BAB V

HIMPUNAN

5.1. Pendahuluan

Bab ini memuat materi tentang pengertian himpunan, operasi irisan,

gabungan, komplemen, selisih dan simetri, dan aljabar himpunan yang meliputi sifat

dan rumus-rumus. Selain itu dalam bab ini juga dibahas tentang pasangan berurutan,

hasil ganda kartesius, himpunan kuasa, dan keluarga himpunan. Selain konsep,

contoh, dan sifat, materi juga dilengkapi dengan latihan untuk kerja mandiri para

mahasiswa sebagai penunjang kompentensi.

Pada Minggu ke-8 bahasan dimulai dari definisi himpunan, elemen

himpuna, kesamaan dua himpunan, dan himpunan kosong. Bahasan pada Minggu ke-

9 meliputi pengertian subhimpunan, himpunan komplemen, dan sifat-sifat yang

menyertainya. Selanjutnya, hubungan antara dua himpunan diwujudkan dalam bentuk

operasi himpunan mulai dari irisan himpunan, gabungan, dan simetri. Khusus untuk

dua minggu berikutnya materi pebahasan difokuskan pada beberapa jenis himpunan

khusus, di antaranya himpunan hasil ganda Kartesius dan himpunan indeks untuk

Minggu ke-10 dan himpunan kuasa beserta sifat-sifatnya pada Minggu ke-11.

Teori himpunan merupakan salah satu dasar penguasaan bidang matematika.

Topik-topik dalam mata kuliah matematika selanjutnya tidak akan bisa dipisahkan

dengan struktur himpunan, sehingga bagi para mahasiswa bab ini akan sangat

bermanfaat sebagai fondasi penguasaan matematika baik di bidang aljabar, analisis,

dan terapan.

Setelah mempelajari topik bahasan pada pertemuan Minggu ke-8, 9, 10,

dan 11 ini diharapkan diperoleh learning Outcomes:

1. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi himpunan, kesamaan dua

himpunan dan himpunan kosong

2. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi, subhimpunan, dan himpunan

komplemen.

3. Mahasiswa mampu membuktikan sifat-sifat sederhana himpunan

4. Mahasiswa mampu menjelaskan operasi himpunan

5. Mahasiswa mampu mengaplikasikan sifat-sifat operasi himpunan pada

bidang matematika

6. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi himpunan hasil ganda Kartesius

7. Mahasiswa mampu mengaplikasikan sifat-sifat himpunan hasil ganda

Kartesius

8. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi himpunan indeks Kartesius

9. Mahasiswa mampu mengaplikasikan himpunan indeks beserta sifat-sifatnya

10. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi himpunan himpunan kuasa beserta

contohnya

11. Mahasiswa mampu menerapkan himpunan indeks beserta sifat-sifatnya

dalam bidang matematika

.

5.2. Himpunan Dan Subhimpunan

Pengertian himpunan dan menjadi anggota suatu himpunan merupakan hal

yang mendasar dalam matematika. Orang tidak mungkin mengadakan diskusi

matematika dengan tidak menyangkut dua konsep di atas. Walaupun kedua

pengertian tadi dapat diselidiki secara matematik aksiomatis, namun pada modul ini

dianggap, bahwa pengertian-pengertian ini secara intuitif dapat ditangkap. Secara

intuitif kita mengerti apa yang dimaksud dengan himpunan semua bilangan alam,

himpunan raja-raja yang masih hidup, himpunan semua mahasiswa UGM dan lain-

lain. Jika kita minta suatu anak kecil yang belum bisa berhitung untuk

mengumpulkan bunga – bunga merah di antara bunga – bunga yang beraneka warna

dan ia mampu mengerjakan maka dengan demikian ia memperlihatkan menangkap

pengertian syarat keanggotaan.

Definisi 5.2.1. Himpunan adalah unsur-unsur dalam semesta pembicaraan S yang

memenuhi kondisi tertentu. Kondisi atau pernyataan tertentu tersebut disebut syarat

keanggotaan himpunan.

Simbol yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan biasanya

digunakan huruf besar seperti A, B, K,,,,, , dan sebagainya. Untuk menyatakan

himpunan secara lengkap dengan unsur-unsur yang memenuhi dapat dilakukan

dengan cara:

1. Deskriptif: Contohnya:

1.1. H himpunan semua mahasiswa UGM

1.2. N himpunan semua bilangan asli

1.3. A himpunan huruf latin vokal

2. Mendaftar: Contohnya:

2.1. ℕ = ,3,2,1

2.2. ,,,, uoieaA

2.3. YuniBurhan,Yanti,Irma,Adi,Amir,

2.4. dokar kapal,pesawat,sepeda,becak,mobil,

3. Syarat keanggotaan: Contohnya:

3.1. A = { x | x huruf latin vokal }

3.2. { a | a mahasiswa UGM }

3.3. { R | R alat transportasi }

3.4. { x | x bilangan real, x2 + 2x – 1 > 10 }

Jika elemen a menjadi anggota suatu himpunan H, maka fakta ini disajikan

dengan notasi Ha . Sedangkan ingkarannya yaitu a bukan anggota H disajikan

dengan Ha .

Banyak elemen atau anggota suatu himpunan bisa berhingga atau tak hingga.

Jika banyaknya anggota suatu himpunan itu berhingga maka himpunan tersebut dapat

disajikan dengan membuat daftar nama-nama anggota-anggotanya, sedangkan jika

banyak anggotanya tak hingga, maka cara menyajikan himpunan itu dengan

menuliskan syarat keanggotaannya. Jika dari semesta pembicaraan akan dikumpulkan

objek-objek yang memiliki sifat P, maka himpunan itu disajikan dengan :

xPx

dan dibaca : himpunan semua x sedemikian hingga x mempunyai sifat P.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan

dinotasikan dengan “” atau “{ }”, contohnya:

1. Himpunan orang Indonesia yang pernah ke bulan.

2. Himpunan semua bilangan asli yang nilai kuadratnya sama dengan 2.

Definisi 5.2.1. Dua himpunan H dan K disebut sama atau berhimpit jika dan hanya

jika setiap anggota dari H menjadi anggota dari K dan sebaliknya. Jika ditulis

dengan notasi matematik : KxHxxKH ).( .

Contoh 5.2.2. Jika badcBdcbaA ,,,,,,, , maka A=B

Selanjutnya, karena anggota suatu himpunan ditentukan juga oleh syarat

keanggotaan, maka penentuan kesamaan dua himpunan dapat juga dilakukan dengan

menyelidiki ekuivalensi antara syarat keanggotaan keduanya. Sebagai contoh:

032 2 xxxH dan 3 1 | xxxK

Karena “ 0322 xx ” jika dan hanya jika “ 3 1 xx ”, maka .KH

Definisi 5.2.3. Di dalam semesta pembicaraan S, himpunan semua unsur yang bukan

anggota himpunan xPxA ditulis dengan

AxxAC .

Dengan kata lain xPxAC . Untuk selanjutnya himpunan CA disebut

komplemen A.

Contoh 5.2.4. Dengan masing-masing semesta pembicaraan S:

1. Jika S himpunan semua huruf latin dan A himpunan semua huruf vokal,

maka ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, zyxwvtsrqpnmlkjhgfdcbAC

2. Jika ,2 ,1 2 nnS dan A adalah himpunan semua elemen yang

habis dibagi 3, maka nnBC membagi habis tidak 3 2

Hubungan antara himpunan kosong, semesta pembicaraan, dan konsep

komplemen himpunan dinyatakan dalam sifat berikut ini.

Teorema 5.2.5. Jika S semesta pembicaraan, maka:

1. dan CC SS .

2. AACC .

Selain kesamaan himpunan, hubungan antara dua himpunan dapat berbentuk

salah satu himpunan, misalkan H menjadi bagian dari yang lain, misalkan K. Hal ini

ditunjukkan dengan kondisi anggota-anggota himpunan H sekaligus menjadi anggota

himpunan K.

Definisi 5.2.5. Himpunan H dikatakan menjadi himpunan bagian (subhimpunan) K

dengan notasi KH jika dan hanya jika setiap anggota H menjadi anggota K. Jika

ditulis dengan notasi matematika:

KxHxxKH )..(

S

H K

Contoh 5.2.6. Berikut contoh-contoh subhimpunan:

1. Jika ,3,2,1dan ,,5,3,1,3,2,1 C BA , maka CBCA , , dan

AA , tetapi A bukan subhimpunan B dan B bukan subhimpunan A

2. Jika X menyatakan himpunan semua makhluk hidup,

Y : himpunan semua hewan bertulang belakang,

Z : himpunan semua unggas, dan

U : himpunan semua merpati,

maka berlaku XYZU .

Selanjutnya, jika BA tetapi BA , maka A disebut subhimpunan sejati

(himpunan bagian sejati) dari B dan ditulis dengan “ BA . Sebagai contoh:

1. Jika ,3,2,1dan ,,5,3,1,3,2,1 C BA , maka CBCA , ,

dan AA , BA , dan BC .

2. Jika X menyatakan himpunan semua makhluk hidup,

Y : himpunan semua hewan bertulang belakang,

Z : himpunan semua unggas, dan

U : himpunan semua merpati,

maka XYZU .

Teorema 5.2.7. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap

himpunan.

Bukti: Ambil himpunan sembarang H dan andaikan bukan himpunan bagian dari

H, hal ini berarti ada x sedemikian hingga x H , kalimat terakhir ini pasti salah

karena tidak mempunya anggota. Sehingga pengandaian harus diingkar dan

adalah himpunan bagian dari H. Karena H sembarang maka terbukti merupakan

himpunan bagian dari setiap himpunan. □

Bukti ini dapat juga dilihat dengan menggunakan implikasi material sebagai

berikut : Untuk membuktikan H maka harus dibuktikan benarnya pernyataan

x xH dan karena anteseden selalu salah maka pernyataan tersebut selalu

benar.

Teorema 5.2.8. Diketahui S semesta pembicaraan, U, V, dan W himpunan.

Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:

1. UU , SU .

2. VU WV ⇒ WU

3. VU UV ⇒ VU

4. VU ⇒ CC UV

Bukti. Hanya akan dibuktikan untuk sifat 4. Diketahui VU . Ambil sebarang

.CVx Jika ,Ux maka .Vx Akibatnya terjadi kontradiksi, sehingga .CUx □

Teorema 5.2.9. Diketahui S semesta pembicaraan. Pernyataan-pernyataan berikut

berlaku:

1. UU ,

2. VU WV ⇒ WU

3. VU ⇒ UV

4. VU ⇒ CC UV

Bukti. Sebagai latihan.

5.3. Operasi Himpunan

Pada pengertian “subhimpunan”, hubungan dua himpunan ditunjukkan oleh

fakta, bahwa semua elemen dari salah satu himpunan sekaligus merupakan elemen

dari himpunan ke dua. Konsep tersebut tidak berlaku umum pada sebarang dua

himpunan H dan K. Bahkan di bidang matematika dan kehidupan sehari-hari sering

dijumpai tidak semua elemen H merupakan elemen K, demikian juga sebaliknya.

Untuk itu pembicaraan perlu juga difokuskan pada semua elemen yang menjadi

anggota bersama antara H dan K dalam bentuk operasi himpunan, di antaranya irisan

himpunan, gabungan himpunan, dan selisih dua himpunan.

Definisi 5.3.10. Irisan dari dua himpunan H dan K dengan notasi HK adalah

himpunan yang anggota-anggotanya menjadi anggota H sekaligus menjadi anggota

K, Notasi matematisnya :

HK = x | x H dan x K .

S

H K

H∩K

Apabila H , K ; sedangkan HK = , maka H dan K disebut saling

asing.

Contoh 5.3.11. Berikut ini diberikan beberapa contoh irisan himpunan.

1. Jika H = 2,4 dan K = 2,3,5, maka HK = 2,

2. Irisan himpunan A = 4k | k = 1, 2, ... dan B = { ..., -4, -2, 0, 3, 6, ... }

adalah A B = 12, 24, 36, ... .

3. Jika X himpunan semua huruf vokal dan Y himpunan semua huruf

penyusun kata “MERCUSUAR”, maka UEAYX ,, .

Definisi 5.3.12. Gabungan himpunan H dan K dengan notasi HK adalah himpunan

yang anggota-anggotanya terdiri atas elemen yang sekurang-kurangnya menjadi

anggota dari salah satu himpunan H atau K. Notasi matematisnya:

HK = x | xH atau x K.

S

H K Keterangan

H∪K : Seluruh daerah arsiran

Contoh 5.3.13. Berikut ini diberikan beberapa contoh gabungan himpunan.

1. Jika H = 2,4 dan K = 2,3,5, maka H∪K = 2, 3, 4, 5,

2. Gabungan himpunan A = 4k | k = 1, 2, ... dan B = { .., -4, -2, 0, 3, 6, ...}

adalah A B = ..., -4, -2, 0, 3, 4, 6, 8, 9, 12, ... .

3. Jika X himpunan semua huruf konsonan setelah “P” dan Y himpunan

semua huruf penyusun kata “MERCUSUAR”, maka

ZYXWVUTSRMECAYX ,,,,,,,,,,,, .

Definisi 5.3.14. Selisih dari dua himpunan H dan K dengan notasi H – K, adalah

himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota-anggota H yang bukan

anggota K. Notasi matematisnya:

H – K = x | xH dan x K .

S H Keterangan:

K H−K : Daerah berwarna jingga

H−K

Berikut diberikan beberapa contoh untuk memperjelas definisi-definisi di

atas.

Contoh 5.3.15. Menggunakan Contoh 5.2.13:

1. Selisih antara H dan K adalah H K = 4,

2. Selisih A = 4k | k = 1, 2, ... dan B = { .., -4, -2, 0, 3, 6, ...} adalah

B A = ..., -4, -2, 0, 3, 6, 9, 15, 18, 21, 27, 30, ... .

3. Jika X himpunan semua huruf konsonan setelah “P” dan Y himpunan

semua huruf penyusun kata “MERCUSUAR”, maka

{ T, V, W, X, Y, Z }.

Definisi 5.3.16. Simetri dari dua himpunan H dan K dengan notasi H∇K, adalah

himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas elemen-elemen H K atau elemen-

elemen K H. Notasi matematisnya:

H ∇ K = x | x H K atau x K H .

S H K

H−K K − H

Contoh 5.3.13. Berdasarkan Contoh 5.2.15:

1. Karena H K = 4 dan K H = { 5 }, maka H ∇ K = { 4, 5 }

2. A∇ B = .., -4, -2, 0, 3, 4, 6, 8, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27, 28, 30, ...}

3. Himpunan ZYXWVTUMCEAYX ,,,,,,,,,, .

5.4. Aljabar Himpunan

Rumus – rumus berikut berlaku untuk setiap himpunan X, Y dan Z.

Teorema 5.4.14. Berikut ini berturut-turut disebut sifat idempoten, komutatif,

assosiatif dan distributif.

1. X X = X

2. X Y = Y X dan X Y = Y X

3. (X Y) Z = X (Y Z) dan (XY)Z = X(YZ)

4. X(YZ) = (XY)(XZ) dan X(Y Z) = (XY)(XZ).

Bukti. Akan dibuktikan sifat distributif X(Y Z) = (XY)(XZ). Hal ini berarti

harus ditunjukkan bahwa

X(Y Z) (XY)(XZ) dan X(Y Z) (XY)(XZ).

(i). Ambil sembarang a X(Y Z), berarti a X atau aYZ. Jika a X maka

aXY dan aXZ, sehingga a(XY)(XZ) dan jika a YZ, maka a Y

dan a Z, jadi a XY dan a XZ, sehingga a(XY)(XZ). Maka terbukti

X(Y Z) (XY)(XZ).

(ii).Ambil sembarang a (XY) (XZ), berarti a (XY) dan a (XZ) . Jika

a X, maka a X(Y Z). Jika a X , berarti a Y dan a Z. Jadi a YZ,

sehingga a X(Y Z. Dengan demikian terbukti X(Y Z) (XY)(XZ).

Bukti sifat yang lain sebagai latihan. □

Teorema 5.4.15.

1. X XY dan Y XY

2. XY X dan XY Y

3. X Z dan Y Z jika dan hanya jika XY Z

4. Z X dan Z Y jika dan hanya jika Z XY

Bukti. Langsung dari definisi.

Teorema 5.4.16. X Y jika dan hanya jika XY = Y jika dan hanya jika XY = X.

Teorema 5.4.17. (XY)c = X

cY

c dan (XY)

c = X

cY

c

Rumus ini disebut rumus de Morgan.

Bukti. Apabila a (XY)c maka tidak benarlah bahwa a sekaligus dalam X dan Y.

Jadi pasti tidak dalam X atau tidak dalam Y( atau tidak dalam kedua-duanya). Yaitu

a X atau a Y, dengan kata lain a Xc

atau a Yc, sehingga a X

cY

c. Maka

terbukti, jika a (XY)c, maka a X

cY

c. Dengan cara yang sama akan didapat

sebaliknya, sehingga terbukti teorema di atas. □

Teorema 5.4.18.

1. X = dan SX = X

2. X = X dan SX = S

3. XXc = dan XX

c = S

Bukti. Langsung dari definisi.

Teorema 5.4.19. Sifat ini disebut absorpsi: X(XY) = X(XY) = X

Teorema 5.4.20.

1. X – Y = XYc.

2. X ∇ Y = (X Yc) ∪ (Y X

C)

3. W ∩ (X ∇ Y ) = (W ∩X ) ∇ (W ∩Y )

Bukti: Dijadikan latihan bagi mahasiswa, termasuk sifat-sifat lain

5.5. Hasil Ganda Kartesius, Himpunan Kuasa, Keluarga Himpunan

Suatu pasangan berurutan atau order pair (a, b) adalah pasangan yang terdiri

atas dua komponen a dan b dengan urutan diperhatikan. Konsep ini dikenal dengan

hasil ganda Kartesius. Konsep ini banyak dijumpai di kehidupan sehari-hari, di

antaranya proses memadu padankan antara beberapa sepatu, beberapa celana, kemeja,

dan asesoris pada saat seseorang berdandan, atau pemangku susunan kepengurusan di

organisasi OSIS yang terdiri atas Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, Bendahara, dari

sejumlah siswa yang terbagi dalam kelas-kelas di seluruh sekolahan.

Definisi 5.5.20. Dua pasangan berurutan (a1, b1) dan (a2, b2) dikatakan sama jika

dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2, sehingga secara umum (a, b) (b, a).

Definisi 5.5.21. Hasil ganda Kartesius H × K dari dua himpunan H dan K adalah

himpunan semua pasangan berurutan (h, k) dengan h diambil dari H dan k dari K.

Secara matematis dinyatakan dengan

H × K = (h, k) | h H & k K

Jika salah satu faktornya merupakan himpunan kosong maka dapat

dibuktikan H × K = , sebab andaikan 1 KH , maka dapat ditemukan

., KHba Dengan kata lain terdapat Ha dan Kb , tetapi H atau

K , sehingga tidak mungkin terjadi. Jadi :

K dan H =

Dalam pergandaan di atas faktor-faktornya boleh sama, yaitu H = K. Karena

pada umumnya (a, c) (c, a) maka pada umumnya H × K tidak sama dengan K × H,

hal ini dapat dilihat dengan contoh berikut.

Contoh 5.5.22. Jika H = a, b dan K = 1, 2, maka

H×K=(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) dan K×H = (1, a), (2, a), (1, b), (2, b).

Jika H = K, maka H×K juga diberi notasi dengan H

2.

Salah satu contoh yang

dikenal baik dan banyak digunakan adalah himpunan titik-titik pada bidang datar

yaitu ℝ2 dengan

ℝ2 = ℝ × ℝ = { (x, y) | x, y ℝ }.

Y

x (x, y)

⦁ y

O X

Contoh 5.5.23. Seseorang melempar secara bersamaan sebuah dadu bersisi 6

beraturan dengan jumlah mata masing-masing sisi 6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 M dan sekeping

koin dengan sisi , , AGN yaitu G gambar dan A angka. Semua kemungkinan sisi

yang muncul adalah

AGAGAGAGAGAGNM ,6,,6,,5,,5,,4,4,,3,,3,,2,,2,,1,,1

Hasil ganda kartesius tidak terbatas pada dua himpunan. Hasil ganda kartesius

dari himpunan-himpunan H1, H2, …, Hn dinotasikan dengan

nnnni

n

iHhHhhhhHHHH

,,,,, 112121

1

adalah himpunan semua n-tupel (h1, h2,…, hn) dengan ii Hh dengan urutan

diperhatikan. Jika HH i untuk ni , ,2 ,1 , maka himpunan

HhhhhhhHHHH nni

n

i

,,,,,, 2121

1

diberi notasi dengan nH .

Contoh 5.5.24. Berikut diberikan hasil ganda Kartesius sebanyak n himpunan:

1. 11, 0 1 , , ,0 , , 1,01 ,1,0 yxyxyx

2. ℝn = ℝ × ℝ × ⋯ × ℝ = { (x1, x2, ⋯, xn) | xi ℝ, i = 1, 2, ⋯, n }.

Salah satu penggunaan hasil ganda Kartesius adalah penentuan posisi pesawat.

Letak suatu pesawat di udara dapat ditentukan dengan paling sedikit 5 komponen,

yaitu :

x derajat Lintang Utara atau Lintang Selatan,

y derajat Bujur Timur,

z feet (ketinggian dari permukaan laut),

t jam, menit, detik (waktu),

v mil/jam (kecepatan),

dengan . 0, ,,,,5

vtzyx

Teorema 5.5.25. Sifat-sifat berikut berlaku:

1. Secara umum A × B ≠ B× A

2. A B dan D E ⇒ A ×D B×E

A ⊂ B dan D E ⇒ A ×D ⊂ B×E

3. A × = = × A

4. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A×C) dan (B ∩ C) × A = (B × A) ∩ (C×A)

5. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A×C) dan (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C×A)

Bukti: Diberikan dalam perkuliahan dan menjadi latihan mandiri

Selanjutnya, jika S dan T menyatakan dua buah semesta pembicaraan dengan

A S dan B T, maka dapat didefinisikan

BATSBAC

.

Sebagai contoh diambil S = 4 3, 2, 1, dan T = e , , , , dcba . Jika A = 2 1, dan

B = edc , , , maka

,,2,,2,,2,,2,,2,,1,,1,,1,,1,,1 edcbaedcbaTS

edcbaedcba ,4,,4,,4,,4,,4,,3,,3,,3,,3,,3 ,

sehingga C

BA

.,4,,4,,4,,4,,4,,3,,3,,3,,3,,3,,2,,2,,1,,1 edcbaedcbababa

Meskipun demikian jika semesta pembicaraan dari BA adalah 0S maka

yang dimaksud BASBAC

0 .

Definisi 5.5.23. Himpunan Kuasa (power set) dari himpunan H dengan notasi P(H)

adalah himpunan semua himpunan-himpunan bagian dari H.

Misalkan H = a, b, c maka dengan memperhatikan bahwa dan a, b, c

sendiri merupakan himpunan bagian dari H:

P(H) = , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Teorema 5.5.24.

1. Jika A B , maka P(A) P(B).

2. P() = { }

Definisi 5.5.25. Keluarga Himpunan atau koleksi himpunan atau keluarga

himpunan( family of sets) adalah suatu himpunan dengan anggota-anggotanya juga

himpunan.

Dengan demikian himpunan kuasa merupakan contoh keluarga himpunan.

Contoh 5.5.26. Berikut adalah contoh keluarga himpunan:

1. N = { [ n, n +1] | n bilangan asli }, yaitu himpunan semua interval tutup

dari n sampai dengan n

2. K = { { 1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4 }, ... }

Pada keluarga himpunan atau himpunan sering kali dibutuhkan simbol untuk

memberikan “nama” untuk elemen-elemen himpunan atau keluarga himpunan.

Contohnya N = { [ n, n +1] | n bilangan asli }. Elemen [n, n + 1] di N dapat dinamai

dengan An = [n, n + 1]. Himpunan semua n sebagai “pengenal” An disebut

himpunan indeks keluarga N dan n dinamakan indeks An.

Contoh 5.5.27. Berikut adalah contoh keluarga himpunan:

1. K = { { 1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4 }, ... }. Elemen-elemen K dapat diberi

“nama” atau indeks:

Ai = {1, 2, …, i }, untuk i = 1, 2, …

Jadi himpunan indeks K adalah ℕ = {1, 2, …, },

2. Diketahui X = {a1, a2, …, a10}. Himpunan indeks X adalah {1, 2, …, 10}

3. Ideks k pada deret

n

ii

kg1

adalah ni ,,2 ,1

4. Pada matriks nmij

bB

, entry matriks ij

b diberi “indeks ij’ yang

menunjukkan indeks baris ke-i dan indeks kolom ke-j.

5. Keluarga xxxH 01,1 . Himpunan indeks H adalah

,0 .

5.6.Soal Latihan:

1.Buktikan : X Yc jika dan hanya jika XY =

2.Buktikan : XY = S jika dan hanya jika Xc Y.

3.Buktikan bahwa X – (X -Y) = XY.

4.Buktikan bahwa jika Z Y X maka (X - Y)(Y - Z) = X - Z.

5. Sederhanakan : (XY)(ZX)(XcY

c)c.

6. Buktikan bahwa apabila H dan K merupakan himpunan-himpunan sedemikian

hingga H×H = K×K, maka H = K.

7. Buktikan ( HK)×M = (H×M)(K×M).

8. Perlihatkan dengan mengambil contoh penyangkal bahwa pada umumnya :

(H×K)M (HM) × (KM).

Kunci Jawaban

Hanya akan diberikan beberapa soal:

1. Soal Latihan XY = S jika dan hanya jika Xc Y.

Ambil sebarang CXx . Karena SX C , maka Yx atau Xx ,

sehingga Yx .

2. Soal no. 8: diambil 1 MKH . Diperoleh

MKMHMKH 1,11 ,1 ,1

Komentar Dan Pengayaan

1. Materi teori himpunan sebenarnya sudah dikenal baik oleh para mahasiswa,

secara berjenjang mulai dari SD, SMP, dan SMA, baik secara teoritis

konseptual, maupun penggunaannya dalam topik-topik bahasan matematika

lainnya. Topik ini relatif mudah, sehingga kompetensi dikatakan cukup jika

dapat mengerjakan 80% soal secara mandiri.

2. Penguasaan konsep baru bisa dikatakan baik jika mampu memberikan

contoh-contoh dengan tingkat kompleksitas tinggi

3. Untuk melengkapi pengetahuan, mahasiswa dapat mengakses situs-situs

terkait Teori Himpunan dan Logika, salah satunya http://www.math-

ist.hu/pu/Algebraic-logic