Bab II Getaran Mekanis-Versi Indra

8/17/2019 Bab II Getaran Mekanis-Versi Indra

1/35

GETARAN BEBAS PADA

SISTEM SATU DERAJAT KEBEBASAN

Kompetensi yang ingin dicapai setelah mempelajari bab ini adalah :

1. Mahasiswa mamahami apa yang dimaksud dengan getaran bebas.

2. Mahasiswa mamahami yang dimaksud dengan frekuensi natural, periode

getaran, amplitudo.

3. Mahasiswa mampu menganalisa permasalahan getaran bebas tak teredam

untuk sistem satu derajat kebebasan.

4. Mahasiswa mamahami yang dimaksud dengan frekuensi natural teredam,

rasio redaman.

. Mahasiswa mampu menganalisa permasalahan getaran bebas teredam

untuk sistem satu derajat kebebasan.

3

BAB

2


2/35

2.1 Pendahuluan

!etaran bebas adalah osilasi suatu sistem ke posisi keseimbangannya

yang terjadi tanpa adanya eksitasi gaya dari luar. !etaran bebas merupakanhasil dari impart energi kinetik atau sebuah perpindahan dari titik

keseimbangan yang memberikan perbedaan energi potensial dari posisi

keseimbangan sistem. !etaran bebas terbagi menjadi getaran bebas tak

teredam undamped system dan getaran bebas teredam "damped system#.

$erhatikan gambar 2.1 suatu sistem pegas%massa yang merupakan

representasi sistem getaran yang paling sederhana. &istem ini dikenal dengan

sistem satu derajat kebebasan, hal ini dikarenakan satu koordinat "'# sudah

mencukupi untuk menspesifikasikan posisi tertentu dari massa setiap waktu.

(idak ada gaya eksitasi eksternal pada massa sehingga gerakan merupakan

hasil dari sebuah gangguan awal yang bergetar secara bebas. )arena tidak

ada elemen yang menyebabkan energi hilang selama gerakan, amplitudo dari

gerakan konstan terhadap waktu, sistem ini dikenal dengan getaran bebas tak

teredam undamped system.

$ada kenyataannya kecuali dalam kondisi *akum, amplitudo dari

getaran bebas berkurang secara gradual dikarenakan resistensi udara sekitar,

sistem ini dikenal dengan sistem getaran teredam "damped system#.

$engenalan getaran bebas teredam dan tak teredam pada satu derajatkebebasan sanagt fundamental untuk memahami topik%topik getaran yang

lebih lanjut.

!ambar 2.1 &istem pegas%massa pada posisi hori+ontal

eberapa sistem mekanikal dan struktur dapat diidelisasikan menjadi

sistem satu derajat kebebasan. -alam prakteknya massa terdistribusi, tetapi

untuk memudahkan analisa, hal ini dapat didekati sebagai satu titik massa.

-emikian pula dengan elastisitas sistem terdistribusi disepanjang sistem

dapat juga diidealisasikan sebagai pegas tunggal. &ebagai contoh adalah

rangka gedung seperti terlihat pada gambar 2.2 "a# dapat diidealisasikan

3


3/35

menjadi sistem pegas%massa seperti terlihat pada gambar 2.2 "b#. -alam

kasus ini konstanta pegas k adalah perbandingan gaya terhadap defleksi yang

dapat ditentukan dari geometris dan sift material kolom. /al yang sama

dilakukan mengidealisasikan massa dimana massa sistem adalah massa lantai

sedangkan massa kolom diabaikan.

!ambar 2.2 0dealisasi rangka gedung

2.2. Penurunan Persamaan Getaran

&uatu rigid body yang mengalami gerakan planar yaitu ketika pusat

massanya bergerak pada sebuah bidang dan body yang berputar pada sumbu

tetap, maka hukum kedua ewton dapat diterapkan untuk mendapatkan

persamaan geraknya dimana

∑ = ma F "2.1# -an ∑ = α I M CG "2.2#

-imana 0 adalah momen inersia sedangkan ! adalah pusat gra*itasi

massa.

$enerapan hukum kedua ewton rigid body membutuhkan metoda free

body diagram untuk mendapatkan solusinya, terdapat dua free body diagram

yang pertama adalah free body diagram yang menggambarkan secara

keseluruhan gaya dan momen eksternal yang berkerja pada benda sedangkan

yang kedua adalah free body diagram yang memperlihatkan gaya dan momen

effektif. )onsep ini dapat dilihat pada gambar 2.3

3


4/35

!ambar 2.3 !aya dan momen eksternal yang berkeja pada body eki*alen

dengan gaya dan momen effektif pada bodi

)onsep ini dapat diekspresikan dalam persamaan berikut:

∑∑ = Efft Ext F F "2.3#

-an ∑ ∑= Eff Ext Mo Mo "2.4#

-iambil dari sembarang titik o dari rigid body.

(urunkan persamaan gerak dari sistem seperti terlihat pada gambar 2.4"a#.

&olusi :

Misalkan ' adalah displacement dari balok dan kita tetapkan arah ' positip

kearah bawah. ree body diagram eksternal dan effecti*e diperlihatkan pada

gambar 2.4. -ari gambar tersebut terlihat bahwa gaya statik terciptadikarenakan displacement dari pegas yang memiliki konstanta k. 5ika '

diukur dari keseimbangan statik maka gaya statik dapat diekspresikan dengan

persamaan berikut :

( ) st xk F s ∆+=

36

Contoh 2.1


5/35

!ambar 2.4 ree body diagram dari contoh 2.1

-engan menerapkan hukum kedua ewton diperoleh

∑∑ = Efft Ext F F

( ) •••

=−∆+− xm xc xk mg st 7nalisa posisi keseimbangan statik diperoleh

k

mg st =∆

&ehingga persamaan getaran menjadi

8=++ •••

kx xc xm

39

Contoh 2.2


6/35

(urunkan persamaan gerak dari osilasi angular dari compound pendulum

seperti terlihat pada gambar 2."a#.

&olusi

Misalkan ( )t θ adalah arah perpindahan batang ccw yang diukur dari posisikeseimbangan. $enjumlahan momen dengan menggunakan free body

diagram dari gambar 2."b# diperoleh

∑ ∑= Eff Ext Mo Mo

2212sin

2

2 L L

m Lm

Lmg

••••

+=− θ θ θ

8sin23

2

=+••

θ θ Lmg

Lm

-engan deret (aylor diperoleh untuk θ yang kecil maka sinθ θ, sehingga

persamaan diatas menjadi

82

3=+

••

θ θ L

g

48


7/35

!ambar 2. ree body diagram dari contoh 2.2

2.3. Getaran Bebas Tak Teredam Sistem Satu Derajat KebebasanModel matematika untuk getaran bebas tak teredam pada sistem satu

derajat kebebasan adalah

8..

=+ xk xm " 2. #

-imana m dan k adalah koefisien tertentu sistem yang ditentukan

selama turunan dari per differensial. 5ika metoda sistem eki*alen yang

digunakan maka m = meq dan k = k ed .

&olusi persamaan 2. dapat ditemukan dengan mengasumsikan

( ) st Cet x = " 2. #

-imana dan s adalah konstanta yang akan dicari. &ubstitusikan

persamaan 2. ke persamaan 2. sehingga persamaan 2. menjadi

( ) 82 =+ k msC " 2. #

)arena tidak boleh berharga nol, maka persamaan 2. menjadi

82 =+ k ms " 2. 6#

/ingga nim

k s ω ±=

−±=

21

" 2. 9#

-imana 1−=i dan dari persamaan 2.9 diperoleh frekuensi naturalradian getaran bebas adalah

m

k n =ω " 2. 18#

41


8/35

$eriode naturan osilasi:

k

m

n

π ω

π 2

2( == " 2. 11#

dan frekuensi naturalnya adalah :

m

k

T n

π 2

11f == " 2. 12#

-ua nilai s pada persamaan 2.9 adalah akar dari persamaan 2. yang

dikenal dengan eigen*alue, maka bentuk solusi umum dari persamaan

tersebut adalah

( ) t it i nn eC eC t x ω ω −+= 11

" 2. 13#

-imana 1 dan 2 adalah konstanta. -engan menggunakan identitas

t it e nnt i n ω ω ω sincos ±=±

Maka persamaan 2.13 dapat ditulis kembali menjadi

( ) t At At x nn ω ω sincos 21 += " 2.14#

-imana 7 dan 7 adalah konstanta baru. )onstanta dan atau 7 dan

7 dapat ditentukan dari kondisi awal sistem. 5ika nilai dari displacement x(t)

dan kecepatan ( ) ( )( )t dt dxt x =.

dispesifikasika menjadi8

.

8 xdan x pada t =

0, maka persamaan 2.18 dengan kondisi awal

( )

( ) 8.

2

.

81

8

8

x At x

x At x

n ===

===

ω " 2.1#

-engan mensubstitusikan persamaan 2.1 ke 2.14 diperoleh

( ) t x

t xt x nn

n ω ω

ω sincos

.

88 += " 2.1#

$ersamaan 2.1 dikenal juga sebagai persamaan getaran harmonik

fungsi waktu dan dapat disederhanakan menjadi

42


9/35

( ) ( )φ ω += t At x nsin " 2.1#

-engan 7mplitudo

.2

2

8

+= n

x

x A ω " 2.16#

-an beda phase

= −

8

.

81tan

x

xnω φ

" 2.19#

;espon dari getaran untuk sistem satu derajat kebebasan yang diwakili

oleh persamaaan 2.1, diplotkan seperti terlihat pada gambar 2.

!ambar 2. ;espon getaran bebas untuk sistem satu derajat kebebasan

amun biasanya persamaan differensial getaran bebas tak teredam satu

derajat kebebasan ditulis dengan mensubtitusikan persamaan 2.18 ke 2.

sehingga menjadi

82..

=+ x x nω " 2. 28#

&ebuah mesin dengan berat 88 kg di instalasika diatas pondasi elastis yang

memiliki konstanta pegas ' 18


10/35

Hz m

k nn 9,

88

18

2

1

2

1

2f

=×

===π π π

ω

(entukan frekuensi natural dari gambar

disamping. 7sumsikan massa pulley diabaikan

dan tidak ada friksi.

Solusi. )arena pulley diasumsikan tanpa gesekan

dan massanya diabaikan, maka tegangan talikonstan dan sama dengan berat dari massa m.

!aya yang bekerja pada pulley 1 keatas sebesar 2

dan gaya yang bekerja pada pulley 2 kebawah

sebesar 2 . (itik pusat pulley 1 bergerak sejauh

!"k # dan titik pusat pulley 2 bergerak sejauh !"k !, sehingga total

perpindahan massa m adalah

+

21

222

k

k

.

5ika k eq menyatakan konstanta pegas eki*alen sistem maka

( )

21

21

21

4114

k k

k k

k k

k

eq

+=

+=

( )

21

21

4 k k

k k k eq +

= "=. 1#

5ika persamaan getaran dari massa ditulis sebagai berikut

8..

=+ xk xm eq " =. 2#

Maka frekuensi natural sistem adalah

( )

21

21

21

4

+

==k k m

k k

m

k eqnω rad


11/35

( )

21

21

21

44

1

2

+

==k k m

k k f nn

π π

ω /+ "=. 4#

&ebuah pabrik menggunakan hoist untuk mengangkat dan memindahkan

objek yang besar. /oist digantungkan pada sebuah batang yang dapat

bergerak disepanjang lintasan. Model hoist seperti terlihat gambar dibawah

ini.

(entukan frekuensi natural sistem ketika hoist digunakan untuk mengangkat

benda sebesar 688 kg dengan panjang tali 9 m.

5ika hoist diletakkan ditengan bentangan batang maka konstanta

kekakuannya adalah

( )( )( ) m

$

m

mm $

L

EI k %

6

3

4429

3 1813,1

1,3

18,3182884646×=

××==

−

)onstanta kekakuan kabel

( ) ( )m

$ m $ m

L

AE k c

6292

1896,9

182881,8 ×=×== π

m

$

m $ m $ k k

k

c%

eq

66

183,9


12/35

2.! Getaran Bebas Sistem Satu Derajat Kebebasan Den#an $is%ous

Dampin#

&ebuah sistem getaran bebas dengan redaman *iscous terlihat pada

gambar 2.. 5ika ' diukur dari posisi kesimbangan massa m, maka dengan

menggunakan hukum ewton diperoleh persamaan umum getaran bebas

teredam dengan redaman *iscous untuk satu derajat kebebasan.

8...

=++ xk xc xm"2. 21#

!ambar 2. &istem pegas%massa dengan redaman *iscous

&olusi persamaan 2.21 dapat ditemukan dengan mengasumsikan

( ) st Cet x = " 2. 2#

-imana dan s adalah konstanta yang akan dicari. &ubstitusikan

persamaan 2.2 ke 2.21 sehingga persamaan 2.1 menjadi

( ) 82 =++ k csmsC " 2. 22#

)arena tidak boleh berharga nol, maka persamaan 2.22 menjadi82 =++ k csms " 2. 23#

$ersamaan "2.23#, yang dikenal sebagai persamaan karakteristik yang

mempunyai dua akar :

m

k

m

c

m

c s −

±−=

2

2,122

" 2. 24#

4


13/35

-ua akar dari persamaan karekteristik "2.24# adalah akar dari persamaan

2.21 yang dikenal dengan eigen*alue, maka bentuk solusi umum dari

persamaan tersebut adalah

( ) t st s eC eC t x 21 11 += " 2. 2#

&ubstitusikan persamaan "2.24# kedalam persamaan "2.2#

menghasilkan :

( ) ( ) ( ) mk mc

m

cmk mc

m

c

eC eC t xntuk sistem teredam dengan rasio redaman ? didefinisikan sebagai

perbandingan antara konstanta redaman terhadap konstanta redaman kritis

cc

c=ζ " 2.26 #

&ubstitusikan persamaan 2.26 ke persamaan 2.2 yang disebut rasio

redaman. -engan mengingat bahwa :

nc

m

c

m

cζω ζ ==

22

7kar persamaan "2.24# sekarang dinyatakan dalam ? sehingga persamaan

"2.24# menjadi :

n& ω ζ ζ 12

2,1 −±−= " 2.29 #

4


14/35

&ehingga solusi umum persamaan getaran dengan redaman *iscous

"persamaan 2.2# menjadi

( ) t t nn

eC eC t xω ζ ζ ω ζ ζ

−−−

−+−

+= 1

2

1

1

22

.. "2.38 #

7kar s1 dan s2 adalah akar alami dari persamaan 2.38, sehingga

perilaku dari solusi persamaan 2.38 tergantung dari besaran redaman ada tiga

kasus dalam hal ini.

1. Sistem keadaan kuran# teredam 'under damped( atau #erak

berosilasi dimana ? ' 1,8. >ntuk kasus ini ( )12 −ζ pastilah negatip danakar persamaan karektersitiknya adalah

ni& ω ζ ζ 21 1−+−=

ni& ω ζ ζ 2

2 1−−−= " 2.31 #

5ika akar persamaan ini dimasukkan ke persamaan 2.38 menjadi

( ) t it i nn


−−−

−+−

+=22

1

2

1

1 .. "2.32 #

$ersamaan diatas juga dapat ditulis seperti salah satu dari kedua bentuk

berikut :

( ) φ ω ζ ω ζ +−= − t &ine At x nt n ..1.

2.. " 2.33 #

t CosC t &inC e nnt n ..1...1.

2

2

2

1

.. ω ζ ω ζ ω ζ −+−= −

" 2.34 #

-engan konstanta%konstanta 1 dan 2 ditentukan oleh kondisi awal x (0) =

x0 dan 8..

#8" x x = , maka persamaan "2.34# menjadi :

( ) ( )

−+−

−

+= − t Cos xt &in

x xe nn

n

nt n ω ζ ω ζ ζ ω

ω ζ ω ζ 28

2

2

8

.

..11

1

8 t' " 2.3#

-engan $ersamaan ini menunjukkan bahwa frekuensi getaran teredam

adalah sama dengan :

2

1(

2ζ ω

π ω −== n

d

d " 2.3 #

46


15/35

&olusi alternatip dari persamaan 2.3 adalah

( ) ( )d d t t &in Ae n φ ω ω ζ += − .. t'

"2.3#

-imana

2

88

.

2

87

++=

d

n x x xω

ω ζ "2.36#

+= −

88

.

81

d tan

x x

x

n

d

ζω

ω φ "2.39#

!erakan yang digambarkan oleh persamaan 2.3 adalah gerakan

hamonik dari frekuensi getaran teredam ω d , tetapi dengan adanya faktor t ne

..ω ζ − , amplitudo gerakan harmonik semakin mengecil secara

eksponensial terhadap waktu.

!ambar 2.6. !etaran teredam ? @ 1,8

>ntuk kasus gerak berosilasi "under damped#, ampiltudo osilasi

mengalami penurunan secara logaritmik δ yang didefenisikan sebagai

perbandingan amplitudo getaran satu dengan berikutnya secara berurutan

yang dapat diekspresikan sebagai berikut:

( )( )

( )( ) ( )[ ]

++

+=

+

= +−−

d d d

T t d d

t

d T t Ae

t Ae

T t x

t xd n

n

φ ω

φ ω δ

ω ζ

ω ζ

sin

sinlnln

49


16/35

21

2

ζ

πζ ζω δ

−==

d nT untuk 1


17/35

gambar 2.9.

!ambar 2.9. !etaran dengan redaman kritis ? 1,8

3. Sistem keadaan kelebihan redaman 'o)er damped( atau tak

berosilasi dimana ? 1,8. >ntuk kasus ini ( )12 −ζ pastilah positip danakar persamaan karektersitiknya adalah

n& ω ζ ζ 12

1 −+−=

n& ω ζ ζ 122 −−−= "2.4#

5ika akar persamaan ini dimasukkan ke persamaan 2.2 menjadi

( ) t t nn


−−−

−+−

+= 1

2

1

1

22

.. "2.46#

-engan kondisi awal x (0) = x0 dan 8..

#8" x x = , maka 1 dan 2 pada

persamaan "2.46# menjadi :

( )12

1

2

.

8

2

8

1

−

+−+=ζ ω

ζ ζ ω

n

n x xC "2.49#

( )12

1

2

.

8

2

8

2

−

−−−−=

ζ ω

ζ ζ ω

n

n x xC "2.8#

5ika persamaan 2.49 dan 2.8 dimasukkan kedalam persamaan 2.46

1


18/35

diperoleh persamaan getaran tak berosilasi "o*erdamped# berikut ini:

( ) ( )

( )

−+−+−+

−++

−=

−−

−

−

t

n

t

nt

n

n

n

e x x

e x

x

et x

12

8

8

.

12

8

8

.

2

2

2

1

1

12ζ ω

ζ ω

ω ζ

ζ ζ ω

ζ ζ ω

ζ "2.1#

-ari persamaan 2.1 terlihat bahwa persamaan adalah yang aperiodik

artinya tidak mengalami siklus satu periode seperti terlihat pada gambar

2.18 untuk kasus '"8# 1 mm, damping ratio ζ 1,2 dan ωn 3 rad


19/35

&ebuah underdamped shock absorber didesain untuk sebuah sepeda

motor dengan massa 288 kg seperti terlihat pada gambar 2.6 "a#. )etikashock absober mendapatkan kecepatan awal dikaenakan adanya gundukan

di jalan, grafik hasil displacementnya terhadap waktu terlihat pada gambar

2.6 "b#. (entukan besar konstanta pegas dan redaman dari shock absorber

jika perioda redaman getaran adalah 2 detik dan amplitudo x# tereduksi

menjadi A nya pada B perioda berikutya " x#* = x# "+#. (entukan juga

kecepatan awal minimum yang menyebabkan displacement maksimum

"amplitudo maksimum# sebesar 28 mm.

-iketahuiMassa 288 kg

kur*a displacement terlihat pada gambar 2.6 "b#

periode redaman (T d ) 2 detik

amplitudo maksimum "7# 28

model matematika x#* = x# "+

!ambar 2.11. &ket dan respon getaran soal 2.1

(entukan

)onstanta pegas "k#, )onstantan redaman "c# dan kecepatan awal "8

.

x #

yang menghasilkan amplitudo maksimum 28 mm.

3


20/35

5awab

$enurunan logaritmik sistem adalah

( )

( )

( )22

1

1

22,21lnlnln

ζ

πζ δ

−===

=

+=

x

x

T t x

t x

d

"=.1#

-ari persamaaan =.1 diperoleh damping rasio ζ 8,483.

5ika periode redaman getaran diketahui dengan persamaaan 2.32

diperoleh : ( ) 4336,3

483,812

2

1(

2

22=

−=

−=

π

ζ

π ω

d

n rad


21/35

m A 4,8=

$ersamaan kecepatan diperoleh dengan menurunkan persamaaan =.2

( ) ( )t t Ae d d d nt n ω ω ω ζω ω ζ cossint' ...

+−= − "=.2#

maka kecepatan awal ( ) .

8

.

8 xt x == pada saat amplitudo maksimum

adalah

( ) 28..

18t' ζ ω ω −==== nd A A x

1,4294 m


22/35

( )

( )48,8

2

3ln

1,8

8ln

..

..

=

=

=

s x

xδ

;asio redaman dihitung dengan persamaaan 2.3

( ) 843,8

48,84

48,822=

+=

π ζ

( ) 63,2

s8,1

2

(

2===

π π ω

d

d rad


23/35

( ) ( )( )

m

s $ mc n

.,6

3

843,89,23114

3

14=== ζ ω

)alibrasi percepatan diperoleh dari analisa keseimbangan statis posisiawal $

( ) ,1


24/35

2.13"b# menghasilkan persamaaan differensial sebagai berikut

8>−=+•••

xmg kx xm µ "2.3a#

8


25/35

!ambar 2.13. ree body digram dari coulomb damping

( )k

mg t

k

mg t x n

µ ω

µ δ +

−= cos "2.4#

$ersamaaan 2.8 menggambarkan gerakan sampai kecepatan berubah

tanda padant ω π =

ketika

k

mg x

n

µ δ

ω

π 2+−=

"2.#

$ersamaaan 2.3a digunakan untuk persamaaan gerak sampai tanda

kecepatan berubah. &olusi dari persamaaan 2.3a menggunakan

persamaaan 2. dan8

=

•

n

xω

π

sebagai kondisi awal diperoleh

( )nn

n t

k

mg t

k

mg t x

ω

π

ω

π µ ω

µ δ

2cos

3≤≤−

−= "2.#

)ecepatan kembali berubah tanda pada nt ω π 2= ketika

k

mg x

n

µ δ

ω

π 4−=

"2.#

!erakan selama satu siklus sempurna digambarkan oleh persamaaan

2.4 dan persamaaan 2.. 7mplitudo berubah antara awal dan akhir dari

siklus adalah

( )k

mg x x

n

µ

ω

π 48 =

− "2.6#

$eriode masing%masing siklus adalah

9


26/35

n

T ω

π 2= "2.9#

oulomb damping tidak mempengaruhi frekuensi natural. Metoda

matematika induksi digunakan untuk membangun persamaaan berikut iniuntuk perpindahan dari massa pada setengan siklus.

( ) ( )

( )nn

n

nt n

k

mg t

k

mg nt x

ω

π

ω

π

µ ω

µ δ

−≤≤−

+

−−=

2

1212

cos34

"2.8#

( ) ( )

nn

n

nt n

k

mg t

k

mg nt x

ω

π

ω

π

µ ω

µ δ

22

12

cos14

≤≤ −

−

−−=

"2.1#

k

mg nn x

n

µ δ

ω

π 42 −=

"2.2#

-ari persamaaan 2.2 terlihat bahwa displacement pada akhir siklus

adalah k mg µ 4 lebih kecil daripada siklus sebelumnya, sehingga

amplitudo dari getaran bebas berkurang secara linier ketika persamaan 2.8

dan persamaan 2.1 diplot seperti terlihat pada gambar 2.14.

8


27/35

!ambar 2.14 $lot dari persamaaan 2.8 dan 2.1

!erakan terjadi dengan pengurangan secara konstan amplitudo

sepanjang gaya yang tersimpan mampu mangatasi gaya gesek. amun

demikian gaya gesek yang menyebabkan mengecilnya amplitudo, maka

gaya yang tersimpan menjadi lebih kecil daripada gaya gesek. /al ini

terjadi apabila

mg n xk n

µ ω

π ≤

2 "2.3#

!erakan ceases selama n siklus, dimana n adalah integer terkecilseperti

4

1

4−>

mg

k n

µ

δ "2.4#

)etika !erakan ceases pada displacemen konstan dari titik

keseimbangan k mg µ dipertahankan.

)arena secara pisik gerakan semua sistem ceases sehingga keberadaan

coulomb damping selalu ada. oulomb damping timbul dalam banyak

bentuk seperti gesekan a'le dalambanalan jurnal, gesekan pada belt dsb.

;espons sistem ini dan bentuk lain dari coulomb damping dapat diperoleh

dengan cara yang sama sperti respon pada massa yang sliding.

entuk umum dari persamaaan differensial untuk getaran bebas dari

sistem linier dimana hanya coulomb damping yang menjadi sumber

redaman adalah

1


28/35

>−

<

=+•

•

••

8

8

xm

F

x

m

F

x x f

f

nω

"2.#

-imana f adalah besaran dari gaya redaman coulomb. $enurunan

amplitudo persamaaan siklus gerakan diperoleh dari

2

4

n

f

m

F A

ω =∆ "2.#

&emua percobaan dilakukan untuk menentukan koefisien gesek

kinetik antar blok dan permukaan. lok dipasangi pegas dan bergerak 18mm dari titik keseimbangan. -iamati bahwa periode gerakan adalah 8, s

dan amplitudo mengecil 18 mm pada siklus berikutnya. (entukan koefisien

gesek kinetik dan berapa banyak siklus dari gerakan sebelum gerakan

ceases.

&olusi

rekuensi natural dihitung

,12,8

22===

sT n

π π ω rad


29/35

anyak siklus dari gerakan sebelum gerakan ceases.

( ) ( )

( ) ( ) 1

4

1


30/35

". (entukan frekuensi alami getaran dari sistem pegas%massa yang

terlihat pada gambar dibawah ini

*. &ebuah mobil dengan massa 2888 kg mendefleksikan pegas sejauh

8,82 m dalam kndisi statik. (entukan frekuensi alami mobil dalam

arah *ertikal dengan asumsi redaman diabaikan.

+. &ebuah sistem pegas%massa%redaman dengan m 8 kg dan k 888


31/35

1. (urunkan persamaan differensial getaran dari sistem satu derajat

kebebasan dengan menerapkan koordinat yang tepat dari gambar

dibawah ini

11. $usat dari piringan tipis seperti gambar soal no.6 dipindahkan sejauh

δ. )emudian piringan terebut dilepas, jika koefisien gesek piringan

dengan permukaan adalah µ. -isplacement awal cukup membuat

piringan tersebut menggelinding dan slip.

"a#. uatlah persamaan differensial dari gerakan untuk kasus ini.


32/35

"b#. uatlah persamaan differensial dari gerakan ketika piringan

menggelinding tapa slip.

"c#. erapakah perubahan amplituda persamaan siklus

!ambar soal

o.6

12. )epala gerbong kereta apai dengan massa 2888 kg berjalan dengan

keceptan 18 m


33/35

13. >ntuk sistem yang diperlihatkan pada gambar dibawah ini, maka

tentukan.

"a# ;atio redaman

"b# 7pakah kondisi sistem underdamped, critical atau o*erdamped

"c# ( )t x atau ( )t θ untuk suatu nilai kondisi awal

1!. >ntuk sistem yang diperlihatkan pada gambar disamping ini, maka

tentukan.

"a# ;atio redaman

"b# 7pakah kondisi sistem underdamped, critical atau o*erdamped

"c# ( )t x atau ( )t θ untuk suatu nilai kondisi awal


34/35

1". )etika sebuah mesin dengan massa 48 kg di tempatkan pada sebuah

fondasi elastis, mengalami getaran bebas yang hilang secara

eksponensial dengan frekuensi 91, rad


35/35

!ambar soal o.1

1,. (urunkan persamaan getaran dari model dibawah ini.

1-. &ebuah benda bergetar dengan redaman *iscous ' persamaan detik

dan 8 siklus. 7mplitudonya berkurang 18E. (entukan pengurangan

logaritmik dan rasio redaman.2. &istem dengan redaman *iscous memiliki konstanta stiffness 888

Bab II Getaran Mekanis-Versi Indra

Documents

Transcript of Bab II Getaran Mekanis-Versi Indra