BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut ... · Lukiskan setiap sudut berikut...
Transcript of BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut ... · Lukiskan setiap sudut berikut...
1
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI
(Jangka waktu : 9 sesi)
Sesi 1
Sudut Positif dan Sudut Negatif
Contoh
Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu
berada.
(a) 30˚ (c) 590˚
(b) 3
4𝜋 rad. (d) −
7
3𝜋 rad.
Penyelesaian
(a)
(b)
2
(c)
(d)
Sinus, Kosinus, dan Tangen
c b
a
𝜃
sin 𝜃 =𝑏
𝑐
kos 𝜃 =𝑎
𝑐
tan 𝜃 =sin 𝜃
kos 𝜃=
𝑏
𝑎
3
Contoh
Jika tan 𝜃 =12
5, dengan 180° < 𝜃 < 360°, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai sin 𝜃 dan
kos 𝜃.
Penyelesaian
Sesi 2
Sekan, Kosekan, dan Kotangen
c b
a
𝜃
sek 𝜃 =1
kos 𝜃=
𝑐
𝑎
kosek 𝜃 =1
sin 𝜃=
𝑐
𝑏
kot 𝜃 =1
tan 𝜃=
𝑎
𝑏
4
Contoh
Diberi 𝜃 ialah sudut refleks dengan sek 𝜃 =5
4. Tanpa menggunakan jadual atau kalkulator,
nilaikan
(a) kot 𝜃
(b) kosek θ
(c) sin 𝜃 + kos 𝜃
Penyelesaian
5
SUDUT PELENGKAP
sin 𝜃 = kos(90 − 𝜃)
kos 𝜃 = sin(90 − 𝜃)
tan 𝜃 = kot(90 − 𝜃)
sek 𝜃 = kosek(90 − 𝜃)
kosek 𝜃 = sek(90 − 𝜃)
kot 𝜃 = tan(90 − 𝜃)
SUDUT NEGATIF
sin(−𝜃) = − sin 𝜃
kos(−𝜃) = kos 𝜃
tan(−𝜃) = − tan 𝜃
SUKUAN SETARA
[Sukuan II]
sin 𝜃 = sin(180° − 𝜃)
kos 𝜃 = − kos(180° − 𝜃)
tan 𝜃 = − tan(180° − 𝜃)
[Sukuan III]
sin 𝜃 = −sin(𝜃 − 180°)
kos 𝜃 = − kos(𝜃 − 180°)
tan 𝜃 = tan(𝜃 − 180°)
[Sukuan IV]
sin 𝜃 = −sin(360° − 𝜃)
kos 𝜃 = kos(360° − 𝜃)
tan 𝜃 = − tan(360° − 𝜃)
6
Sesi 3
Sudut-Sudut Khas 𝟑𝟎°, 𝟒𝟓° 𝐝𝐚𝐧 𝟔𝟎°
Contoh
Tanpa menggunakan buku sifir atau kalkulator, cari nilai bagi
(a) sin 225°
(b) sek 660°
(c) sin 150° + kot(−150°)
2
1
ξ3
30°
60°
ξ2
45°
1
1
sin 30° =1
2 sin 60° =
ξ3
2
kos 30° =ξ3
2 kos 30° =
1
2
tan 30° =1
ξ3 tan 60° = ξ3
sin 45° =1
ξ2
kos 45° =1
ξ2
tan 45° = 1
7
Penyelesaian
(a)
(b)
(c)
8
Sesi 4
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Contoh 1
Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
(a) kos 𝑥 = −0.9063
(b) sin 2𝑥 = 0.6691
(c) ξ2 sin 𝑥 = 1
(d) kosek𝑥
2=
2
ξ3
(e) 2 tan (1
2𝑥 + 60°) + 3 = 1
Penyelesaian
(a)
(b)
(c)
9
(d)
(e)
Contoh 2
Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°.
(a) 3 sin 𝜃 kos 𝜃 = sin 𝜃
(b) 2 kot 𝜃 = − tan(−𝜃)
(c) 4 tan 𝜃 − kot 𝜃 + 3 = 0
Penyelesaian
(a)
10
(b)
(c)
11
Sesi 5
Melakar graf fungsi trigonometri
𝑦 = sin 𝑥
• 𝑦 = sin 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau 2𝜋 radian.
• Nilai maksimum bagi sin 𝑥 ialah 1 apabila 𝑥 = . . . , −270° , 90° , 450°, …
• Nilai minimum bagi sin 𝑥 ialah -1 apabila 𝑥 = . . . , −450°, −90°, 270°, …
• Amplitud = 1
𝑦 = kos 𝑥
• 𝑦 = kos 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau 2𝜋 radian.
• Nilai maksimum bagi kos 𝑥 ialah 1 apabila 𝑥 = . . . , −360° , 0° , 360°, …
• Nilai minimum bagi sin 𝑥 ialah -1 apabila 𝑥 = . . . , −180°, 180°, 540°, …
• Amplitud = 1
Amplitud
Kala
𝑦 = sin 𝑥
-2
-1
0
1
2
-450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450
Kala
Amplitud𝑦 = kos 𝑥
12
𝑦 = tan 𝑥
• 𝑦 = tan 𝑥 ialah satu fungsi berkala dengan kala 180° atau 𝜋 radian.
• 𝑦 = tan 𝑥 adalah tak tertakrif apabila 𝑥 = . . . , −270°, −90°, 90°, 270°, … Maka, 𝑦 = tan 𝑥
tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum.
• Graf bagi 𝑦 = tan 𝑥 menghampiri garis-garis menegak 𝑥 = −270° , 𝑥 = −90°, 𝑥 = 90°, 𝑥 =
270° dan sebagainya. Garis-garis menegak iu dikenali sebagai asimptot.
Contoh 1
Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.
(a) 𝑦 = 3 sin 2𝑥
(b) 𝑦 = 3 kos 𝑥 + 1
(c) 𝑦 = |kos 2𝑥|
Asimptot
Kala
𝑦 = tan 𝑥
−360° −180° 360° 180° 0
y
x
13
Penyelesaian
(a)
(b)
14
(c)
Contoh 2
Lakarkan graf bagi 𝑦 = −2 tan 𝑥 bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.
Penyelesaian
15
Contoh 3
Lakarkan graf bagi 𝑦 = 2 |sin3
2𝑥| bagi 0° ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.
Penyelesaian
Sesi 6
Bilangan penyelesaian persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf
Contoh (SPM 2011)
(a) Lakarkan graf bagi 𝑦 = −3 sin3
2𝑥 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 [4 markah]
(b) Seterusnya< dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi 𝜋
𝑥+ 3 sin
3
2𝑥 = 0 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. Nyatakan bilangan
penyelesaian itu. [3 markah]
16
Penyelesaian
(a)
(b)
17
Identiti Asas
Pembuktian
Contoh
Buktikan
(a) tan 𝑥
sin 𝑥= sek 𝑥
(b) sin 𝑦 kos 𝑦 tan 𝑦 = 1 − kos2𝑦
(c) tan 𝜃 + kot θ = sek 𝜃 kosek 𝜃
Penyelesaian
(a)
b c
a
𝜃
sin2 𝐴 + kos 2A = 1
1 + kot2A = kosek2𝐴
1+tan2𝐴 = sek2𝐴
18
(b)
(c)
Sesi 7
Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas
Contoh 1
Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua sudut antara 0° dan 360° .
(a) tan2 𝑥 + sek2𝑥 = 3 tan 𝑥
(b) 2kosek2𝑦 = kot 𝑦 + 3
(c) 3 sin2 𝜃 + 5kos 𝜃 + 5 = 0
Penyelesaian
(a)
19
(b)
(c)
Contoh 2
Tunjukkan bahawa 2sek2𝐴 =1
1−sin 𝐴+
1
1+sin 𝐴.
Seterusnya, tanpa menggunakan jadual matematik atau kalkulator, selesaiakan persamaan
trigonometri 1
1−sin 𝐴+
1
1+sin 𝐴= 4 , untuk 0 < 𝐴 < 2𝜋.
20
Penyelesaian
Rumus penambahan
sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 kos 𝐵 + sin 𝐵 kos 𝐴
sin(𝐴 − 𝐵) = sin 𝐴 kos 𝐵 − sin 𝐵 kos 𝐴
kos(𝐴 + 𝐵) = kos 𝐴 kos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵
kos(𝐴 − 𝐵) = kos 𝐴 kos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵
tan(𝐴 + 𝐵) =tan 𝐴 + tan 𝐵
1 − tan 𝐴 tan 𝐵
tan(𝐴 − 𝐵) =tan 𝐴 − tan 𝐵
1 + tan 𝐴 tan 𝐵
21
Contoh
Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, tunjukkan
(a) sin 255° =−ξ2(ξ3+1)
4
(b) (b)tan 15° =ξ3−1
ξ3+1
(c) sin(𝑥 − 60°) + kos(𝑥 + 60°) =1−ξ3
2(sin 𝑥 + kos 𝑥)
Penyelesaian
(a)
(b)
22
(c)
Sesi 8
Rumus Sudut Berganda
sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 kos 𝐴
kos 2𝐴 = kos2𝐴 − sin2 𝐴
= 2kos2𝐴 − 1
= 1 − 2 sin2 𝐴
tan 2𝐴 =2 tan 𝐴
1 − tan2 𝐴
Rumus Sudut Separuh
sin 𝐴 = 2 sin1
2𝐴 kos
1
2𝐴
kos 𝐴 = kos21
2𝐴 − sin2
1
2𝐴
= 2kos21
2𝐴 − 1
= 1 − 2 sin21
2𝐴
tan 𝐴 =2 tan
12 𝐴
1 − tan2 12 𝐴
23
Contoh 1
Diberi kos 𝜃 = −4
5 dan 𝜃 ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,cari nilai
(a) sin 2𝜃 (c) tan 2𝜃 (e)kos1
2𝜃
(b) kos 2𝜃 (d)kos 4𝜃
Penyelesaian
(a)
(b)
(c)
24
(d)
(e)
25
Contoh 2
Diberi tan 𝑥 = 𝑝 dan x ialah sudut tirus. Cari kos 2x.
Penyelesaian
Contoh 3
Tunjukkan bahawa sin 2𝐴
1+kos 2𝐴= tan 𝐴.
Penyelesaian
26
Contoh 4
Buktikan sin 𝜃+kos 𝜃+1
sin 𝜃−kos 𝜃+1= kot
1
2𝜃.
Penyelesaian
Sesi 9
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Contoh 1
Selesaikan setiap yang berikut untuk semua sudut diantara 0° dan 360°, termasuk kedua-duanya
(a) 5 sin 𝑥 kos 𝑥 + 2 = 0
(b) kos 2𝑦 − sin 𝑦 = 0
(c) tan 2𝜃 = 3 tan 𝜃
27
Penyelesaian
(a)
(b)
(c)
28
Contoh 2
Diberi sin(𝐵 − 𝐴) =1
2 dan sin(𝐴 + 𝐵) =
1
4, tunjukkan bahawa sin 𝐴 kos 𝐵 = −
1
8 dan
kos 𝐴 sin 𝐵 =3
8. Seterusnya, buktikan bahawa 3 tan 𝐴 kot 𝐵 + 1 = 0.
Penyelesaian