BAB III MATRIKS & SOLUSI PERSAMAAN LINEAR · PDF file3. Menjelaskan perilaku metode eliminasi...
Transcript of BAB III MATRIKS & SOLUSI PERSAMAAN LINEAR · PDF file3. Menjelaskan perilaku metode eliminasi...
Äfisika-komputasi⊇
47
MATRIKS & SOLUSI PERSAMAAN
LINEAR
Pada bab ini dibahas konsep dasar dan metode di dalam menyelesaikan
persamaan linear dengan pendekatan matriks terutama berkaitan dengan kasus-kasus
khusus dalam fisika. Disajikan beberapa metode komputasi numerik, meliputi
metode eliminasi Gauss dengan pivoting, metode Gauss-Seidel, dan matriks
Tridiagonal yang cukup familiar di terapkan dalam masalah nilai eigen dalam fisika
kuantum, sebagai stimulan untuk pemahaman yang lebih intensif terhadap metode-
metode yang lain menyangkut solusi fenomena fisis dalam formulasi persamaan
linear.
A. SASARAN UMUM
Sasaran umum dari perkuliahan ini adalah memberikan pemahaman kepada
mahasiswa mengenai proses penyelesaian kasus fisika dalam formulasi persamaan
linear secara komputasi numerik, dan memberikan keleluasaan wawasan tentang
beberapa metode dari sekian banyak metode yang bisa diimplementasikan.
B. SASARAN KHUSUS
Setelah perkuliahan selesai dilaksanakan, mahasiswa diharapkan mampu:
1. Memformulasikan fenomena fisis bentuk persamaan linear ke dalam formula
iteratif komputasi numerik.
2. Menyebutkan beberapa metode komputasi numerik dalam kasus penyelesaian
persamaan linear
3. Menjelaskan perilaku metode eliminasi Gauss, metode Gauss-Seidel dan matriks
Tridiagonal di dalam menangani kasus persamaan linear yang ditangani.
4. Mengembangkan pemahaman dengan menggunakan karakteristik metode-metode
komputasi numerik yang lain.
3
Äfisika-komputasi⊇
48
5. Meng-implementasikan metode komputasi numerik bercirikan matriks untuk
persamaan linear dalam program komputer.
C. URAIAN MATERI
Tinjau sistem linear Ax=b, yang mempunyai satu dan hanya satu
penyelesaian untuk setiap sisi kanan b, dan batasi perhatian pada sistem yang
mempunyai jumlah persamaan tepat sama dengan jumlah variabelnya, yakni untuk
matriks yang koefisiennya A dan dapat diinvers-kan.
Suatu uji coba yang seringkali dikutip untuk meneliti dapat tidaknya suatu
matriks diinverskan, didasarkan pada konsep determinan. Teorema penting yang
bersangkutan menyatakan bahwa matriks A dapat diinverskan, jika hanya jika
det(A)≠0 sebagaimana Dalil Cramer yang menyatakan penyelesaian dari Ax=b
dalam determinan. Nsmun demikian, determinan tidak penting untuk praktek
penyelesaian sistem linear, karena perhitungan determinan biasanya mempunyai
kesulitan yang sama dengan penyelesaian sistem linear. Karena alasan tersebut tidak
digunakan determinan dalam penyelesaian sistem linear dan juga tidak perlu
mendefinisikan determinan itu sendiri.
Metode komputasi numerik untuk penyelesaian sistem persamaan linear
dapat dibagi dalam dua jenis, langsung (direct) dan iterasi(iterative). Metode
langsung adalah metode dengan tidak adanya kesalahan pembulatan atau lain-
lainnya, akan memberikan penyelesaian yang tepat dalam jumlah operasi aritmetika
elementer yang terbatas banyaknya. Metode dasar yang digunakan adalah eliminasi
Gauss dan ada berbagai pilihan metode yang bervariasi dalam efisiensi dan
kecermatan hitungan. Metode iterasi adalah dimulai dengan pendekatan permulaan
menggunakan algoritma yang sesuai, untuk mendapatkan hasil pendekatan yang
lebih baik. Metode iterasi bervariasi dalam algoritma dan kecepatan konvergensi.
Kelebihan metode iterasi adalah kesederhanaan dan keseragamannya dari operasi
yang dilakukan.
Matriks yang berkaitan dengan sistem linear juga digolongkan dalam padat
(dense) atau longgar (sparse). Matriks padat mempunyai sedikit sekali unsur-unsur
nol, dan orde matriks itu cenderung menjadi relatif kecil– mungkin berorde 100 atau
lebih kecil. Biasanya lebih efisien untuk menangani masalah yang melibatkan
Äfisika-komputasi⊇
49
matriks semacam itu dengan metode langsung. Matriks longgar mempunyai sedikit
sekali unsur-unsur tak nol. Biasanya timbul dari usaha -usaha untuk menyelesaiakan
persamaan diferensial dengan metode selisih terhingga. Tingkat matriks semacam ini
mungkin besar sekali, dan secara ideal sangat cocok untuk penyelesaian dengan
metode iterasi.
Berikut ini adalah beberapa metode di dalam menyelesaikan persamaan linear
dengan pendekatan matriks, antara lain:
a. Kaidah Cramer
b. ÄEliminasi Gauss (dengan pivoting)
(Stability:– ,Precision:Affected by Round-off error, Breadth of
Application:General, Programming Effort:Moderat)
c. Gauss Jordan
d. ÄDekomposisi LU (Matriks Spesial–Tridiagonal)
(Stability:– ,Precision:Affected by Round-off error, Breadth of
Application:General, Programming Effort:Mode rat)
e. ÄGauss Seidel
(Stability:may not converge if not diagonally dominant,
Precision:Excellent, Breadth of Application:Appropriate only
for diagonally dominant system, Programming Effort:Easy)
3.1 Eliminasi Gauss (dengan pivoting)
Matriks menjadi skema yang efisien ketika semua koefisien sistem linear
Ax=b berada dalam deret berorde Nx(N+1). Koefisien-koefisien b disimpan dalam
kolom N+1 dari deret ( yaitu ai,N+1=bi ). Tiap baris memuat semua koefisien yang
diperlukan untuk menyatakan satu persamaan dalam sistem linear. Matriks lengkap
dinyatakan oleh [A,b] dan sistem linear itu dinyatakan sebagai berikut:
=
NNNNN
N
N
baaa
bbaa
baaa
bA
...
...............
...............
...
...
],[
21
222221
111211
(3.1)
Äfisika-komputasi⊇
50
Sistem Ax=b, dapat diselesaikan dengan melakukan OBE (operasi-operasi
baris elementer) pada matriks lengkap [A,b]. Var iabel-variabel xk adalah pemegang
posisi untuk koefisien-koefisien dan dapat dihilangkan sampai akhir perhitungan.
Operasi berikut merupakan operasi baris elementar yang dapat diterapkan
pada matriks lengkap dan menghasilkan sistem yang setara, meliputi:
(a) Pertukaran : urutan dua baris dapat ditukar
(b) Penskalaan : Perkalian sebuah baris dengan tetapan tidak nol
(c) Penggantian : Sebuah baris dapat digantikan oleh jumlah baris itu dengan
kelipatan sebarang baris lainnya.
Tumpuan (pivoting) adalah salah satu bentuk penyelesaian eliminasi Gauss
dengan menentukan bilangan akk pada posisi (k,k) untuk mengeliminasi xk dalam
baris k+1,k+2,…,N. Jika akk=0, maka baris k tidak dapat dipakai untuk
menghilangkan elemen-elemen pada kolom k, dan baris k harus ditukar dengan baris
lainnya di bawah diagonal untuk memperoleh elemen tumpuan yang tidak nol. Jika
ini tidak dapat dilakukan maka sistem persamaan tidak mempunyai selesaian tunggal.
Metode eliminasi Gauss memerlukan dua tahap di dalam menyelesaikan
sua tu sistem persamaan linear. Pertama, tahap eliminasi maju (forward elimination)
bertujuan mengubah matriks koefisien menjadi matriks segitiga atas. Kedua, adalah
subtitusi balik (back subtitution).
Contoh 3.1
Sistem persamaan umum dengan n=3, dituliskan sebagai berikut
3333232131
2223222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=++=++=++
)3(
)2(
)1(
P
P
P
(3.2)
selesaikan persamaan linear silmultan diatas menggunakan metode eliminasi Gauss
Solusi
Tahap Pertama: Eliminasi Maju
langkah pertama, adalah eliminasi xi dari P(2) dan P(3) dengan asumsi a11≠0.
Definisikan 11
2121
a
aP = dan
11
3131
a
aP =
Äfisika-komputasi⊇
51
lakukan operasi-operasi berikut P(2) – P21* P(1) dan P(3) – P31* P(1), maka
persamaan linear pada (3.2) menjadi:
'''
'''
3333232
2223222
1313212111
bxaxa
bxaxa
bxaxaxa
=+=+=++
)3(
)2(
)1(
P
P
P
(3.3)
koefisien-koefisien aij’ didefinisikan oleh
11
11
'
'
bPbb
aPaa
iii
jiijij
−=
−=
3,2
3,2,
==
i
ji
Langkah kedua adalah eliminasi x2 dari P(3). Asumsikan bahwa a22’≠0
Definisikan '
'
22
3232
a
aP =
lakukan operasi-operasi berikut P(3) – P32* P(2) maka persamaan linear pada (3.3)
menjadi:
""
'''
3333
2223222
1313212111
bxa
bxaxa
bxaxaxa
==+=++
)3(
)2(
)1(
P
P
P
(3.4)
koefisien-koefisien yang baru didefinisikan oleh
23223
23323333
'"
''"
bPbb
aPaa
−=−=
3,2
3,2,
==
i
ji
Tahap Kedua: Subtitusi Balik
Dengan subtitusi balik, secara beruntun didapatkan x1,x2 dan x3:
1131321211
2232322
3333
/)(
'/)''(
"/"
axaxabx
axabx
abx
−−=−=
= (3.5)
Contoh 3.2
Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan
4,71102,03,0
3,193,071,0
85,72,01,03
321
321
321
=+−−=−+
=−−
xxx
xxx
xxx
)3(
)2(
)1(
P
P
P
(3.6)
bawa 6 angka signifikan selama komputasi
Äfisika-komputasi⊇
52
solusi
Tahap Pertama: Eliminasi Maju
Operasi-operasi eliminasi adalah P(2)–0,1/3*P(1) dan P(3)–0,3/3*P(1) akan
memberikan perubahan pada persamaan 3.6 menjadi:
6150,700200,10190000,0
5617,19293333,000333,7
85,72,01,03
32
32
321
=+−−=−
=−−
xx
xx
xxx
)3(
)2(
)1(
P
P
P
(3.7)
Untuk melengkapi eliminasi maju, x2 harus dihilangkan dari P(3) dengan operasi
P(3)–0,19000/7,00333*P(2), sehingga sistem tereduksi menjadi bentuk segitiga atas
sebagai berikut:
0843,700200,10
5617,19293333,000333,7
85,72,01,03
3
32
321
=−=−
=−−
x
xx
xxx
)3(
)2(
)1(
P
P
P
(3.8)
Tahap Kedua: Subtitusi Balik
00003,70200,10
0843.703 ==x
50000,200333,7
)00003,7(293333,05617,192 −=+−=x
00000,33
)00003,7(2,0)50000,2(1,085,71 =+−+=x
Langkah-langkah untuk n=3 pada contoh 3.1 dan 3.2 secara mudah dapat
diimplementasikan untuk sistem n persamaan linear yang tidak singular, dimana
matriks segitiga atas karena proses eliminasi dituliskan,
)1()1(
33333
22223222
11313212111
...
...
""..."''...''
...
−− =
=++=+++=++++
nnn
nnn
nn
nn
nn
bxa
bxaxabxaxaxa
bxaxaxaxa
(3.9)
dan persamaan subtitusi balik,
Äfisika-komputasi⊇
53
)1(
)1(
−
−
=n
nn
nn
na
bx (3.10)
Hasilnya kemudian disubtitusi balik pada persamaan yang ke (n–1). Prosedurenya
akan berulang untuk mengevaluasi nilai-nilai x, dengan formula:
)1(
1
)1()1(
−+=
−− ∑−=
iij
n
ijj
iij
ii
ia
xab
x untuk 1,...,2,1 −−= nni (3.11)
Algoritma Eliminasi Gauss
Pseudocode untuk implementasi eliminasi Gauss dan proses subtitusi balik
disajikan dibawah ini:
DO k=1,n–1 DO i=k+1,n factor=a i k/ak,k DO j=k+1 to n ai,j=ai,j–factor.ak,j END DO bi=bi–factor.bk END DO END DO xn=b n/an,n DO i=n–1,1,–1 sum=0 DO j=i+1,n sum=sum+ai,j.xj END DO xi=(bi–sum)/a i,j END DO Contoh 3.3
Buatlah program untuk menyelesaikan set persamaan simultan dalam bentuk matriks
berikut dengan eliminasi Gauss !
−−−
−
1342
0122
0210
Solusi
Äfisika-komputasi⊇
54
/* Eliminasi Gauss */ #include <stio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #define TRUE 1 /* a[i][j] : elemen matriks, a[I,j] n : orde matriks */ main() int i, j, _i, _r; static n=3; static float a_init[10][11]= 0, –1, 2, 0, –2, 2, –1, 0, –2, 4, 3, 1 ; double a[10][11]; void gauss(); static int _aini = 1; printf ( “ Eliminasi Gauss \n\n”); printf (“ Elemen Matriks\n”); for ( i=1; i<=n; i++) for ( j=1; j<= n+1; j++ ) a[i][j]=a_init[i– 1][j– 1]; printf( “ %12.5”, a[i][j] ); printf ( “\n”); gauss ( n, a); printf ( “ Solusi\n”); printf ( “ ----------------------------------------------------------------\n”); printf ( “ i x(i)\n”); printf ( “ ----------------------------------------------------------------\n”); for ( i=1; i<=n; i++ ) printf ( “ %5d %16.6e\n”, i, a[i] [n+1] ); printf ( “ -----------------------------------------------------------------\n\n”);
exit(0); void gauss (n, a) int n; double a[ ] [11]; int i, j, jc, k, kc, nv, pv; r, temp, tm, va; for ( i = 1; i < =(n-1); i++)
for (jr = i+1; jr<=n; jr++) /* eliminasi dibawah diagonal */ if ( a[jr][i] ! = 0 ) r = a[jr][i] / a[i][i]; for (kc = i + 1; kc<= (n+1); kc++) temp = a[jr][kc]; a[jr][kc] = a[jr][kc] – r* a[i][kc];
Äfisika-komputasi⊇
55
for ( i=1; i<=n; i++) /* subtitusi balik */
a[n][n+1] = a[n] [n+1]/a[n][n]; for ( nv=n–1; nv >=1; nv– –) va = a[nv][n+1]; for ( k=nv+1; k <= n; k++) va=va–a[nv][k]*a[k][n+1]; a[nv][n+1] = va/a[nv][nv]; return;
Hasil program Elemen matriks 0.00000e+00 –1.0000e+00 2.00000e+00 0.00000e+00 –2.00000e+00 2.00000e+00 –1.00000e+00 0.00000e+00 –2.00000e+00 4.00000e+00 3.00000e+00 1.00000e+00 Solusi -------------------------------------------------------------------------------- I x[i] ---------------------------------------------------------------------------------
1 2.187500e+00 2 1.750000e+00 3 1.250000e–01
--------------------------------------------------------------------------------- 3.2 Metode Gauss-Seidel
Dalam sub-bahasan ini akan dibahas metode penyelesaian sistem persamaan
linear secara tak langsung atau iteratif. Metode perhitungan secara langsung sudah
dibahas dalam sub-bahasan di depan, yaitu eliminasi Gauss. Metode Gauss-Seidel
adalah metode iteratif yang secara luas telah digunakan sebagai alternatif metode
eliminasi.
Tinjau satu set dari n persamaan: [A]X=B, dengan asumsi merupakan
persamaan 3x3. Jika elemen diagonal tidak nol dan nilainya tidak diketahui,
persamaan pertama bisa diselesaikan sebagai x1, persamaan kedua sebagai x2 dan
persamaan ketiga sebagai x3, ditunjukkan berikut ini.
Äfisika-komputasi⊇
56
11
31321211
a
xaxabx
−−= (3.12a)
22
32312122
a
xaxabx
−−= (3.12b)
33
23213133
a
xaxabx
−−= (3.12c)
Tahap selanjutnya dimulai proses penyelesaian dengan memilih nilai coba
untuk x. Langkah sederhana untuk menentukan nilai coba dengan mengasumsikan
bahwa semua nilai awal adalah nol. Jika disubtitusikan pada persamaan (3.12a),
maka didapatkan nilai baru untuk x1=b1/a11. Kemudian kita subtitusikan nilai baru x1
dan nilai awal bernilai nol untuk x3 pada persamaan (3.12b) untuk menghitung nilai
baru x2. Proses diulang pada persamaan (3.12c) untuk mendapatkan nilai baru x3.
Kemudian kembali diulang untuk persamaan dan prosedur berulang sampai
penyelesaian konvergen cukup rapat untuk nilai kebenaran. Konvergensi bisa dicek
menggunakan kriteria
sji
ji
ji
ia ex
xxe <
−=
−
%1001
,
untuk semua i, dimana j dan j– 1 adalah iterasi saat itu dan sebelumnya.
Contoh 3.4
Pandang suatu sistem persamaan
4,71102,03,0
3,193,071,0
85,72,01,03
321
321
321
=+−−=−+=−+−
xxx
xxx
xxx
(3.15)
solusi acuan yang benar adalah x1=3, x2=–2,5 dan x3=7
Solusi
pertama, selesaikan setiap persamaan untuk diagonal yang belum diketahui
3
2,01,085,7 321
xxx
++= (3.13a)
7
3,01,03,19 312
xxx
+−−= (3.13b)
Äfisika-komputasi⊇
57
10
2,03,04,71 213
xxx
+−= (3.13c)
dengan asumsi x2 dan x3 adalah nol, maka (3.13a) menjadi
616667,23
0085,71
=++=x
nilai ini dan asumsi x3=0, disubtitusikan pada (3.12b) memberikan hitungan
794524,27
0)616667,2(1,03,192
−=+−−=x
iterasi pertama dilengkapi dengan subtitusi hasil perhitungan nilai x1 dan x2 ke
dalam persamaan (3.12c) berikut
005610,710
)794524,2(2,0)61667,2(3,04,713 =−+−=x
Untuk iterasi kedua, proses yang sama berulang dan memberikan hasil berikut:
990557,23
)005610,7(2,0)794524,2(1,085,71 =+−+=x %31,0=te
499625,27
)005610,7(3,0)990557,2(1,03,192
−=+−−=x %015,0=te
000291,710
)499625,2(2,0)990557,2(3,04,713 =−+−=x %042,0=te
metode ini, lebih jauh, konvergen pada nilai benar. Kelanjutan iterasi akan
memberikan jawaban yang lebih tepat.
Algoritma Gauss-Seidel
Pseudocode untuk implementasi metode Gauss-Seidel disajikan dibawah ini:
SUBROUTINE Gseid(a,b,n,x,imax,es,lambda) DO i=1,n dummy =ai,i DO j=1, n ai,j=ai,j /dummy END DO bi=bi /dummy END DO
DO i=1,n sum= bi DO j=1,n
Äfisika-komputasi⊇
58
IF i≠j THEN sum=sum–ai,j.xj END DO xi=sumj
END DO iter=1 DO sentinel=1 DO i=1,n old=xi sum=bi DO j=1,n IF i≠j THEN sum=sum– ai,j.xj
END DO xi=lambda*sum+(1,–lambda)*0ld IF sentinel= 1 AND xi ≠ 0. THEN ea=ABS((xi–old)/xi)*100. IF ea>es THEN sentinel=0 END IF END DO iter=iter+1 IF sentinel=1 OR (iter ≥ imax) EXIT END DO
END Gseid
3.3 Matriks spesial Tridiagonal & Nilai Eigen
Banyak masalah terapan melibatkan matriks dengan kebanyakan elemennya
nol. Salah satu bentuk matriks yang elemen nolnya berpola adalah matriks pita
(banded matrix). Lebar pita adalah maksimum banyaknya elemen taknol pada baris-
baris suatu matriks pita. Matriks pita yang terkecil adalah yang lebar pitanya tiga
atau dikenal sebagai matriks tridiagonal, seperti ditunjukkan pada persamaan (3.12)
sebagai Sistem linear tridiagonal NxN.
Äfisika-komputasi⊇
59
−−−
NN
NNN
fe
gfe
gfe
gfe
gf
111
333
222
11
......
......
......
−
N
N
x
x
x
x
x
1
3
2
1
.
.
.=
−
N
N
r
r
r
r
r
1
3
2
1
.
.
. (3.12)
Jika eliminasi Gauss langsung diterapkan pada sistem (3.12) maka banyak
operasi yang sebenarnya tidak perlu dilakukan. Agar metode lebih efisien diperlukan
modifikasi. Pivoting tidak diperlukan, karena pada umumnya persamaan (3.12) yang
dijumpai dalam praktek bersifat dominan secara diagonal. Setelah eliminasi akan
dihasilkan matriks bidiagonal atas.
Beberapa metode bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem tridiagonal,
diantaranya adalah Secant, Gauss Seidel dan lainnya tergantung dari korelasi
perilaku elemen matriks tridiagonal. Di fisika seringkali dijumpai kasus penyelesaian
nilai eigen dan fungsi eigen dari suatu fungsi keadaan. Akhir bahasan pada studi
kasus akan disinggung tentang nilai eigen dan fungsi eigen untuk partikel yang
berada dalam sumur potensial.
Metode yang efisien untuk menyelesaikan sistem tridiagonal diantaranya
adalah algortima Thomas (Thomas Algorithm). Seperti pada dekomposisi konvensial
LU, algoritma terdiri dari tiga langkah yaitu dekomposisi, subtitusi maju dan
subtitusi balik.
Berikut ini adalah algoritma Thomas:
(a) Dekomposisi DO k=2,n ek=ek/fk–1 fk=fk–ek.gk–1 END DO (b) Subtitusi Maju DO k=2,n rk=rk–ek.rk–1 END DO (c) Subtitusi Balik xn=rn/fn DO k=n–1,1,–1
Äfisika-komputasi⊇
60
xk=(rk–gk.xk+1)/fk END DO
Contoh 3.4
Selesaikan sistem tridiagonal berikut dengan algoritma Thomas
−−−
−−−
04,21
104,21
104,21
104,2
=
4
3
2
1
T
T
T
T
8,200
8,0
8,0
8,40
(3.13)
Solusi
Pertama, dekomposisi diimplementasikan sebagai berikut
323,1)1)(717,0(04,2
717,0395,1/1
395,1)1)(645,0(04,2
645,0550,1/1
550,1)1)(49,0(04.2
49,004,2/1
4
4
3
3
2
2
=−−−=−=−=
=−−−=−=−=
=−−−=−=−=
f
e
f
e
f
e
kemudian matriks bertransformasi menjadi
−−−
−−−
323,1717,0
1395,1645,0
1550,149,0
104,2
dan dekomposisi LU memberikan
]][[][ ULA = =
−−
−
1717,0
1645,0
149,0
1
−−
−
323,1
1395,1
1550,1
104,2
Subtitusi maju memberikan perhitungan:
996,210221,14)717,0(8,200
221,148,20)645,0(8,0
8,208,40)49,0(8,0
4
3
2
=−−==−−=
=−−=
r
r
r
Äfisika-komputasi⊇
61
dan modifikasi vektor
996,210
221,14
8,20
8,40
yang kemudian digunaka n dalam konjungsi dengan matriks U dalam subtitusi balik
dan memberikan solusi,
970,65040,2/]778,93)1(800,40[1
778,93550,1/]538,124)1(800,20[2
538,124395,1/]48,159)1(221,14[3
480,159323,1/996,2104
=−−==−−=
=−−===
T
T
T
T
Jawaban dari algoritma Thomas ini bisa dicek dengan menggunakan software
komputasi populer, dalam hal ini dipilih MATLAB (MATrix LABoratory ) sebagai
fasilitas manipulasi matriks, dan sistem tridiagonal pada persamaan (3.13)
diselesaikan dengan sangat akurat, seperti pada gambar 3.1.
Gambar 3. 1 proses MATLAB dalam menyelesaikan sistem tridiagonal
::: Studi Kasus Fisika:::
Äfisika-komputasi⊇
62
Arus dan Tegangan dalam Rangkaian Resistor
Untuk menentukan besar arus dan tegangan pada rangkaian kombinasi
resistor, digunakan kaidah Kirchoff tentang arus dengan formulasi: ∑ = 0i dan
kaidah Kirchoff tentang tegangan dalam loop: ∑ ∑ =− 0iRξ , dimana ξ adalah
gaya gerak listrik dari sumber tegangan.
Tinjau rangkaian pada gambar 3. 2. Arus dalam rangkaian belum diketahui
baik besar maupun arahnya.Bukan menjadi persoalan yang rumit karena dengan
asumsi yang sederhana, arah dicari pada tiap aliran arus. Jika hasil dari kaidah
Kirchoff negatif, maka asumsi arah tentunya diperbaiki.
[a] [b]
Gambar 3. 2 [a] Rangkaian resistor dievaluasi dengan persamaan linear simultan, dan [b] Asumsi arah arus
Berdasarkan asumsi pada gambar 3.2 [b], kaidah Kirchoff tentang arus pada
setiap node memberikan:
0
0
0
0
4354
3243
545265
325212
=−=−
=−−=++
ii
ii
iii
iii
(3.14)
dan kaidah tegangan pada 2 loop adalah:
0200
0
121252526565
5252323243435454
=−+−−=+−−−
RiRiRi
RiRiRiRi (3.15)
Lebih lanjut sejumlah permasalahan diselesaikan dengan enam set persamaan dimana
terdapat enam besaran arus yang tidak diketahui, seperti terlihat pada pemodelan
10 Ω
10 Ω
5 Ω
20 Ω 15 Ω 5
2 3
4
1
6
5 Ω
V6=0 V
V1=200 V
6
i52
i32
i43
i65 i54
5
2 3
4
1
6
i12
Äfisika-komputasi⊇
63
matriks. Disamping tidak praktis diselesaikan dengan tangan, sistem ini amat mudah
ditangani dengan metode eliminasi.
=
−−−−−−
−−−
200
0
0
0
0
0
00200105
515010100
110000
100100
011010
000111
43
54
65
32
52
12
i
i
i
i
i
i
Selanjutnya dalam kasus ini, solusi didapatkan:
1538,6
1538,6
65
12
−==
i
i
5385,1
6154,4
54
52
−=−=
i
i
5385,1
5385,1
43
32
−=−=
i
i
besar dan arah arus dan tegangan pada node dan loop ditunjukkan pada gambar
dibawah:
Gambar 3. 3 Besar dan arah arus dan tegangan pada rangkaian resistor
Lebih lanjut, dengan menggunakan algoritma komputasi numerik dan
pemrograman komputer, tipe kasus seperti ini menjadi lebih sederhana.
Nilai Eigen dan Fungsi Eigen pada Sumur Potensial Solusi Persamaan Schrodinger Dimensi Satu dalam sistem Kuantum
153,85 V
146,15 V
i=6,1538
123,08 V 6
169,23 V
V6=0 V
V1=200 V
i=1,5385
Äfisika-komputasi⊇
64
Persamaan Schrodinger tak
tergantung waktu menjadi acuan dalam
kasus ini.
0)()(2)(
2
2
=−+∂
∂xVE
m
x
xψ
ψh
(3.16)
dimana )(xψ adalah fungsi eigen, dan
E adalah nilai eigen.
Dilakukan normalisasi dengan
mensubtitusikan:
2
2
2
2
2,
2 mbvV
mbE
hh== λ dan byx = ,
maka diperoleh
0)()()(
2
2
=−+∂
∂yv
y
yψλ
ψ (3.17)
dengan mengubah persamaan (3.17) ke dalam bentuk komputasi numerik,
memberikan persamaan iterasi berikut:
02)( 2112 =+−−+ ψψλψ vho (3.18)
02)( 3222
1 =+−−+ ψψλψ vh (3.19)
dan seterusnya hingga
02)( 112
2 =+−−+ −−− nnnn vh ψψλψ (3.20)
dimana v1 adalah potensial di titik i.
Dengan menerapkan syarat batas 0=oψ pada x=–b atau y=–1 dan
0=nψ pada x=b atau y=1,
maka didapatkan bentuk lain dari persamaan (3.18), (3.19) dan (3.20) yaitu sistem
tridiagonal sebagai berikut,
V=∞ V=∞
Vo
–b –a 0 a b
Äfisika-komputasi⊇
65
−−−−
−−−−
−−
−
−
2)(1
12)(1
......
12)(1
12)(1
12)(
12
22
32
2
2
12
n
n
vh
vh
vh
vh
vh
λλ
λλ
λ
(3.21)
dengan matriks fungsi sebagai berikut :
−
−
1
2
3
2
1
.
n
n
ψ
ψ
ψψ
ψ
(3.22)
Perkalian matriks koefisien dalam sistem tridiagonal dengan matriks fungsi sama
dengan nol.
Penyelesaian matriks diatas akan trivial jika determinan matriks paling kiri
tidak sama dengan nol. Agar tidak trivial maka determinan tidak boleh sama dengan
nol. Determinan matriks dapat dihitung dengan cara membuat sub-sub determinan
yang dihitung sebagai berikut:
2)( 1
2
1 −−= vhP λ (3.23)
1.2)( 122
2 −−−= PvhP λ (3.24)
dan seterusnya hingga diperoleh aturan umum untuk mencari setiap sub determinan
ini, yaitu
21
2 .2)( −− −−−= nnnn PPvhP λ (3.25)
Sehingga determinan keseluruhan dari matriks pada persamaan (3.21) adalah
C1
1
0−
==n
iPP (3.26)
Persamaan (3.26) ini merupakan polinom sehingga untuk menyelesaikannya dapat
digunakan metode Secant dalam mencari akar-akar sebuah polinom, sehingga
Äfisika-komputasi⊇
66
didapat nilai-nilai λ yang memenuhi persamaan (3.26). Adapun metode Secant dalam
formula iteratifnya adalah
)()(
)(1
11
−
−+ −
−−=ii
iiiii
PPP
λλλλ
λλλ (3.27)
Nilai-nilai λ yang diperoleh dari persamaan (3.27) merupakan nilai-nilai
eigen dari partikel-partikel pada kasus sumur potensial. Untuk setiap nilai λ
disubtitusikan ke matriks (3.21), dan dengan menggunakan metode Gauss Seidel bisa
diperoleh fungsi eigen gelombang untuk λ terkait. Adapun subtitusi nilai awal untuk
metode Gauss Seidel (sebagaimana lazimnya metode Gauss Seidel) diberikan nilai –1 dan
seterusnya, hingga akhirnya diperoleh satu buah nilai coba yang dapat memberikan nilai
fungsi-fungsi gelombang yang ternornalkan.
Dengan demikian proses penyelesaian secara komputasi numerik memenuhi
persyaratan penyelesaian sebagaimana penyelesaian analitik untuk persamaan Schrodinger.
D. SOAL_SOAL
(3.1) Selesaikan sistem segitiga atas berikut ini:
155
1532
324
823
4
43
432
4321
==+
−=+−=−+−
x
xx
xxx
xxxx
63
102
32
07262
4224
5
54
543
5432
54321
==−
=−−=+++−
=−−+−
x
xx
xxx
xxxx
xxxxx
(3.2) Carilah parabol y=A+Bx+Cx2 yang melalui tiga titik:
(1,4), (2,7) dan (3,14)
(3.3) Menggunakan eliminasi Gauss dengan pivoting selesaikan sistem persamaan
linear berikut:
523
1035
4642
321
321
321
=++=++
−=−+
xxx
xxx
xxx
(3.4) Mulai dengan semua nila i awal nol gunakan iterasi Gauss-Seidel
untukmencari nilai x, y dan z sampai iterasi ke -tiga pada matriks berikut .
Äfisika-komputasi⊇
67
34
1182
105
=++−=−+
=+−
zyx
zyx
zyx
Apakah iterasi Gauss Seidel akan konvergen ke selesaian?
(3.5) Buatlah program untuk studi kasus pertama dan kedua, dengan metode yang
dimaksud.
E. DAFTAR PUSTAKA
Chapra, S.C., and Canale, R.P., Numerical Methods for Engineers , McGraw-Hill,
1998
James, M.L., G.M. Smith, and J.C. Wolford, Applied Numerical Methods for Digital
Computations, 3rd ed. Harper & Row, 1985
Koonin, S.E., Computational Physics, Addison-Wesley Inc, 1986
Mathews, J.H., Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering ,
Prentice -Hall Inc., 1992
McCracken, D. D., Computing for Engineers and Scientists with Fortran 77, Wiley,
1984
Morris,J.L., Computational Methods in Elementary Numerical Analysis, Wiley, 1983
Nakamura, S., Applied Numerical Methods in C , Prentice-Hall Inc. 1993
Yakowitz, S., and F. Szidarovszky, An Introduction to Numerical Computations,
Macmillan, 1986