1sin

lim.10

=→ x

x

x

1coslim.20

=→

xx

1tan

lim.30

=→ x

x

x

Contoh

Hitung θ

θ

θ→0

sin5lim

tan3!

2

θ θ→0 tan3Jawab

θ θ

θ θ θ

θ θ θθ

θ θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

→ →

→ → →

=

=

0 0

0 0 0

sin5 sin5 3 1lim lim 5

tan3 5 tan3 3

sin5 3 5 lim lim lim

5 tan3 3

untuk 0θ → berakibat 3 0θ → dan θ →5 0 , sehingga:

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ→ → → →

=

= =

0 5 0 3 0 0

sin5 sin5 3 5lim lim lim lim

tan3 5 tan3 3

5 5 1.1.

3 3

Hitunglah limit berikut ini!

→0

sin21. lim

3x

x

x

5x

→0

sin43. lim

tan3x

x

x

tan2x

→0

52. lim

tan2x

x

x →0

tan24. lim

sin6x

x

x

atasarahdari0)(dan0jika,)( →>∞+ xgLi

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal =≠=→→

xgLxfaxax

=→ )(

)(lim

xg

xf

ax

bawaharahdari0)(dan0jika,)( →>∞− xgLii

4

bawaharahdari0)(dan0jika,)( →>∞− xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( →<∞+ xgLiii

atasarahdari0)(dan0jika,)( →<∞− xgLiv

Ctt : g(x) � 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)

positif.

g(x) � 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)

negatif.

Hitunglah limit berikut ini!

a. 2

4lim

2x x−→ −

b. 2

4lim

2x x+→ −

2

4 4lim

2 0x x− −→

⇒ = = −∞−

2

4 4lim

2 0x x+ +→⇒ = =∞

−

4 4

5

c. 2

4lim

2x x−→ −

d. 2

4lim

2x x+→ −

e. 23

3lim

6x

x

x x−→ + −

f. 23

3lim

6x

x

x x+→ + −

2

4 4lim

2 0x x− +→

⇒ = =∞−

2

4 4lim

2 0x x+ −→

⇒ = = −∞−

23 3

3 3 9 9lim lim

( 3)( 2) 0 (5) 06x x

x x

x xx x− − − −→ →

⇒ = = = = −∞− +− −

23 3

3 3 9 9lim lim

( 3)( 2) 0 (5) 06x x

x x

x xx x+ + + +→ →

⇒ = = = = ∞− +− −

Hitunglah limit berikut ini!

−→− +2

41. lim

2x x

42. lim

−→

−

−4

45. lim

4x x

−26. lim

x+→− +2

42. lim

2x x

+→− +3

33. lim

2 6x

x

x

−→− +3

34. lim

2 6x

x

x

+→

−

−4

26. lim

4x

x

x

+→−

−

+3

47. lim

2 6x

x

x

−→−

−

+3

48. lim

2 6x

x

x

a.

L

x

lim ( )xf x L

→∞= jika ( )f x terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah

positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka ( )f x

mendekati L.

7

x

lim ( )x

f x L→−∞

= jika ( )f x terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah

negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka ( )f x

mendekati L.

b.

L

x

Hitunglah limit berikut ini!

a. 4

lim2x x→∞ −

b. 6 1

lim2 10x

x

x→∞

+

+

c. 4

limx

d. 26

limx−

8

c. 2

lim2 2x x x→∞ − +

d. 2

lim2 3x x x→∞ +

e.3

2lim

3x

x

x→∞ +

a. 4 4

lim 02x x→∞= =

− ∞

b. 6 1

lim (tak tentu)2 10x

x

x→∞

+ ∞=

+ ∞.

Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:

16 6 0lim 3

10 2 02x

x

x→∞

+ += =

++

c. 2

4lim (tak tentu)

2 2x

x

x x→∞

∞=∞− +

Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari

pembilang dan penyebutnya, yaitu 2x sehingga diperoleh:

22

44 0lim lim 0

2 2 1 0 02 2 1x x

x x

x x x x→∞ →∞

= = =− +− + − +

d. 2

2

6lim (bentuk tak tentu)

2 3x

x

x x→∞

− ∞=∞+

Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari

pembilang dan penyebutnya, yaitu 2x sehingga diperoleh: 26 6 6

lim lim 3x− − −

= = = −

10

2lim lim 3

3 2 02 3 2x xx x x→∞ →∞

= = = −++ +

e. 3

2lim (tak tentu)

3x

x

x→∞

∞=∞+

3

23

1 1lim lim

31 0 03x x

x

x x x→∞ →∞

= = = ∞++ +

Hitunglah limit berikut ini!

→∞

−

−

51. lim

6 2x x

+12 6x

→∞

− +

−

2

2

2 54. lim

2 5x

x x

x

+ − 25 2 4x x

→∞

− +

−

2

3

2 57. lim

2 5x

x x

x

+ −2 35 2 4x x

→∞

+

− −

12 62. lim

6 2x

x

x

→∞

− +

−

2 2 53. lim

2 5x

x x

x

→∞

+ −

−

2

2

5 2 45. lim

2 5x

x x

x

→∞

+ −

−

25 2 46. lim

2 5x

x x

x

→∞

+ −

−

2 3

2

5 2 48. lim

2 5x

x x

x

→∞

− +

− − +

3 2

3 2

4 2 39. lim

2 5 3x

x x x

x x

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

ada)(lim xfax→

(i) f(a) ada

(ii)

12

ax→

)()(lim afxfax

=→

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas

tidak dipenuhi maka f dikatakan

tidak kontinu di x=a

º

f ( )f a tidak ada

a ( )f x tidak kontinu di x a=

lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak adax ax a x a

f x f x f x− + →→ →

≠ ⇒ f

a ( )f x tidak kontinu di x a=

f 1. ( ) ada

2. lim ( ) ada

3. lim ( ) ( )x a

x a

f a

f x

f x f a→

→≠

a

( )f x tidak kontinu di x a=

f

º

1. ( ) ada

2. lim ( ) ada

3. lim ( ) ( )x a

x a

f a

f x

f x f a→

→=

a

( )f x kontinu di x a=

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan

alasannya

2

4)(

2

−

−=x

xxf

=

≠−

−=

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

≥−

<+=

2,1

2,1)(

2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)f(x) tidak kontinu

17

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)f(x) tidak kontinu

di x=2

b. f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2=+=

−

+−=

−

−→→→x

x

xx

x

x

xxx

)2()(lim2

fxfx

≠→

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak

kontinu di x=2

c. 312)2( 2 =−=f

31lim)(lim22

=+=−− →→xxf

xx

31lim)(lim 2 =−= xxf

3)(lim2

=→

xfx

1

2

31lim)(lim 2

22=−=

++ →→xxf

xx

)2()(lim2

fxfx

=→

Karena semua syarat dipenuhi � f(x) kontinu di x=2

3

Tentukan apakah ( )f x kontinu di = =1 dan 3x x jika diketahui:

+ ≤

= < ≤

− >2

3 2 , 1

( ) 5, 1 3

3 1, 3

x x

f x x

x x

1

19

− >

23 1, 3x x

2 Diketahui fungsi

− ≤

− += < ≤

− − >

2

2

2 6 , 1

4 3( ) ,1 3

1

9 , 3

x x

x xg x x

x

x x

.

Selidiki apakah ( )g x kontinu di

a. 1x = b. 3x =

Soal Latihan Pilihan Ganda

Bab : Limit – 2 & Kekontinuan

1. Nilai dari 0

sin 4lim

2→x

x

x= ….

a. -1

b. 0

c. ∞

d. -2

e. 2

2. Nilai dari 8

limx

= ….

20

2. Nilai dari 0

8lim

tan 4→x

x

x= ….

a. -1

b. 0

c. ½

d. -2

e. 2

3. Nilai dari 0

sin 3lim

tan 6→x

x

x= ….

a. -1

b. 0

c. ½

d. -2

e. 2

4. Nilai dari 1

3lim

1+→ −x x= ….

a. -1

b. 0

c. ∞

d. -∞

e. tidak ada

5. Nilai dari 2

5lim

2−→−

−

+x

x

x= ….

2 2→− +x xa. -1

b. ∞ c. -∞

d. 0

e. tidak ada

6. Nilai dari 2

4lim

2+→

−

−x x= ….

a. -∞

b. 0

c. -1

d. ∞ e. tidak ada

7. Nilai dari 2

2

3 4lim

2 1→∞

− −

− −x

x x

x= ….

a. 1

2

b. 5

2

c. 1

2−

d. 5

2−

e. 0

8. Nilai dari 2

3lim

6→−∞

−

+ −x

x

x x= ….

a. 1

30

b. 1

11

c. 0

d. 1

30−

e. 1

20

b. 11

9. Nilai 2

2

4lim ....

4 2 5→∞

−=

− − +x

x

x x

a. 1

4−

b. 1

6−

c. 1

4

d. 1

6−

e. 0

10. Nilai dari 3 2

21

2 3 1lim ....

2→

− +=

−x

x x

x

a. 1

4−

b. 1

6−

d. 3

2−

e. ∞

6c. 1

11. Jika 2

1, 2( )

1, 2

+ <=

− ≥

x xf x

x xmaka pernyataan berikut yang benar, kecuali ….

a. (2) 3=f

b. 2

lim ( ) 3−→

=x

f x

c. 2

lim ( ) 5+→

=x

f x

d. 2

(2) lim ( )→

=x

f f x

e. ( )f x kontinu di 2=x

12. Jika

, 11

( ) ,-1 1

1 , 1

≤ − +

= < ≤ − >

xx

x

f x x x

x x

maka pernyataan berikut yang benar adalah

….

a. ( )f x kontinu di 1= −x

b. ( )f x kontinu di 1=x

c. ( )f x tidak kontinu di 1=x

d. ( )f x kontinu di 1=x dan 1= −x

e. Tidak ada jawaban yang benar e. Tidak ada jawaban yang benar

13. Jika

2

3 2, 1

( ) 5, 1 3

4 , 3

+ ≤

= < ≤ − >

x x

f x x

x x

maka pernyataan berikut yang benar adalah ….

a. (3) 1=f

b. (1) 5=f

c. ( )f x tidak kontinu di 1=x

d. ( )f x kontinu di 3=x

e. Tidak ada jawaban yang benar