Bab 8 Topik Lanjut - teuinsuska2009.files.wordpress.com · Peserta dapat melakukan sampling sinyal...
Transcript of Bab 8 Topik Lanjut - teuinsuska2009.files.wordpress.com · Peserta dapat melakukan sampling sinyal...
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-1
Bab 7: Beberapa Topik Lanjut
1 Representasi Low Pass dari Sinyal Bandpass
Tujuan Belajar 1
Peserta dapat melakukan sampling sinyal bandpass secara effisien, melalui teknik LP representation dari sinyal BP.
Motivasi : Misalkan x(t) adalah band-pass signal, maka dapat dibentuk representasi matematis sebagai berikut : )()(2)( FXFVFX =+ dimana V(F) adalah unit step function X(F) adalah transformasi Fourier dari x(t) maka
∫∞
∞−++ = dFeFXtx Ftj π2)()(
[ ] [ ])(*)(2)( 11 FXFFVFtx −−
+ = yaitu analytic or preenvelope of x(t) karena
[ ] )()(1 txFXF =− dan [ ]tj
tFVFπ
δ +=− )()(21
maka
)(*)()( txtj
ttx
+=+ πδ
Analog
A/D
x(n) BPF
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-2
)(ˆ)()(*1
)( txjtxtxt
jtx +=+=π
bila ∫∞
∞− −=≡ τ
ττ
ππd
tx
txt
tx)(1
)(*1
)(ˆ
∫∞
∞−
−= dtethFH Ftj π2)()(
<=>−
== ∫∞
∞−
−
0000
11 2
FjFFj
dtet
Ftj π
π
1)( =FH
<
>−=
021
021
)(F
FF
π
πθ
terjadi beda fasa sebesar 90o untuk semua frekuensi Representasi lowpass dari x+(t) dapat dinyatakan sebagai :
1. )()( cl FFXFX ++≡
tFjl
cetxtx π2)()( −+=
[ ] tFj cetxjtx π2)(ˆ)( −+= atau tFj
ecetxtxjtx π2)()(ˆ)( =+
)()()( tjututex sc += → complex tFtutFtutx cscc ππ 2sin)(2cos)()( −= tFtutFtutx cscc ππ 2cos)(2sin)()(ˆ += Komponen frekuensi rendah uc(t) dan us(t) dapat dilihat sebagai amplitude modulations dengan sinyal carrier masing-masing adalaah cos2πFct dan sin2πFct. Karena komponen carrier ini dalam fasa quadrature maka uc(t) dan us(t) disebut quadrature components dari bandpass signal x(t)
2. [ ]{ }tFjsc
cetjututx π2)()(Re)( +=
{ }tFje
cetx π)(Re= xe(t) ⇒ complex envelope of x(t) ⇒ equivalent lowpass signal 3. )()()( tj
e etatx θ=
dimana )()()( 22 tututa sc += dan )()(
tan)( 1
tutu
tc
s−=θ
( )tx̂ h(t) ( )tx
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-3
maka [ ]tFje
cetxtx π2)(Re)( = [ ][ ])(2)(Re ttFj ceta θπ += [ ])(2cos)( ttFta c θπ += a(t) adalah envelope x(t) dan θ(t) adalah sudut fasa dari x(t) Hubungan antara spektrum bandpass signal dan representasi lowpass dari BPS.
[ ]{ }
( )
[ ]
[ ])()(21
e)((t)ex21
)(
21
)Re(
)(Re
)()(
*
Ftdtj2-
-
2*tFj2e
*
22
2
c
cece
tFje
FtjtFje
Ftj
FFXFFX
etxFX
dteetx
dtetxFX
c
c
−−+−=
+=⇒
+=
=
=
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
ππ
ππ
π
ξξξ
Spectrum dari X(F) dapat diperoleh dari XL(F) dengan frekuensi translasi. Sampling BPS. Nyquist → 2B2 samples/sec
→ geser 2
21 BBFc
+=
⇒ sampling terhadap low pass ⇒ shifting ⇒ tFjtFxe cc
tFj c πππ 2sin2cos2 += ⇒ lowpass filter to remove signals at 2Fc
→ Bandwidth ⇒ 22
12 BBB −≡ ⇒ Nyquist B samples/sec
⇒ terdapat 2B samples/sec
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-4
Sampling x(t) at comparable rates Let upper frequency = Fc + B/2 = kB ↓ positive integer bila x(t) → sample at 2B = 1/T sample/sec
2)12(
sin)(2
)12(cos)(
2sin)(2cos)()(
−−
−=
−=kn
nTUkn
nTU
nTFnTUnTFnTUnTx
sc
cscc
ππππ
karena 2B
kBFc −= dan B
T21
=
⇒ n genap = 2m
)((-1)
)12(cos)()()2(
1m
11
mTu
kmmTumTxmTx
c
c
=
−=≡ π
⇒ n ganjil = 2m - 1
( )122
)2( 11
11 −
−=
−≡−
TmTu
TmTxTmTx s
• Jadi even-numbered samples of x(t) yang muncul dengan rate B samples/sec, menghasilkan samples dari LPF uc(t)
• Odd-numbered samples of x(t) (juga dengan B samples per second) menghasilkan us(t)
Rekonstruksi xe(t) dari uc(mT1)
Us(mT1-T1/2) Let T1 = 1/B
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-5
( )
( )
∑
∑
∞
∞−
∞
∞−
+−
+−
−=
−
−
=⇒
2
2sin
)2
()(
sin)()(
11
1
11
111
11
11
1
TmTt
T
TmTt
TTmTutu
mTtT
mTtT
mTutu
ss
cc
π
π
π
π
karena tFtutFtutx cscc ππ 2sin)(2cos)()( −=
maka
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )( )
( )
∑∞
−∞=
+
+−
+−
−−+
+−
−
−
=m
cm
cm
tFTmTt
T
TmTtTTMx
tFmTtT
mTtTmTx
tx
ππ
π
ππ
π
2sin2
2
22
sin121
2cos22/
22
sin21
)(
1
tetapi ( ) ( )mTtFtF ccm 22cos2cos1 −=− ππ
dan ( ) ( )TmTtFtF cckm +−=− + 22cos2sin1 ππ
( )( )
( )( )∑
∞
−∞=
−−
−
=⇒m
c mTtFmTt
T
mTtTmTxtx π
π
π
2cos
2
2sin
)(
T = 1/2Bs Secara Umum :
2B
Fc ≥
+=
B
BF
rc 2
B → B1 ⇒ rB
BFc
=+
12
22
11 BB
FF cc−+=⇒
1.2
offcut BrB
Fc =+=
B
B'
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-6
( )
( )( )∑
∞
−∞=
−
−
+
−
+
+=⇒n
c mTtFmTt
mTtnxtx 11
1
1
2cos1
2
12
sin)1()( π
π
π
⇒ x(t) can be represented by samples taken by
[ ]11
1
1
dan 212r
mana di s/s, 21
rrBF
B
BF
rr
BT
cc
=+=+
=
=
Jadi bila rBB
Fc not is 2
+ , sampling rate musti naik by rr1
Tetapi begitu Fc/B naik, rr1
→ 1 % increase tends to φ of sampling
rate Ctt.
( ) ( )( )
( )∑
∞
−∞= −
−
−=n
nc
nTtT
nTtTnTxtu
11
11
1
22
22
sin21)(
π
π
dan ( ) ( )( )
( )∑
∞
−∞=
++
+−
+−
−−=n
rns
TnTtT
TnTtTTnTxtu
111
111
111
22
22
sin21)(
π
π
r = [r1] ⇒ 2B ≤ Fs < 4B ↓ ↓ bila r = 1 r1 ≈ 2 (worst condition) bila Fc+B/2 = rB
2 Pemrosesan Sinyal Analog Secara Digital
Tujuan Belajar 2
Peserta dapat melakukan pemrosesan sinyal waktu kontinu di domain waktu diskrit.
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-7
Gambar diatas adalah konfigurasi umum pemroses digital dari sinyal analog. Pertama-tama yang perlu diperhatikan adalah besarnya bandwidth dari sinyal yang akan diproses, karena besarnya bandwidth menentukan sampling rate minimum.
Prefilter, adalah sebuah antialiasing filter yaitu filter analog dengan dua fungsi. Pertama, memastikan bahwa bandwidth dari sinyal yang akan disampling terbatas pada frekuensi yang telah ditentukan, jadi semua komponen frekuensi diatas Fs/2 diredam agar distorsi sinyal akibat aliasing dapat dihilangkan. Fungsi kedua antialiasing filter adalah untuk membatasi spektrum noise dan interferensi lainnya.
Setelah menentukan prefilter dan memilih sampling rate yang dikehendaki, selanjutnya adalah merancang algoritma pemrosesan sinyal. Pemilihan sampling rate Fs = 1/T, dimana T adalah interval sampling, tidak sekedar menentukan frekuensi tertinggi yang akan diproses tetapi juga sebagai faktor skala yang berpengaruh pada spesifikasi filter digital dan sistem waktu diskrit yang diproses.
Contoh :
Terdapat sinyal analog dengan bandwidth 3000 Hz dan disampling pada 8000 Hz, hendak dirancang sebuah differensiator. Dalam hal ini, Fs = 8000 Hz mempunyai folding frequency 4000 Hz, yang dalam sistem waktu diskrit sesuai dengan ω = π. Jadi bandwidth sinyal 3000 Hz sesuai dengan frekuensi ωc = 0.75π. Jadi, differensiator yang dirancang akan mempunyai passband pada 0 ≤ |ω| ≤ 0.75π.
3 Multirate Signal Processing
Tujuan Belajar 3
Peserta dapat menjelaskan motivasi, definisi dan untung-rugi teknik multirate DSP, termasuk konversi sampling rate.
Sampling rate conversion dapat dilihat sebagai sebuah proses linear filtering
Tujuannya adalah untuk merubah frekuensi sampling
Integers Prime Relatively →=DI
F
F
x
y
Sampling rate conversion dapat dianggapa sebagai proses digital resampling dari sinyal analog yang sama.
Fy=1/Ty h(n,m)
y(n) x(n) Linear Filter
Fx=1/Tx
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-8
y(m) adalah versi x(n) dengan waktu tergeser. Realisasi dapat dilakukan dengan menggunakan linear filter dengan
- flat magnitude response - linear phase response
ije ωτ−⇒ ↓ time delay
⇒ delay τi berbeda dari sample ke sample ⇒ gunakan sejumlah e-jωτI untuk semua τI
Sampling rate convesion dapat berupa desimasi (down sampling) dengan faktor D atau interpolasi (up sampling) dengan faktor I.
Tujuan Belajar 4
Peserta mengerti proses desimasi dengan faktor D, beserta karakteristik di domain frekuensi
Misal x(n) dengan spektrum X(ω) ingin dilakukan down-sampling dengan faktor D X(ω) non zero 0 ≤ |ω| ≤ ω |F| ≤ Fx/2
Bila x(n) langsung disubsampling maka terjadi aliasing. Jadi x(t) difilter dulu agar bandwitdth menjadi Fmax= Fx/2D atau ωmax= π/D Karena HD(ω) menghapus π/D < ω < π maka signal yang dikehendaki tidak boleh ada di daerah yang dihapus tersebut Keluaran dari filter, v(n) adalah
∑∞
=
−=0
)()()(k
knxkhnv
Down-sampling dengan faktor D
∑
∞
=
=
=
0
)()(
k
)h(k)x(mD-k
mDVmy
→ time variant system] x(n) → y(m) x(n-no) → y(n-no) kecuali bila no = kD Karakteristik frekuensi :
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-9
Misalkan ±±=
=otherwise 0
D2 D, 0, n )()(ˆ nV
nV
maka
D periodadengan p(n)
impulses of train periodic
)()()(ˆ
↑
×= npnvnv
SeriesFourier 1
)(1
0
/2 ←= ∑−
=
D
k
DknjeD
np π
Jadi )()()(ˆ npnvnv = dan )()()()()( mDvmDpmDvmDvmy ===
∑
∑ ∑∞
−∞=
−
∞
−∞=
∞
−∞=
−−
=
==
m
Dm
m m
mm
zmvzY
zmDvzmyzY
/)(ˆ)(
)(ˆ)()(
karena 0)(ˆ =mV kecuali pada kD
maka ∑ ∑∞
−∞=
−−
=
=
m
DmD
k
Dmkj zeD
mvzY /1
0
/21)()( π
( )
( )
( ) ( )∑
∑
∑ ∑
−
=
−−
−
=
−
−
=
∞
−∞=
−
=
=
=
1
0
/1/2/1/2
1
0
/1/2
1
0
/1/2
D1
D1
)(1
)(
D
k
DDkjDDkjD
D
k
DDkj
D
k m
DDkj
zeXzeH
zeV
zemvD
zY
ππ
π
π
karena V(z) = HD(z)X(z) pada z = ejω maka yy
y FTF
Fπ
πω 2
2==
xyx
y DDF
F ωω =→= karena xx
x FTF
Fπ
πω 2
2==
down sampling Dxπ
ω ≤≤⇒ 0 ditarik ke πω ≤≤ y0
Jadi ( )
−
−= ∑
−
= D
kX
D
kH
DyY y
D
k
yD
πωπωω
221 1
0
Bila HD didesain dengan baik, tidak terjadi aliasing
( )
=
=
DX
DDX
DH
DyY yyy
D
ωωωω
11
D=3
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-10
0 ≤ |ωy| ≤ π
Tujuan Belajar 5
Peserta mengerti proses interpolasi dengan faktor I, beserta karakteristik di domain frekuensi
Interpolasi adalah mengisi mengisi I-1 sample diantara sample dengan nilai 0.
( ) ( ) ±±=
=otherwise 0
,...2,,0 / IImImxmv
rate v(m) = rate y(m)
( ) ( )
( ) ( )ImI
m
m
m
zXzmv
zmvzV
==
=
−∞
−∞=
−∞
−∞=
∑
∑
( ) ( )
IIFF
FF
IXV
xyxy
y
yy
ωω
πω
ωω
=→=⇒
=
=⇒
/2 ,F terhadaprelatif yy
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-11
( )
≤≤=
otherwise 0
I
0 )(π
ωωω yyy
ICXY
C dipilih agar y(m) = X(m/I) untuk m = 0, ±1, ±2, ±… Pada m = 0
∫∫−−
==I
Iyyyy dIX
CdYy
/
/
)(2
)(21
)0(π
π
π
π
ωωπ
ωωπ
karena ωy = ωx/I,
( ) ( )
IC
oxIC
dXIC
oy xx
=⇒
== ∫−
)(21
)(π
π
ωωπ
Akhirnya,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=
−=
=
k
k
kxkImh
kvkmhmy
nhnVmy
)(
*)(
karena v(k) = 0, kecuali k = nI
Tujuan Belajar 6
Peserta dapat melakukan konversi sampling rate dengan faktor rasional I/D
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
VIII-12
( ) ( ) ≤≤
=otherwise 0
/,/min0 IDIH v
ππωω dimana
IIFF x
xv
ωππω ===
2F
F2
v
( )
±±=
=otherwise 0
,...2,,0 IIlIl
xlV
ω(l) v(k) y(m) x(n) ↑ I h(e) ↓ D