BAB I BILANGAN KOMPLEKS - kukuh satrio utomo | teacher Web view2013-11-17 · ( kebalikan...

Click here to load reader

  • date post

    01-Jul-2018
  • Category

    Documents

  • view

    228
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of BAB I BILANGAN KOMPLEKS - kukuh satrio utomo | teacher Web view2013-11-17 · ( kebalikan...

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

1. Bilangan Kompleks

BILANGAN KOMPLEKS

Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompleks. Pengertian bilangan kompleks, bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan kompleks yang diuraikan dalam bab ini diharapkan dapat menjadi dasar untuk mempelajari bab-bab selanjutnya. Oleh karena itu, setelah membaca Bab I, mahasiswa diharapkan dapat

mengerti definisi bilangan kompleks.

mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan kompleks.

menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub, eksponen, pangkat dan akar.

1.1 Pengertian Bilangan Kompleks

Mengapa perlu bilangan kompleks ?

0

1

2

=

-

x

mempunyai penyelesaian dengan

x

.

0

1

2

=

+

x

EMBED Equation.3

1

2

-

=

x

tidak mempunyai penyelesaian jika

x

.

Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga

0

1

2

=

+

x

mempunyai penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu bilangan kompleks.

Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z :

merupakan pasangan berurut

(

)

y

x

,

dengan

y

x

,

.

Ditulis :

(

)

y

x

z

,

=

.

merupakan bilangan yang berbentuk

iy

x

+

dengan

y

x

,

dan

(

)

1

1

,

0

-

=

=

i

.

Ditulis :

iy

x

z

+

=

.

Jika

(

)

iy

x

y

x

z

+

=

=

,

maka

(

)

z

x

Re

=

= bagian riil z,

(

)

z

y

Im

=

= bagian imajiner z,

i

= satuan imajiner dan

1

2

-

=

i

.

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu

1.

C

= himpunan bilangan kompleks

=

{

}

1

&

,

,

2

-

=

+

=

i

y

x

iy

x

z

z

.

2. Jika

(

)

0

Re

=

z

dan

(

)

0

Im

z

maka z dinamakan bilangan imajiner murni.

3. Jika

(

)

0

Re

z

dan

(

)

0

Im

=

z

maka z merupakan bilangan riil.

4. Kesamaan bilangan kompleks.

Misalkan

1

1

1

iy

x

z

+

=

dan

2

2

2

iy

x

z

+

=

.

2

1

z

z

=

jika dan hanya jika

2

1

x

x

=

dan

2

1

y

y

=

.

Contoh 1

a.

i

z

2

10

-

=

(

)

10

Re

=

z

dan

(

)

2

Im

-

=

z

.

b.

i

z

-

=

(

)

0

Re

=

z

dan

(

)

1

Im

-

=

z

.

1.2 Bidang Kompleks

Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut

(

)

y

x

,

, sehingga secara geometri dapat disajikan sebagai titik

(

)

y

x

,

pada bidang kompleks (bidang xy), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks

(

)

y

x

iy

x

z

,

=

+

=

juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik

(

)

y

x

,

.

y (sumbu imajinair)

iy

x

y

x

z

+

=

=

)

,

(

O

x (sumbu riil)

Gambar 1. Bidang kompleks

1.3 Operasi Aljabar

Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan riil.

Operasi Aljabar pada bilangan kompleks

Misalkan

1

1

1

iy

x

z

+

=

dan

2

2

2

iy

x

z

+

=

.

a. Penjumlahan :

(

)

(

)

2

1

2

1

2

1

y

y

i

x

x

z

z

+

+

+

=

+

b. Pengurangan :

(

)

(

)

2

1

2

1

2

1

y

y

i

x

x

z

z

-

+

-

=

-

c. Perkalian :

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

y

x

y

x

i

y

y

x

x

iy

x

iy

x

z

z

+

+

-

=

+

+

=

d. Pembagian :

0

,

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

2

1

+

-

+

+

+

=

=

-

z

y

x

y

x

y

x

i

y

x

y

y

x

x

z

z

z

z

Perlu diperhatikan :

1.

z

-

( negatif z ).

Jika

iy

x

z

+

=

maka

iy

x

z

-

-

=

-

.

2.

z

z

1

1

=

-

( kebalikan z )

Jika

iy

x

z

+

=

maka

2

2

2

2

1

y

x

y

i

y

x

x

z

+

-

+

=

-

.

Sifat Operasi Aljabar

a. Hukum komutatif

1

2

2

1

z

z

z

z

+

=

+

1

2

2

1

z

z

z

z

=

b. Hukum asosiatif

(

)

(

)

3

2

1

3

2

1

z

z

z

z

z

z

+

+

=

+

+

(

)

(

)

3

2

1

3

2

1

z

z

z

z

z

z

=

c. Hukum distributif

(

)

3

1

2

1

3

2

1

z

z

z

z

z

z

z

+

=

+

d. Elemen netral dalam penjumlahan (

i

0

0

0

+

=

)

z

z

z

=

+

=

+

0

0

e. Elemen netral dalam perkalian (

i

0

1

1

+

=

)

z

z

z

=

=

.

1

1

.

1.4 Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.

Definisi modulus

(nilai mutlak)

Modulus (nilai mutlak)

iy

x

z

+

=

didefinisikan sebagai bilangan riil non negatif

2

2

y

x

+

dan ditulis sebagai

Modulus z =

z

=

2

2

y

x

+

.

Secara geometri,

z

menyatakan jarak antara titik

(

)

y

x

,

dan titik asal.

Misalkan

1

1

1

iy

x

z

+

=

dan

2

2

2

iy

x

z

+

=

. Jarak antara

1

z

dan

2

z

didefinisikan dengan

(

)