BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Matriks 1. Pengertian Matriks ...repository.ump.ac.id/4748/3/Riyan Emmy...
Transcript of BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Matriks 1. Pengertian Matriks ...repository.ump.ac.id/4748/3/Riyan Emmy...
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
A. Matriks
1. Pengertian Matriks
Definisi 2.1
Matriks adalah kumpulan bilangan – bilangan yang disusun secara
khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi
panjang atau persegi yang ditulis di antara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau
[ ]. Matriks tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
[
]
Matriks juga dapat dinyatakan sebagai: [ ]
dimana: = elemen atau unsur matriks
= 1,2,3,…m, indeks baris
= 1,2,3,…n, indeks kolom
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
6
2. Jenis – Jenis Matriks
Terdapat beberapa jenis matriks, diantaranya yaitu:
a. Matriks kuadrat/persegi adalah matriks dimana jumlah baris sama
dengan jumlah kolom.
Contoh : 0
1, [
]
b. Matriks diagonal adalah matriks dimana semua elemen di luar diagonal
utamanya adalah nol (0) dan minimal ada satu elemen pada diagonal
utamanya bukan nol.
Contoh : 0
1, [
]
c. Matriks satuan/identitas adalah matriks dimana semua elemen pada
diagonal utamanya bernilai satu (1) dan elemen di luar diagonal utama
bernilai nol.
Contoh : 0
1 [
]
d. Matriks skalar adalah matriks diagonal dimana elemen pada diagonal
utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau nol.
Contoh : 0
1, [
]
e. Matriks segitiga bawah adalah matriks diagonal dimana elemen di
sebelah kiri diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh : 0
1, [
]
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
7
f. Matriks segitiga atas adalah matriks diagonal dimana elemen di sebelah
kanan diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh : 0
1, [
]
g. Matriks simetri adalah matriks persegi dimana elemen ke sama
dengan ke atau ( ) untuk semua i dan j.
Contoh : [
], berlaku sifat
h. Matriks singular adalah matriks yang determinannya bernilai nol.
Contoh : 0
1, [
]
i. Matriks non singular adalah matriks yang determinannya bernilai tidak
sama dengan nol.
Contoh : 0
1, [
]
j. Matriks Elementer adalah matriks persegi ukuran yang diperoleh
dari matriks identitas dengan melakukan sekali operasi baris
elementer.
Contoh:
0
1 0
1
[
] [
]
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
8
k. Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi sifat
1. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah
baris yang memuat elemen taknol.
2. Pada setiap baris dari matriks yang mempunyai elemen taknol,
elemen taknol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan
elemen taknol dari baris sebelumnya.
Matriks eselon sering disebut juga matriks eselon baris. Elemen taknol
pertama dari suatu baris disebut elemen pivot.
Contoh:
[
]
l. Matriks nol adalah matriks dimana semua elemennya mempunyai nilai
nol (0).
Contoh : 0
1 [
]
3. Transpose Matriks
Jika A adalah matriks berukuran , maka transpose dari A,
dinyatakan oleh , , atau , didefinisikan menjadi matriks berukuran
yang merupakan hasil dari pertukaran baris dan kolom dari matriks
A.
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
9
Jika matriks A dinyatakan:
( )
maka transpose matriks A dinyatakan:
( )
dimana
[
] [
]
Contoh 2.1:
Tentukan transpose dari matriks berikut!
0
1 [
]
Jawab:
[
] [
]
4. Operasi Matriks
a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Definisi 2.2
Misalkan ( ) dan ( ) merupakan dua matriks
berukuran sama . Jumlah matriks A dan B ditulis adalah
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
10
matriks berukuran dengan elemennya merupakan jumlah elemen
yang seletak dari kedua matriks. Berlaku pula pada pengurangan
matriks. Dalam hal ini ditulis
( )
( )
Contoh 2.2:
Tentukan jumlah dan selisih dari matriks – matriks berikut ini!
[
] [
]
Jawab:
[ ( )
( ) ] [
]
[ ( )
( ) ] [
]
b. Perkalian Skalar dengan Matriks
Definisi 2.3
Diketahui matriks A dan c merupakan bilangan. Matriks cA adalah
matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks A
dengan c. Dalam hal ini ditulis
( )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
11
Contoh 2.3:
Diketahui matriks
0
1
maka matriks
0
1 0
1
c. Perkalian Matriks
Definisi 2.4
Jika ( ) adalah matriks dan ( ) adalah matriks
, maka hasil kali ( ) adalah matriks yang entri
– entrinya didefinisikan oleh:
∑
Contoh 2.4:
Diketahui dua matriks
0
1 dan 0
1
Dalam hal ini Oleh karena itu, ukuran dari matriks
adalah . Elemen dari matriks dapat dihitung sebagai berikut:
Baris ke- ; kolom ke- : ( ) ( )
Baris ke- ; kolom ke- : ( ) ( )
Baris ke- ; kolom ke- : ( ) ( )( )
Baris ke- ; kolom ke- : ( ) ( )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
12
Oleh karena itu, matriks sama dengan
0
1
5. Determinan
Misalkan:
[
]
maka notasi determinan dari matriks A ditulis:
( ) atau |
| atau | |
Definisi 2.5
Misalkan ( ) adalah matriks dan misalkan
menyatakan matriks ( ) ( ) yang diperoleh dari dengan
menghapus baris dan kolom yang mengandung . Determinan dari
dsebut minor dari . Didefinisikan kofaktor dari dengan
( ) det ( )
Apabila terdapat matriks 0
1, maka
( ) ( )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
13
Matriks terbentuk dari matriks dengan cara menghapus baris
pertama dan kolom pertama, sedangkan terbentuk dari dengan cara
menghapus baris pertama dan kolom kedua.
Definisi 2.6
Determinan dari suatu matriks berordo , dinyatakan sebagai
( ), adalah sebagai skalar yang diasosiasikan dengan matriks dan
didefinisikan sebagai:
( ) {
dimana
( ) ( )
adalah kofaktor – kofaktor yang diasosiasikan dengan entri – entri dalam
baris pertama dari
a. Menentukan Determinan suatu Matriks
1) Matriks ordo
Jika ( ) adalah matriks , maka ( )
2) Matriks ordo
.
/
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
14
Contoh 2.5:
.
/
( ) | |
( ) | | ( ) ( ) | |
( ) (( ) ( ) )
3) Matriks ordo
Untuk matriks ordo , determinan dapat ditentukan
dengan cara berikut:
(
+
| |
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
|
| |
| |
|
( ) ( )
( )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
15
( ) (
)
Contoh 2.6:
(
+
| |
( ) |
| ( ) |
| ( ) |
|
. ( ( ))/ .( ) (
( ))/ . ( ( ))/
( ( )) (( ) ) ( )
( ) ( )
4) Matriks ordo
(
,
| |
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
16
Contoh 2.7:
Diketahui Matriks (
,. Tentukan ( )!
Jawab:
| |
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Akan dicari | | | | , | | dan | | terlebih dahulu.
| | |
|
( ) ( ) |
| ( ) ( ) |
|
( ) ( ) |
|
( ( ) ( )) (( ) ( ) ( ))
( ( ) )
( ) ( )
| | |
|
( ) ( ) |
| ( ) ( ) |
|
( ) ( ) |
|
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
17
( ( )) (( ) ( ) )
( ( ) ( ))
( )
| | |
|
( ) ( ) |
| ( ) ( ) |
|
( ) ( ) |
|
( ( )) (( ) ( ) )
( ( ) ( ))
( )
| | |
|
( ) ( ) |
| ( ) ( ) |
|
( ) ( ) |
|
( ( )) (( ) ( ) )
( ( ) )
( )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
18
| | |
|
( ) ( ) |
| ( ) ( ) |
|
( ) ( ) |
|
( ) (( ) ( ) ( ))
( ( ) )
( )
Kemudian diperoleh
| |
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
b. Sifat – Sifat Determinan
1) Misalkan matriks B berukuran diperoleh dari matriks A
dengan cara mengalikan semua baris dengan bilangan k maka
( ) ( )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
19
2) Misalkan matriks B berukuran diperoleh dari matriks A
dengan cara menukar dua baris atau kolom sebanyak satu kali,
maka
( ) ( )
3) Misalkan diketahui tiga matriks dan B yang mempunyai
elemen yang sama kecuali pada baris ke-i, yaitu elemen baris ke-i
dari matriks B merupakan jumlah dari elemen baris ke-i dari
matriks dan . Maka
( ) ( ) ( )
4) Determinan matriks identitas adalah 1 (satu)
5) Misalkan maka
( ) ( )
6) Jika dan adalah matriks yang ukurannya sama, maka
( ) ( ) ( )
7) Jika dapat dibalik, maka
( )
( )
8) Misalkan diketahui ( ) maka
( ) (
)
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
20
6. Invers Matriks Persegi
Ada beberapa macam cara untuk menentukan suatu invers matriks
yang berordo antara lain dengan aturan Cramer dan operasi baris
elementer.
Definisi 2.7
Matriks persegi A berukuran mempunyai invers jika ada
matriks B sehingga . Matriks B disebut matriks invers dari
A.
a. Aturan Cramer
Metode ini dapat digunakan untuk menghitung invers dari suatu
matriks yang non singular dengan menggunakan determinan.
Misalkan adalah matriks , definisikan sebuah matriks baru yang
disebut adjoint dari dengan:
(
,
Jadi untuk membentuk adjoint dari matriks, setiap elemen harus diganti
dengan kofaktornya dan kemudian mentransposkan matriks yang
terjadi.
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
21
Lemma 2.1
Misalkan adalah matriks . Jika menyatakan kofaktor dari
untuk , maka:
{ ( )
Berdasarkan Lemma 2.1, mengakibatkan
( ) ( )
Jika non singular, maka ( ) adalah skalar taknol dan dapat
dituliskan
(
( ) *
Jadi
( )
Contoh 2.8: Misalkan
(
+
Hitunglah dan !
Jawab:
(
|
| |
| |
|
|
| |
| |
|
|
| |
| |
| )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
22
(
+
(
+
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
(
+ (
)
b. Operasi Baris Elementer
Untuk menentukan invers matriks dengan operasi baris elementer
adalah dengan membentuk matriks yang diperbesar dari matriks
dengan matriks identitas kemudian melakukan operasi baris elementer
dengan mereduksi matriks menjadi matriks identitas dan melakukan
operasi yang sama pada matriks untuk memperoleh matriks B.
Contoh 2.9:
[
]
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
23
Cara mencari invers matriks dengan operasi baris elementer adalah
dengan dikatakan operasi baris terlebih dahulu dengan cara:
[
] ( )
( )
[
]
(
)
[
]
[
]
Sehingga
[
]
Teorema 2.1 (Ketunggalan Matriks Invers)
Matriks invers dari suatu matriks adalah tunggal. Jika mempunyai
invers, matriks invers dari ditulis
Bukti
Misalkan dan dua matriks yang memenuhi dan
maka . Harus dibuktikan bahwa , untuk itu
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
24
persamaan yang digunakan yang dipenuhi oleh dan . Yaitu
(1)
( ) (2)
( ) (3)
(4)
(5)
Kesamaan (2) memakai kenyataan bahwa , kesamaan (3)
memakai sifat asosiatif dari perkalian matriks yaitu
( ) ( )
dan kesamaan (4) memakai .
Karena matriks invers adalah tunggal, maka matriks invers dari
ditulis .
Teorema 2.2 (Aljabar dari Matriks Invers)
Misalkan dan dua matriks berukuran sama yang masing – masing
mempunyai invers, maka:
1. ( ) ;
2. ( )
3. Jika merupakan bilangan bulat tak negatif maka mempunyai
invers dan ( ) ( ) .
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
25
Bukti
1. Karena merupakan matriks invers dari maka
.
Dengan demikian merupakan matriks invers dari .
2. Terdapat kesamaan berikut
( )( ) ( )
dan
( )( ) ( )
`
Dengan demikian matriks merupakan matriks invers dari
matriks .
3. Dengan menggunakan induksi matematika, akan dibuktikan bahwa
( ) ( ) untuk bilangan bulat tak negatif.
a. Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( ) untuk . Jelas
bahwa ( ) ( ) ( )
b. Asumsikan bahwa ( ) ( ) untuk , yaitu
( ) ( ) . Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( )
untuk , yaitu ( ) ( ) .
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
26
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Berdasarkan asumsi ( ) ( ) dan benar bahwa
( ) ( ) . Maka terbukti( ) ( ) .
Dengan ini dapat disimpulkan bahwa ( ) ( ) untuk
setiap bilangan bulat tak negatif.
B. Sistem Persamaan Linear
Suatu persamaan linear dalam peubah (variable) adalah persamaan
dengan bentuk
dimana dan adalah bilangan – bilangan real dan
adalah peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linear dari persamaan
dalam peubah adalah satu sistem berbentuk:
(1)
dimana dan semuanya adalah bilangan – bilangan real. Sistem
bentuk (1) disebut sebagai sistem persamaan linear .
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
27
Berikut adalah contoh – contoh sistem persamaan linear:
(a)
(b)
Sistem (a) adalah sistem persamaan , (b) adalah sistem persamaan
.
Dalam penulisan matriks, sistem persamaan (1) dapat dinyatakan sebagai
[
] [
] [
]
atau
dimana , - adalah matriks koefisien,
, - adalah matriks peubah,
, - adalah matriks konstanta,
Sedangkan matriks lengkapnya adalah
[
] , -
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
28
C. Vektor
1. Ruang Vektor
Misalkan ( ) dan ( ) merupakan
dua vektor di jumlah dari kedua vektor tersebut ditulis adalah
vektor
( ).
Jadi penjumlahan dua vektor di dilakukan per komponen seperti pada
dan . Perkalian skalar vektor dari ( ) dengan
bilangan real ditulis adalah vektor
( ).
Operasi jumlah vektor dan perkalian skalar dari vektor di
ataupun vektor di memenuhi definisi ruang vektor. Hal yang sama
berlaku pula untuk operasi vektor di secara umum ruang vektor
didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.8
Misalkan V himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi
jumlah dan perkalian skalar dengan bilangan real. Artinya, diberikan dua
elemen dan di V dan bilangan real , kemudian jumlah dan
perkalian skalar didefinisikan dan terletak di V juga. Kemudian V
dengan kedua operasi ini disebut ruang vektor jika kedua operasi tersebut
memenuhi sifat:
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
29
Untuk setiap dan
a. (Sifat Komutatif)
b. ( ) ( ) (Sifat Assosiatif)
c. Ada elemen di V sehingga (Unsur Identitas)
d. Ada elemen sehingga (Elemen Invers)
e. ( ) (Distributif)
f. ( )
g. ( ) ( )
h. ( )
2. Kombinasi Linear
Jika ( ), maka dapat ditulis
dengan ( ) ( ) ( ). Dalam hal ini disebut
bahwa vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga vektor
dan . Secara umum, jika diketahui vektor , dan vektor maka
kombinasi linear dapat didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.9
Vektor disebut kombinasi linear dari vektor – vektor
jika ada bilangan – bilangan yang tidak semuanya nol sehingga
.
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
30
Contoh 2.10:
Tuliskan vektor ( ) sebagai kombinasi linear dari vektor
( ) ( ) dan ( )!
Jawab :
Mencari bilangan dan sehingga
Dalam bentuk matriks
[
] [
] [
] [
]
atau
{
Matriks lengkap dari sistem persamaan ini adalah
[
]
Dan matriks eselonnya
[
]
Dengan demikian jawab dari sistem persamaan linear ini adalah
dan .
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
31
Jadi, dalam hal ini vektor dapat ditulis sebagai kombinasi linear, yaitu
.
3. Membangun / Merentang
Jika untuk setiap vektor ( )di dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari vektor ( ) ( ) ( )
karena dapat ditulis seperti berikut atau
( ) .
Ini dikatakan bahwa vektor ( ) ( ) ( )
merentang di .
Definisi 2.10
Vektor disebut membangun atau merentang dari ruang
vektor V jika setiap vektor dalam V dapat dituliskan sebagai kombinasi
linear dari
4. Kebebasan Linear
Definisi 2.11
Himpunan vektor * + di ruang vektor V disebut bebas linear
jika persamaan
hanya dipenuhi oleh bilangan .
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
32
Contoh 2.11:
Selidiki sifat bebas linear dari vektor ( ) ( )
dan ( )
Jawab:
Untuk menyelidiki sifat bebas linear dari ketiga vektor tersebut,
harus dicari nilai dan yang memenuhi
.
Sistem persamaan yang muncul adalah
{
Matriks lengkap dari sistem persamaan tersebut dapat diubah menjadi
matriks eselon berikut
[
]
Ini berarti bahwa dan . Oleh karena itu, ketiga
vektor bebas linear.
5. Basis
Semua vektor di ruang vektor dapat dituliskan sebagai kombinasi
linear dari kumpulan vektor tertentu dan secara tunggal pula. Dengan
demikian sifat dari ruang vektor tersebut cukup dilihat pada kumpulan
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
33
tertentu. Kumpulan vektor tersebut disebut basis dari ruang vektor yang
dapat didefinisikan sebagai
Definisi 2.12
Himpunan vektor S yang terdiri dari berhingga banyaknya vektor
di ruang vektor V disebut basis jika setiap vektor di V dapat ditulis sebagai
kombinasi linear dari vektor di S secara tunggal.
Ini berarti jika * + merupakan basis di ruang vektor V,
maka setiap vektor di V dapat ditulis sebagai kombinasi linear
Secara tunggal. Artinya, untuk vektor di atas tak ada koefisien lain selain
tersebut. dinamakan basis untuk jika (i) bebas linear;
(ii) merentang .
6. Rank
Misalkan
(
+
Dengan mereduksi menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks
(
+
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
34
Jelas bahwa ( ) dan ( ) membentuk basis untuk ruang baris dari
. Karena dan ekuivalen baris, maka matriks memiliki ruang baris
yang sama sehingga dapat dikatakan bahwa rank dari adalah 2. Rank
dapat didefinisikan sebagai berikut
Definisi 2.13
Rank adalah jumlah maksimum dari vektor baris (kolom) yang
bebas linear. Rank dari suatu matriks merupakan dimensi dari vektor baris
(kolom) pada matriks tersebut.
D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
1. Pengertian Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.14
Misalkan adalah suatu matriks . Skalar λ disebut sebagai
suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari matriks . Jika terdapat suatu
vektor taknol sehingga . Vektor disebut vektor eigen atau
vektor karakteristik dari λ.
Contoh 2.12: Misalkan
.
/ dan . /
Maka .
/ . / .
/ .
/
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
35
Dari persamaan ini terlihat bahwa adalah nilai eigen dari dan
( ) merupakan vektor eigen dari . Sesungguhnya kelipatan
taknol dari akan menjadi vektor eigen, karena
( ) ( )
Jadi, sebagai contoh, ( ) juga vektor eigen dari .
.
/ . / .
/ . /
2. Persamaan Karakteristik
Persamaan dapat dituliskan dalam bentuk
( λ ) (1)
Jadi adalah nilai eigen dari matriks jika dan hanya jika (1) memiliki
suatu penyelesaian taktrivial. Persamaan (1) akan mempunyai
penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika λ singular, atau secara
ekivalen,
( λ ) (2)
Persamaan (2) disebut persamaan karakteristik.
Contoh 2.13:
Persamaan karakteristik dari
0
1
adalah
det( λ ) 0 λ λ
1 (λ )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
36
E. Diagonalisasi Matriks
Definisi 2.15
Suatu matriks berordo , disebut dapat didiagonalisasi jika
terdapat matriks non singular dan suatu matriks diagonal sedemikian
rupa sehingga
Teorema 2.3
Suatu matriks berordo , dapat didiagonalisasi jika dan hanya
jika mempunyai vektor eigen yang bebas linear.
Bukti
Misalkan matriks mempunyai vektor eigen bebas linear
. Misalkan λ adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan
untuk setiap . Misalkan adalah matriks dimana vektor kolom ke-
adalah untuk . Selanjutnya terlihat bahwa λ adalah
vektor kolom ke- dari . Maka
( )
(λ λ λ )
( )
(
λ
λ
λ )
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
37
Karena mempunyai vektor kolom yang bebas linear, maka adalah
non singular dan karena itu
Sebaliknya, misalkan dapat didiagonalisasi. Selanjutnya terdapat
suatu matriks non singular sehingga . Jika adalah
vektor – vektor kolom dari maka
λ (λ )
untuk setiap . Jadi untuk setiap λ adalah nilai eigen dari dan adalah
vektor eigen yang dimiliki λ . Karena vektor – vektor kolom adalah bebas
linear, maka mempunyai buah vektor eigen yang bebas linear.
Dari bukti ini didapatkan prosedur berikut untuk mendiagonalisasi
matriks yang berukuran dapat didiagonalisasi.
Langkah 1. Tentukan nilai eigen dari matriks .
Langkah 2. Carilah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
dari matriks yang bebas linear, .
Langkah 3. Bentuklah matriks dengan sebagai vektor –
vektor kolomnya.
Langkah 4. Matriks akan diagonal dengan λ λ λ sebagai
entri – entri diagonalnya yang berurutan, dimana λ adalah
nilai eigen yang bersesuaian dengan
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
38
Contoh 2.14:
Carilah matriks yang mendiagonalisasi
[
]
Jawab:
Persamaan karakteristik dari adalah ( λ)( λ) sehingga
nilai – nilai eigen adalah λ dan λ . Jadi diperoleh dua nilai eigen
dari .
[
]
adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika adalah
pemecahan non trivial dari ( λ ) , yakni, dari
[ λ
λ λ
] [
] [ ]
Jika λ , maka
[
] [
] [ ]
Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan ,
Jadi vektor – vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor –
vektor taknol yang berbentuk
[
] [
] [ ] [
] [ ]
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
39
Karena
[
] dan [ ]
adalah vektor – vektor bebas linear, maka vektor – vektor tersebut akan
membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ .
Jika λ , maka
[
] [
] [ ]
Dengan memecahkan sistem ini akan menghasilkan .
Jadi vektor – vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor –
vektor taknol yang berbentuk
[ ] [
]
Dengan ini vektor – vektor eigen yang didapat adalah
[
] [ ] [
]
sehingga
[
] dan [
]
akan mendiagonalisasi .
[
]
[
] [
] [
]
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
40
Tidak ada orde yang diistimewakan untuk kolom – kolom . Karena
entri diagonal ke- dari adalah nilai eigen untuk vektor kolom ke-
dari , maka dengan mengubah orde kolom – kolom hanyalah mengubah
orde nilai – nilai eigen pada diagonal . Jadi, seandainya dituliskan
[
]
maka akan diperoleh
[
]
Contoh 2.15:
Persamaan karakteristik dari
0
1
adalah
( λ ) 0 λ
λ1 (λ )
Jadi λ adalah satu – satunya nilai eigen ; vektor – vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ adalah pemecahan – pemecahan dari
( λ ) yakni, dari
Pemecahan sistem ini adalah ; maka ruang eigen tersebut
terdiri dari semua vektor berbentuk
0 1 0
1
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
41
Karena ruang berdimensi 1, maka tidak mempunyai dua vektor eigen bebas
linear, sehingga tidak dapat didiagonalisasi.
F. Bentuk Normal Jordan
Matriks persegi ada yang dapat didiagonalisasi, ada pula yang tidak
dapat didiagonalisasi. Tetapi, untuk matriks yang tidak dapat didiagonalisasi
selalu dapat dibuat similar dengan matriks yang hampir diagonal yang disebut
dengan Bentuk Normal Jordan.
Misalkan diketahui matriks dengan dua nilai eigen yang sama.
Jika matriks tersebut mempunyai dua vektor eigen yang bebas linear, maka
matriks tersebut similar dengan matriks diagonal. Tetapi dalam hal matriks
yang hanya mempunyai sebuah vektor eigen, maka matriks tersebut similar
dengan bentuk normal Jordan 0λ λ
1. Matriks tersebut hanya mempunyai
satu vektor eigen sebab jika mempunyai dua vektor eigen maka matriks
tersebut dapat didiagonalisasi.
Ada dua kasus bentuk normal Jordan untuk matriks berordo ,
yaitu matriks yang mempunyai dua nilai eigen (berbeda) atau hanya satu nilai
eigen. Untuk satu nilai, ada dua kasus yaitu tergantung dari banyaknya vektor
eigen yang bebas linear. Matriks berikut merupakan contoh matriks dengan
satu nilai eigen yang masing – masing mempunyai satu dan dua vektor eigen
yang bebas linear.
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
42
[λ λ λ
] [λ λ λ
]
Sedangkan untuk dua nilai eigen, mempunyai bentuk normal Jordan sebagai
berikut
[λ λ λ
]
Matriks di atas mempunyai dua vektor eigen yang bebas linear, atau
satu vektor eigen bebas linear yang berkaitan dengan nilai eigen ganda. Jadi
jika matriks mempunyai tiga vektor eigen yang bebas linear, maka
matriks tersebut dapat didiagonalisasi.
Definisi 2.16
Suatu blok Jordan ( ) adalah matriks segitiga atas dengan
bentuk
( )
[
]
Terdapat angka “1” pada superdiagonal dan muncul kali pada
diagonal utama. Elemen yang lainnya nol, dan ( ) , -. Matriks Jordan
adalah jumlahan langsung dari blok Jordan sehingga dapat
dituliskan sebagai berikut
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
43
[
( )
( )
( )]
dengan .
G. Invers Moore Penrose
Definisi 2.17
Invers Moore Penrose adalah invers dari matriks berukuran
yang dinotasikan dengan , jika memenuhi kondisi
( )
( )
dengan adalah transpose konjugat dari matriks A.
Sifat – Sifat Dasar dari Invers Moore Penrose
Teorema 2.4
Jika terdapat matriks yang berukuran , maka:
1. ( ) jika dan skalar,
2. ( ) ( ) ,
3. ( ) ,
4. , jika adalah matriks persegi dan non singular,
5. ( ) dan ( )
,
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014
44
6. ( ) dan ( ) ,
7. ( ) ( ) ,
8. ( ) dan jika rank ( ) ,
9. ( ) dan jika rank ( )
10. , jika kolom – kolom dari matriks orthogonal, yaitu
Bentuk Normal Jordan..., Riyan Emmy Trihastuti, FKIP UMP, 2014