BAB IV Karateristik & Sistem Orde Pertama

Bab IV. Karakteristik Statik, Dinamik, dan Sistem Orde Pertama 69

BAB IV

KARAKTERISTIK STATIK, DINAMIK, Dan

SISTEM ORDE PERTAMA

4.1 Pendahuluan

Pada bagian sebelumnya telah diberikan pengetahuan tentang perangkat

matametis yang diperlukan untuk menganalisis kelakuan dinamik dari sistem proses.

Disamping uraian tentang karakteritik dinamis, pada bagian awal bab juga diberikan

pengetahuan tentang karateritik statik (static gain), yang merupakan sifat khas dari

sistem yang tidak bisa diabaikan. Pokok bahasan utama pada bab ini antara lain:

a. Perilaku dari Sistem, Karakteristik Statik dan Dinamiknya

b. Apa yang disebut sebagai sistem Orde pertama, gajala fisik apa yang akan

menghasilkan suatu sistem orde pertama

c. Apa saja parameter karakteristik sistem Orde pertama

d. Bagaimana respon sistem Orde pertama terhadap berbagai perubahan variabel

inputnya (distubance atau manipulated variables).

4.2 Karakteristik Statik, Dinamik, dan Sistem Orde Nol

Dinamika sistem ditunjukkan oleh perilaku atau karakteritik variabel keluaran

dalam memberi tanggapan/respon terhadap perubahan masukan. Bilangan yang

menunjukkan nilai perbandingan perubahan keluaran terhadap perubahan masukan

disebut gain.

dx

dyGGain == (4.1)

Gain mengandung komponen statik dan/atau dinamik. Komponen statik dinyatakan

sebagai static gain atau steady-state gain (Kp), dan Komponen dinamik dinyatakan


oleh dynamic gain. Namun telah menjadi kebiasaan di lapangan dan penggunaan

praktis, seringkali static gain disebut dengan gain saja.

4.2.1 Karakteristik Statik

Karakteritik statik adalah perilaku sistem yang tergantung pada waktu dan

frekuensi sinyal masukan. Karakteritik ini ditunjukkan oleh static gain atau steady-state

gain, yaitu bilangan yang menyatakan perbandingan antara perubahan keluaran mantap

(steady) dan perubahan masukan jika masukan berupa fungsi tangga (step function).

x

y

dx

dyK

ss∆

∆== (4.2)

MasukanPerubahan

Mantapsetelah Keluaran Perubahan =K

Sebagai contoh, sebuah transmitter suhu mula-mula berada dalam keadaan mantap, pada

suhu 50 oC dengan mengeluarkan sinyal 10 mA. Tiba-tiba suhu berubah menjadi 60

oC

dan sinyal yang dikeluarkan transmitter menjadi 12 mA. Jadi static gain transmitter

tersebut (K), adalah,

CmAK o/2,05060

1012=

−

−=

Selain dengan cara percobaan, karakteristi statik dari sistem juga dapat diperoleh

dari persamaan neraca massa dan energi pada kondisi steady state. Sebagai contoh,

sistem pemanasan aliran minyak dengan memakai steam sebagai berikut :


Gambar 4.1 Proses pemanasan minyak

Neraca energi dalam keadaaan mantap dengan mengabaikan panas yang hilang adalah :

)()( oTTFCpShH −=− (4.3)

Suhu minyak keluar (T) sebagai variabel proses, laju alir steam (S) sebagai variabel

termanipulasi dan laju serta suhu minyak masuk (To dan F) adalah gangguan/beban yang

nilainya tetap. Maka karakteristik statik (K),

FC

hH

dS

dTK

ss

−== (4.4)

Dari hubungan diatas dapat dilihat bahwa, nilai static gain ternyata tidak tetap

tergantung laju alir minyak. Artinya dapat dibuat hubungan antara suhu minyak keluar

(T) dan laju steam (S) dengan parameter laju minyak (F) sebagai beban. Hubungan

antara T dan S pada berbagai nilai F dapat dibuat grafik karakteristik statik sistem

proses.

Bentuk grafik karakteristik statik untuk sistim proses tidak selalu berupa garis

lurus. Dalam hal ini nilai K adalah kemiringan garis singgung di suatu titik tertentu pada

kurva. Manfaat mengetahui karakteristik statik dari sistem proses adalah untuk

mengetahui batas-batas pengendalian.

Keterangan :

S = laju alir steam (kg/jam)

F = laju alir minyak (kg/jam)

To = suhu minyak masuk (K)

T = suhu minyak keluar (K)

H = entalpi steam (kJ/kg)

h = entalpi kondensat (kJ/kg)

Cp = kalor jenis minyak (kJ/kg K)

m = massa minyak dalam penukar

panas (kg)


Gambar 4.2. Kurva karakteristik statik pada berbagai nilai F.

4.2.2 Karateristik Dinamis

Karakteristik dinamik adalah perilaku sistem yang tergantung pada waktu dan

frekuensi sinyal masukan. Karakteristik ini ditunjukkan oleh dynamic gain yaitu

bilangan yang menyatakan perbandingan antara sinyal keluaran dan masukan jika

masukan berupa fungsi sinusoida. Sebagai contoh, laju alir steam yang masuk alat

penukar panas berubah terus-menerus sebagai fungsi sinusoida dengan amplitudo 5 kg/s

dan frekuensi 1 Hz. Tenyata suhu minyak keluar memiliki amplitudo 2 oC. Maka

dynamic gain alat penukar panas tersebut pada frekuensi 1 Hz adalah,

dynamic gain = 2/5 = 0,4 oC/(kg/s)

Jika frekuensi berubah, dynamic gain juga turut berubah. Semakin besar frekuensi,

dynamic gain semakin kecil. Sebaliknya, semakin kecil frekuensi dynamic gain semakin

besar. Bila frekuensi sama dengan nol, akan diperoleh nilai sebagai static gain.


4.2.3 Sistem Statik atau Sistem Orde Nol

Sistem orde nol adalah sistem yang memiliki tanggapan seketika terhadap

perubahan masuk. Dalam sistem demikian, dinamikanya diabaikan, karena keluaran

sistem dapat berubah sangat cepat mengikuti perubahan masukan, sehingga sistem selalu

dalam keadaan mantap.

Gambar 4.3. Sistem orde nol.

Model matematika sistem orde nol adalah,

xKy p= (4.5)

Gain untuk sistem orde nol adalah,

pKG =

Fungsi Transfer untuk sistem orde nol adalah :

pKsG =)(

atau dalam bentuk koordinat polar,

o

pKG 0)( ∠=ω

Sebagai contoh sistem orde nol adalah keran (katup) air yang berperilaku linier. Di sini

sebagai besaran masukan adalah persentase bukaan keran, dan keluarannya laju alir.

Gambar 4.3. Respons sistem orde nol.

y x Kp


Sifat-sifat sistem orde nol :

�� Respons keluaran sistem terjadi seketika, tanpa terjadi keterlambatan (tidak ada

beda fase antara keluaran dan masukan).

�� Sistem ini hanya memiliki satu parameter, yaitu steady state gain (Kp).

4.3 Sistem Dinamik Orde Pertama

Sistem orde pertama adalah suatu sistem yang outputnya y(t) dapat dimodelkan

oleh suatu persamaan diferensial orde pertama. Dengan demikian bentuk umum sistem

orde pertama untuk sistem linier atau hasil linierisasi adalah sebagai berikut :

,dimana f(t) adalah input sistem (4.6)

Jika konstata ao ≠ 0, maka persamaan 4.6. di atas dapat ditulis ulang :

(4.7)

Pendefinisian,

subtitusi akan menghasilkan bentuk persamaan berikut :

(4.8)

dimana, τp = konstanta waktu (time constant) proses

Kp = steady state gain atau statik gain proses

Jika y(t) dan f(t) dalam bentuk variabel penyimpangan di sekitar kondisi mantap, dan

syarat awal untuk sistem tersebut adalah :

y(0) = 0 dan f(0) = 0

maka persamaan 4.8 dapat dilakukan penurunan untuk mendapatkan fungsi transfer

sistem orde pertama sebagai berikut :


sehingga,

Fungsi transfer sistem orde pertama di atas dapat dinyatakan sebagai :

(4.9)

Sistem-sistem dengan fungsi transfer seperti pada persamaan 4.9. juga dikenal sebagai

lag orde pertama (first order lag), lag linier (linier lag), atau lag transfer

eksponensial(exponential transfer lag).

Pada kasus lain dengan ao = 0, persamaan 4.6. dapat ditulis menjadi :

akan memiliki fungsi transfer sebagai berikut :

(4.10)

Sistem dengan fungsi transfer seperti persamaan 4.10. disebut sebagai sistem kapasitif

murni (purely capacitive) atau integrator murni (pure integrator). Sistem seperti ini

biasa digolongkan juga sebagai sistem tanpa regulasi diri (nonself-regulation). Sistem

tanpa regulasi adalah sistem yang tidak dapat mencapai keadaan mantap tanpa dilakukan

pengendalian. Sistem demikian disebut sebagai sistem kapasitif murni atau integrator.

Sebagai contoh adalah sistem pengisian air ke dalam tangki sementara laju keluarnya

tetap. Pada keadaan ini perubahan laju alir masuk dari satu nilai ke nilai yang lain, akan

menyebabkan tinggi permukaan air akan terus berubah (naik dan turun) terus menerus


hingga mencapai batas kemampuan sistem. Dalam sistem ini batas kemampuan sistem

adalah pada saat air tumpah. Sistem tanpa regulasi diri merupakan sistem yang kritik

dalam pengoperasiannya.

4.4 Proses-Proses yang Dimodelkan Sebagai Sistem Orde Pertama

Proses-proses orde pertama dapat dikenal/dikarakterisasi dari :

1. Kemampuannya untuk menyimpan (menampung) massa, energi atau momentum

2. Terdapat tahanan yang terkait dengan aliran massa, energi, momentum dalam

mencapai kapasitas tampung tersebut.

Dengan demikian respons dinamik tangki-tangki yang mempunyai kemampuan

untuk menyimpan cairan atau gas dapat dimodelkan sebagai sistem orde pertama. Pada

tangki tahanannya adalah pompa, katup, pengahalang dan pipa-pipa yang terdapat pada

aliran masuk atau keluar tangki. Respons temperatur sistem gas, cairan dan padatan yang

dapat menyimpan energi juga dapat dimodel sebagai sistem orde pertama, contohnya

termometer bulb.

Dari penjelasan di atas terlihat bahwa sistem orde pertama dengan kemampuan

menyimpan massa dan energi merupakan sistem dinamik yang paling umum dijumpai di

pabrik kimia.

Contoh Soal 4.1:

Karakteristik Sistem Orde Pertama

Pada sistem tangki di bawah, laju alir volumetrik (volume/waktu) masuk

dinyatakan sebagai Fi dan laju alir volumterik keluar Fo. Pada aliran keluar terdapat

suatu tahanan terhadap aliran (pipa, katup, atau tahanan/weir). Jika laju alir keluar Fo

diasumsikan terhubungkan secara linier dengan tekanan hidrostatik karena ketinggian

cairan h, melalui tahanan R sebagai berikut :


Gambar 4.4. Contoh sistem yang mempunyai karakteristik orde pertama

a. Sistem Lag orde pertama (self-regulation)

b. Sistem Kapasitif murni (nonself-regulation)

a. Sistem Lag orde pertama (self regulation)

Neraca massa total pada sistem tangki tersebut adalah :

atau,

(4.11)

dimana A adalah luas penampang tangki

Pada keadaan mantap (steady), hs = RFi,s , dan penurunan terhadapa persamaan 4.11.

akan menghasilkan bentuk dalam variabel peyimpangan berikut :

dengan, h’ = h-hs dan F’i = Fi-Fi,s . Dengan definisi parameter berikut :

τp = AR = konstanta waktu proses

Kp = R = static gain proses

akan didapatkan fungsi transfer proses adalah sebagai berikut :


(4.12)

Catatan ;

1. Luas penampang tangki A merupakan ukuran kapasitasnya dalam menampung

massa, semakin besar A semakin besar pula kapasitas peyimpangan massa.

2. τp = AR, sehingga untuk tangki tersebut dapat dinyatakan hubungan :

(konstanta waktu) = (kapasitas tangki) x (hambatan)

b. Sistem Kapasitif Murni (nonself- regulation)

Bila pada tangki Gambar 4.4.b. laju alir fluida keluar, Fo ditentukan oleh suatu

pompa perpindahan positif dan bukan karena tekanan hidrostatik akibat ketinggian h.

Maka neraca massa total tangki adalah sebagai berikut :

Pada keadaan steady, 0 = Fi,s - Fo

Pengurangan dua persamaan di atas akan menghasilkan persamaan dalam bentuk

variabel peyimpangan sebagai berikut :

dengan fungsi transfernya adalah :

(4.13)

4.5 Respons Dinamik Orde Pertama terhadap Masukan Fungsi Step

Fungsi transfer untuk sistem lag orde pertama dinyatakan sebagai berikut :

(4.14)


Jika masukan f(t) berubah sesuai dengan fungsi step satuan (fungsi tangga) dengan

ssf

1)( =

−

, maka :

Hasil inversi Transformasi Laplace di atas adalah :

(4.15)

Jika masukan berupa fungsi tangga dengan perubahan sebesar ∆x = x –xo, maka

hubungan keluaran dan masukan dapat dituliskan :

−∆=∆

−p

t

p exKyτ

1

atau, o

t

op yexxKy p +

−−=

−τ

1)( (4.16)

Secara grafik hubungan keluaran (y) dan masukan (x) digambarkan sebagai berikut :

Gambar 4.5. Respons masukan step (tangga) pada sistem orde satu.


Contoh Soal 4.2 :

Respons Dinamik Orde Pertama untuk Masukan Fungsi Step (Tangga)

Sebuah thermometer air raksa mempunyai steady state gain (Kp) =1, dan konstanta

waktu (τp) = 0,1 menit berada pada suatu wadah cairan dengan suhu 90 oF dan mecapai

keadaan steady state pada suhu tersebut. Pada saat t = 0, thermometer dipindahkan ke

wadah lain yang suhunya 100 oF. Hitunglah waktu yang dibutuhkan oleh thermometer

untuk penunjukkan suhu 98 oF. Thermometer air raksa mempunyai karakteristik orde

satu.

Penyelesaian :

Diketahui, Kp = 1,0 ; τp = 0,1 menit ;

∆x = x –xo = 100 – 90 = 10 oF

y(t) = 98 oF dan yo = 90

oF

Substitusi parameter yang diketahui ke persamaan 4.16, diperoleh:

t = 0,161 menit

4.6 Respon Dinamik suatu Proses Kapasitif Murni (Integrator)

Proses Kapasistif murni dikenal sebagai sistem tanpa regulasi diri (nonself-

regulation). Sistem ini disebut juga Integrator. Sistem tanpa regulasi diri tidak dapat

mencapai keadaan seimbang dengan sendirinya tanpa dikendalikan. Sebagai contoh

adalah sistem pengisian air ke dalam tangki sementara laju keluarnya tetap. Pada

keadaan ini perubahan laju alir air masuk dari satu nilai ke nilai yang lain menyebabkan

tinggi air terus berubah (naik atau turun) terus menerus hingga mencapai batas

kemampuan sistem. Dalam contoh pengisian air di atas kamampuan sistem adalah pada

saat air tumpah.

Gambar 4.6. Sistem tangki air dengan laju alir keluar tetap.


Fungsi transfer dari suatu proses kapasitif murni adalah sebagai berikut :

(4.17)

Jika fungsi input f(t) berubah menurut fungsi step satuan:

dengan fungsi transfer untuk fumgsi input tersebut sebagai berikut:

Substitusi f(s) ke dalam persamaan 4.17 akan menghasilkan persamaan dalam bentuk

Transformasi Laplace untuk output y(s) berikut :

Penyelesaian dengan inversi Transformasi Laplace persamaan di atas diperoleh:

(4.18)

Dari persamaan di atas terlihat bahwa output sistem akan terus bertambah secara linier

terhadap waktu secara tanpa batasan (unbounded), sehingga :

Bentuk respons input step dari sistem integrator adalah sebagai berikut:

Gambar 4.7. Respons masukan step dari sistem Integrator (proses kapasitif murni).


Bentuk respons seperti gambar di atas merupakan ciri khas proses kapasistif murni, yang

membuat proses tersebut disebut juga Integrator, karena berkelakuan seperti terdapat

integrator antara input dan output.

Suatu proses kapasitif murni dapat mengakibatkan masalah pengendalian yang

serius, karena proses ini tidak dapat melakukan penyeimbangan sendiri. Pada sistem

tangki di atas, kecepatan pengaliran pompa pengeluaran konstan dapat diatur secara

manual untuk mengimbangi aliran masuk dan menjaga ketinggian cairan tetap konstan,

tetapi sedikit saja perubahan pada laju alir masuk akan mengakibatkan tangki melimpah

(flood) atau menjadi kosong. Sifat proses kapasitif murni ini dikenal dengan nonself-

regulation.

Proses-proses dengan aksi integrasi yang paling umum dijumpai pada suatu

pabrik kimia adalah tangki berisi cairan, bejana berisi gas, sistem penyimpanan bahan

baku atau produk dan lain-lain.

4.7 Respons Dinamik Orde Pertama terhadap Masukan Fungsi Sinusoidal

Jika fungsi masukan (x) berupa fungsi sinusoidal,

x = xs + A sin ωt (4.19)

setelah tercapai keadaan mantap (steady state), keluaran (y) dari sistem orde satu

mempunyai bentuk:

)(tan

)(sin.1

)(

1

22

ωτ

ωτω

−=Φ

Φ−+

=

−

tAK

tYp

(4.20)

Atau,

)(sin.1

)(22

Φ−+

+= tAK

ytyp

s ωτω

(4.21)

Contoh-contoh sistem orde satu adalah thermometer bulb, sensor-sensor,

transmitter, elemen kendali akhir, sistem tangki pencampur, sistem tangki berpengaduk,


sistem pemanasan (penukar panas), dan lain-lain. Banyak proses di industri dapat

dimodelkan sebagai sistem orde satu.

Sifat-sifat sistem orde satu:

• Respons keluaran sistem berbentuk eksponensial jika masukannya berupa fungsi step

(tangga).

• Terdapat kelambatan respons sebesar, )(tan 1 ωτ−=Φ − .

• Sistem orde satu memiliki 2 (dua) parameter yaitu steady state gain (Kp) dan

konstanta waktu (τ).

Contoh Soal 4.3 :

Respons Dinamik Orde Pertama untuk Masukan Sinusoidal

Sebuah thermometer air raksa mempunyai steady state gain (Kp) =1, dan konstanta

waktu (τ) = 0,1 menit berada pada suatu wadah cairan dengan suhu 100 oF dan mecapai

keadaan keseimbangannya pada suhu tersebut. Pada t = 0, temperatur dalam wadah

mulai berubah secara sinuisoida dengan Amplitudo perubahan 2 oF pada temperatur rata-

rata 100 oF. Jika frekuensi osilasi perubahannya 10/π siklus/menit. Gambar plot respons

suhu pada pembacaan thermoneter tersebut sebagai fungsi waktu. Berapakah

keterlambatan respons (phase lag) dalam satua derajat dan waktu?

Penyelesaian :

Diketahui : τ = 0,1 menit

xs = 100 oF

A = 2 oF

f = 10/π siklus/menit

sehingga, ω = 2 π f = 2 π . 10/π = 20 rad/menit

Dari persamaan 4.21. dihitung amplitudo response dan phase lag,

FAK

op896,0

41

2.1

1 22=

+=

+ τω

Φ = - tan-1 (2) = - 63,5

o, atau phase lag = 63,5

o


Persamaan fungsi waktu respons adalah :

)5,6320(sin896,0)( ottY −= atau,

)5,6320(sin896,0100)( otty −+=

Menentukan Lag, dalam satuan waktu digunakan hubungan:

menitf

Lag 0555,010360

5,63

360==

ΙΦΙ=

π

Gambar 4.8 Plot respons dari thermometer pada contoh soal 4.3.

4.8 Waktu mati (Dead time)

Pada contoh-contoh yang telah dibahas di atas, efek perubahan pada variabel

input dianggap dapat terdeteksi secara langsung pada variabel outputnya. Pada

kenyataannya bila terjadi perubahan pada variabel input dari sistem, terdapat tenggang

(interval waktu) sebelum efek perubahan tersebut dapat teramati pada variabel output

dari sistem.

Rentang waktu tersebut disebut : Waktu mati atau Dead Time atau

Transportation Lag atau Pure Delay atau Distance-velocity Lag. Waktu mati adalah

waktu antara aksi masukan(input) dann munculnya reaksi pada keluaran.

Contoh 4.4 :

Waktu mati atau Dead Time atau Transportation Lag.


Pada suatu pipa mengalir suatu fluida incompresibble yang tidak bereaksi. Jika

pipa tersebut terisolasi secara thermal dengan sempurna dan panas yang terjadi dapat

diabaikan, maka pada keadaan mantap (steady state) temperatur keluar Tout akan sama

dengan temperatur masuk Tin.

Gambar 4.9 Aliran fluida pada pipa pada contoh 4.4.

Gambar 4.10 Respons kelambatan temperatur keluar pada perubahan masukan

Jika mula t = 0, temperatur masuk berubah dengan pola seperti ditunjukkan pada

Gambar 4.10 maka temperatur keluar akan tetap bernilai sama dengan temperatur Tout

pada saat steady state sampai perubahan yang terjadi mencapai ujung keluar pipa.

Pola perubahan temperatur masuk dan keluar ini seperti terlihat pada gambar diatas.

Setelah perubahan temperatur masuk mencapai ujung pipa keluar, pola perubahan

temperatur keluar akan identik dengan pola perubahan temperatur masuk. Tenggang


waktu keterlambatan atau Dead time adalah sebesar td detik. Lamanya dead time, td

dapat dihitung dengan persamaan berikut :

)detik(.

.

avav

dU

L

UA

LA

volumetrikalirlaju

pipavolumet === (4.22)

dengan avU = kecepatan rata-rata fluida pada seluruh bagian penampang pipa (dianggap

konstan).

Hubungan temperatur masuk Tin dan temperatur keluar Tout dapat dituliskan dalam

bentuk fungsi sebagai berikut:

)()( dinout ttTtT −= (4.23)

Sifat-sifat sistem dengan waktu mati :

• Sistem waktu mati hanya menunda tanggapan keluaran

• Tanggapan keluaran mengalami kelambatan sebesar, ф = - ωτd

• Sistem memiliki satu parameter yaitu waktu mati (τd)

BAB IV Karateristik & Sistem Orde Pertama

Documents

Transcript of BAB IV Karateristik & Sistem Orde Pertama