Bab 5 sistem kerangka non inersia
-
Upload
syari-el-nahly -
Category
Documents
-
view
2.345 -
download
30
Transcript of Bab 5 sistem kerangka non inersia
SISTEM KERANGKA NON INERSIAMekanika II
Selama ini, gerak suatu partikel seringkali ditentukan dengan asumsi bahwa sistem kerangka bersifat tetap (sistem koordinat inersia).
Padahal, perlu dipahami bahwa sebenarnya bumi yang kita tempati bergerak, baik translasi dipercepat maupun berotasi (sistem koordinat non-inersia).
PENGANTAR
Pembahasan masalah ini diperlukan agar gerak suatu benda pada sistem koordinat non-inersia dapat diperkirakan dan dijelaskan dengan lebih akurat, misalnya bagaimana gerak roket yang diluncurkan ke angkasa dan arah gerakan angin di sekitar khatulistiwa.
Sistem kerangka non-inersia adalah sistem kerangka yang bergerak relatif terhadap sistem kerangka yang lain
Sistem kerangka non-inersia terdiri atas:1. sistem koordinat bertranslasi, 2. sistem koordinat berotasi, dan 3. sistem koordinat yang bertranslasi dan berotasi.
SISTEM KERANGKA NON-INERSIA
x
y
z
Oz’
x’
y’
O’
P
r
r’
R0
Sistem koordinat yang bergerak translasi relatif (O’x’y’z’) terhadap sistem koordinat inersia (Oxyz)
SISTEM KOORDINAT TRANSLASI
r = ...R0 = ...r’ = ...
Hubungan vektor posisir = R0 + r’
Hubungan vektor kecepatanv = V0 + v’
Hubungan vektor percepatana = A0 + a’
Perhatikan!a = A0 + a’ Apa yang terjadi jika A0 = 0 ?
SISTEM KOORDINAT TRANSLASI
Percepatan di kedua sistem koordinat menjadi sama (a = a’).Konsekuensinya, jika sistem utama adalah inersia, maka hukum II Newton F = ma menjadi F’ = ma’ (untuk sistem yang bergerak), sehingga sistem yang bergerak juga merupakan sistem inersia.
Kesimpulan: Hukum II Newton pada suatu sistem juga akan valid pada sistem lain yang bergerak dengan kecepatan seragam relatif terhadap yang pertama. Ini sesuai dengan prinsip relativitas Newton, di mana tidak ada kerangka acuan yang khas. Semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan relatif yang tetap adalah ekivalen.
Jika sistem bergerak dipercepat (a = A0 + a’).Apa yang terjadi?
SISTEM KOORDINAT TRANSLASI
Hukum II Newton F = ma F = m(A0 + a’) F = mA0 + ma’
F – mA0 = ma’F’ = ma’ di mana F’ = F + (– mA0 )
gaya nyata
gaya non-inersia (gaya khayal)
SISTEM KOORDINAT TRANSLASI
A0
x’
y’
y
x
Pengamat non-inersia
Pengamat inersia
y’
x’
T
mg
F’x
Pengamat non-inersia
y’Pengamat
inersia
T
mg
A0
x
SISTEM KOORDINAT TRANSLASI
0'' aF m
0'sin xFT 0cos mgT
tan' mgFx
Menurut pengamat non-inersia,
Pengamat non-inersia
y’
x’
T
mg
F’x
SISTEM KOORDINAT TRANSLASI
aF mi
0
0
sin
)'(sin
mAT
aAmT
0cos mgT
tan0 gA
Menurut pengamat inersia,
Ia menyimpulkan bahwa penyimpangan tersebut akibat percepatan mobil pada arah mendatar dan karenanya gaya mendatar diperlukan untuk mempercepat pendulum.
Pengamat inersia
T
mg
A0
x
x
y
z
O
z’
x’y’
P
r =
r’Dua buah sistem koordinat yang bertumpukan yakni Oxyz dan O’x’y’z’
SISTEM KOORDINAT ROTASI
r = r’ix + jy + kz = i’x’ + j’y’ + k’z’
Jika koordinat O’x’y’z’ berubah terhadap waktu, maka i’, j’, dan k’ juga berubah
dt
dz'
dt
dy'
dt
dx'
dt
dz'
dt
dy'
dt
dx'
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
dz
dt
dy
dt
dx
k'j'i'v'v
k'j'i'k'j'i'kji
'''
Kecepatan partikel thd sistem tetap
Kecepatan partikel thd
sistem rotasi
Kecepatan sistem rotasi terhadap
sistem tetap
O’
Lalu, berapakah kecepatan sistem rotasi terhadap sistem tetap?
SISTEM KOORDINAT ROTASI
y’
z’
x’
O’
k’
j’
i’
n
Sistem koordinat O’x’y’z’ berotasi terhadap arah sumbu n dengan kecepatan sudut .(Vektor kecepatan sudut = n)
Perhatikan perubahan vektor satuan i’ akibat dari .
SISTEM KOORDINAT ROTASI
Sistem koordinat O’x’y’z’ berotasi terhadap arah sumbu n dengan kecepatan sudut .(Vektor kecepatan sudut = n)
i’
i’O’
i’ (sin )
Dari gambar di samping diperoleh,
sinsinlim
sin
0
dt
d
tdt
dt
i'i'
i'
Karena i’ dan i’, maka
i'ωi'
dt
d
Begitu pula k'ωk'
j'ωj'
dt
d,
dt
d
Jadi, kecepatan sistem rotasi terhadap sistem tetap adalah
SISTEM KOORDINAT ROTASI
r'ω
k'j'i'ω
k'ωj'ωi'ωk'j'i'
z'y'x'
zyxdt
dz'
dt
dy'
dt
dx' '''
r'ωv'v
Sehingga kecepatan partikel dalam koordinat sistem tetap akibat rotasi koordinat non inersia adalah
atau secara eksplisit
r'ωr'ωr'r
rotasirotasitetap dt
d
dt
d
dt
d
SISTEM KOORDINAT ROTASI
Sementara itu, untuk vektor kecapatan v, maka
'''
'
'''
'''
rωωvωr
ωrωv'
rωωvωrωv'
rωvωrωv'
vωvv
rotasirotasirotasi
rotasirotasi
rotasi
rotasitetap
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d'rωv'v di mana
''2' rωωvωrωa'a
ωω/ωωω/ω/ rotasirotasitetap dtddtddtdKarena
Percepatan Coriolis
Percepatan sentripetal
Percepatan transversal
Kecepatan dan percepatan partikel pada sistem koordinat yang bertranslasi dan berotasi adalah,
SISTEM KOORDINAT TRANSLASI & ROTASI
y
z’
x
O’
k
j
i
y’
z’
x’
O’
k’
j’
i’
P
''2'
'
0
0
rωωvωrωa'Aa
rωv'Vv
Percepatan Coriolis
Percepatan sentripetal
Percepatan transversal
Persamaan gerak partikel dalam kerangka inersia
DINAMIKA PARTIKEL DALAMSISTEM KOORDINAT ROTASI
a'F'
a'rωωvωrωAF
rωωvωrωa'AF
aF
m
mmmmm
m
m
''2'
''2'
0
0
''2
'
rωωF
vωF
rωF
m
m
m
lSentrifuga
Coriolis
trans
0AF'F'F'FF' mlsentrfiugaCortransfisik
Sehingga
di manaO
x’
y’
FSentrifugal
FC
oriolis
Ftrans
r’
0
Gaya Transversal (Ftrans) muncul jika sistem koordinat rotasi mengalami percepatan anguler. Ftrans r’ pada sistem koordinat rotasi.
Gaya Coriolis (FCoriolis) hanya muncul pada sistem koordinat rotasi. FCoriolis v’ pada sistem koordinat rotasi. Gaya ini membelokkan partikel ke kanan dari arah geraknya. Gaya ini juga disebut dengan gaya “Merry go round”.
Gaya Sentrifugal (FSentrifugal) berarah ke luar dari sumbu rotasi dan tegak lurus terhadap sumbu tersebut.
DINAMIKA PARTIKEL DALAMSISTEM KOORDINAT ROTASI
A. Efek Statis. Bandul Diam
AKIBAT ROTASI BUMI
z’y’
z
re mg0
mA0
T
re = jari-jari bumi = sudut lintang = re cos
O
O’
Bandul diam, sehingga a’ = 0 r’ = 0 Fsentrifugal = 0 = 0 Ftrans = 0 v’ = 0 Fcoriolis = 0
ω
0
0
AFF'
AF'F'F'FF'
m
m
fisik
lsentrfiugaCortransfisik
00 AF mfisikSehingga
AKIBAT ROTASI BUMI
0)(
0
00
0
AgT
AF
mm
mfisikmg0
mA0
T
00
00
Agg
gAg
mmm
mg0
mA0
mg
Arah –mA0 ke luar menjauhi sumbu rotasi bumi
cos220 ermmm A mgrm e
sin
cos
sin2
2sin2
sincossin
2
2
g
r
g
r
e
e
AKIBAT ROTASI BUMI
Jadi besarnya sudut penyimpangan bandul diam adalah
2sin
2
2
g
re
Berapa besar sudut penyimpangan di equator, di kutub, dan di tempat lain?
Apakah besar gaya gravitasi di semua permukaan bumi sama?
Apa pengaruh rotasi bumi bagi material di permukaan bumi?
B. Efek Dinamis. Gerak Peluru
AKIBAT ROTASI BUMI
'rrωωrωgF
'rrωωrωAgF
a'rωωvωAgF
0
0
mmmm
mmmmm
mmmmm
''2
''2
''2
0
0
Pada kasus gerak partikel, asumsi tidak ada gaya gesek (F = 0). sangat kecil dibanding gaya lainnya diabakan, sehingga 'rωω m
'rrωg mmm '2
Gaya gravitasi
Gaya Coriolis
Bagaimana menyelesaikan persamaan ini?
AKIBAT ROTASI BUMI
sin,cos,0 '''
zyx
gk'g
cos'0
sin'0
sin'cos'
'''
'
x
x
yz
zyxz'y'x'
ωk'
ωj'
ωωi'
k'j'i'
rω
x’
y’
z’
ekuator
AKIBAT ROTASI BUMI
cos'2'
sin'2'
sin'cos'2'
xgz
xy
yzx
Besarnya percepatan peluru pada masing-masing komponen:
'cos'2'
'sin'2'
'sin'cos'2'
0
0
0
zxgtz
yxy
xyzx
Integral thd t
Disubstitusikan
sin'cos'2cos2' 00 yzgtx
'sin'cos'2cos' 0002 xyztgtx
000023 'sin'cos'cos
3
1)(' xtxyztgttx
AKIBAT ROTASI BUMI
Dengan pola yang sama akan diperoleh nilai y’ dan z’, sehingga
2
000
2000
320000
2
1cos''')('
sin''')('
cos3
1sin'cos'')('
tgxtzztz
txtyyty
tgtyztxxtx
PENDULUM FOUCAULT
PENDULUM FOUCAULT
Berada di suatu bangunan yang disebut Panthéon, di Perancis.
Pendulum ini bebentuk logam keemasan dan menggantung dengan kawat tipis yang tak mudah tampak. Panjang kawat mencapai 67m. Kelembaman membuat bola ini bergerak secara tetap, tak terpengaruh putaran bumi. Namun karena bumi berotasi, bola seolah bergerak berlawanan dengan arah putaran bumi.
Pendulum Foucault menjadi bukti bahwa bumi berotasi.
PENDULUM FOUCAULT
PENDULUM FOUCAULT
Pendulum sferis (Foucault) adalah pendulum yang bergerak bebas ke segala arah.Sebagaimana persamaan pada pendulum diam, maka persamaan pada pendulum foucault dinyatakan
''2
'
rωωvωr'ωSg'r
FFFFF
mmmmm
lSentrifugaCorTransfisik
y’
y
xx’
O
l
m
Cz, z’
mg
S
DiabaikanDiabaikan
'2
'2
rωSg'r
vωSg'r
mmm
mmm
PENDULUM FOUCAULT
Untuk menemukan nilai , perhatikan gambar pendulum, di mana
sehingga
'2 rω m
,sin,cos,0 ''' ωωωωω zyx
cos'sin'sin'cos'
'''
sincos0
'''
' '''
xxyz
zyxzyxzyx
kji
kjikji
rω
PENDULUM FOUCAULT
Gaya tegang tali S dapat dijabarkan menjadi komponen x’, y’, dan z’. Karena diasumsikan sudut ayunan sangat kecil, maka komponen-komponen S adalah
lzllylx /'/'/'
lyS
lxS
y
x
/'
/'
'
'
Sehingga
Jika nilai-nilai di atas disubstitusikan ke persamaan gerak pendulum Foucault, maka
sin'cos'2'
yzmωSl
x'xm
sin'2'
xmωSl
y'ym
PENDULUM FOUCAULT
Pada kasus di mana amplitudo osilasi pendulum kecil, maka menyebabkan S hampir konstan dan besarnya sama dengan mg. Dalam kasus ini juga diabaikan jika dibandingkan dengan .Sehingga
'z
''2'
sin'2'
sin'2'
yωxl
g'x
yωxl
g'x
ymωmgl
x'xm
'2' xωyl
g'y
'y
di mana 'sin' z
Dengan cara yang sama, diperoleh
komponen vertikal kecepatan sudut bumi
PENDULUM FOUCAULT
Dengan melihat kembali hubungan koordinat Oxyz dan Ox’y’z’ diperoleh transformasi koordinat
tytxy
tytxx
'cos'sin'
'sin'cos'
0'sin'cos
ty
l
gytx
l
gx
Solusinya
Substitusi transformasi ini dan turunnya ke persamaan diferensial gerak menghasilkan
00 yl
gyx
l
gx
PENDULUM FOUCAULT
Pembelokan rotasi di belahan bumi bagian utara searah jarum jam, sedangkan di belahan bagian selatan berlawanan arah jarum jam.
Jika pendulum berada di lintang 45 derajat, maka periode yang dibutuhkan adalah 33,94 jam.
Bagaiman jika pendulum berada tepat di khatulistiwa dan bagaimana pula jika di kutub?
sin/24sin/2'/2 TPeriode pendulum Foucault adalah jam
Terima kasih