BAB I - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewBilangan asli tertutup terhadap...

BAB I

PENDAHULUAN

Standar Kompetensi

Mahasiswa memahami konsep sistem bilangan real sebagai semesta dalam

menentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan dan dapat mengembangkan dalam

bentuk persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga mutlak serta menentukan

gradien dan persamaan garis lurus.

Kompetensi Dasar

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan:

1. Mahasiswa dapat menyatakan bilangan rasional sebagai bentuk desimal

berulang atau sebaliknya.

2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian persamaan.

3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian pertidaksamaan.

4. Mahasiswa dapat menetukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan yang memuat

harga mutlak.

5. Mahasiswa dapat menyatakan letak suatu titik dengan sistem koordinat.

Kalkulus Dif erensial : Dwi Purnomo- 1

6. Mahasiswa dapat menentukan gradien suatu persamaan garis lurus.

7. Mahasiswa dapat menentukan persamaan garis lurus.

Bab I, dalam buku ini memuat hal-hal pokok yang berkaitan dengan sistem

bilangan real antara lain (1) sistem bilangan real, (2) persamaan dan

pertidaksamaan , (3) nilai mutlak sifat-sifatnya, (4) sistem koordinat , dan (5)

persamaan garis lurus

1.1 Sistem Bilangan Real

Sebelum penulis menguraikan konsep sistem bilangan real , terlebih dahulu

marilah kita ingat kembali konsep himpunan (set). Himpunan mempunyai peranan

sangat penting dalam memahami sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan

didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang mempunyai ciri-ciri,

kriteria dan syarat yang tertentu serta terdefinisi dengan jelas. Objek atau unsur sesuatu

himpunan A dinamakan anggota atau elemen. Anggota suatu himpunan dinyatakan

dengan huruf a, b, c, d, …, atau 1, 2, 3, 4, …. , sedangkan nama himpunan dinyatakan

dengan huruf kapital A, B, C, D, dan seterusnya. Misal kita mendefinisikan suatu

himpunan A dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya yang terdiri dari a, b,

c , d, dan e, himpunan A tersebut dapat ditulis dalam bentuk dengan

masing-masing anggota himpunan A dipisahkan oleh tanda baca koma dan terdapat dua

tanda kurung { }. Jika himpunan A mempunyai anggota yang banyaknya tak hingga

maka unsur-unsurnya tidak ditulis semuanya akan tetapi cukup dituliskan beberapa

anggotanya dan titik-titik sebanyak 3 atau 5 titik. Misalnya .

Selanjutnya jika a anggota suatu himpunan A, maka dituliskan dan dibaca “a

anggota A”. Jika a bukan anggota himpunan A, maka dituliskan dan dibaca “a

bukan anggota A. Jika suatu himpunan A tidak memiliki anggota, maka A disebut

himpunan kosong. Himpunan kosong dinotasikan dengan atau { }.

Himpunan sebagai telah disebutkan di atas, dalam penulisannya dapat dilakukan

dengan dua metode, yaitu metode pencirian (notasi) dan metode perincian (tabulasi).

Metode pencirian dilakukan dengan cara menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki

oleh seluruh anggota suatu himpunan akan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang

bukan anggota himpunan tersebut. ,


Contoh:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Metode perincian dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota himpunan yang

memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan dalam suatu himpunan.

Contoh

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Misal A dan B suatu himpunan, himpunan A disebut himpunan bagian

himpunan B, ditulis dengan notasi , jika setiap anggota A merupakan anggota B.

Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa untuk sebarang himpunan A. Jika

setiap anggota himpunan anggota A juga merupakan anggota setiap himpuna B maka

dinotasikan dengan

Selanjutnya untuk memudahkan para pembaca dalam memahami konsep system

bilangan real berikut ini diberikan beberapa bilangan dan himpunan bilangan yang pada

bab-bab selanjutnya dalam buku ini sering ditemukan. Bilangan dan himpunan bilangan

tersebut adalah:

1. Himpunan bilangan Asli (Natural)


Himpunan bilangan asli dinotasikan dengan dan anggota-anggota bilangan asli

adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... sehingga

Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk

setiap a, b bilangan asli maka (a+b) dan (a.b) bilangan asli. Oleh karena itu,

himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli.

2. Bilangan cacah (whole)

Bilangan cacah dilambangkan dengan W dan anggota-anggota bilangan cacah

adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., sehingga Bilangan cacah

tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap a, b

bilangan cacah maka (a+b) dan (a.b) bilangan cacah.

3. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan lawan dari bilangan-

bilangan asli membentuk sistem bilangan bulat, Bilangan bulat dinotasikan dengan

Z yang anggota-anggotanya adalah ...-3, -2, -,1, 0, 1, 2, 3, ..., sehingga

4. Bilangan pecahan atau bilangan rasional (quotient). Bilangan rasional adalah

bilangan yang secara umum dinyatakan dengan

Contoh

1)

2)

3)

Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan

desimal, yaitu

1)

2)

3)


Jika kita cermati lebih mendetail, bilangan-bilangan desimal sebagai mana

tersebut di atas selalu berulang angka-angkanya, sehingga bilangan rasional juga disebut

bilangan desimal berulang. Sebaliknya bilangan desimal berulang dapat dinyatakan

sebagai bilangan rasional. Untuk menyatakan bentuk desimal menjadi bilangan rasioan

adalah dengan cara melihat angka yang berulang pada bilangan tersrsebut. Jika terdapat

1 angka yang berulang maka kalikan bilangan dimaksud dengan . Jika terdapat 2

angka yang berulang maka kalikan bilangan tersebut dengan dan seterusnya.

Selanjutnya cari selisih bilangan semula dengan bilangan yang baru. Dengan metode

perhitungan sederhana akhirnya diperoleh bilangan rasional yang dimaksud. Untuk

lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh:

Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bentuk rasional

1.

Tentukan a dan b.

Jawab

Bilangan 0,12121212..... adalah bilangan desimal dengan 2 angka berulang

yaitu angka 1 dan angka 2. Karena banyaknya angka berulang sebanyak 2

angka maka kalikan bilangan semula dengan , sehingga diperoleh:

x = 0,1212121...

100 x = 12,12121212...

100x – x = (12,12121212…) – (0,12121212..)

99 x = 12

x =

Bentuk rasional 0,1212121… adalah

2.

Tentukan a, b.

. Jawab

Bilangan 1,41233333333..... adalah desimal dengan 1 angka berulang yaitu


angka 3, sehingga kalikan bilangan semula dengan dan diperoleh

x = 1,412333333...

10 x = 14,123333333...

10x – x = (14,12333333...) – (1,412333333…)

9 x = 12,711

x = karena pembilang bukan bilangan bulat maka

=

Bentuk rasional 1,41233333333..... adalah

3.

Tentukan a dan b.

Jawab

Bilangan = -0,9826273273273..... adalah desimal dengan 3 angka berulang

yaitu angka 2, angka 7, dan angka 3, sehingga kalikan bilangan semula dengan

sehingga diperoleh:

x = -0,9826273273273.....

1000x = -982,6273273273......

1000x – x = (-982,6273273…) – (0,9826273273…)

999 x = -981,6447

x = , pembilang bukan bilangan bulat, maka:

=

Bentuk rasional -0,9826273273273..... adalah

4.

Tentukan a dan b

Jawab


Bilangan 0,0543254325432.....adalah bilangan desimal dengan 4 angka

berulang yaitu angka 5, angka 4, angka 3, dan angka 2 sehingga kalikan

bilangan semula dengan sehingga

x = 0,0543254325432.....

10000x = 543,254325432…..

10000x – x = (543,254325432…) - (0,054325432…)

9999 x = 543,2

x =

=

Bentuk rasional 0,0543254325432..... adalah

5. Bilangan Irasional ( ) atau disebut juga bilangan tidak rasional yaitu bilangan yang

tidak dapat dinyatakan dalam bentuk . Karena bilangan

rasional dapat dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya berulang,

maka bilangan irasional adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada

yang berulang. Bilangan irasional juga disebut dengan bilangan bentuk akar.

Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai adanya bilangan-

bilangan irasional. Contoh bilangan irasional antara lain adalah dan . Bilangan

adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-

masing adalah 1. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 1.1


Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling sebarang lingkaran

dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar 1.2

Contoh

1) = 1,41421356237...

2) = 1,73205080756...

3) = 3,316625790355...

4) π = 3.14159265358979….

5) e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…

Berdasarkan contoh di atas, tampak bilangan-bilangan dalam bentuk akar

umumnya adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang.

Sehingga bilangan akar juga disebut bilangan irasional. Dengan demikian apa yang

selama ini dianggap sama yaitu = tidaklah selalu benar. Karena adalah

bilangan rasional, sedangkan adalah bilangan irasional.

6. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan bilangan rasional

membentuk himpunan semua bilangan real , sehingga

Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali

digunakan cara desimal.

Contoh

Bilangan-bilangan masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal

sebagai Dapat ditunjukkan bahwa bentuk

desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:


d1

l1 l2

d2

i. berhenti ( ), atau

ii. berulang beraturan ( ).

Sifat-sifat Sistem Bilangan Real

Untuk sebarang bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1) Sifat komutatif

(i).

2) Sifat asosiatif

3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan

4) (i).

(ii).

(iii).

5) (i).

(ii).

(iii).

6) (i). , untuk setiap bilangan .

(ii). tak terdefinisikan.

(iii). , untuk setiap bilangan .

7) Hukum kanselasi

(i). Jika dan maka .

(ii). Jika maka .


8) Sifat pembagi nol

Jika maka atau .

Sifat-sifat terurut bilangan Real

Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan

dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi,

aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada bagian lain

suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip

urutan (well ordering principle).

Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilangan-

bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah

mengidentifikasi suatu subset khusus dari dengan menggunakan gagasan

“kepositipan”.

Definisi

Misalkan P himpunan bagian dan . Untuk selanjutnya P disebut bilangan real

positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:

(1) Jika maka

(2) Jika maka

(3) Jika , maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi

Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi

penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat trikotomi

karena membagi menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa

dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan P, dan

selanjutnya himpunan merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing.

Definisi

1) Jika , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip kuat (strictly

positip) dan dituliskan dengan , Jika , maka a disebut bilangan real

tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk .

2) Jika , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat

(strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk , Jika , maka a

disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk


3) Jika dan jika maka dituliskan dalam bentuk atau

4) ika dan jika maka dituliskan dalam bentuk atau .

Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan yang berarti dan

. Demikian juga jika yang berarti maka dan seterusnya.

Berikut ini diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan

Teorema 1

Misalkan

1. Jika dan maka .

2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi

3. Jika dan maka

Bukti

1) maka menurut definisi atau

maka menurut definisi atau

Karena dan maka menurut definisi diperoleh

sehingga atau

2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari yang berikut

mungkin terjadi

, atau atau sehingga atau atau

3) Jika , maka , sehingga dari bukti (b) kita dapatkan atau

yakni atau . Dalam kasus lainnya salah satu dari hipotesisi

tersebut kontradiksi. Jadi haruslah

Teorema 2

1. Jika dan maka

2.

3. Jika maka


Bukti

1. Dengan sifat trikotomi jika , maka atau . Jika maka dengan

definisi kita mempunyai , untuk . Dengan cara yang sama Jika -a P

maka dengan definisi sebelumnya diperoleh bentuk .

Berdasarkan teorema sebelumnya berakibat bahwa:

. Akibatnya bahwa . Jadi kita

simpulkan bahwa jika , maka .

2. Karena , menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa 1 > 0.

3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan ini.

Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap benar

untuk n = k, dengan k bilangan asli.

Karena 1 > 0 dan , maka , sehingga pernyataan di atas benar adanya

dengan menggunakan definisi sebelumnya.

Teorema 3

Misalkan

1. Jika , maka

2. Jika , dan maka

3. Jika , maka

4. Jika , maka

5. Jika maka

6. Jika maka

Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Karena berarti menurut definisi sebelumnya . Karena sehingga

.

Sehingga . Dengan kata lain

Karena berarti

2. Karena dan berarti dan .


Hal ini berarti dan .

Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh

. Dengan kata lain , atau

sehingga berlaku

3. Karena dan berarti dan .




sehingga berlaku

4. Karena dan berarti dan atau .




sehingga berlaku

5. Jika maka (berdasarkan sifat trikotomi). Karena , berdasarkan sifat

sebelumnya maka berlaku Jika , berdasarkan teorema sebelumnya

diperoleh .

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah

6. Jika , maka (berdasarkan sifat trikotomi). Karena , berdasarkan sifat

sebelumnya maka maka berlaku Jika

, berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah

Teorema 4


Jika , maka

Bukti.

Karena , maka dapat diperoleh atau

Demikian pula maka dapat diperoleh atau

Dari ketaksamaan dan didapatkan

Akibat dari teorema di atas adalah:

jika dan maka

Soal-soal

1) Misalkan buktikan pernyataan berikut:

a) Jika maka

b) Jika dan maka

c) jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0

2) Carilah bilangan yang memenuhi dan dan berlaku

a)

b) .

3) Tentukan bilangan real x, sedemikian sehingga:

a)

b)

c)

d)

e)


Garis Bilangan

Secara geometris, sistem bilangan real dapat digambarkan dengan garis

lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini

dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama

dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O.

Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan

masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan dengan titik-

titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi

untuk bilangan-bilangan dst.

Perhatikan gambar berikut.

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik

pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu

bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula garis bilangan real.

1.2 Persamaan dan Pertidaksamaan

Istilah persamaan dan pertidaksamaan umumnya berhubungan dengan peubah

atau variabel. Peubah adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan sebarang

anggota suatu himpunan. Jika himpunannya real maka perubahnya disebut peubah real.

Selanjutnya yang dimaksud dengan peubah dalam persamaan dan pertidaksamaan yang

akan dibahas dalam buku ini adalah peubah real.

Persamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah

atau lebih dengan tanda sama dengan (=).

Contoh

1)

2)

3)


2 1 0 1 2 3

Gambar 1.3

4)

5)

6)

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu

peubah atau lebih dan tanda ketidaksamaan (<, >, , ).

Contoh

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Karena persamaan dan pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka dan mempunyai

peubah, maka peubah tersebut dapat ditentukan sehingga memenuhi persamaan atau

pertidaksamaan dimaksud, sehingga persamaan atau pertidaksamaan mempunyai arti

dan bernilai benar. Nilia peubah yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaa disebut

selesaian. Himpunan semua bilangan real yang merupakan selesaian dari suatu

persamaan atau pertidaksamaan disebut himpunan selesaian. Sifat-sifat dan hukum

dalam sangat membantu dalam menentukan selesaian persamaan atau pertidaksamaan

yang diberikan.

Contoh

Tentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini.


1)

Jawab

Jadi selesaian persamaan adalah x =

2)

Jawab

Jadi selesaian persamaan adalah x = 4 atau x = -1

3) Tentukan selesaian pertidaksamaan .

Jawab

Jadi, selesaian pertidaksamaan .adalah x > -4

Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan

pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas.

Beberapa contoh diberikan sebagai berikut.

1) Tentukan selesaian

Jawab


Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:

Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor

positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka:

Sehingga diperoleh: .

(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:

Diperoleh: .

Jadi, selesaian persamaan adalah x < 2 atau x > 3.

Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: Ruas kiri

pertidaksamaan bernilai nol jika . Selanjutnya, ke dua bilangan ini

membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: .

Gambar 1.4

Pada bagian , nilai keduanya negatif, sehingga hasil kali

keduanya positif. Pada segmen , bernilai positif sedangkan

bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian

, masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya

juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel berikut.

Tanda nilai

Kesimpulan

x < 2 - - + Pertidaksamaan dipenuhi


0 2 3 4

x<2 2<x<3 x>3

2<x<3 + - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi

x>3 + + + Pertidaksaman dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah x < 2 atau x > 3.

Metode penyelesaian seperti pada contoh 1 di atas dapat pula diterapkan pada

bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk

pecahan.

2) .

Jawab

Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:

Jika , maka diperoleh: .

Selanjutnya, perhatikan table berikut:

Nilai-nilai peubah x = -1, x = 1, x = 2 disebut titik kritis.

Tanda nilai/nilai

Kesimpulan

x < -1 - - - - Pertidaksamaan dipenuhi

-1 < x < 1 + - - + Pertidaksamaan tidak dipenuhi

1 < x < 2 + + - - Pertidaksamaan dipenuhi

x > 2 + + + + Pertidaksamaan tidak dipenuhi

x = -1 0 -2 -3 0 Pertidaksamaan dipenuhi

x = 1 2 0 -1 0 Pertidaksamaan dipenuhi

x = 2 3 1 0 0 Pertidaksamaan dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan x atau 1 .

Cara lain untuk menentukan selesaian pertidaksamaan .

adalah dengan menggunakan garis bilangan


Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas diperoleh:

- - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +

Berdasarkan garis bilangan di atas selesaian pertidaksamaan adalah

x atau 1 .

3) .

Penyelesaian

Apabila pada ke dua ruas ditambahkan maka diperoleh:

Nilai nol pembilang adalah , sedangkan nilai nol penyebut adalah 2.

Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga diperhatikan tabel

berikut:

Tanda nilai/nilaiKesimpulan

x < -2 - - - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi

-2 < x < 2 + - - + Pertidaksamaan dipenuhi

2 < x < 5 + + - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi

x > 5 + + + + Pertidaksamaan dipenuhi


x = -2 0 -4 -7 0 Pertidaksamaan dipenuhi

x = 2 4 0 -3 Tidak terdefinisi

Pertidaksamaan tidak dipenuhi

x = 5 7 3 0 0 Pertidaksamaan dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah dan ditulis dengan

notasi interval

Berdasarkan contoh di atas, bahwa tampak selesaian suatu persamaan berupa titik

(diskrit), sedangkan selesaian pertidaksamaan berupa selang/interval (kontinu).

Selang

Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan . Berturut-turut

didefinisikan:

1.3 Nilai Mutlak

Misal x suatu bilangan real, nilai mutlak x dinotasikan dengan dan

didefinisikan sebagai panjang atau jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi

Misal x real maka:

Bentuk lain dari definisi di atas adalah sebagai berikut:

.

Contoh

, , , , dst.

Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.

Sifat-sifat Nilai Mutlak


1. Jika maka:

a)

b)

c)

d)

e) (Ketaksamaan segitiga)

f)

Secara geometris, nilai mutlak dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai

contoh, jika maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah

kiri 3 (lihat Gambar 1.15).

Jadi selesaian adalah .

Dengan mengingat nilai mutlak sebelumnya kiranya mudah dipahami sifat

berikut:

2. Jika , maka: .

Contoh,

Dengan cara yang sama

3. Jika , maka:

a) .


4 3 10

7 unit 7 unit

Gambar 1.5

b) .

Contoh

Tentukan selesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak di bawah ini:

1) Selesaikan .

Jawab

Jadi selesaian pertidaksamaan adalah

2) Tentukan semua nilai x yang memenuhi .

Jawab

Selanjutnya, karena:

maka, diperoleh: .

3) Tentukan selesaian .

Jawab:


(i). Apabila , maka selalu berlaku untuk setiap x. Sehingga

diperoleh: .

(ii). Jika , maka:

Dari (i) dan (ii), diperoleh .

4) Tentukan selesaian .

Jawab

Berdasarkan nilai mutlak dperoleh:

Jadi selesaian pertidaksamaan adalah .

4.

Contoh

Tentukan selesaian dari pertidaksamaan

a.

Jawab

Menurut sifat 4 di atas, maka:

Titik kritis pertidaksamaan adalah x = 7/3 dan x = 5 sehingga gambar garis bilangan


+++++++++++ - - - - - - - - - - - - - +++++++

Jadi selesaian pertidaksamaan adalah (-

Soal Latihan

Tentukan selesaian pertidakasamaan dibawah ini!

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

Untuk soal 22 – 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti.

22. 23. 24.

25. Jika dan maka tunjukkan .

26. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata

aritmatika dari bilangan a dan b.

27. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata

geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari

bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.

28. Tunjukkan bahwa .

29. Jika dan maka tunjukkan .

30. Jika dan , tunjukkan .


1.4 Sistem Koordinat

Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak

suatu titik pada garis , bidang atau ruang Pada bidang dikenal sistem

koordinat kartesius atau koordinat tegak lurus dan koordinat kutub. Kartesius adalah

latinisasi dari nama seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis bernama Rene

Descartes (1596-1650). Pada ruang dikenal sistem koordinat kartesius, koordinat tabung

dan koordinat bola. Pada bagian ini hanya akan dibicarakan tentang sistem koordinat

kartesius dan sistem koordinat kutub pada bidang.

Sistem Koordinat Kartesius

Gambar 1.6

Pada gambar 1.6, terdapat 4 bidang simetris yang dibatasi oleh sumbu-sumbu

koordinat (sumbu X dan Y), masing-masing bidang yang dibatasi oleh bidang

dinamakan kwadran. Terdapat 4 kwadran, yaitu kuadran I kwadran II

kwadran III dan kwadran IV

Misalkan sebarang titik pada bidang XOY, maka titik tersebut

posisinya dapat dikwadran I, atau II, atau III, atau kwadran IV tergantung besaran x dan

y. Misal , maka x disebut absis, y disebut ordinat dan disebut

koordinat.

Perhatikan gambar berikut ini.


Misal dan terletak di kwadran I hal ini berarti dan .

Gambar 1.7

Berdasarkan gambar 1.7 di atas, terdapat segitiga yang salah satu sudutnya siku-

siku dititik M ( . Menurut teorema Pythagoras

Bentuk ini dinamakan rumus jarak dua titik yang menghubungkan titik O(0,0) dengan

titik

Jarak antara Dua Titik pada Bidang

Misal titik dan titik terletak pada bidang, maka jarak dua titik P

dan Q dapat dinyatakan dengan rumus

Untuk membuktikan rumus tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan teorema

Pythagoras.

Selanjutnya perhatikan gambar berikut ini!


Gambar 1.8

Berdasarkan gambar 1.8 di atas, pandang PSQ, dengan menggunakan teorema

Pythagoras

Selanjutnya

Pada gambar 1.8 di atas M adalah sebarang titik pada garis PQ dengan perbandingan

PM:MQ = m : n

Karena PM : MQ = m : n, maka diperoleh

PM’ : MQ’ = m : n dan MM’ : QQ’ = m : n

Selanjutnya akan dicari koordinat M.

Karena

maka

Dengan cara yang sama


maka

Jika diketahui dan Jika titik tengah maka

Koordinat M dapat ditentukan dengan humus

dan

Contoh

1) Tentukan jarak titik P(3,5) dan Q(1,-6).

Jawab

Untuk menentukan jarak titik P dan Q dapat digunakan rumus

=

=

=

= 5

2) Tunjukkan bahwa titik-titik A(3,8), B(-11,3), dan (-8,-2) adalah titik-titik sudut dari

segitiga sama kaki ABC.

Jawab

Dengan menggunakan rumus jarak dua titik, diperoleh

= dan =

3) Tunjukkan bahwa titik A(-3,-2), B(5,2) dan C(9,4).

Jawab

Terlebih dahulu dicari panjang AB, BC, dan AC

Dengan humus jarak dua titik diperoleh AB = 54 , BC = 2 dan


AC = 6 , sehingga AC + BC = AC, hal ini berarti titik A, B, dan C terletak pada

satu garis lupus

Gradien Garis Lurus

Gambar 1.9

Selanjutnya jika garis PQ pada gambar 1.9 diperpanjang, maka garis tersebut

akan memotong sumbu X atau sumbu Y. Sudut yang dibentuk oleh garis PQ dengan

sumb X disebut disebut inklinasi.

Selanjutnya perhatikan PQR, menurut perbandingan goniometri diperoleh

tan =

=

Perbandingan goniometri tersebut selanjutnya disebut kemiringan atau gradien atau

tangensial dan dinotasian dengan

Dengan demikian gradien garis lurus didefinisikan sebagai tangen dari sudut inklinasi.

Misal dan dua garis yang terletak pada sumbu koordinat, maka beberapa hal yang

mungkin adalah kedua garis sejajar, berpotongan, atau saling tegak lurus. Jika dan

sejajar maka

Jika dan tegak lurus maka, perhatikan gambar di bawah ini


Gambar 1.10

Karena dan saling tegak lurus, maka , sehingga

Jika masing-masing dibagi dengan diperoleh

Karena dan tegak lurus, maka , sehingga atau

Catatan

Misal dan dua garis dalam bidang yang sama, maka kemungkinan kedua garis

tersebut adalah:

1) Sejajar jika dan hanya jika

2) Tegak lurus jika dan hanya jika

3) Berimpit jika dan hanya dan koefisien-koefisiennya yang sejenis saling

berkelipatan


Luas Poligon yang Titik Sudutnya Ditentukan

Perhatikan gambar berikut!

Misal , , dan . Adalah titik sudut segitiga yang terletak

pada bidang XOY seperti berikut.

Gambar 1.11

Pada gambar 1.11, luas PQR adalah

= (Luas trapesium PP’Q’Q + luas trapesium QQ’R’R)- luas trapesium

P’R’RP

= ½ (y +y )(x - x ) + ½ (y + y )(x -x ) – ½ (y +y )(x - x 1 )

= ½ {(y +y )(x - x ) + (y + y )(x -x ) – (y +y )(x - x1 )}

=½{

Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matrik ordo 3 x 3

Soal-soal

1. Buatlah ruas garis dan tentukan jarak antara pasangan titik yang diketahui berikut

ini:

a. P(4,5) dan Q(-1,3)

b. P(8,-2) dan Q(3,-1)

c. P(-1,-2) dan Q(-3,-8)

d. P(5,3) dan Q(2,-5)

2. Gambarlah luas suatu poligon yang titik-titik sudutnya adalah


a. (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)

b. (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)

3. Selidiki apakah segitiga yang titik-titik sudutnya di bawah ini adalah sama sisi.

a. A(2,-2), B(-3,-4) dan C(1,6)

b. K(-2,2), L(6,6) dan M(2,-2)

c. P(6,7), Q(-8,-1) dan R(-2,-7)

d. U(2,4), V(5,1) dan W(6,5)

4. Tunjukkan bahwa segitiga berikut adalah siku-siku dan tentukan luasnya dengan

menggunakan aturan yang ada.

a. A(0,9), B(-4,-1), dan C(3,2)

b. P(10,5), B(3,2), dan C(6,-5)

c. A(3,-2), B(-2,3), dan C(0,4)

d. K(-2,8), L(-6,1), dan N(0,4)

5. Buktikan bahwa titik-titik berikut ini adalah paralelogram

a. (-1,-2), (0,1), (-3,2), dan (-4,-1)

b. (-1,-5), (2,1), (1,5), dan (-2,-1)

c. (2,4), (6,2), (8,6), dan (4,8)

6. Tunjukkan bahwa titik-titik berikut terletak pada satu garis lurus dengan

menggunakan metode jarak.

a. (0,4), (3,-2), dan (-2,8)

b. (-2,3), (-6,1), (-10,-1)

c. (1,2), (-3,10), (4,-4)

d. (1,3), (-2,-3), (3,7)

7. Tentukan sebuah titik yang berjarak 10 satuan dari titik (-3,6)

8. Tentukan koordinat titik P(x,y) yang membagi ruas garis dengan perbandingan

diketahui:


a. A(4,-3), B(1,4) dengan AP:PB = r = 2

b. A(2,-5),B(6,3) dengan AP:PB = r = ¾

c. A(-5,2), B(1,4) dengan AP:PB = r = -5/3

d. A(0,3), B(7,4) dengan AP:PB = r = -2/7

e. A(-2,3), P(3,-2) dengan AP:PB = r = 2/5

9. Jika M (9,2) membagi ruas garis yang melalui P(6,8) dan Q(x,y) dengan

perbandingan 3/7. Tentukan koordinat titik Q.

10. Tentukan titik pusat (centroid) setiap segitiga diketahui titik-titik sudutnya di bawah

ini:

a. (5,7), (1,-3), (-5,1)

b. (2,-1), (6,7), (-4,-3)

c. (3,6), (-5,2), (7,-6)

d. (7,4), (3-6), (-5,2)

e. (-3,1), (2,4), (6,-2)

11. Tentukan luas poligon yang titik sudutnya adalah:

a. (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)

b. (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)

12. Tentukan koordinat titik-titik suatu segitiga, jika titik-titik tengah sisi-sisinya

adalah:

a. (-2,1), (5,2), (2,-3)

b. (3,2), (-1,-2), dan (5,-4)

13. Gradien dari garis lurus yang melalui titik A(3,2) adalah ¾. Lukislah titik-titik pada

garis yang berjarak 5 satuan dari A.

14. Tentukan gradien suatu garis lurus yang membuat sudut 45o dengan titik (2,-1) dan

(5,3).


15. Garis p membentuk sudut 60o dengan garis s, Jika gradien p = 1, tentukan gradien

garis s.

16. Sudut yang dibentuk oleh garis l yang melalui titik A(-4,5), B(3,y) dan garis u yang

melalui titik P(-2,4), Q(9,1). Tentukan konstanta y tersebut.

Sistem Koordinat Kutub (Polar)

Pada sistem koordinat Kartesius, letak titik pada bidang dinyatakan dengan

pasangan , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y

dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang

dinyatakan dengan pasangan bilangan real , dengan r menyatakan jarak titik P ke

titik O (disebut kutub) sedangkan adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik

O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub)

Berbeda dengan sistem koordinat kartesius, dalam koordinat kutub letak suatu

titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik

dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang

memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar radian terhadap sumbu mendatar

arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik

asal O (lihat Gambar 1.2.4 (a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat

, dengan k bilangan bulat. Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat

pun juga menggambarkan titik P . Pada koordinat yang terakhir, jarak

bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar .


Secara umum, jika menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat

titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

atau dengan k bilangan bulat.

Kutub mempunyai koordinat dengan sebarang bilangan.

Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Sistem Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat dalam sistem koordinat Kartesius dan

dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula

sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat

digambarkan sebagai berikut:


3

(b)

3

(a)

Gambar 1.12

3

3

O

r

Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:

(1.1)

atau:

(1.2)

Contoh

1) Nyatakan ke dalam system koordinat Kartesius.

a. b. c.

Jawab

Dengan menggunakan persamaan (1.1):

a. .

Jadi, .

b. .

Jadi, dalam sistem koordinat Kartesius .

c. .

Jadi, .


Gambar 1.13

Apabila maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai:

(1.3)

Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena akan memberikan

2 nilai yang berbeda, . Untuk menentukan nilai yang benar perlu

diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV.

Apabila dipilih nilai yang lain, maka .

2) Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:

a. b.

Penyelesaian: Dari persamaan (1.3), diperoleh:

a.

Selanjutnya, karena letak titik P di kwadran IV, maka:

, atau

.

Jadi, atau .

b.

Selanjutnya, karena letak titik Q di kwadran II, maka:

, atau

.

Jadi, atau .

3) Nyatakan persamaan ke dalam sistem koordinat Kartesius.


Jawab

Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh:

Selanjutnya, karena dan maka:

yaitu persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari .

4) Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub.

Penyelesaian: Dengan substitusi maka diperoleh:

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 8, nyatakan masing-masing dengan dua koordinat yang lain, satu dengan

dan yang lain dengan .

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Untuk soal 9 – 16, nyatakan dalam sistem koordinat Kartesius.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

Untuk soal 17 – 23, ubahlah ke dalam sistem koordinat kutub.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23.

Untuk soal 24 – 29, nyatakan masing-masing persamaan ke dalam sistem koordinat

Kartesius.

24. 25. 26.


27. 28. 29.

Nyatakan persamaan pada soal 30 – 32 ke dalam sistem koordinat kutub.

30. 31. 32.

33. Tunjukkan bahwa jarak titik dan adalah:

1.5 Persamaan Garis Lurus

`

Gambar 1.14

Menurut definisi kemiringan (gradien), garis PQ pada gambar diatas mempunyai

kemiringan

,

Misal sebarang titik pada garis lurus PQ, maka dengan cara yang sama dapat

ditentukan gradien garis lurus PM.


Karena , maka persamaan tersbut dapat ditulis dalam bentuk

.

Dengan kata lain, persamaan garis lurus yang melalui dua titik dengan gradien m dapat

dinyatakan dengan

Atau secara umum ditulis dalam bentuk dengan gradien

Soal-soal

1) Tentukan gradien dan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik

a) (1,2) dan (2,3)

b) (3,5) dan (7,-1)

c) (3,0) dan (3,3)

d) (3,5) dan (6,5)

e) (2,-4) dan (4,9)

2) Buktikan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya (5,3), (-2,4), dan (10,8) adalah

segitiga sama sisi.

3) Tunjukkan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya (2,-4), (4,0), dan (8,2) adalah

segitiga siku-siku.

4) Tentukan nilai k sedemikian rupa sehingga garis 3x + ky = 5

a) melalui titik (3,1)

b) sejajar sumbu x

c) sejajar garis 2x + y = -1

d) tegak lurus garis y-2 = 3(x+3)

5) Carilah nilai c sedemikian sehingga persamaan cx – 3y = 10

a) sejajar garis y = 2x + 4

b) tegak lurus garis 2x – y – 4 = 0

c) tegak lurus garis 2x + 3y = 6


BAB I - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewBilangan asli tertutup terhadap...

Documents

Transcript of BAB I - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web viewBilangan asli tertutup terhadap...