Kelengkapan Bilangan Real 1

BAB IIKELENGKAPAN BILANGAN REAL

Sebagaimana telah digambarkan pada bab sebelumnya bahwa sistem bilangan rasional,

memenuhi aksioma lapangan dan aksioma urutan, sehingga system bilangan rasional

merupakan lapangan terurut. Tetapi telah ditunjukkan bahwa 3 bukan bilangan

rasional, disini akan ditunjukkan bahwa ℝ ℚ dengan menunjukan bahwa 3 adalah

bilangan real. Sehingga perlu suatu aksioma tambahan untuk menggambarkan

karakteristik sistem bilangan real. Aksioma itu adalah “Aksioma Kelengkapan” (biasa

disebut sifat kelengkapan). Dengan demikian bilangan real dikatakan sebagai lapangan

terurut yang lengkap.

2.1 Aksioma Kelengkapan ℝ

Untuk memahami aksioma kelengkapan, terlebih dahulu harus memahami pengertian

batas atas dan batas bawah suatu sub himpunan dari ℝ.

Definisi 2.1 Batas Atas dan Batas Bawah

Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ.

(i). Sebuah bilangan a ∈ ℝ dikatakan batas atas S apabila ax untuk semua x S.

(ii). Sebuah bilangan b ∈ ℝ dikatakan batas bawah S apabila bx untuk semua x S.

Berdasarkan definisi diatas, jika S memiliki batas atas, maka S akan memiliki tak

terhingga batas atas sebab jika a merupakan batas atas S maka setiap bilangan c yang

lebih besar dari a akan merupakan batas atas S juga. Demikian juga, jika S memiliki

batas bawah, maka S akan memiliki tak terhingga batas bawah.

Kelengkapan Bilangan Real 2

Definisi 2.2 Himpunan Terbatas

Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ.

(i). Himpunan S dikatakan terbatas di atas apabila S memiliki batas atas.

(ii). Himpunan S dikatakan terbatas di bawah apabila S memiliki batas bawah.

(iii). Himpunan S dikatakan terbatas apabila S memiliki batas atas dan batas bawah.

Contoh 2.1

a. Himpunan A = { 1, 3, 7, 11, 19}. Bilangan 1 dan sembarang bilangan yang lebih

kecil dari 1 merupakan batas bawah A, kemudian bilangan 19 dan sembarang

bilangan yang lebih besar dari 19 merupakan batas atas A. Artiya, A merupakan

himpunan terbatas.

b. Himpunan B = {x ∈ ℝ : x < 5 } adalah himpunan terbatas di atas, bilangan 5 dan

sembarang bilangan yang lebih besar dari 5 merupakan batas atas B.

c. Himpunan C = {x ∈ ℝ : x > 3 } adalah himpunan terbatas di bawah, bilangan 3

dan sembarang bilangan yang lebih kecil dari 3 merupakan batas bawah C.

d. Himpunan D = {x ∈ ℝ : -1 < x 7 } adalah himpunan terbatas artinya terbatas di

bawah dan terbatas di atas, bilangan -1 dan sembarang bilangan yang lebih kecil

dari -1 merupakan batas bawah D. Sedangkan bilangan 7 dan sembarang bilangan

yang lebih besar dari 7 merupakan batas atas D.

e. Himpunan E = {x ∈ ℝ : x < 4 atau x > 9 } bukan merupakan himpunan terbatas

karena tidak memiliki batas atas maupun batas bawah. Sembarang bilangan b ∈

ℝ bukan batas atas, karena selalu terdapat x ∈ E sehingga b < x. Demikian juga,

untuk sembarang bilangan a ∈ ℝ bukan batas bawah, karena selalu terbapat y ∈

E sehingga a > y.

Kelengkapan Bilangan Real 3

f. Himpunan F = {1/n : n ∈ℕ } merupakan himpunan terbatas. Himpunan F dapat

dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu

F =

,4

1,

3

1,

2

1,1

Karena elemen F menurun, dapat disimpulkan bahwa bilangan 1 dan sembarang

bilangan yang lebih besar dari 1 merupakan batas atas F, kemudian karena 1/n

0, n ∈ℕ, bilangan 0 dan sembarang bilangan yang lebih kecil dari 0 merupakan

batas bawah F.

Perlu dicatat, bahwa himpunan B pada contoh 2.1 bukan merupakan himpunan terbatas

karena tidak memiliki batas bawah, demikian juga himpunan C bukan himpunan terbatas

(kenapa?).

Sekarang masuk pada definisi utama, yaitu definisi supremum dan infimum dari sebuah

himpunan bagian dari bilangan real.

Definisi 2.3 Supremum dan Infimum

Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ.

(i). Sebuah bilangan u ∈ ℝ dikatakan supremum (batas atas terkecil) S apabila

a) u batas atas S,

b) jika w batas atas S, maka w u.

(ii). Sebuah bilangan v ∈ ℝ dikatakan infimum (batas bawah terbesar) S apabila

a) v batas atas S,

b) jika w batas bawah S, maka w v.

Untuk selanjutnya,

sup S dan inf S,

berturut turut menyatakan supremun S dan infimum S.

Kelengkapan Bilangan Real 4

Lema 2.4 Ketunggalan Supremum dan Infimum

Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ.

(i). Jika S mempunyai supremum, maka sup S tunggal.

(ii). Jika S mempunyai infimum, maka inf S tunggal.

Bukti. (i) Misalkan u dan v adalah supremum dari S. Karena u dan v adalah batas atas

dari S dan u = sup S, diperoleh u v. Sebaliknya, karena v = sup S diperoleh v u.

Akibatnya, v = u. Bukti (ii) ditinggalkan untuk pembaca.

Kembali pada definisi batas atas dan batas bawah, a ∈ ℝ batas atas S apabila ax ,

x S dan b ∈ ℝ batas bawah S apabila xb , x S. Sehingga definisi 2.3 dapat

dinyatakan sebagai berikut

(i) Bilangan u = sup S apabila a) x u, x S,

b) jika w batas atas S, maka w u.

(ii). Bilangan v = inf S apabila a) v x, x S,

b) jika w batas bawah S, maka w v.

Apakah setiap himpunan bagian dari R mempunyai supremum dan infimum? Jawabnya

belum tentu (kenapa?). Sebuah himpunan bagian R mempunyai supremum apabila

mempunyai batas atas dan akan mempunyai infimum apabila mempunyai batas bawah.

Sedangkan terdapat empat kemungkinan sebuah himpunan bagian dari R dihubungkan

dengan batas atas dan batas bawah, yaitu:

(i) mempunyai batas atas dan batas bawah;

(ii) mempunyai batas bawah tetapi tidak mempunyai batas atas;

(iii) mempunyai batas atas tetapi tidak mempunyai batas bawah;

Kelengkapan Bilangan Real 5

(iv) tidak mempunyai batas bawah dan tidak mempunyai batas atas

Oleh kerena itu terdapat empat kemungkinan pula, apabila dihubungkan dengan

supremum dan infimum (uraikan apa saja kemungkinan itu?).

Lema berikut akan bermanfaat untuk menguji, apakah sebuah batas atas himpunan

merupakan supremum.

Lema 2.5 Supremum

Misalkan S sebuah himpunan terbatas di atas di ℝ. Bilangan u = sup S jika dan hanya

jika untuk sembarang > 0 terdapat s ∈ S sehingga u - < s.

Bukti. Untuk membuktikan Lema Supremum diatas harus ditunjukkan dua arah, untuk

Misalkan u = sup S dan > 0. Karena uu berarti u bukan batas atas S.

Akibatnya terdapat suatu s ∈ S sehingga u - < s.

Untuk sebaliknya Misalkan u batas atas S demikian sehingga untuk sembarang > 0

terdapat s ∈ S sehingga u - < s.. Jika uv , maka vu > 0, karena itu ada s ∈ S

sehingga u - < s.. Padahal u - = v, berarti v bukan batas atas S. Karena v merupakan

sebarang bilangan yang kurang dari u, sehingga dapat disimpulkan bahwa u adalah batas

atas terkecil, dengan kata lain u = sup S.

Contoh 2.2

Perhatikan kembali himpunan himpunan pada contoh 2.1.

a. Perhatikan himpunan A = {1, 3, 7, 11, 19}. Bilangan 1 merupakan inf A, karena 1

∈ A dan merupakan batas bawah A. Bilangan 19 merupakan sup A, karena 19 ∈

A dan merupakan batas atas A.

b. Himpunan B = {x ∈ ℝ : x < 5 } tidak mempunyai batas bawah, sehingga tidak

memiliki infimum (kenapa?). Pada himpunan B, bilangan 5 merupakan batas atas.

Untuk menunjukkan bahwa 5 = sup B tinggal ditunjukkan syarat kedua, yaitu jika

Kelengkapan Bilangan Real 6

w sembarang batas bawah B maka w 5. Sekarang andaikan terdapat w batas atas

B sedemikian sehingga w < 5. Karena w < 5, terdapat z = (w + 5)/2 ∈ B

sedemikian sehingga w < z < 5. Akibatnya w bukan batas atas. Karena w diambil

sembarang, jadi jika w batas atas maka w 5.

c. Himpunan C = {x ∈ ℝ : x > 3 } tidak memiliki supremum (kenapa?) dan 3

adalah infimumnya (kenapa?).

d. Himpunan D = {x ∈ ℝ : -1 < x 7 } memiliki supremum 7 dan infimum -1

(tunjukkan!).

e. Himpunan E = {x ∈ ℝ : x < 4 atau x > 9 } tidak memiliki supremum maupun

infimum (tunjukkan!).

f. Sebagaimana telah dikemukakan pada contoh 2.1 bahwa himpunan F = {1/n : n

∈ℕ } merupakan himpunan terbatas. Jadi ada batas atas dan batas bawahnya.

Himpunan F dapat dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu

F =

,4

1,

3

1,

2

1,1

Karena elemen F menurun dan 1 elemen terbesar, maka 1 merupakan supremum

F (kenapa?). Sekarang akan ditunjukkan bahwa 0 adalah infimum F. Karena

untuk setiap n ∈ℕ berlaku 1/n 0, maka 0 merupakan batas bawah. Sehingga

untuk menunjukkan 0 = inf F tinggal ditunjukkan bahwa 0 adalah batas bawah

terbesar. Andaikan terdapat w batas bawah F sedemikian sehingga w > 0. Pilih

bilangan asli k (apakah pasti ada?) sedemikian sehingga kw > 1, sehingga 1/k < w.

Karena w > 0 dan k ∈ ℕ, maka 0 < 1/k < w. Padahal 1/k adalah elemen F,

sehingga w bukanlah batas bawah. Karena w diambil sembarang, jadi jika w batas

bawah maka w 5.

Kelengkapan Bilangan Real 7

Berikut ini menyatakan aksioma penting pada ℝ yaitu aksioma kelengkapan atau disebut

juga sifat kelengkapan ℝ . Dengan aksioma kelengkapan, ℝ menjadi suatu lapangan

terurut lengkap.

Aksioma 2.6 Kelengkapan ℝ

Setiap himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas atas memiliki supremum

di ℝ.

Aksioma kelengkapan ini disebut juga Sifat Kelengkapan atau Sifat Supremum.

Aksioma kelengkapan diatas dapat pula dinyatakan dalam kalimat yang sedikit berbeda,

yaitu, setiap himpunan tak kosong yang terbatas diatas mempunyai supremum.

2.2 Sifat Aksioma Kelengkapan

Disini terdapat sifat kelengkapan serupa untuk infimum, namun sifat infimum dapat

diturunkan dari sifat supremum, sebagaimana ditunjukkan pada teorema berikut:

Teorema 2.7 Sifat Infimum

Setiap himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas bawah memiliki infimum

di ℝ.

Bukti. Misalkan S himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas bawah.

Definisikan

S- = {-s : s ∈ S }.

Karena himpunan S terbatas dibawah, diperoleh himpunan S- terbatas diatas dan

berdasarkan aksioma kelengkapan terdapat u ∈ ℝ sedemikian sehingga u = sup S-.

Artinya u batas atas S- dan jika w batas atas S- maka w u, akibatnya v = -u merupakan

Kelengkapan Bilangan Real 8

batas bawah. Sekarang misalkan r batas bawah S maka –r merupakan batas atas S-,

kemudian karena -r u diperoleh r -u = v. Jadi v merupakan infimum S.

Dari aksioma kelengkapan ini dapat diturunkan beberapa lema yang berkaitan dengan

supremum dan infimum dari himpunan bilangan real .

Lema 2.8

Misalkan S himpunan bilangan real tak kosong yang terbatas diatas.

(i) Jika a sebuah bilangan real, maka supremum himpunan

a + S = { a + s : s ∈ S } adalah a + sup S.

(ii) Jika a > 0, maka supremum himpunan

a S = { a s : s ∈ S } adalah a (sup S).

Bukti. (i). Misalkan u = sup S. Karena u batas atas S, sehingga diperoleh s u untuk

setiap s ∈ S dan a + s a + u untuk setiap s ∈ S. Artinya a + u merupakan batas atas a

+ S. Kemudian, untuk menunjukkan bahwa a + u supremum a + S, misalkan w

merupakan batas atas a + S, artinya a + s w untuk setiap s ∈ S. Lebih lanjut, diperoleh

s w – a untuk setiap s ∈ S yang berarti w – a merupakan batas atas S. Karena u = sup

S diperoleh u w – a, sehingga a + u w. Karena w sembarang batas atas a + S dapat

disimpulkan bahwa sup (a + S) = a + u = a + sup S. (ii). Misalkan u = sup S. Karena u

batas atas S dan a > 0, sehingga diperoleh s u untuk setiap s ∈ S dan as au untuk

setiap s ∈ S. Artinya au merupakan batas atas aS. Sekarang tinggal menunjukkan bahwa

a u adalah supremum a S. Untuk itu, misalkan w merupakan batas atas a S, artinya a s

w untuk setiap s ∈ S. Karena a > 0, diperoleh s w/a untuk setiap s ∈ S yang berarti

w/a merupakan batas atas S. Karena u = sup S diperoleh u w/a, sehingga a u w.

Kelengkapan Bilangan Real 9

Karena w sembarang batas atas a S dapat disimpulkan bahwa sup (a S) = a u = a ( sup

S).

Teorema dibawah dikenal dengan sifat Archimedean yang menyatakan bahwa untuk

sembarang bilangan real x terdapat bilangan asli n sehingga x < n. Disini disajikan

pembuktian dengan memanfaatkan aksioma kelengkapan.

Teorema 2.9 Sifat Archimedean

Jika x ∈ ℝ, maka tedapat nx ∈ ℕ sedemikian sehingga x < nx.

Bukti. Misalkan x ∈ ℝ. Andaikan tidak ada n ∈ ℕ sedemikian sehingga x < n, dengan

kata lain xn untuk setiap n ∈ ℕ. Akibatnya, x merupakan batas atas ℕ. Karena

terbatas diatas, berdasarkan aksioma kelengkapan ℕ memiliki supremum. Tuliskan u =

sup ℕ, berarti u - 1 bukan supremum dan akibatnya terdapat k ∈ ℕ sehingga u - 1 < k.

Karena u < k + 1 dan k + 1 ∈ ℕ, sehingga u bukan batas atas ℕ. Hal ini bertentangan

dengan ℕ terbatas diatas. Jadi haruslah ada nx ∈ ℕ sedemikian sehingga x < nx.

Sifat Archimeden secara tidak langsung telah menunjukkan bahwa himpunan semua

bilangan asli tidak terbatas diatas. Lebih lanjut, sifat Archimedean mengakibatkan untuk

sembarang bilangan real positif selalu terdapat bilangann

1yang lebih kecil untuk suatu

bilangan asli n.

Lema 2.10 Akibat Sifat Archimedean

Jika x bilangan real positif, maka terdapat n ∈ ℕ sehingga xn

1

0 .

Bukti. Misalkan x > 0, sehingga diperolehx

1> 0. Berdasarkan sifat Archimedean

terdapat n ∈ℕ sedemikian sehingga nx

10 . Akibatnya x

n

10 .

Kelengkapan Bilangan Real 10

Dengan lema akibat sifat Archimedean diatas pertanyaan yang berkaitan dengan

eksistensi pada contoh 2.2 (f) telah terjawab. Pada kasus lain akan diperlukan akibat sifat

Archimedean yang lainnya, sebagaimana dinyatakan pada lema dibawah.

Lema 2.11 Akibat Sifat Archimedean

Jika y dan z dua bilangan real positif, maka

(i) terdapat n ∈ℕ sehingga z < ny ;

(ii) terdapat n ∈ℕ sehingga nzn 1 .

Bukti. Ditinggalkan untuk pembaca.

Contoh 2.3 Diberikan himpunan

A = {n

n 1: n ∈ ℕ }.

Tunjukkan bahwa sup A = 2 dan inf A = 1.

Sebelum menunjukkan supremum dan infimum, himpunan A dapat dinyatakan dalam

bentuk lain yaitu {1 + 1/n : n ∈ ℕ } atau dengan mendaftar elemennya yaitu

{2,2

11 ,

3

11 ,

4

11 , . . . }.

Sekarang akan ditunjukkan bahwa sup A = 2. Untuk sembarang n ∈ ℕ berlaku

n + 1 n + n ⇔ n + 1 2n ⇔ n

n 1 2.

Kelengkapan Bilangan Real 11

Akibatnya 2 merupakan batas atas A. Kemudian karena 2 ∈ A dann

n 1 2, sehingga

tidak mungkin terdapat batas atas yang kurang dari 2. Jadi haruslah 2 merupakan

supremum A. Kemudian untuk menunjukkan inf A = 1, perhatikan bahwa untuk

sembarang n ∈ ℕ berlaku

n + 1 n ⇔n

n 1 1.

Akibatnya 1 merupakan batas bawah A. Selanjutnya, andaikan terdapat w batas bawah A

yang lebih besar dari 1. Karena w > 1, maka w – 1 > 0 dan1

1

w> 0. Labih lanjut,

berdasarkan sifat Archimedean terdapat k ∈ ℕ sedemikian sehingga

1

1

w< k ⇔ 1 < k (w – 1)

⇔ 1 < kw – k

⇔ k + 1 < kw

⇔ k

k 1< w.

Karena k ∈ ℕ, diperolehk

k 1∈ ℕ. Akibatnya, w bukan bukan batas bawah A. Jadi

haruslah 1 = inf A.

Untuk menunjukkan supremum dan infimum A dapat juga ditunjukkan menggunakan

lema 2.8 (ii) Perhatikan himpunan F pada contoh 2.2 (f), pandang A sebagai 1 + F.

Berdasarkan lema 2.8 (ii) sup A = 1 + sup F dan inf A = 1 + inf A. Karena sup F = 1 dan

inf F = 0 (dari contoh 2.2 (f)), maka sup A = 2 dan inf A = 1.

Kelengkapan Bilangan Real 12

Latihan 2.1

1. Misalkan S = {x ∈ ℝ : x > 9 }. Tunjukkan

a. Himpunan S mempunyai batas bawah;

b. Himpunan S tidak mempunyai batas atas;

c. Inf S = 9.

2. Misalkan S = {n

n)1(: n ∈ ℕ }. Tentukan inf S dan sup S.

3. Tentukan supremum dan infimum dari himpunan {mn

11 : n, m ∈ ℕ }.

4. Buktikan bahwa infimum sebuah himpunan jika mesti tunggal (lema 2.4 (ii)).

5. Buktikan lema 2.11 (akibat sifat Archimedean).

6. Misalkan S himpunan terbatas di ℝ. Buktikan bahwa inf S sup S.

7. Misalkan A dan B himpunan terbatas di ℝ.

a. Buktikan bahwa A B terbatas;

b. Inf (A B) = inf {inf A, inf B}.

8. Misalkan S himpunan terbatas di ℝ. Jika T S, tunjukkan bahwa

a. inf S inf T;

b. sup T sup S.

9. Misalkan S himpunan terbatas di ℝ, a < 0 dan aS = {as : s ∈ S }.

a. inf (aS) = a sup S;

b. sup (aS) = a inf S.

Kelengkapan Bilangan Real 13

2.3 Kerapatan Bilangan Rasional Dalam ℝ

Pada ℝ terdapat bilangan rasional dan bilangan irrasional,sebagaimana telah ditunjukkan

bahwa 3 merupakan bilangan irrasional. Lema 1.7 telah ditunjukkan bahwa diantara

dua bilangan rasional terdapat bilangan rasional lainnya. Pada bagian ini akan

ditunjukkan bahwa 3 merupakan bilangan real, selain itu juga akan di uraikan tentang

sifat bilangan rasional yaitu diantara dua bilangan real yang berdeda selalu terdapat

bilangan rasional diantara keduanya. Selanjutnya sifat ini dikatakan sebagai sifat

“kepadatan” himpunan bilangan rasional.

Aksioma kelengkapan menjamin eksistensi bilangan real. Dengan aksioma kelengkapan

dapat ditunjukkan bahwa 3 merupakan bilangan real. Bukti ini dapat digunakan untuk

menunjukkan eksistensi bilangan irrasional yang lainnya sebagai bilangan real.

Teorema 2.12 Eksistensi Bilangan Irrasional

Terdapat bilangan real positif x sedemikian sehingga x2 = 3.

Bukti. Untuk menunjukkan aksistensi x ∈ ℝ sedemikian sehingga x2 = 3, perhatikan

himpunan S = { s ∈ ℝ : s 0, s2 < 3 }. S tidak kosong, karena 1 ∈ S dan S terbatas

diatas karena 22 = 4 sehingga s < 2, s ∈ S. Berdasarkan Aksioma Kelengkapan S

memiliki supremum. Sekarang misalkan sup S = x ∈ ℝ dan x > 0, karena 1 ∈ S. Akan

ditunjukkan bahwa x2 = 3 melalui pengandaian x2 < 3 atau x2 > 3 (Sifat Trichotomy).

Pertama, andaikan x2 < 3. Sekarang akan ditunjukkan bahwa pengandaian x2 < 3 salah,

karena akan terjadi kontradiksi dengan fakta bahwa sup S = x. Dengan menggunakan

fakta bahwa2

1

n

n

1, n ∈ ℕ diperoleh

21

nx = 2x +

n

x2+

2

1

n

2x +n

x2+

n

1

Kelengkapan Bilangan Real 14

= 2x +n

1(2x + 1) ……………………..(*)

Dari fakta (2x + 1) > 0 (karena x > 0) dan 3 – x2 > 0 (dari pengandaian) diperoleh

12

3 2

x

x> 0.

Berdasarkan Lema Akibat Sifat Archimedean, terdapat k ∈ ℕ sedemikian sehingga

k

1<

12

3 2

x

x.

Akibatnya,k

1(2x + 1) < 3 – x2 dan dari persamaan (*) diperoleh

21

kx 2x +

n

1(2x + 1)

< 2x + (3 – x2)

= 3.

Artinya terdapat k ∈ ℕ sedemikian sehingga

kx

1∈ S. Hal ini kontradiksi dengan x

sebagai supremum S. Jadi pengandaian x2 < 3 tidak benar. Selanjutnya, andaikan x2 > 3.

Seperti pada pengandaian pertama akan ditunjukkan bahwa pengandaian x2 > 3 tidak

benar. Untuk sembarang n ∈ℕ, berlaku

21

nx = 2x -

n

x2+

2

1

n

> 2x -n

x2……………………………...(**)

Karena 2x > 0 dan x2 – 3 > 0 (dari pengandaian), diperoleh

x

x

2

32 > 0.

Berdasarkan Lema Akibat Sifat Archimedean, terdapat m ∈ ℕ sedemikian sehingga

m

1<

x

x

2

32 .

Akibatnya,m

x2< x2 -3 dan dari persamaan (**) diperoleh

Kelengkapan Bilangan Real 15

21

mx > 2x -

m

x2

> 2x - ( x2 – 3)

= 3.

Artinya terdapat m ∈ ℕ sedemikian sehingga

mx

1merupakan batas atas, hal ini

kontradiksi dengan dengan x sebagai batas atas terkecil S. Jadi pengandaian x2 > 3 tidak

benar. Karena x2 < 3 dan x2 > 3 tidak memungkinkan, haruslah x2 = 3.

Bukti teorema 1.2 dapat diadopsi untuk membuktikan bilangan irrasional yang lain

sebagai bilangan real. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional

dan irrasional padat di ℝ.

Teorema 2.13 Kepadatan Himpunan Bilangan Rasional

Misalkan x dan y bilangan real. Jika x < y, maka terdapat bilangan rasional r sedemikian

sehingga x < r < y.

Bukti. Untuk memudahkan pembuktian, masalah dibagi dalam beberapa kasus.

Kasus (i): x > 0.

Karena x < y, sehingga y – x > 0. Kemudian berdasarkan lema 2.10 akibat sifat

Archimedean terdapat n ∈ℕ sehingga

xyn

1

⇔ 1 < n( y – x )

⇔ 1 < ny – nx

⇔ 1 + nx < ny ………………………….(*)

Selanjutnya karena x > 0, diperoleh nx > 0 dan berdasarkan lema 2.11 (ii) akibat sifat

Archimedean terdapat m ∈ℕ sehingga

m -1 < nx < m ⇒ m < nx + 1 dan nx < m

⇒ nx < m < nx + 1

Kelengkapan Bilangan Real 16

⇒ nx < m < nx + 1 < ny …………..dari (*)

⇒ nx < m < ny

⇒ x <n

m< y.

Jadi ada bilangan rasional r =n

msedemikian sehingga x < r < y.

Kasus (ii): x = 0, sehingga 0 < y.

Berdasarkan lema 2.10 akibat sifat Archimedean terdapat n ∈ ℕ sehingga yn

1

0 .

Akibatnya ada bilangan rasional r =n

1, sehingga y

nx

1.

Kasus (iii): x < 0 dan y > 0.

Pilih x1 = 0, kemudian tunjukkan seperti kasus (i).

Kasus (iv): y < 0.

Pembuktian serupa dengan kasus (i). Karena nx < 0 sehingga –nx > 0 akibatnya diperoleh

bilangan rasional r =n

m .

Dari teorema tentang kepadatan bilangan rasional dapat ditunjukkan bahwa himpunan

bilangan irrasional juga padat.

Teorema 2.14 Kepadatan Himpunan Bilangan Irrasional

Misalkan x dan y bilangan real. Jika x < y, maka terdapat bilangan irrasional r sedemikian

sehingga x < r < y.

Bukti. Diberikan x, y ∈ ℝ dengan x < y. Kalikan dengan3

1, sehingga diperoleh

3

x<

3

y. Gunakan teorema 2.13, untuk mendapatkan bilangan rasional r sehingga

3

x< r <

3

y, akibatnya terdapat bilangan irrasional r 3 sehingga x < r 3 < y.

Kelengkapan Bilangan Real 17

Latihan 2.2

1. Tunjukkan bahwa 2 bukan bilangan rasional, kemudian tunjukkan bahwa 2

adalah bilangan real.

2. Untuk a > 0, tunjukkan bahwa a bukan bilangan rasional, kemudian tunjukkan

bahwa a adalah bilangan real.

3. Tunjukkan bahwa terdapat bilangan real positif x sehingga x3 = 3.

4. Carilah bilangan rasional yang terletak antara3

1dan

2

1.

5. Carilah bilangan rasional r sedemikian sehingga 2 < r < 3 .

6. Misalkan a, b ∈ ℝ dengan 0 < a < b. Carilah bilangan rasional r sedemikian

sehingga a < r < b .

7. Carilah bilangan irrasional yang terletak antara4

1dan

3

1.

8. Carilah bilangan irrasional t sedemikian sehingga 2 < t < 3 .

9. Misalkan a, b bilangan rasional dengan a < b. Carilah bilangan irrasional t

sedemikian sehingga a < t < b.