b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 5

PEMBAHASAN

(a) Bentuk rasional tidak terdefinisi ketika penyebutnya sama dengan 0. Dengan demikian, f(x) tidak terdefinisi ketika x – 3 = 0, yaitu x = 3. Jadi, domain f adalah

𝑥𝑥|𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ∈ ℝ(b) Bentuk di dalam akar kuadrat haruslah tidak

negatif. Dengan demikian, x – 5 ≥ 0, yaitu x ≥ 5. Jadi, domain fungsi g adalah

𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 ≥ 5, 𝑥𝑥 ∈ ℝ

LATIHAN 3

MENENTUKAN DOMAIN FUNGSITentukan domain ketiga fungsi berikut.

(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2

4−5𝑥𝑥

(b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 2 3𝑥𝑥−25

(c) ℎ 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑡𝑡+3

GrafikFungsi

Jika f memiliki domain A, maka grafik f merupakan himpunan pasangan berurutan

𝑥𝑥, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 |𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴yang diplot pada bidang koordinat. Dengan kata lain, grafik f adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga y = f(x); yaitu grafik fmerupakan grafik persamaan y = f(x).

MenggambarGrafikFungsi

Sketsalah grafik 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2.𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟐𝟐

0 0

±12

14

±1 1

±2 4

±3 9 –1 2 3–2–3 1

1

2

3

4

5

x

y

GrafikFungsiSepotong-Sepotong

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �2𝑥𝑥 − 1, 𝑥𝑥 < 0𝑥𝑥2 − 4, 𝑥𝑥 ≥ 0

1 2–1–2

2

4

–2

–4

–6

x

y

UjiGarisVertikal

Kurva pada bidang koordinat merupakan grafik suatu fungsi jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva tersebut lebih dari satu kali.

x

y

x

y

Bukan Fungsi Fungsi

PergeseranVertikalGrafik

Misalkan 𝑐𝑐 > 0.• Untuk menggambar

grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥ke atas sejauh 𝑐𝑐satuan.

• Untuk menggambar grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐, geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥ke bawah sejauh 𝑐𝑐satuan.

x

y

c

c

y = f(x) + c

y = f(x) – c

y = f(x)

LATIHAN 4

PERGESERAN VERTIKAL GRAFIKGunakan grafik f(x) = x2 untuk mensketsa grafik masing-masing fungsi berikut.(a) g(x) = x2 + 3(b) h(x) = x2 – 2

PergeseranHorizontal

Misalkan 𝑐𝑐 > 0.• Untuk menggambar

grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 , geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥ke kanan 𝑐𝑐 satuan.

• Untuk menggambar grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 , geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥ke kiri 𝑐𝑐 satuan.

x

y

c c

y = f(x)y = f(x + c)

y = f(x – c)

LATIHAN 5

PERGESERAN HORIZONTAL GRAFIKGunakan grafik f(x) = x2 untuk mensketsa grafik masing-masing fungsi berikut.(a) g(x) = (x + 4)2

(b) h(x) = (x – 3)2

PencerminanGrafik

• Untuk menggambar grafik 𝑦𝑦 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥 , cerminkan grafik 𝑦𝑦 =𝑓𝑓 𝑥𝑥 terhadap sumbu-x.

• Untuk menggambar grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 , cerminkan grafik 𝑦𝑦 =𝑓𝑓 𝑥𝑥 terhadap sumbu-y.

x

y

x

y

y = f(x)

y = –f(x)

y = f(–x)

y = f(x)

PereganganPemampatanVertikal

Untuk menggambar grafik 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑥𝑥 :• Jika 𝑐𝑐 > 1,

regangkan grafik 𝑦𝑦 =𝑓𝑓 𝑥𝑥 vertikal dengan faktor 𝑐𝑐.

• Jika 0 < 𝑐𝑐 < 1, mampatkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 vertikal dengan faktor 𝑐𝑐.

x

y

y = f(x)

PereganganPemampatanHorizontal

Untuk menggambar grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑥𝑥 :• Jika 𝑐𝑐 > 1,

mampatkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 horizontal dengan faktor 𝑐𝑐.

• Jika 0 < 𝑐𝑐 < 1, regangkan grafik 𝑦𝑦 =𝑓𝑓 𝑥𝑥 horizontal dengan faktor 𝑐𝑐.

x

yy = f(x)y = f(cx)

c > 1

x

y

y = f(x)

y = f(cx)

0 < c < 1

FungsiGenapDanGanjil

Misalkan 𝑓𝑓 adalah suatu fungsi.• 𝑓𝑓 adalah fungsi

genap jika 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 =𝑓𝑓 𝑥𝑥 untuk semua 𝑥𝑥dalam domain 𝑓𝑓.

• 𝑓𝑓 adalah fungsi ganjil jika 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥untuk semua 𝑥𝑥dalam domain 𝑓𝑓.

x

y

0–x

x

f(x)

f(–x)

x

y

0–x x

f(–x) f(x)

AljabarFungsi

Misalkan 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 adalah fungsi-fungsi dengan domain 𝐴𝐴dan 𝐵𝐵. Maka fungsi-fungsi 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔, 𝑓𝑓𝑔𝑔, dan ⁄𝑓𝑓 𝑔𝑔didefinisikan sebagai berikut.

𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵𝑓𝑓 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵𝑓𝑓𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵𝑓𝑓𝑔𝑔

𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥

Domain 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵|𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0

KomposisiFungsi

Diberikan dua fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔, fungsi komposit𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 (juga disebut komposisi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔) didefinisikan sebagai

𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥

g(x) f(g(x))x

g f

f ∘ g

Diagram panah untuk f ∘ g

DefinisiIterasi

Diberikan fungsi 𝑓𝑓 dan input 𝑥𝑥0, iterasi-iterasi 𝑥𝑥0 adalah bilangan-bilangan 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 , 𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 , 𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 , dan seterusnya.

𝑥𝑥1 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 iterasi pertama𝑥𝑥2 = 𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 iterasi kedua

𝑥𝑥3 = 𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 iterasi ketiga

⋮Orbit 𝑥𝑥0 di bawah fungsi 𝑓𝑓 adalah daftar bilangan-bilangan 𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3, ….

FungsiSatu-Satu

Fungsi dengan domain 𝐴𝐴 disebut fungsi satu-satu (fungsi injektif) jika tidak ada dua anggota 𝐴𝐴 yang memiliki pasangan sama, yaitu,

𝑓𝑓 𝑥𝑥1 ≠ 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 jika 𝑥𝑥1 ≠ 𝑥𝑥2.

UjiGarisHorizontal

Suatu fungsi merupakan fungsi satu-satu jika tidak ada garis horizontalyang memotong grafik fungsi tersebut lebih dari satu kali.

FungsiInvers

Misalkan 𝑓𝑓 adalah fungsi satu-satu dengan domain 𝐴𝐴 dan range 𝐵𝐵. Maka fungsi invers 𝑓𝑓−1 memiliki domain 𝐵𝐵 dan range 𝐴𝐴 dan didefinisikan sebagai

𝑓𝑓−1 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 ⟺ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦

SifatFungsiInvers

Misalkan 𝑓𝑓 adalah fungsi satu-satu dengan domain 𝐴𝐴 dan range 𝐵𝐵. Fungsi invers 𝑓𝑓−1 memenuhi sifat-sifat pembatalan berikut.

𝑓𝑓−1𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 untuk setiap 𝑥𝑥 di 𝐴𝐴𝑓𝑓 𝑓𝑓−1 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 untuk setiap 𝑥𝑥 di 𝐵𝐵

Begitu juga sebaliknya, sembarang fungsi 𝑓𝑓−1yang memenuhi persamaan-persamaan tersebut merupakan invers 𝑓𝑓.

MenentukanFungsiInvers

Tukar antara 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦. Persamaan yang dihasilkan merupakan 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓−1 𝑥𝑥3

Selesaikan 𝑥𝑥 dalam persamaan (jika mungkin)2

Tulis 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥1

Tentukan invers fungsi berikut:𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥−1

2𝑥𝑥+3Tulis 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−12𝑥𝑥+3

Selesaikan 𝑥𝑥 dalam persamaan𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−1

2𝑥𝑥+32𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = −3𝑦𝑦 − 1

𝑥𝑥 2𝑦𝑦 − 1 = −3𝑦𝑦 − 1𝑥𝑥 = −3𝑦𝑦−1

2𝑦𝑦−1

Persamaan yang diberikan

Kalikan dengan 2𝑥𝑥 + 3

Jumlahkan dengan −3𝑦𝑦 dan −𝑥𝑥

Faktorkan keluar 𝑥𝑥

Bagi dengan 2𝑦𝑦 − 1

Tukar antara 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦𝑦𝑦 = −3𝑥𝑥−1

2𝑥𝑥−1Jadi, fungsi invers yang dihasilkan adalah

𝑓𝑓−1 𝑥𝑥 = −3𝑥𝑥−12𝑥𝑥−1

GrafikFungsiInvers

Grafik 𝑓𝑓−1 dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik 𝑓𝑓terhadap garis 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥.

x

y(b, a)

(a, b)

f

f –1

Latihan Soal

Didefinisikan fungsi 𝑓𝑓 yang memiliki domain bilangan bulat positif, sebagai berikut:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �3𝑥𝑥 + 1 jika 𝑥𝑥 ganjil⁄𝑥𝑥 2 jika 𝑥𝑥 genap

(a) Hitunglah 𝑓𝑓 1 , 𝑓𝑓 2 , 𝑓𝑓 3 , dan 𝑓𝑓 4 .(b) Hitunglah tiga iterasi pertama untuk 𝑥𝑥0 = 1.(c) Hitunglah iterasi-iterasi 𝑥𝑥0 = 3 sampai

diperoleh nilai 1.

Latihan Soal

Pada gambar di samping, tentukan koordinat A, B, C, D, E, dan F. Nyatakan jawabanmu ke dalam fungsi f, f –1, dan bilangan c. x

y

c

AB

CD

E F

y = f(x)

y = f –1(x)

y = x

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Universitas Sanata Dharma

PersamaanKuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk

𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0di mana 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, dan 𝑐𝑐 adalah bilangan real dengan 𝑎𝑎 ≠ 0.

MenyelesaikanPersamaanKuadrat

Pemfaktoran MelengkapkanKuadrat RumusKuadrat

1 2 3

Pemfaktoran

Sifat Hasil Kali Nol𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0 jika dan hanya jika 𝐴𝐴 = 0 atau 𝐴𝐴 = 0

ContohPemfaktoran

𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 = 14𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 14 = 0𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 − 7 = 0

𝑥𝑥 + 2 = 0 atau 𝑥𝑥 − 7 = 0𝑥𝑥 = −2 𝑥𝑥 = 7

Jadi, selesaian persamaan yang diberikan adalah 𝑥𝑥 = −2 dan 𝑥𝑥 = 7.


Kurangi dengan 14

Faktorkan

Sifat Hasil Kali Nol

Selesaikan

MelengkapkanKuadrat

Untuk membuat 𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 menjadi kuadrat sempurna, jumlahkan dengan 𝑏𝑏

2

2, yaitu kuadrat

dari setengah koefisien 𝑥𝑥. Hal ini akan memberikan kuadrat sempurna

𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2

2= 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

2

2

ContohMelengkapkanKuadrat

4𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 7 = 04𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 = 74 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 = 7

4 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 14= 7 + 4 � 1

4

4 𝑥𝑥 − 12

2= 8

𝑥𝑥 − 12

2= 2

𝑥𝑥 − 12= ± 2

𝑥𝑥 = 12± 2


Jumlahkan dengan 7

Faktorkan keluar 4

Lengkapi kuadrat

Kuadrat sempurna

Bagi dengan 4

Akar kuadratkan

Jumlahkan dengan ½

RumusKuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 di mana 𝑎𝑎 ≠ 0, adalah

𝑥𝑥 = −𝑏𝑏± 𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑎𝑎2𝑎𝑎

MenemukanRumusKuadrat

𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑥𝑥 = − 𝑎𝑎

𝑎𝑎

𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

2𝑎𝑎

2= − 𝑎𝑎

𝑎𝑎+ 𝑏𝑏

2𝑎𝑎

2

𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑎𝑎

2= −4𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏2

4𝑎𝑎2

𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑎𝑎= ± 𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑎𝑎

2𝑎𝑎

𝑥𝑥 = −𝑏𝑏± 𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑎𝑎2𝑎𝑎

Bagi dengan 𝑎𝑎; kurangi 𝑐𝑐𝑎𝑎

Lengkapi kuadrat

Kuadrat sempurna

Akarkan kuadrat

Kurangi dengan 𝑏𝑏2𝑎𝑎

ContohRumusKuadrat

Cari semua selesaian persamaan 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 4 = 0.PEMBAHASAN Pertama, identifikasi 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, dan 𝑐𝑐.

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 4 = 0

Dengan Rumus Kuadrat, diperoleh

𝑥𝑥 = − −2 ± −2 2−4 1 −42 1

= 1 ± 5

𝑎𝑎 = 1

𝑏𝑏 = −2

𝑐𝑐 = −4

Diskriminan

Diskriminan bentuk umum persamaan kuadrat𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 di mana 𝑎𝑎 ≠ 0

adalah 𝐷𝐷 = 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐.1. Jika 𝐷𝐷 > 0, persamaan memiliki dua selesaian

real yang berbeda.2. Jika 𝐷𝐷 = 0, persamaan memiliki tepat satu

selesaian real.3. Jika 𝐷𝐷 < 0, persamaan tidak memiliki selesaian

real.

LatihanSoal

Gunakan diskriminan untuk menentukan banyaknya selesaian masing-masing persamaan berikut.(a) 4𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 19 = 0(b) 9𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 1 = 0(c) 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5 = 0

PemodelanPersamaanKuadrat

Jika bersama-sama, Essna dan Ruth dapat membersihkan jendela rumah mereka selama 1 jam 48 menit. Jika bekerja sendiri, Essna dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama selama 1 ½ jam lebih lama dari Ruth. Berapa lama yang diperlukan oleh Essna dan Ruth untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut?

Identifikasi variabel. Kita diminta untuk menentukan lama waktu yang diperlukan Essna dan Ruth untuk menyelesaikan pekerjaan. Sehingga, misalkan

𝑥𝑥 = waktu yang diperlukan oleh Ruth

Maka, 𝑥𝑥 + 1 12= waktu yang diperlukan oleh Essna

Ubah kata-kata ke aljabar.

Kata-Kata AljabarJumlah pekerjaan Essna dan Ruth selama 1 jam

1⁄9 5

Jumlah pekerjaan Ruth selama 1 jam 1𝑥𝑥

Jumlah pekerjaan Essna selama 1 jam 1𝑥𝑥+112

Buat model. Jumlah pekerjaan yang dilakukan sendiri-sendiri oleh Essna dan Ruth sama dengan jumlah pekerjaan yang dilakukan keduanya secara bersama-sama.

Sehingga,1𝑥𝑥+ 1

𝑥𝑥+112= 1

⁄9 5

1𝑥𝑥+ 2

2𝑥𝑥+3= 5

99 2𝑥𝑥 + 3 + 18𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥 2𝑥𝑥 + 310𝑥𝑥2 − 21𝑥𝑥 − 27 = 0

Jumlah pekerjaan Ruth

Jumlah pekerjaan

Essna

Jumlah pekerjaan keduanya

+ =

Selesaikan. Kita gunakan Rumus Kuadrat untuk memperoleh

𝑥𝑥 = 21± −21 2−4 10 −272 10

= 21±3920

𝑥𝑥 = − 910

atau 𝑥𝑥 = 3

Karena 𝑥𝑥 merepresentasikan waktu, maka 𝑥𝑥 tidak boleh negatif, maka kita tolak jawaban negatif, dan menyimpulkan bahwa waktu yang dibutuhkan Ruth adalah 3 jam, sedangkan waktu yang dibutuhkan Essna adalah 3 + 1 ½ = 4 ½ jam.

PersamaanBentukKuadrat

𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥2 − 5 = 0𝑥𝑥2 2 − 4 𝑥𝑥2 − 5 = 0

𝑢𝑢2 − 4𝑢𝑢 − 5 = 0𝑢𝑢 + 1 𝑢𝑢 − 5 = 0

𝑢𝑢 + 1 = 0 atau 𝑢𝑢 − 5 = 0𝑢𝑢 = −1 𝑢𝑢 = 5𝑥𝑥2 = −1 𝑥𝑥2 = 5

𝑥𝑥 = ± 5


Persamaan memuat 𝑥𝑥2

Misalkan 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥2

Faktorkan


Selesaikan 𝑢𝑢

Substitusi 𝑢𝑢 dengan 𝑥𝑥2

Selesaikan 𝑥𝑥

Uji − 5:𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥2 − 5 = 0

− 54− 4 − 5

2− 5= 0

25− 20− 5 = 00 = 0

Uji 5:𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥2 − 5 = 0

54− 4 5

2− 5 = 0

25− 20− 5 = 00 = 0

?

?

?

?

INGAT! Setiap kali menyelesaikan persamaan dalam bentuk kuadrat, periksa kembali jawabannya.

LatihanSoal

Selesaikan masing-masing persamaan berikut.(a) 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 10 = 0.(b) 𝑥𝑥2 − 5 2 + 3 𝑥𝑥2 − 5 − 10 = 0.(c) 10𝑥𝑥−2 + 7𝑥𝑥−1 + 1 = 0.

(d) 5𝑥𝑥23 + 11𝑥𝑥

13 + 2 = 0.

PemecahanMasalah

1. Selesaikan 𝑟𝑟 dalam persamaan 2𝜋𝜋𝑟𝑟2 + 2𝜋𝜋𝑟𝑟𝜋 =20𝜋𝜋.

2. Jika 𝑟𝑟1 dan 𝑟𝑟2 adalah selesaian-selesaian persamaan kuadrat 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0, tunjukkan bahwa 𝑟𝑟1 + 𝑟𝑟2 = − ⁄𝑏𝑏 𝑎𝑎 dan 𝑟𝑟1𝑟𝑟2 =⁄𝑐𝑐 𝑎𝑎.

3. Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 0 𝑎𝑎 ≠ 0

memiliki dua akar real yang berbeda.

4. Metode substitusi. Cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan metode substitusi. Misalkan kita gunakan persamaan kuadrat

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1 = 0 (1)(a) Pada persamaan (1), substitusikan 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 𝑘𝑘.

Tunjukkan bahwa persamaan yang diperoleh adalah𝑦𝑦2 + 2𝑘𝑘 + 1 𝑦𝑦 = 1− 𝑘𝑘 − 𝑘𝑘2 (2)

(b) Cari nilai 𝑘𝑘 sehingga koefisien 𝑘𝑘 pada persamaan (2) bernilai 0. Kemudian, gunakan nilai 𝑘𝑘 tersebut untuk menunjukkan persamaan (2) menjadi 𝑦𝑦2 =⁄5 4.

(c) Selesaikan persamaan 𝑦𝑦2 = ⁄5 4. Kemudian gunakan persamaan 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 𝑘𝑘 untuk memperoleh selesaian persamaan (1).

FungsiKuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang dapat ditulis ke dalam bentuk

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐,dimana 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, dan 𝑐𝑐 adalah bilangan real, dan 𝑎𝑎 ≠ 0.

BentukBakuFungsiKuadrat

Fungsi kuadrat 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 dapat dinyatakan dalam bentuk baku

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝜋 2 + 𝑘𝑘dengan melengkapkan kuadrat. Grafik 𝑓𝑓 adalah parabola dengan titik puncak 𝜋,𝑘𝑘 ; parabola tersebut terbuka ke atas jika 𝑎𝑎 > 0 atau ke bawah jika 𝑎𝑎 < 0.

h

k

x

y

0

Titik puncak(h, k)

f(x) = a(x – h)2 + k, a > 0

h x0

k

y

Titik puncak(h, k)

f(x) = a(x – h)2 + k, a < 0

ContohSoal

Misalkan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥2 − 16𝑥𝑥 + 37.(a) Nyatakan 𝑓𝑓 dalam bentuk baku.(b) Sketsalah grafik 𝑓𝑓.PEMBAHASAN(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥2 − 16𝑥𝑥 + 37

= 2 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 37= 2 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 16 + 37 − 2 � 16= 2 𝑥𝑥 − 4 2 + 5

Fungsi yang diberikan

Faktorkan keluar 2

Bentuk baku

2 4 6 8

10

20

30

40

50y

0 x

Titik puncak(4, 5)

f(x) = 2(x – 4)2 + 5

EksplorasiPolaKuadrat

Amati pola kuadrat 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 berikut.

𝑥𝑥 0 1 2 3 4𝑓𝑓 𝑥𝑥Beda pertamaBeda kedua

𝑐𝑐 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 4𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 9𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 16𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏 + 𝑐𝑐

–

– –

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 3𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 5𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 7𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

2𝑎𝑎 2𝑎𝑎 2𝑎𝑎

Apa yang dapat kalian amati?

BilanganSegitiga

1 3 6 10 15 21

Tentukan pola bilangan-bilangan ini.“

NilaiMaksimum&Minimum

Misalkan 𝑓𝑓 adalah fungsi kuadrat dalam bentuk baku 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝜋 2 + 𝑘𝑘. Nilai maksimum atau minimum 𝑓𝑓 terjadi pada 𝑥𝑥 = 𝜋.• Jika 𝑎𝑎 > 0, maka nilai minimum 𝑓𝑓 adalah 𝑓𝑓 𝜋 = 𝑘𝑘.• Jika 𝑎𝑎 < 0, maka nilai maksimum 𝑓𝑓 adalah 𝑓𝑓 𝜋 = 𝑘𝑘.

LatihanSoal

Diberikan fungsi kuadrat 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥2 − 30𝑥𝑥 + 49.(a) Nyatakan 𝑓𝑓 dalam bentuk baku.(b) Sketsa grafik 𝑓𝑓.(c) Tentukan nilai minimum 𝑓𝑓.

NilaiMaksimum&Minimum

Nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 terjadi pada

𝑥𝑥 = − 𝑏𝑏2𝑎𝑎

• Jika 𝑎𝑎 > 0, maka nilai minimumnya adalah 𝑓𝑓 − 𝑏𝑏2𝑎𝑎

.

• Jika 𝑎𝑎 < 0, maka nilai maksimumnya adalah 𝑓𝑓 − 𝑏𝑏2𝑎𝑎

.

LatihanSoal

Tentukan nilai maksimum atau minimum masing-masing fungsi kuadrat berikut.(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1.(b) 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 100− 49𝑡𝑡 − 7𝑡𝑡2.

PemodelanFungsiKuadrat

Pendapatan Stadion Sebuah tim bola basket bermain di stadion dengan kapasitas 10.000 penonton. Jika harga sebuah tiket Rp 25.000,00, rata-rata penonton yang hadir adalah 5000 penonton. Sebuah survei pasar menunjukkan bahwa setiap penurunan harga tiket sebesar Rp 1.000,00, maka jumlah penontoh yang hadir bertambah 500 orang.(a) Carilah fungsi yang memodelkan pendapatan dalam

harga tiket.(b) Tentukan harga tiket yang memaksimumkan

pendapatan dari penjualan tiket.(c) Berapakah harga tiket yang terlalu tinggi sehingga tidak

ada pendapatan yang diterima?

Nyatakan model dalam kata-kata. Model yang diinginkan adalah fungsi yang memberikan pendapatan untuk setiap harga tiket.

pendapatan = harga tiket × jumlah penontonPilih variabel. Terdapat dua kuantitas: harga tiket dan jumlah penonton. Karena fungsi yang diinginkan bergantung pada harga tiket, maka misalkan

𝑥𝑥 = harga tiket

Kata-Kata AljabarHarga tiket 𝑥𝑥Penurunan harga tiket 25.000 − 𝑥𝑥Pertambahan penonton

500 �25.000 − 𝑥𝑥1.000

Jumlah penonton5.000 + 500 �

25.000 − 𝑥𝑥1.000

Buat model. Model yang diinginkan adalah fungsi 𝑃𝑃 yang memberikan pendapatan untuk setiap harga tiket 𝑥𝑥.

pendapatan = harga tiket × jumlah penonton

𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 × 5.000 + 500 � 25.000−𝑥𝑥1.000

= 𝑥𝑥 17.500 − 12𝑥𝑥

= 17.500𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥2

(a) Fungsi pendapatan yang diminta adalah𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 17.500𝑥𝑥 − 1

2𝑥𝑥2

(b) Gunakan model. Karena 𝑃𝑃 adalah fungsi kuadrat dengan 𝑎𝑎 = −1

2 dan 𝑏𝑏 = 17.500, maka nilai maksimum terjadi pada

𝑥𝑥 = − 𝑏𝑏2𝑎𝑎= −17.500

2 −12= 17.500

Jadi, harga tiket yang membuatpendapatan maksimum adalahRp 17.500,00.

(c) Gunakan model. Akan ditentukan harga tiket yang menyebabkan 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 0.

17.500𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥2 = 0

𝑥𝑥 17.500− 12𝑥𝑥 = 0

𝑥𝑥 = 0 atau 𝑥𝑥 = 35.000Berdasarkan hal ini, harga tiket Rp 35.000,00 sangatlah tinggi. Pada harga ini, tidak ada seorangpun yang ingin menonton tim tersebut bermain.

𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 0

Faktorkan


PertanyaanReflektif

Titik puncak grafik 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝜋 2 + 𝑘𝑘 adalah 𝜋, 𝑘𝑘 .

Grafik 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 16− 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 terbuka ke atas, sehingga memiliki nilai minimum.Pola kuadrat memiliki beda kedua konstan.

Tidak ada fungsi kuadrat yang memiliki range semua bilangan real.

PemecahanMasalah

Sebuah segitiga terletak di dalam setengah lingkaran dengan diameter 2𝑅𝑅. Tunjukkan bahwa luas minimum daerah yang diarsir adalah 𝜋𝜋 − 2 𝑅𝑅2/2.

2𝑅𝑅

𝑥𝑥

PertidaksamaanUniversitas Sanata Dharma

Persamaan&Pertidaksamaan

Persamaan PertidaksamaanContoh 3𝑥𝑥 − 2 = 7 3𝑥𝑥 − 2 ≤ 7Selesaian

Grafik

𝑥𝑥 = 3 𝑥𝑥 ≤ 3

30 30

MenemukanSifatPertidaksamaan

–9 –6 –3 0 3 6 9Bilangan-bilangan awal

Jumlahdengan 5

Kurangidengan 4

Kalikandengan 2

Kalikandengan –3

–4 –1 –2 5 8 11 14

–13 –10 –7 –4 –1 2 5

–18 –12 –6 0 6 12 18

< < < < < <

< < < < < <

< < < < < <

< < < < < <

27 18 9 0 –9 –18 –27> > > > > >

Sifat-SifatPertidaksamaan

1. 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⟺ 𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 ≤ 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶2. 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⟺ 𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 ≤ 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶3. Jika 𝐶𝐶 > 0, maka 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⟺ 𝐴𝐴𝐶𝐶 ≤ 𝐵𝐵𝐶𝐶4. Jika 𝐶𝐶 < 0, maka 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⟺ 𝐴𝐴𝐶𝐶 ≥ 𝐵𝐵𝐶𝐶5. Jika 𝐴𝐴 > 0 dan 𝐵𝐵 > 0,

maka 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⟺ 1𝐴𝐴≥ 1

𝐵𝐵6. Jika 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 dan 𝐶𝐶 ≤ 𝐷𝐷, maka 𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 ≤ 𝐵𝐵 + 𝐷𝐷

PertidaksamaanLinear

Selesaikan 𝑥𝑥 < 4𝑥𝑥 + 6, dan gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya.PEMBAHASAN

𝑥𝑥 < 4𝑥𝑥 + 6−3𝑥𝑥 < 6

𝑥𝑥 > −2Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah

𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 > −2, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 atau −2,∞

Pertidaksamaan yang diberikan

Kurangi dengan 4𝑥𝑥

Bagi dengan −3

–2 0

Grafik 𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 > 0− 2, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 atau −2,∞

PertidaksamaanMajemuk

Selesaikan −9 < 4𝑥𝑥 − 5 ≤ −1.PEMBAHASAN Himpunan penyelesaiannya memuat semua nilai 𝑥𝑥 yang memenuhi:(1) −9 < 4𝑥𝑥 − 5; dan(2) 4𝑥𝑥 − 5 ≤ −1Sehingga dengan menggunakan Sifat 1 dan 3:

−9 < 4𝑥𝑥 − 5 ≤ −1−4 < 4𝑥𝑥 ≤ 4−1 < 𝑥𝑥 ≤ 1


Jumlahkan dengan 5

Bagi dengan 4

Grafik 𝑥𝑥 | − 1 < 𝑥𝑥 ≤ 1, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 atau (−1, 1]

–1 10

LatihanSoal

Tentukan himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan berikut, kemudian sketsalah grafiknya.(a) 4𝑥𝑥 + 6 < 3 𝑥𝑥 − 1 − 2𝑥𝑥

(b) 2𝑥𝑥+12

− 𝑥𝑥−13< 𝑥𝑥 + 1

2

(c) −1 ≤ 4−3𝑥𝑥5

< 2

1. Pindah semua suku ke satu ruas.

2. Faktorkan.3. Cari interval.4. Buat tabel atau diagram.5. Selesaikan.

PertidaksamaanNonlinear

MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN

NONLINEAR

PertidaksamaanKuadrat

Selesaikan pertidaksamaan 𝑥𝑥2 ≤ 7𝑥𝑥 − 10.PEMBAHASAN Kita ikuti langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan nonlinear.Pindah semua suku ke satu ruas.

𝑥𝑥2 ≤ 7𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 10 ≤ 0

Faktorkan.𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 5 ≤ 0


Kurangi 7𝑥𝑥; jumlahkan 10

Faktorkan

Cari interval. Sebelum mencari interval, tentukan pembuat nol masing-masing faktor.Pembuat nol 𝑥𝑥 − 2: Pembuat nol 𝑥𝑥 − 5:𝑥𝑥 − 2 = 0 𝑥𝑥 − 5 = 0

𝑥𝑥 = 2 𝑥𝑥 = 5

Garis bilangan:

Seperti yang terlihat, bilangan-bilangan 2 dan 5 membagi garis bilangan menjadi 3 interval, yaitu:

−∞, 2 , 2, 5 , dan 5,∞

0 2 5

Buat tabel atau diagram.

Interval −∞, 2 2, 5 5,∞Tanda 𝑥𝑥 − 2 – + +Tanda 𝑥𝑥 − 5 – – +Tanda 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 5 + – +Informasi ini juga dapat dinyatakan ke dalam garis bilangan seperti berikut.

Tanda 𝑥𝑥 − 2Tanda 𝑥𝑥 − 5Tanda 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 5

2 5

––+

+––

+++

Selesaikan. Karena kita diminta menyelesaikan𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 5 ≤ 0

dan dari diagram kita melihat bahwa nilai 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 5 bernilai negatif pada interval 2, 5 ,

maka selesaian pertidaksamaan yang diberikan adalah

𝑥𝑥 | 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 = 2, 5

CATATAN Kita menyertakan titik-titik ujung 2 dan 5 karena kita mencari nilai-nilai 𝑥𝑥 sedemikian sehingga hasil kali 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 5 kurang dari atau sama dengan nol.

FaktorBerulang

Selesaikan pertidaksamaan berikut.−𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥 − 3 < 0

PEMBAHASAN Kita langsung masuk ke langkah mencari interval.Cari interval. Faktor-faktor bentuk ruas kiri adalah − 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 − 1 2, dan 𝑥𝑥 − 3. Pembuat nol faktor-faktor ini adalah 𝑥𝑥 = 0, 1, 3. Bilangan-bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 4 interval, yaitu:

−∞, 0 , 0, 1 , 1, 3 , dan 3,∞

Buat diagram.

Tanda −𝑥𝑥

Tanda 𝑥𝑥 − 1 2

Tanda 𝑥𝑥 − 3

Tanda −𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥 − 3

0 1 3

+

+

–

–

–

+

–

+

–

+

–

+

–

+

+

–

Selesaikan. Dari diagram kita dapat melihat bahwa − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥 − 3 < 0 ketika 𝑥𝑥 dalam interval −∞, 0 atau 𝑥𝑥 dalam interval 3,∞ . Jadi,

himpunan penyelesaiannya adalah−∞, 0 ∪ 3,∞

BentukPembagian

Selesaikan pertidaksamaan 2+𝑥𝑥2−𝑥𝑥

≥ 1.

PEMBAHASAN Pindah semua suku ke satu ruas.2+𝑥𝑥2−𝑥𝑥

≥ 12+𝑥𝑥2−𝑥𝑥

− 1 ≥ 02+𝑥𝑥2−𝑥𝑥

− 2−𝑥𝑥2−𝑥𝑥

≥ 02𝑥𝑥2−𝑥𝑥

≥ 0


Kurangi dengan 1

Samakan penyebut

Sederhanakan

Cari interval. Faktor-faktor bentuk ruas kiri adalah 2𝑥𝑥 dan 2− 𝑥𝑥. Faktor-faktor ini akan bernilai nol ketika 𝑥𝑥 sama dengan 0 dan 2. Bilangan-bilangan ini akan membagi garis bilangan menjadi 3 interval, yaitu:

−∞, 0 , 0, 2 , dan 2,∞Buat diagram.

Tanda 2𝑥𝑥Tanda 2− 𝑥𝑥Tanda 2𝑥𝑥

2−𝑥𝑥

0 2

–+

–

++

+

+–

–

Selesaikan. Dari diagram kita dapat melihat bahwa 2𝑥𝑥2−𝑥𝑥

≥ 0 ketika 𝑥𝑥 dalam interval [0, 2). Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

𝑥𝑥 | 0 ≤ 𝑥𝑥 < 2, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 = [0, 2)

CATATAN Titik ujung 0 disertakan karena pertidaksamaan awal meminta bentuk pembagian yang lebih dari atau sama dengan 1. Akan tetapi, titik ujung 2 tidak disertakan karena bentuk pembagian dalam pertidaksamaan tidak terdefinisi di 2.

LatihanSoal

Tentukan himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan berikut.(a) 24𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 < 15(b) 𝑥𝑥 + 1 2 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 3 ≥ 0(c) 𝑥𝑥+1

𝑥𝑥+2< 𝑥𝑥−3

𝑥𝑥+4

Refleksi

1. Deskripsikan persamaan dan perbedaan selesaian dari pertidaksamaan berikut:

𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 − 4 ≥ 0 dan 𝑥𝑥+3𝑥𝑥−4

≥ 0

(Benar/Salah)

2. Untuk menyelesaikan 𝑥𝑥−1𝑥𝑥−3

< 2, pertama saya akan menentukan pembuat nol dari 𝑥𝑥 − 1 dan 𝑥𝑥 − 3. (Benar/Salah)

PemecahanMasalah

1. Tentukan nilai 𝑐𝑐 ≠ 0 sedemikian sehingga pertidaksamaan berikut𝑥𝑥2 + 2𝑐𝑐𝑥𝑥 − 6𝑐𝑐 < 0

memiliki himpunan penyelesaian interval buka −3𝑐𝑐, 𝑐𝑐 .

2. Selesaikan 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 2 − 𝑥𝑥 − 𝑏𝑏 2 > ⁄𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2 4, dimana 𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏 adalah konstanta dan 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏.

FUNGSIPOLINOMIALUniversitas Sanata Dharma

DefinisiFungsiPolinomial

Fungsi PolinomialFungsi polinomial berderajat 𝑛𝑛 adalah fungsi yang memiliki bentuk

𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0dimana 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat tidak negatif dan 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≠ 0.

GrafikFungsiPolinomial

x

y

Bukan grafik fungsi polinomial

x

y

Grafik fungsi polinomial

Grafik dasar fungsi-fungsi polinomial dan transformasinya

https://www.desmos.com/calculator/b81bzbft38

KarakteristikUjung

Karakteristik Ujung PolinomialKarakteristik ujung polinomial 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 +𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 ditentukan oleh derajatnya, yaitu 𝑛𝑛, dan tanda dari koefisien tertinggi 𝑎𝑎𝑛𝑛.

𝑃𝑃 berderajat ganjil 𝑃𝑃 berderajat genap

x

y

0

𝑦𝑦 → ∞ketika 𝑥𝑥 → ∞

𝑦𝑦 → −∞ketika𝑥𝑥 → −∞

Koefisien tertinggi positif

x

y

0

𝑦𝑦 → ∞ketika 𝑥𝑥 → ∞

𝑦𝑦 → ∞ketika 𝑥𝑥 → −∞

Koefisien tertinggi positif

x

y

0

𝑦𝑦 → ∞ketika 𝑥𝑥 → −∞

𝑦𝑦 → −∞ketika 𝑥𝑥 → ∞

Koefisien tertinggi negatif

x

y

0

𝑦𝑦 → −∞ketika 𝑥𝑥 → −∞

𝑦𝑦 → −∞ketika 𝑥𝑥 → ∞

Koefisien tertinggi negatif

LatihanSoal

Tentukan karakteristik ujung masing-masing polinomial berikut.(a) 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = −2𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥 − 7(b) 𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥5 − 5𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥(c) 𝑅𝑅 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥5

PembuatNol

Pembuat Nol PolinomialJika 𝑃𝑃 adalah polinomial dan 𝑐𝑐 adalah bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:(1) 𝑐𝑐 adalah pembuat nol 𝑃𝑃.(2) 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 adalah selesaian persamaan 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 0.(3) 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 adalah faktor dari 𝑃𝑃 𝑥𝑥 .(4) 𝑐𝑐 adalah perpotongan sumbu-x

dengan grafik 𝑃𝑃.

TeoremaNilaiTengah

Jika 𝑃𝑃 adalah polinomial dan 𝑃𝑃 𝑎𝑎 dan 𝑃𝑃 𝑏𝑏memiliki tanda yang berlawanan, maka ada paling tidak satu nilai 𝑐𝑐 di antara 𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏 sedemikian sehingga 𝑃𝑃 𝑐𝑐 = 0.

MenggambarGrafikPolinomial

Gambarlah grafik 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 8.PEMBAHASAN Pembuat nol.𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 8

= 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 − 2 − 4 𝑥𝑥 − 2= 𝑥𝑥2 − 4 𝑥𝑥 − 2= 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2= 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 − 2 2

Sehingga, pembuat nolnya adalah 𝑥𝑥 = −2 dan 𝑥𝑥 =2.

Kelompokkan dan faktorkan

Faktorkan 𝑥𝑥 − 2

Perkalian sekawan

Sederhanakan

Uji titik. Pembuat nolnya adalah 𝑥𝑥 = −2 dan 𝑥𝑥 =2, maka diperoleh tiga interval: −∞,−2 , −2, 2 , dan 2,∞ .

𝒙𝒙 –3 –2 –1 0 1 2 3𝑷𝑷 𝒙𝒙 –25 0 9 8 3 0 5

𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 8

Grafik 𝑃𝑃

–2 2–3 0 3

– + +

Di bawah sumbu-x

Di atas sumbu-x

Di atas sumbu-x

Karakteristik Ujung. Karena 𝑃𝑃 berderajat ganjil dan koefisien tertingginya positif, maka𝑦𝑦 → ∞ ketika 𝑥𝑥 → ∞ dan 𝑦𝑦 → −∞ ketika 𝑥𝑥 → −∞

x

y

10

5

𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 8

PembagianPolinomial

Algoritma PembagianJika 𝑃𝑃 𝑥𝑥 dan 𝑝𝑝 𝑥𝑥 adalah polinomial, dengan 𝑝𝑝 𝑥𝑥 ≠ 0, maka ada polinomial-polinomia tunggal 𝐻𝐻 𝑥𝑥 dan 𝑆𝑆 𝑥𝑥 , dimana 𝑆𝑆 𝑥𝑥 adalah 0 atau berderajat kurang dari 𝑝𝑝 𝑥𝑥 , sedemikian sehingga

𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 𝑥𝑥 � 𝐻𝐻 𝑥𝑥 + 𝑆𝑆 𝑥𝑥

Pembagi Sisa

Hasil bagi

MetodePembagianPolinomial

Pembagian BersusunCara Horner (Pembagian Sintetis)

6𝑥𝑥2 − 26𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥 − 46𝑥𝑥 − 2

6𝑥𝑥2 − 24𝑥𝑥−2𝑥𝑥 + 12−2𝑥𝑥 + 8

4

–

–

6 –26 124

6 –224 –8

4

TeoremaSisa

Jika polinomial 𝑃𝑃 𝑥𝑥 dibagi dengan 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐, maka sisanya adalah nilai dari 𝑃𝑃 𝑐𝑐 .

LatihanSoal

Misalkan 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥5 − 5𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 1.(a) Tentukan hasil bagi dan sisa 𝑃𝑃 𝑥𝑥 jika dibagi

dengan 𝑥𝑥 + 1.(b) Gunakan Teorema Sisa untuk menentukan

𝑃𝑃 −1 .

PolinomialBentukBersarang

Jabarkan 𝑄𝑄 untuk menunjukkan bahwa polinomial-polinomial 𝑃𝑃 dan 𝑄𝑄 sama.

𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥3 − 16𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 18

𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 16 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 + 18

Tanpa menulis, tentukan 𝑃𝑃 3 dan 𝑄𝑄 3 . Manakah yang lebih mudah?Sekarang tulis 𝑅𝑅 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥5 − 17𝑥𝑥4 + 37𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2 −15𝑥𝑥 ke dalam bentuk bersarang seperti 𝑄𝑄, dan kemudian tentukan 𝑅𝑅 5 .

Refleksi

• Karakteristik ujung polinomial dapat ditentukan hanya dengan memperhatikan koefisien tertingginya.

• Dalam membagi 𝑥𝑥5 + 1 dengan 𝑥𝑥 + 1 tidak perlu dilakukan metode pembagian bersusun karena hasil baginya jelas-jelas 𝑥𝑥4 + 1.

• Jika polinomial berderajat 6 dibagi dengan polinomial berderajat 3, maka hasil baginya merupakan polinomial berderjat 2.

FUNGSI RASIONALUniversitas Sanata Dharma

Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk

𝑟𝑟 𝑥𝑥 =𝑃𝑃 𝑥𝑥𝑄𝑄 𝑥𝑥

dimana 𝑃𝑃 dan 𝑄𝑄 adalah polinomial.(Diasumsikan 𝑃𝑃 dan 𝑄𝑄 tidak memiliki faktor persekutuan.)

DefinisiFungsiRasional

Gambarlah grafik fungsi𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1

𝑥𝑥kemudian nyatakan domain dan rangenya.

FungsiRasionalSederhana

PEMBAHASAN Pertama kita buat tabel nilai-nilai fungsi 𝑓𝑓.

𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙–0,1 –10–0,01 –100–0,00001 –100.000

𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙0,1 100,01 1000,00001 100.000

Mendekati 0– Mendekati –∞ Mendekati 0+ Mendekati ∞

𝑓𝑓 𝑥𝑥 → −∞ ketika 𝑥𝑥 → 0−

“𝑦𝑦 mendekati negatif tak hingga ketika 𝑥𝑥 mendekati 0 dari kiri”

𝑓𝑓 𝑥𝑥 → ∞ ketika 𝑥𝑥 → 0+

“𝑦𝑦 mendekati tak hingga ketika 𝑥𝑥 mendekati 0 dari kanan”

Tabel berikut ini menunjukkan bagaimana 𝑓𝑓 𝑥𝑥ketika 𝑥𝑥 menjadi besar.

𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙–10 –0,1

–100 –0,01–100.000 –0,00001

𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙10 0,1

100 0,01100.000 0,00001

Mendekati –∞ Mendekati 0 Mendekati ∞ Mendekati 0

𝑓𝑓 𝑥𝑥 → 0 ketika 𝑥𝑥 → −∞

“𝑦𝑦 mendekati 0 ketika 𝑥𝑥mendekati negatif tak hingga”

𝑓𝑓 𝑥𝑥 → 0 ketika 𝑥𝑥 → ∞

“𝑦𝑦 mendekati 0 ketika 𝑥𝑥mendekati tak hingga”

0 2

2

x

y

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =1𝑥𝑥

𝑓𝑓 𝑥𝑥 → 0ketika 𝑥𝑥 → −∞

𝑓𝑓 𝑥𝑥 → 0ketika 𝑥𝑥 → ∞

𝑓𝑓 𝑥𝑥 → ∞ketika 𝑥𝑥 → 0+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 → −∞ketika 𝑥𝑥 → 0−

Definisi Asimtot VertikalGaris 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 adalah asimtot vertikal fungsi 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 jika 𝑦𝑦 mendekati ±∞ ketika 𝑥𝑥mendekati 𝑎𝑎 dari kanan atau kiri.

AsimtotVertikal

x

y 𝑦𝑦 → ∞ ketika 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎−

x

y

a

𝑦𝑦 → ∞ ketika 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎+

Definisi Asimtot HorizontalGaris 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 adalah asimtot horizontal fungsi 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥jika 𝑦𝑦 mendekati 𝑏𝑏 ketika 𝑥𝑥mendekati ±∞.

AsimtotHorizontal

x

y

b𝑦𝑦 → 𝑏𝑏 ketika 𝑥𝑥 → ∞

x

y

b

𝑦𝑦 → 𝑏𝑏 ketika 𝑥𝑥 → −∞

Gambarlah grafik masing-masing fungsi berikut.(a) 𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 2

𝑥𝑥−5(b) 𝑠𝑠 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥−1

𝑥𝑥+2

Petunjuk Misalkan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1𝑥𝑥, tunjukkan bahwa

𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 2𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 5Dengan cara yang sama, maka

𝑠𝑠 𝑥𝑥 =

TransformasiGrafik

—?—

Bagaimana grafik fungsi-fungsi 𝑟𝑟 dan 𝑠𝑠?

https://www.desmos.com/calculator/v3co4xrpkc

Misalkan 𝑟𝑟 adalah fungsi rasional

𝑟𝑟 𝑥𝑥 =𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0𝑏𝑏𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚 + 𝑏𝑏𝑚𝑚−1𝑥𝑥𝑚𝑚−1 +⋯+ 𝑏𝑏1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏0

1. Asimtot vertikal 𝑟𝑟 adalah garis 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, dimana 𝑎𝑎 adalah pembuat nol penyebut.

2. (a) Jika 𝑛𝑛 < 𝑚𝑚, maka 𝑟𝑟 memiliki asimtot horizontal𝑦𝑦 = 0.

(b) Jika 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚, maka 𝑟𝑟 memiliki asimtot horizontal𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛.

(c) Jika 𝑛𝑛 > 𝑚𝑚, maka 𝑟𝑟 tidak memiliki asimtot horizontal.

MenemukanAsimtot

Carilah asimtot vertikal dan horizontal fungsi

𝑟𝑟 𝑥𝑥 =2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 15𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 2

LatihanSoal

Gambarlah grafik 𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥2−3𝑥𝑥−9𝑥𝑥2−4

, kemudian nyatakan domain dan rangenya.PEMBAHASAN Kita lakukan langkah-langkah berikut.

Faktorkan 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥+3 𝑥𝑥−3𝑥𝑥+2 𝑥𝑥−2

Titik potong sumbu-x Titik potong sumbu-xadalah pembuat nol pembilang, yaitu

𝑥𝑥 = −32

dan 𝑥𝑥 = 3

MenggambarGrafik

Titik potong sumbu-y Untuk menentukan titik potong sumbu-y kita substitusi 𝑥𝑥 = 0.

𝑟𝑟 0 = 2 0 2−3 0 −90 2−4

= 94

Asimtot vertikal 𝑥𝑥 = −2 dan 𝑥𝑥 = 2, dari pembuat nol penyebut.Karakteristik dekat asimtot vertikal

Ketika 𝒙𝒙 → −2− −2+ 2− 2+

Tanda 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥+3 𝑥𝑥−3𝑥𝑥+2 𝑥𝑥−2

− −− −

− −+ −

+ −+ −

+ −+ +

Sehingga 𝒚𝒚 → ∞ −∞ ∞ −∞

Asimtot Horizontal 𝑦𝑦 = 2, yaitu rasio koefisien tertinggi pembilang dan penyebut.Grafik Kita gunakan informasi yang telah kita temukan, bersama dengan beberapa nilai untuk menggambar grafik 𝑟𝑟.

𝒙𝒙 𝒚𝒚

–3 18/5

–1 4/3

1 10/3

4 11/12

2

5

x

y

0

Domain dan Range Domain {}

𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 ≠ −2 dan 𝑥𝑥 ≠2, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 , Range 𝑅𝑅.

Gambarlah grafik 𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−5𝑥𝑥−3

.

Asimtot miring Kita gunakan algoritma pembagian untuk menuliskan fungsi 𝑟𝑟 ke dalam bentuk

𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 1− 8𝑥𝑥−3

Sehingga asimtot miringnya adalah𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1

AsimtotMiring

3

5

y = x – 1

x

y

Asimtot miring

𝑟𝑟 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 5

𝑥𝑥 − 3

Gambarlah grafik 𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2

𝑥𝑥−2.

LatihanSoal

• Saya bisa menggambar grafik fungsi rasional dengan dua asimtot vertikal dan dua asimtot horizontal.

• Grafik 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥+1𝑥𝑥+1 𝑥𝑥−5

memiliki asimtot vertikal 𝑥𝑥 = −1 dan 𝑥𝑥 = 5.

• Fungsi rasional mungkin saja tidak memotong sumbu-y.

• Fungsi rasional tidak mungkin memotong asimtot vertikal.

Refleksi

#HaveANiceDay!

FUNGSI EKSPONENSIALAljabar & Trigonometri

Foto: Loozrboy - Flickr.com

Definisi

Fungsi EksponensialFungsi eksponensial dengan basis a didefinisikan untuk semua bilangan real x sebagai berikut:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥

dimana a > 0 dan a ≠ 1.

LATIHAN 1

Misalkan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥. Tentukan hasil masing-masing bentuk berikut.

(a) 𝑓𝑓 6 (b) 𝑓𝑓 − 34

(c) 𝑓𝑓 𝜋𝜋 (d) 𝑓𝑓 3

Latihan 2

Dengan menggunakan plot titik-titik untuk x = –2, –1, 0, 1, dan 2 gambarlah grafik masing-masing fungsi berikut.

(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 (b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 12

𝑥𝑥

Grafik Fungsi-Fungsi Eksponensial

0–1–2 1 2

1

2

x

y

Grafik Fungsi-Fungsi EksponensialFungsi eksponensial

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥, 𝑎𝑎 > 0, 𝑎𝑎 ≠ 1Memiliki domain ℝ dan range (0, ∞). Garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot horizontal grafik f. Grafik f memiliki bentuk seperti gambar di bawah.

0x

(0, 1)

y

f(x) = ax untuk a > 1 f(x) = ax untuk 0 < a < 1

0x

(0, 1)

y

Latihan 3

Transformasi Fungsi-Fungsi EksponensialGunakan grafik f(x) = 2x untuk mensketsa grafik masing-masing fungsi berikut. Tentukan domain, range, dan asimtotnya.(a) g(x) = 1 + 2x

(b) h(x) = –2x

(c) k(x) = 2x – 1

Latihan 4

PERTUMBUHAN BAKTERISebuah kultur bakteri mula-mula memuat 1500 bakteri dan berlipat ganda setiap jamnya.(a) Carilah suatu fungsi yang memodelkan banyaknya

bakteri setelah t jam.(b) Tentukan banyaknya bakteri setelah 12 jam.

#HaveANiceDay

FUNGSI LOGARITMAUniversitas Sanata Dharma

DefinisiFungsiLogaritma

Misalkan 𝑎𝑎 adalah bilangan positif dengan 𝑎𝑎 ≠ 1. Fungsi logaritma dengan basis 𝑎𝑎, dinotasikan dengan 𝑎𝑎log, didefinisikan sebagai

𝑎𝑎log 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 ⟺ 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑥𝑥Sehingga 𝑎𝑎log 𝑥𝑥 adalah eksponen dari basis 𝑎𝑎 agar hasil perpangkatannya sama dengan 𝑥𝑥.

BentukLogaritma&Eskponensial

Bentuk Logaritma Bentuk Eksponensial

𝑎𝑎log 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

10log 10.000 = 4 104 = 10.0003log 243 = 5 35 = 2433log 1

243 = −5 3−5 = 1243

5log 𝑠𝑠 = 𝑟𝑟 5𝑟𝑟 = 𝑠𝑠

Eksponen

Basis Eksponen

Basis

Sifat-SifatLogaritma

1. 𝑎𝑎log 1 = 02. 𝑎𝑎log 𝑎𝑎 = 13. 𝑎𝑎log 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑥𝑥4. 𝑎𝑎

𝑎𝑎log 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥

GrafikFungsiLogaritma

Sketsalah grafik 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2log 𝑥𝑥.PEMBAHASAN Kita buat tabel nilai-nilai fungsi 𝑓𝑓.

𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙

8 34 22 11 012 −114 −218 −3

2 4 86

1

x

y 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2log 𝑥𝑥

TransformasiGrafik

Sketsalah grafik masing-masing fungsi berikut, kemudian tentukan domainnya.(a) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = − 2log 𝑥𝑥(b) ℎ 𝑥𝑥 = 2log −𝑥𝑥(c) 𝑘𝑘 𝑥𝑥 = 3 + 2log 𝑥𝑥(d) 𝑚𝑚 𝑥𝑥 = 2log 𝑥𝑥 − 5

LogaritmaUmum

Logaritma dengan basis 10 disebut dengan logaritma umum, dan dinotasikan dengan menghilangkan basisnya:

log 𝑥𝑥 = 10log 𝑥𝑥

LogaritmaUmum&Bunyi

Persepi kelantangan 𝐵𝐵 (dalam dB) suatu bunyi dengan intensitas 𝐼𝐼 (dalam W/m2) diberikan oleh rumus

𝐵𝐵 = 10 log 𝐼𝐼𝐼𝐼0

Dimana 𝐼𝐼0 adalah intensitas bunyi yang hampir tidak bisa didengar.Tentukan tingkat kelanta-ngan bunyi yang memilikiintensitas 100 kali dari 𝐼𝐼0.

PEMBAHASAN Kita tentukan kelantangan 𝐵𝐵dengan menggunakan 𝐼𝐼 = 100𝐼𝐼0.

𝐵𝐵 = 10 log 𝐼𝐼𝐼𝐼0

= 10 log 100𝐼𝐼0𝐼𝐼0

= 10 log 100= 10 � 2= 20

Kelantangan bunyi tersebut adalah 20 dB.

Definisi 𝐵𝐵

𝐼𝐼 = 100𝐼𝐼0

Bagi faktor persekutuan

Definisi log

Hasil

Sifat-SifatLogaritma

Misalkan 𝑎𝑎 adalah bilangan positif, dengan 𝑎𝑎 ≠ 1. Misalkan 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, dan 𝐶𝐶 adalah sembarang bilangan real dengan 𝐴𝐴 > 0 dan 𝐵𝐵 > 0.1. 𝑎𝑎log 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝑎𝑎log𝐴𝐴 + 𝑎𝑎log𝐵𝐵

2. 𝑎𝑎log 𝐴𝐴𝐵𝐵= 𝑎𝑎log𝐴𝐴 − 𝑎𝑎log𝐵𝐵

3. 𝑎𝑎log𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝐶𝐶 𝑎𝑎log𝐴𝐴

LatihanSoal

Hitunglah masing-masing bentuk berikut.(a) 9log 3 + 9log 27(b) 2log 96− 2log 3Jabarkan bentuk berikut.

(c) log 𝑎𝑎𝑎𝑎3 𝑐𝑐

Gabunglah bentuk berikut.(d) 3 log 𝑥𝑥 − 1

2log 𝑦𝑦 + 2 log 𝑧𝑧2 − 1

RumusGantiBasis

𝑎𝑎log 𝑥𝑥 =𝑎𝑎log 𝑥𝑥𝑎𝑎log 𝑏𝑏

LatihanSoal

Jika 2log 5 = 𝑝𝑝 dan 3log 2 = 𝑞𝑞, tentukan15log 12

Refleksi• Karena saya tidak bisa menyederhanakan 𝑎𝑎𝑚𝑚 + 𝑎𝑎𝑛𝑛

dengan menjumlahkan eksponen, maka tidak ada sifat untuk penjumlahan logaritma.

• Karena logaritma adalah eksponen, maka sifat-sifat hasil kali, hasil bagi, dan perpangkatan logaritma mengingatkan saya pada sifat-sifat operasi pada eksponen.

• Saya dapat menjabarkan 3log 𝑥𝑥𝑦𝑦 dengan menggunakan

eksponen rasional, dilanjutkan dengan sifat hasil bagi, untuk memperoleh 12

3log 𝑥𝑥 − 3log 𝑦𝑦.

MenemukanKesalahan

Apa yang salah dari pernyataan berikut.log 0,1 < 2 log 0, 1

= log 0,1 2

= log 0,01log 0,1 < log 0,01

0,1 < 0,01

#HaveANiceDay

BARISAN DAN NOTASI SIGMA


BarisanDefinisi BarisanBarisan adalah suatu fungsi 𝑓𝑓 yang domainnya adalah himpunan bilangan asli. Suku-suku dari barisan adalah nilai-nilai fungsi

𝑓𝑓 1 , 𝑓𝑓 2 , 𝑓𝑓 3 , …, 𝑓𝑓 𝑛𝑛 , …Biasanya suku-suku tersebut ditulis sebagai 𝑢𝑢𝑛𝑛. Sehingga, suku-suku barisan dapat dituliskan menjadi

𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2, 𝑢𝑢3, …, 𝑢𝑢𝑛𝑛, …Bilangan 𝑢𝑢1 disebut dengan suku pertama, 𝑢𝑢2 disebut dengan suku kedua, dan secara umum, 𝑢𝑢𝑛𝑛 disebut dengan suku ke-𝑛𝑛.

ContohBarisan

Tentukan lima suku pertama dan suku ke-100 barisan yang didefinisikan oleh rumus berikut.(a) 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 (b) 𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑛𝑛2 − 1

(c) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝑛𝑛

𝑛𝑛+1(d) 𝑏𝑏𝑛𝑛 =

−1 𝑛𝑛

2𝑛𝑛−1

Suku ke-𝑛𝑛 Lima suku pertama Suku ke-100(a) 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 2, 4, 6, 8, 10 200(b) 𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑛𝑛2 − 1 0, 3, 8, 15, 24 9.999(c) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =

𝑛𝑛𝑛𝑛+1

12,23,34,45,56

100101

(d) 𝑏𝑏𝑛𝑛 =−1 𝑛𝑛

2𝑛𝑛−1 −1,13,−17,115,−

131

12100 − 1

MenentukanSukuKe-n

Tentukan suku ke-n barisan yang beberapa suku pertamanya diberikan sebagai berikut.

(a) 1, 34, 59, 716, 925, … (b) 1,−3, 5,−7, 9, …

BarisanRekursif

Barisan rekursif adalah barisan yang suku ke-nbarisan tersebut didefinisikan sebagai fungsi terhadap suku-suku sebelumnya.CONTOH Tentukan lima suku pertama barisan rekursif dengan

𝑢𝑢1 = 3; 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 2 𝑢𝑢𝑛𝑛−1 − 2

PEMBAHASAN Diketahui 𝑢𝑢1 = 3. Sehingga,𝑢𝑢2 = 2 𝑢𝑢1 − 2 = 2 3− 2 = 2𝑢𝑢3 = 2 𝑢𝑢2 − 2 = 2 2− 2 = 0𝑢𝑢4 = 2 𝑢𝑢3 − 2 = 2 0− 2 = −4𝑢𝑢5 = 2 𝑢𝑢4 − 2 = 2 −4− 2 = −12

Jadi, lima suku pertama barisan tersebut adalah3, 2, 0,−4,−12

LatihanSoal

Tentukan 11 suku pertama barisan Fibonacciyang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut.

𝐹𝐹1 = 1; 𝐹𝐹2 = 1;𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝐹𝐹𝑛𝑛−1 + 𝐹𝐹𝑛𝑛−2

JumlahParsialBarisan

Untuk barisan𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2, 𝑢𝑢3, 𝑢𝑢4, …, 𝑢𝑢𝑛𝑛, …

jumlah parsial-nya adalah𝑆𝑆1 = 𝑢𝑢1𝑆𝑆2 = 𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2𝑆𝑆3 = 𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2 + 𝑢𝑢3⋮𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2 + 𝑢𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑢𝑛𝑛

Jumlah parsial juga disebut dengan jumlah n suku pertama.

Jumlah parsial pertama

Jumlah parsial ke-2

Jumlah parsial ke-3

Jumlah parsial ke-n

MenentukanJumlahParsial

Tentukan empat jumlah parsial pertama dan jumlah parsial ke-n dari barisan 𝑢𝑢𝑛𝑛 =

23𝑛𝑛

.

PEMBAHASAN Suku-suku barisan tersebut adalah

23,29,227,281, …

Sehingga empat jumlah parsial pertama barisan tersebut adalah

𝑆𝑆1 =23

= 23

𝑆𝑆2 =23+ 2

9= 8

9

𝑆𝑆3 =23+ 2

9+ 2

27= 26

27

𝑆𝑆4 =23+ 2

9+ 2

27+ 2

81= 80

81Secara umum, jumlah parsial ke-n barisan tersebut adalah

𝑆𝑆𝑛𝑛 =3𝑛𝑛−13𝑛𝑛

= 1− 13𝑛𝑛

Jumlah parsial pertama

Jumlah parsial ke-2

Jumlah parsial ke-3

Jumlah parsial ke-4

Jumlah parsial ke-n

1 2 3 4 5

1

1/2

n

a1

a2

a3 a4 a5

S2

S3S4 S5

S1

LatihanSoal

Carilah empat jumlah parsial pertama dan jumlah parsial ke-n barisan yang didefinisikan dengan rumus

𝑛𝑛 − 𝑛𝑛 + 1

NotasiSigma

Jumlah n suku pertama barisan 𝑢𝑢1, 𝑢𝑢2, 𝑢𝑢3, 𝑢𝑢4, … dapat dituliskan ke dalam notasi sigma seperti berikut:

�𝑘𝑘=1

𝑛𝑛

𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2 + 𝑢𝑢3 + 𝑢𝑢4 +⋯+ 𝑢𝑢𝑛𝑛

LatihanSoal

Tentukan masing-masing penjumlahan berikut.(a) ∑𝑘𝑘=13 1

𝑘𝑘(b) ∑𝑖𝑖=18 1 + −1 𝑖𝑖

MenuliskanNotasiSigma

Tulislah masing-masing penjumlahan berikut ke dalam notasi sigma.(a) 12 + 22 + 32 + 42 +⋯+ 202

(b) 1− 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥3 +⋯− 100𝑥𝑥99

SifatPenjumlahan

Misalkan 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, 𝑎𝑎3, 𝑎𝑎4, … dan 𝑏𝑏1, 𝑏𝑏2, 𝑏𝑏3, 𝑏𝑏4, … adalah barisan. Maka untuk setiap bilangan bulat pisitif 𝑛𝑛 dan sembarang bilangan real 𝑐𝑐, sifat-sifat berikut terpenuhi.1. ∑𝑘𝑘=1𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑏𝑏𝑘𝑘 = ∑𝑘𝑘=1𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑘𝑘 + ∑𝑘𝑘=1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑘𝑘2. ∑𝑘𝑘=1𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑘𝑘 − 𝑏𝑏𝑘𝑘 = ∑𝑘𝑘=1𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑘𝑘 − ∑𝑘𝑘=1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑘𝑘3. ∑𝑘𝑘=1𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∑𝑘𝑘=1𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑘𝑘

MeninjauKembali

• Apa yang dimaksud barisan? Berikan contoh.• Bagaimana rupa dari grafik suatu barisan?

Bagaimana kita memperolehnya?• Apa yang dimaksud barisan rekursif?

#HaveANiceDay#HaveANiceDay#HaveANiceDay#HaveANiceDay#HaveANiceDay#HaveANiceDay

BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI


BarisanAritmetika

Definisi Barisan AritmetikaBarisan aritmetika adalah barisan yang memiliki bentuk

𝑎𝑎, 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏, 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏, 𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏, …Bilangan 𝑎𝑎 disebut dengan suku pertama, dan 𝑏𝑏adalah beda dari barisan tersebut. Suku ke-nbarisan aritmetika diberikan oleh rumus

𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 − 1 𝑏𝑏

ContohBarisanAritmetika

(a) Jika 𝑎𝑎 = 1 dan 𝑏𝑏 = 4, maka diperoleh barisan aritmetika

1, 1 + 4, 1 + 8, 1 + 12, 1 + 16, …atau

1, 5, 9, 13, 17, …(b) Perhatikan barisan aritmetika berikut.

7, 4, 1, −2, …Barisan tersebut memiliki suku ke-n:

𝑢𝑢𝑛𝑛 = 7− 3 𝑛𝑛 − 1

LatihanSoal

Tentukan empat suku pertama dan suku ke-200 dari barisan aritmetika berikut.17, 15, …

MenentukanSuku

Suku ke-7 dan ke-15 dari suatu barisan aritmetika secara berturut-turut adalah 19 dan 43. Tentukan suku ke-500 barisan tersebut.

�𝑘𝑘=1

100

𝑘𝑘

DeretAritmetika

Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmetika, yaitu

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 +⋯+ 𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 − 1 𝑏𝑏Penjumlahan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:1. 𝑆𝑆𝑛𝑛 =

𝑛𝑛22𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 − 1 𝑏𝑏

2. 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎+𝑢𝑢𝑛𝑛2

LatihanSoal

Berapa banyak suku pertama dari barisan aritmetika 4, 6, 8, 10, … yang harus dijumlahkan untuk mendapatkan 8.008.

BarisanGeometri

Definisi Barisan GeometriBarisan geometri adalah barisan yang berbentuk

𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑎𝑎2, 𝑎𝑎𝑎𝑎3, …Bilangan 𝑎𝑎 disebut dengan suku pertama, dan 𝑎𝑎disebut dengan rasio barisan tersebut. Suku ke-nbarisan geometri tersebut adalah

𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛−1

MenentukanSuku

Tentukan suku ke-8 dari barisan geometri–3, 6, –12, 24, …

MenentukanSuku

Suatu barisan geometri memiliki suku keempat 24 dan suku ketujuh 64

9. Tentukan suku ke-6 barisan

tersebut.

�𝑘𝑘=1

10

2𝑘𝑘−1

DeretGeometriTerhingga

Deret geometri terhingga adalah jumlah n suku pertama suatu barisan geometri, yaitu

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎4 +⋯+ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑎𝑎 ≠ 1Rumus untuk menentukan jumlah tersebut adalah

𝑆𝑆𝑛𝑛 =𝑎𝑎 1−𝑟𝑟𝑛𝑛

1−𝑟𝑟

ContohDeretGeometri

Tentukan jumlah lima suku pertama barisan geometri berikut.

1, 0.4, 0.16, 0.064, …PEMBAHASAN Barisan geometri tersebut memiliki 𝑎𝑎 = 1 dan 𝑎𝑎 = 0,4. Maka jumlah 5 suku pertamanya adalah

𝑆𝑆5 =1(1−0,45)1−0,4

= 1,6496

DeretGeometriTakHingga

Misalkan 𝑎𝑎 < 1. Maka jumlah 𝑆𝑆 deret geometri tak hingga 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎3 +⋯ diberikan oleh rumus

𝑆𝑆 =𝑎𝑎

1− 𝑎𝑎

LatihanSoal

Carilah jumlah deret geometri tak hingga berikut.

1 +23+49+827

+⋯

DesimalBerulang

Carilah pecahan biasa yang senilai dengan desimal berulang 0,235.PEMBAHASAN Misalkan 𝑆𝑆 = 0,235, maka

𝑆𝑆 = 0,2353535…= 0,2 + 0,035 + 0,00035 + 0,0000035 +⋯

= 210+ 35

1000+ 35

100.000+ 35

10.000.000+⋯

= 210+

3510001− 1

100= 233

990

Jadi, pecahan yang diberikan senilai dengan pecahan 233990

.

MeninjauKembali

• Daripada melakukan penjumlahan, saya gunakan 𝑆𝑆𝑛𝑛 =

𝑛𝑛2𝑎𝑎 + 𝑢𝑢𝑛𝑛 untuk menentukan jumlah 30

suku pertama barisan 2, 4, 8, 16, ….• 10− 5 + 5

2− 5

4+⋯ = 10

1−12• Jika suku ke-n barisan geometri adalah 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 5𝑛𝑛,

maka suku pertamanya adalah 1 dan rasionya adalah 5.

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL


MenyelesaikanSistemPersamaan

Berikut ini adalah dua contoh sistem persamaan linear tiga variabel.

SPLTV SPLTV Bentuk Segitiga

�2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 12𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 6

𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = −14�2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 12𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = −5

𝑧𝑧 = −3

SubstitusiBalik

Selesaikan sistem berikut dengan menggunakan substitusi balik.

�2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 12𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = −5

𝑧𝑧 = −3

Persamaan 1

Persamaan 2

Persamaan 3

PEMBAHASAN Kita substitusi balik 𝑧𝑧 = −3 ke persamaan 2 untuk menyelesaikan 𝑦𝑦.

2𝑦𝑦 + 3 −3 = −5𝑦𝑦 = 2

Substitusi balik 𝑦𝑦 = 2 dan 𝑧𝑧 = −3 ke persamaan 1 untuk menyelesaikan 𝑥𝑥.2𝑥𝑥 + 3 2 + −3 = 1

𝑥𝑥 = −1Selesaian dari SPLTV yang diberikan adalah 𝑥𝑥 =− 1, 𝑦𝑦 = 2, dan 𝑧𝑧 = −3. Selesaian ini juga dapat dituliskan menjadi triplet berurutan −1, 2,−3 .

Substitusi 𝑧𝑧 = −3

Selesaikan 𝑦𝑦

Substitusi 𝑦𝑦 = 2 dan 𝑧𝑧 = −3

Selesaikan 𝑥𝑥

SistemEkuivalen

Operasi-operasi yang menghasilkan sistem ekuivalen:1. Menjumlahkan kelipatan tidak nol dari satu persamaan

ke persamaan lainnya.2. Mengalikan persamaan dengan konstanta tidak nol.3. Menukar posisi dua persamaan.

Kita gunakan operasi-operasi ini untuk mengubah sistem yang diberikan menjadi sistem bentuk segitiga yang ekuivalen, kemudian kita gunakan substitusi-balik. Proses tersebut dinamakan eliminasi Gauss.

MenyelesaikanSPLTV

Selesaikan sistem berikut dengan eliminasi Gauss.

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 4

𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 102𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 3

PEMBAHASAN Kita eliminasi suku-𝑥𝑥 pada P2.

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 42𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 62𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 3

Persamaan 1 (P1)

Persamaan 2 (P2)

Persamaan 3 (P3)

P2 – P1 = P2 baru

Selanjutnya eliminasi suku-𝑥𝑥 pada P3:

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 42𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 6𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 5

Sekarang, eliminasi suku-𝑦𝑦 di P3:

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 42𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 64𝑧𝑧 = 4

Sistem tersebut ekuivalen dengan sistem berikut.

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 4𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 3𝑧𝑧 = 1

2 × P1 – P3 = P3 baru

2 × P3 – P2 = P3 baru

Substitusi balik 𝑧𝑧 = 1 ke persamaan 2 diperoleh𝑦𝑦 + 1 = 3

𝑦𝑦 = 2Selanjutnya substitusi balik 𝑦𝑦 = 2 dan 𝑧𝑧 = 1 ke persamaan 1 untuk mendapatkan𝑥𝑥 + 2 + 1 = 4

𝑥𝑥 = 1Jadi, selesaian sistem tersebut adalah (1, 2, 1).

Substitusi balik 𝑧𝑧 = 1 ke P2

Substitusi balik 𝑦𝑦 = 2 dan 𝑧𝑧 = 1 ke P1

LatihanSoal

Selesaikan sistem berikut dengan eliminasi Gauss.

�𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 42𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = −1

−𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 5

BanyaknyaSelesaian

Untuk suatu sistem persamaan linear, tepat satu dari pernyataan-pernyataan berikut benar.1. Sistem tersebut memiliki tepat satu selesaian.2. Sistem tersebut tidak memiliki selesaian.3. Sistem tersebut memiliki tak hingga selesaian.

Sistem dengan satu selesaian

Sistem dengan tak hingga selesaian Sistem tanpa selesaian

SistemTanpaSelesaian

Selesaikan sistem berikut.

�𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 1

2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 4𝑧𝑧 = −33𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 3𝑧𝑧 = 4

TakHinggaSelesaian

Selesaikan sistem berikut.

�2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = 6𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 0

ProgramDiet

Jesica memulai program diet agar setiap makanan yang dia makan harus mengandung 46o kalori, 6 gram serat, dan 11 gram lemak. Tabel di bawah menunjukkan kalori, serat, dan lemak yang terkandung dari 3 jenis makanan. Berapakah yang harus dikonsumsi oleh Jesica dari masing-masing makanan tersebut?

Makanan Serat Lemak KaloriRoti 2 1 100Keju 0 5 120Buah 2 0 60

MenyelesaikanSistem

Selesaikan sistem berikut untuk 𝛼𝛼, 𝛽𝛽, dan 𝛾𝛾.

�ln𝛼𝛼 − ln𝛽𝛽 − ln 𝛾𝛾 = 2

3 ln𝛼𝛼 + 5 ln𝛽𝛽 − 2 ln 𝛾𝛾 = 12 ln𝛼𝛼 − 4 ln𝛽𝛽 + ln 𝛾𝛾 = 2

IDENTITAS TRIGONOMETRI


IdentitasDasarTrigonometri

Identitas-Identitas Kebalikan

csc 𝑥𝑥 = 1sin 𝑥𝑥

sec 𝑥𝑥 = 1cos 𝑥𝑥

cot 𝑥𝑥 = 1tan 𝑥𝑥

tan 𝑥𝑥 = sin 𝑥𝑥cos 𝑥𝑥

cot 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥sin 𝑥𝑥

Identitas-Identitas Pythagorassin2 𝑥𝑥 + cos2 𝑥𝑥 = 1 tan2 𝑥𝑥 + 1 = sec2 𝑥𝑥1 + cot2 𝑥𝑥 = csc2 𝑥𝑥

Identitas-Identitas Genap-Ganjilsin −𝑥𝑥 = − sin 𝑥𝑥 cos −𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥tan −𝑥𝑥 = − tan 𝑥𝑥

MembuktikanIdentitasTrigonometri

Panduan dalam Pembuktian Identitas Trigonometri1. Mulai dengan satu ruas.2. Gunakan identitas-identitas yang diketahui.3. Ubah ke dalam bentuk sinus dan cosinus (jika

perlu)

ContohSoal

Buktikan identitas berikut.cos 𝑥𝑥

sec 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥= csc 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥

PEMBAHASANcos 𝑥𝑥

sec 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥= cos 𝑥𝑥

1cos 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥

= cos2 𝑥𝑥sin 𝑥𝑥

= 1−sin2 𝑥𝑥sin 𝑥𝑥

= 1sin 𝑥𝑥

− sin2 𝑥𝑥sin 𝑥𝑥

= csc 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥

Identitas Kebalikan

Identitas Pythagoras

Identitas Kebalikan

LatihanSoal

Buktikan identitas berikut.tan 𝑦𝑦csc 𝑦𝑦

= sec𝑦𝑦 − cos𝑦𝑦

KombinasiPecahan

Buktikan identitas berikut.1

sec 𝑥𝑥+tan 𝑥𝑥+ 1

sec 𝑥𝑥−tan 𝑥𝑥= 2sec 𝑥𝑥

PEMBAHASAN1

sec 𝑥𝑥+tan 𝑥𝑥+ 1

sec 𝑥𝑥−tan 𝑥𝑥= sec 𝑥𝑥−tan 𝑥𝑥 + sec 𝑥𝑥+tan 𝑥𝑥

sec 𝑥𝑥−tan 𝑥𝑥 sec 𝑥𝑥+tan 𝑥𝑥

= 2 sec 𝑥𝑥sec2 𝑥𝑥−tan2 𝑥𝑥

= 2 sec 𝑥𝑥1

= 2 sec 𝑥𝑥

LatihanSoal

Buktikan identitas berikut.1+sin 𝑥𝑥1−sin 𝑥𝑥

− 1−sin 𝑥𝑥1+sin 𝑥𝑥

= 4 tan 𝑥𝑥 sec 𝑥𝑥

PerkalianSekawan

Buktikan identitas 1−cos 𝑡𝑡sin 𝑡𝑡

= sin 𝑡𝑡1+cos 𝑡𝑡

.

PEMBAHASAN1−cos 𝑡𝑡sin 𝑡𝑡

= 1−cos 𝑡𝑡sin 𝑡𝑡

� 1+cos 𝑡𝑡1+cos 𝑡𝑡

= 1−cos2 𝑡𝑡sin 𝑡𝑡 1+cos 𝑡𝑡

= sin2 𝑡𝑡sin 𝑡𝑡 1+cos 𝑡𝑡

= sin 𝑡𝑡1+cos 𝑡𝑡

Kalikan dengan 1

Jabarkan penyebutnya

Identitas Pythagoras

Sederhanakan

LatihanSoal

Buktikan identitas berikut.cos𝜃𝜃

1− sin𝜃𝜃= sec𝜃𝜃 + tan𝜃𝜃

Rumus-RumusPenjumlahan&Pengurangan

Rumus untuk Sinussin 𝑠𝑠 + 𝑡𝑡 = sin 𝑠𝑠 cos 𝑡𝑡 + cos 𝑠𝑠 sin 𝑡𝑡sin 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 = sin 𝑠𝑠 cos 𝑡𝑡 − cos 𝑠𝑠 sin 𝑡𝑡

Rumus untuk Cosinuscos 𝑠𝑠 + 𝑡𝑡 = cos 𝑠𝑠 cos 𝑡𝑡 − sin 𝑠𝑠 sin 𝑡𝑡cos 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 = cos 𝑠𝑠 cos 𝑡𝑡 + sin 𝑠𝑠 sin 𝑡𝑡

Rumus untuk Tangen

tan 𝑠𝑠 + 𝑡𝑡 = tan 𝑠𝑠+tan 𝑡𝑡1−tan 𝑠𝑠 tan 𝑡𝑡

tan 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 = tan 𝑠𝑠−tan 𝑡𝑡1+tan 𝑠𝑠 tan 𝑡𝑡

ContohSoal

Tentukan nilai eksak bentuk-bentuk berikut.(a) cos 75° (b) cos 𝜋𝜋

12

PEMBAHASAN(a) cos 45° + 30° = cos 45° cos 30°− sin 45° sin 30°

= 22

32− 2

212= 6− 2

4

(b) cos 𝜋𝜋12= cos 𝜋𝜋

4− 𝜋𝜋

6

= cos 𝜋𝜋4cos 𝜋𝜋

6+ sin 𝜋𝜋

4sin 𝜋𝜋

6

= 22

32+ 2

212= 6+ 2

4

LatihanSoal

Tentukan nilai eksak bentuk berikut.sin 18° cos 27° + cos 18° sin 27°.

Rumus-RumusSudutRangkap

Rumus untuk Sinussin 2𝑥𝑥 = 2 sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥

Rumus untuk Cosinuscos 2𝑥𝑥 = cos2 𝑥𝑥 − sin2 𝑥𝑥

= 1− 2 sin2 𝑥𝑥= 2 cos2 𝑥𝑥 − 1

Rumus untuk Tangentan 2𝑥𝑥 = 2 tan 𝑥𝑥

1−tan2 𝑥𝑥

ContohSoal

Jika tan 𝑥𝑥 = −43

dan 𝑥𝑥 di Kuadran II, tentukan sin 2𝑥𝑥 dan cos 𝑥𝑥.

PEMBAHASAN Karena tan 𝑥𝑥 = −43

dan 𝑥𝑥 di Kuadran II, maka

sin 𝑥𝑥 = 45

dan cos 𝑥𝑥 = −35

Sehingga,

sin2𝑥𝑥 = 2 sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 = 2 45

− 35= −24

25

cos 2𝑥𝑥 = 1− 2 sin2 𝑥𝑥 = 1− 2 45

2= 1− 32

25= − 7

25

PolinomialTchebycheff

Tunjukkan bahwa ada polinomial 𝑃𝑃 𝑡𝑡 berderajat 4 sedemikian sehinggacos 4𝑥𝑥 = 𝑃𝑃 cos 𝑥𝑥

RumusSudutPertengahan

sin 𝑢𝑢2= ± 1−cos 𝑢𝑢

2cos 𝑢𝑢

2= ± 1+cos 𝑢𝑢

2

tan 𝑢𝑢2= 1−cos 𝑢𝑢

sin 𝑢𝑢= sin 𝑢𝑢

1+cos 𝑢𝑢Tanda + atau – tergantung pada kuadran di mana letak sudut 𝑢𝑢

2.

ContohSoal

Jika cos 𝑥𝑥 = −45

dan 180° < 𝑥𝑥 < 270° tentukan sin 𝑥𝑥2

dan tan 𝑥𝑥

2.

PEMBAHASAN Karena cos 𝑥𝑥 = −45

dan 180° < 𝑥𝑥 < 270°, maka

sin 𝑥𝑥 = −35

Sehingga,

sin 𝑥𝑥2= 1− − ⁄4 5

2= 3

1010

tan 𝑥𝑥2= 1− − ⁄4 5

− ⁄3 5= −3

Sudut Pertengahan untuk sinus

Sudut Pertengahan untuk tangen

LatihanSoal

Tentukan:(a) cos 165° (b) tan 22,5° (c) sin 15°

RumusPerkalian-Penjumlahan

sin𝑢𝑢 cos 𝑣𝑣 =12sin 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 + sin 𝑢𝑢 − 𝑣𝑣

cos𝑢𝑢 sin 𝑣𝑣 =12sin 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 − sin 𝑢𝑢 − 𝑣𝑣

cos𝑢𝑢 cos 𝑣𝑣 =12cos 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 + cos 𝑢𝑢 − 𝑣𝑣

sin𝑢𝑢 sin 𝑣𝑣 =12cos 𝑢𝑢 − 𝑣𝑣 − cos 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣

ContohSoal

Nyatakan sin2𝑥𝑥 cos 3𝑥𝑥 sebagai penjumlahan fungsi-fungsi trigonometri.PEMBAHASANsin 2𝑥𝑥 cos 3𝑥𝑥 = 1

2sin 2𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + sin 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥

= 12sin7𝑥𝑥 + sin −𝑥𝑥

= 12sin7𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥

RumusPenjumlahan-Perkalian

sin 𝑥𝑥 + sin𝑦𝑦 = 2 sin𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2

cos𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2

sin 𝑥𝑥 − sin𝑦𝑦 = 2 cos𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2

sin𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2

cos 𝑥𝑥 + cos𝑦𝑦 = 2 cos𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2

cos𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2

cos 𝑥𝑥 − cos𝑦𝑦 = −2 sin𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2

sin𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2

ContohSoal

Buktikan identitas sin 𝑥𝑥+sin 5𝑥𝑥cos 𝑥𝑥+cos 5𝑥𝑥

= tan 3𝑥𝑥.

PEMBAHASANsin 𝑥𝑥+sin 5𝑥𝑥cos 𝑥𝑥+cos 5𝑥𝑥

= 2 sin 3𝑥𝑥 cos −2𝑥𝑥2 cos 3𝑥𝑥 cos −2𝑥𝑥

= sin 3𝑥𝑥cos 3𝑥𝑥

= tan 3𝑥𝑥

Rumus Penjumlahan-Perkalian

Sederhanakan

Identitas Kebalikan

PertanyaanReflektif

1. Jelaskan bagaimana cara membuktikan identitas trigonometri.

2. Sebutkan 2 strategi untuk membuktikan identitas trigonometri.

FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI


Aljabar & Trigonometri

Integrating academic exce l lence and humanistic value

Ukuran Sudut

DEFINISI UKURAN RADIANUkuran radian (disingkat rad) dari sebuah sudut pusat lingkaran berjari-jari 1 satuan sama dengan panjang busur lingkaran yang dipotong oleh sudut tersebut.

θ

1

Ukuran radian ϴ


Derajat dan Radian

1. Untuk mengubah derajat ke radian, kalikan dengan π/180.

2. Untuk mengubah radian ke derajat, kalikan dengan 180/π.

180° = 𝜋𝜋 rad 1 rad =180𝜋𝜋

°1° =

𝜋𝜋180

rad


Sudut dalam Posisi Baku

x

y

x

y

x

y

0 0 0

(b)(a) (c)

Sudut-sudut koterminal


Posisi Baku dan Koterminal

Suatu sudut dalam posisi baku jika sudut tersebut digambar pada bidang koordinat kartesius, berpusat di titik asal, dan sisi awalnya pada sumbu-x positif.Dua sudut dalam posisi baku dikatakan koterminaljika sisi-sisinya saling berhimpit.


Latihan 1

(a) Nyatakan 75° ke dalam radian.(b) Nyatakan π/6 ke dalam derajat.(c) Carilah sudut yang besarnya di antara 0° dan

360° yang koterminal dengan sudut yang besarnya 1290° dalam posisi baku.


Perbandingan-Perbandingan Trigonometri

sin𝜃𝜃 =depanmiring

cos 𝜃𝜃 =sampingmiring tan𝜃𝜃 =

depansamping

csc 𝜃𝜃 =miringdepan

sec 𝜃𝜃 =miringsamping cot𝜃𝜃 =

sampingdepan

miringdepan

sampingθ


Latihan 2

Jika cos𝛼𝛼 = 34, sketsalah segitiga siku-siku dengan

sudut lancip α, dan tentukan perbandingan-perbandingan trigonometri lainnya dari sudut α.


Sudut-Sudut Istimewa

45°

45°

2

1

1

1

2

3

60°

30°


Sudut-Sudut Istimewa

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

θ θ sin θ cos θ tan θ csc θ sec θ cot θ0° 0 0 1 0 – 1 –30° π/6 1

232

33

2 2 33

3

45° π/4 22

22

1 2 2 1

60° π/3 32

12 3 2 3

32 3

3

90° π/2 1 0 – 1 – 0


Latihan 3

Selesaikan segitiga ABC yang ditunjukkan pada gambar di bawah.

A

BC30°

12

a

b


Fungsi-Fungsi TrigonometriDEFINISI FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRIMisalkan θ adalah sudut dalam posisi baku, dan misalkan P(x, y) adalah suatu titik pada sisi terminal sudut tersebut. Jika 𝑟𝑟 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 adalah jarak titik asal ke titik P(x, y), maka

sin𝜃𝜃 =𝑦𝑦𝑟𝑟

cos𝜃𝜃 =𝑥𝑥𝑟𝑟

tan𝜃𝜃 =𝑦𝑦𝑥𝑥

𝑥𝑥 ≠ 0

csc𝜃𝜃 =𝑟𝑟𝑦𝑦

𝑦𝑦 ≠ 0 sec 𝜃𝜃 =𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠ 0 cot𝜃𝜃 =

𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑦𝑦 ≠ 0

x

y

P(x, y)r θ


Sudut Acuan

DEFINISI SUDUT ACUANMisalkan 𝜃𝜃 adalah sudut dalam posisi baku. Sudut acuan �̅�𝜃 yang bersesuaian dengan 𝜃𝜃 adalah sudut lancip yang dibentuk oleh sisi terminal 𝜃𝜃 dengan sumbu-x.


Latihan 4

Tentukan sudut acuan untuk sudut-sudut:

(a) 𝜃𝜃 = 5𝜋𝜋3

(b) 𝜃𝜃 = 870°


Fungsi Trigonometri Sembarang Sudut

MENENTUKAN FUNGSI TRIGNOMETRI SEMBARANG SUDUT1. Tentukan sudut acuan �̅�𝜃 yang bersesuaian

dengan 𝜃𝜃.2. Tentukan tanda dari fungsi trigonometri sudut

𝜃𝜃.3. Nilai fungsi trigonometri 𝜃𝜃 sama dengan nilai

fungsi trigonometri �̅�𝜃, kecuali mungkin tandanya.


Latihan 5

Tentukan (a) sin 495° dan (b) sec (–π/4).

PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR


Aljabar & Trigonometri


Fase-FaseBulan

Bagaimana kita bisa menjelaskan fase-base bulan?Mengapa bentuk bulan yang terlihat dari bumi berubah-ubah?Kapan kita melihat bulan baru, bulan sabit, dan bulan purnama?


PersamaanTrigonometriSederhana

Ketika menyelesaikan sembarang persamaan trigonometri, maka yang harus kita lakukan adalah mengubah persamaan tersebut ke dalam persamaan trigonometri sederhana

𝑇𝑇 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐dimana 𝑇𝑇 adalah fungsi trigonometri dan 𝑐𝑐 adalah konstanta.


ContohSoal

Selesaikan persamaan sin 𝑥𝑥 = 32

.

PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu Periode. Nilai sin 𝑥𝑥 bernilai positif ketika 𝑥𝑥 di Kuadran I dan II. Padahal

sin 60° = 32

Sehingga,𝑥𝑥 = 60°𝑥𝑥 = 180° − 60° = 120°

Kuadran I

Kuadran II


Cari Semua Selesaian. Karena fungsi sinus berulang setiap 360°, maka semua selesaiannya adalah

𝑥𝑥 = 60° + 𝑘𝑘 � 360°𝑥𝑥 = 120° + 𝑘𝑘 � 360°

dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.


KALKULATOR

GRAFIK

https://www.desmos.com/calculator/c7g9z6vmb2


PersamaanFungsiSinus

Selesaian Umum Persamaan Fungsi SinusJika sin 𝑥𝑥 = sin𝜃𝜃, maka

𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°, atau𝑥𝑥 = 180°− 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°

dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.CATATAN Jika 𝜃𝜃 dalam radian, maka kita ganti 360° dengan 2π.


LatihanSoal

Tentukan semua selesaian persamaan berikut.sin 𝑥𝑥 = −1

2


ContohSoal

Selesaikan persamaan cos 𝑥𝑥 = 122 dan daftarlah

beberapa selesaiannya.PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu Periode. Nilai cos 𝑥𝑥 bernilai positif ketika 𝑥𝑥 di Kuadran I dan IV. Padahalcos 45° = 1

22

Sehingga,𝜃𝜃 = 45°𝜃𝜃 = −45°

Kuadran I

Kuadran IV


Cari Semua Selesaian. Karena fungsi cosinus berulang setiap 360°, maka semua selesaian persamaan yang diberikan adalah

𝑥𝑥 = 45° + 𝑘𝑘 � 360°𝑥𝑥 = −45° + 𝑘𝑘 � 360°

dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.Jika kita substitusi 𝑘𝑘 = −1, 0, 1, 2 maka kita dapatkan beberapa selesaian berikut.

𝑥𝑥 = −405°,−315°,−45°, 45°, 315°, 405°, 675°, 765°

𝑘𝑘 = −1 𝑘𝑘 = 0 𝑘𝑘 = 1 𝑘𝑘 = 2


KALKULATOR

GRAFIK

https://www.desmos.com/calculator/wtfqworm4d


PersamaanFungsiCosinus

Selesaian Umum Persamaan Fungsi CosinusJika cos 𝑥𝑥 = cos𝜃𝜃, maka

𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°, atau𝑥𝑥 = −𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 360°

dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.CATATAN Jika 𝜃𝜃 dalam radian, maka ganti 360°dengan 2π.


LatihanSoal

Selesaikan persamaan berikut, kemudian tuliskan beberapa selesaiannya.cos 𝑥𝑥 = −1

2


ContohSoal

Tentukan selesaian persamaan tan 𝑥𝑥 = 2.PEMBAHASAN Cari Selesaian dalam Satu Periode.tan 𝑥𝑥 = 2

𝑥𝑥 = tan−1 2𝑥𝑥 ≈ 63,4°

Selesaian tersebut merupakan satu-satunya selesaian dalam satu periode.


Cari Semua Selesaian. Karena periode tangen adalah 180°, maka semua selesaian persamaan yang diberikan adalah

𝑥𝑥 = 63,4° + 𝑘𝑘 � 180°


KALKULATOR

GRAFIK

https://www.desmos.com/calculator/yqzdtlj795


PersamaanFungsiTangen

Selesaian Umum Persamaan Fungsi TangenJika tan 𝑥𝑥 = tan𝜃𝜃, maka

𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 + 𝑘𝑘 � 180°dimana 𝑘𝑘 adalah sembarang bilangan bulat.


LatihanSoal

Carilah selesasian umum persamaan berikut.tan 𝑥𝑥 = 2 + 3


CaraPemfaktoran

Selesaikan persamaan 2 sin2 𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥 − 1 = 0.PEMBAHASAN Kita faktorkan bentuk pada ruas kiri.

2 sin2 𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥 − 1 = 02 sin 𝑥𝑥 − 1 sin 𝑥𝑥 + 1 = 0

2 sin 𝑥𝑥 − 1 = 0 atau sin 𝑥𝑥 + 1 = 0sin 𝑥𝑥 = 1

2atau sin 𝑥𝑥 = −1


Periode fungsi sinus adalah 360°. Sehingga kita tentukan selesaiannya untuk 0 ≤ 𝑥𝑥 < 360°.sin 𝑥𝑥 = 1

2𝑥𝑥 = 30° atau 𝑥𝑥 = 150°

sin 𝑥𝑥 = −1𝑥𝑥 = 270°

Jadi, selesaian persamaan yang diberikan adalah𝑥𝑥 = 30° + 𝑘𝑘 � 360°𝑥𝑥 = 150° + 𝑘𝑘 � 360°𝑥𝑥 = 270° + 𝑘𝑘 � 360°


LatihanSoal

Selesaikan persamaan berikut.cos2 𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥 = 0


PertanyaanReflektif

• Apa yang membedakan antara membuktikan identitas trigonometri dan menyelesaikan persamaan trigonometri?

• Bagaimana kalian melihat selesaian persamaan2 sin2 𝑥𝑥 − 1 = 0

dalam selang 0, 2𝜋𝜋dengan menggunakankalkulator grafik?


Fase-FaseBulan

Jika sudut yang dibentuk oleh matahari, bumi, dan bulan adalah 𝜃𝜃, maka nilai

𝐹𝐹 = 121− cos𝜃𝜃

akan menentukan bentuk bulan.Bulan baru : 𝐹𝐹 = 0Bulan sabit : 𝐹𝐹 = 0,25Kuartal awal/akhir : 𝐹𝐹 = 0,5Bulan purnama : 𝐹𝐹 = 1


𝜃𝜃 = 60°

F = 0,25 (bulan sabit)

𝜃𝜃 = 300°

F = 0,25 (bulan sabit)

ReferensiAbramson, J. P. (2015). Algebra

and Trigonometry. Houston: OpenStax

Aufmann, R. N., Barker, V. C., & Nation, R. D. (2011). College Algebra and Trigonometry (7th

ed.). Belmont, CA: Brooks/Cole, Cengage Learning.

Barnett, R. A., Ziegler, M. R., & Byleen, K. E. (2012). Analytic Trigonometry with Applications(11th ed.). Hoboken, N.J:

Wiley.Kristanto, Y. D. (2016).

Matematika Langkah Demi Langkah untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Grasindo.

Larson, R. (2011). Algebra and Trigonometry (8th ed.). Belmont, CA: Brooks/Cole.

Larson, R. (2014). Precalculus (9th

ed.). Stamford: Cengage Learning.

Lial, M. L. (2013). Trigonometry(10th ed.). Boston: Pearson.

Mardjono, A. (2004). Aljabar dan Trigonometri. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

McKeague, C. P., & Turner, M. D. (2008). Trigonometry (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole.

Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2016). Algebra and Trigonometry (4th ed.). Boston: Cengage Learning.

Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (7th

ed.). Boston: Cengage Learning.

Sullivan, M. (2012). Algebra and Trigonometry (9th ed.). Boston: Prentice Hall.

Sullivan, M. (2016). Algebra and Trigonometry (10th ed.). Boston: Pearson.

Tutoyo, A., Susanta, B., & Murwaningtyas, C. E. (2004). Prakalkulus. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Bahan Ajar Aljabar dan Trigonometri - USD

Documents

Transcript of Bahan Ajar Aljabar dan Trigonometri - USD