Laporan Praktikum Teori Probabilitas Modul 4- Distribusi Poisson dan EksponensialKelompok 4

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangDalam ilmu statistik,semua data yang diolah dan dianalisis memiliki fungsi dan penyajian yang berbeda-beda sesuai dengan penggunaan data yang diolah.Dengan adanya ilmu statistik, data-data yang menurut orang awam masih terlihat rancu dan tidak beraturan dapat menjadi mudah dipahami. Distribusi data adalah salah satu cabang ilmu statistik yang berfungsi untuk memudahkan manusia untuk mengambil keputusan. Berbagai jenis distribusi dikenal dalam statistika, antara lain distribusi Poisson dan distribusi eksponensial. Berbagai distribusi tersebut dapat digunakan untuk memudahkan manusia untuk menganalisis suatu hal atau problem.Distribusi Poisson berperan dalam mengetahui jumlah kejadian yang terjadi dalam interval waktu yang terjadi pada tingkat yang tetap. Penerapan distribusi Poisson misalnya rata-rata datangnya kapal kontainer yang singgah di pelabuhan Batam, banyaknya sepeda motor yang yang melanggar rambu lalu lintas tiap harinya dan banyaknya pengunjung suatu warnet tiap malam minggu. Sedangkan distribusi eksponensial berperan dalam mengetahui waktu antara suatu kejadian yang konstan. Penerapan distribusi eksponensial misalnya jarak tenggang pembayaran kredit cicilan rumah dan kedatangan sepeda motor untuk pengisian bensin di SPBU Fatmawati ketileng. Karena aplikasi dari distribusi Poisson dan distribusi eksponensial cukup luas dan memiliki peranan yang cukup penting. Maka laboratorium OPSI teknik Industri Undip mengadakan praktikum Modul 4 Distribusi Poisson dan Eksponensial untuk menunjang pemahaman mahasiswa teknik Industri Undip akan pentingnya peran kedua distribusi tersebut.

1.2 Tujuan PraktikumDari praktikum ini diharapkan praktikan dapat :1. Membedakan karakteristik distribusi Poisson dan distribusi eksponensial.2. Membandingan distribusi frekuensi empiris dan distribusi frekuensi teoritis untuk distribusi Poisson dan distribusi eksponensial.3. Memahami pengertian dan perbedaan fungsi densitas dan fungsi kumulatif untuk distribusi Poisson dan distribusi Eksponensial.

1.3 Perumusan MasalahDalam praktikum ini permasalahan yang dibahas atau objek dari perumusan masalah pada pengolahan data menggunakan distribusi Poisson dan distribusi eksponensial adalah Data waktu kedatangan, waktu pelayanan, dan waktu berakhir pada Pengisian Bahan Bakar Minyak (BBM) di SPBU Fatmawati di jalan raya Ketileng Semarang. Data diambil dari dua server yang berbeda pada Hari Kamis, 22 Sepetember 2011 dan dimulai pukul 17.00 WIB sampai 09.10 WIB. Kebetulan yang kami analisis hanyalah kendaraan roda dua yang mengisi di SPBU tersebut, karena kendaraan roda dua memiliki waktu yang relatif singkat dalam pengisian bahan bakar di SPBU. Data masing-masing server dibuat dalam interval 2 menit dan 1,5 menit untuk melakukan pengolahan data menggunakan distribusi Poisson dan dicari selisih waktu kedatangan ( t ) dari dua kendaraan roda dua tersebut untuk distribusi eksponensial.

1.4 Metodologi PraktikumDibawah ini merupakan gambar flowchartpraktikum modul 4 :

Identifikasi Masalah

Studi Pustaka

Pengumpulan Data

Pengolahan Data

Analisis Data

Kesimpulan dan Saran

Gambar 1.1 Flowchart Praktikum

Mulai200 sepeda motor mengisi bensin di 2 server ( tiap server = 200 sepeda motor)Diambil waktu kedatangan, pelayanan dan berakhirCatat waktu kedatangan, pelayanan, dan berakhir yang terjadi pada setiap kejadianSudah 200 kali tiap server?SelesaiTidak Ya Dibawah ini merupakan flowchart untuk pengambilan data

Gambar 1.2Flowchart Pengambilan data

1.5 Sistematika PenulisanSistematika penulisan laporan praktikum Modul 4 Distribusi Poisson dan Eksponensial adalah sebagai berikut :Bab I PendahuluanPendahuluan berisi penjabaran tentang sesuatu yang melatarbelakangi diadakannya Praktikum Teori Probabilitas Modul 4 Distribusi Poisson dan Eksponensial, tujuan dari praktikum ini, perumusan permasalahan yang dilakukan dalam praktikum, sistematika laporan praktikum, dan flowchart metodologi praktikum Praktikum Teori Probabilitas Modul 4 Distribusi Poisson dan Eksponensial.

Bab II Tinjauan PustakaTinjauan Pustaka berisi teori-teori yang berhubungan dengan distribusi Poisson dan distribusi eksponensial, meliputi pengertian, sifat dan karakteristik, fungsi padat, dan penerapan penggunaan masing-masing distribusi.

Bab III Pengumpulan DataPengumpulan Data berisi ringkasan data yang digunakan dalam praktikum distribusi Poisson dan eksponensial.

Bab IV Pengolahan dataPengolahan data berisi tentang perhitungan manual serta pengolahan data distribusi poisson dan distribusi eksponensial.

Bab V AnalisisAnalisis Data berisi tentang analisis terhadap hasil pengolahan data baik menggunakan distribusi Poisson maupun distribusi eksponensial.

Bab VI PenutupKesimpulan dan Saran berisi tentang rangkuman hasil pengolahan dan analisa data setelah melakukan Praktikum Teori Probabilitas Modul 4 Distribusi Poisson dan Eksponensial serta saran-saran yang harus diperhatikan oleh praktikan serta asisten.

BAB IITINJAUAN PUSTAKA

3.1 Distribusi PoissonPercobaan yang menghasilkan peubah acak x yang bernilai numerik, yaitu banyaknya hasil selama selang waktu tertentu dalam daerah tertentu disebut percobaan Poisson. Percobaan Poisson dapat menghasilkan pengamatan untuk peubah acak x yang menyatakan banyaknya hubungan telepon per jam yang diterima suatu kantor, banyaknya hari sekolah ditutup karena banjir, banyaknya pertandingan sepak bola yang harus diundur karena hujan pada musim hujan. Daerah yang dimaksud dapat berupa sepotong garis, seperti luas daerah, suatu isi benda, atau pun barangkali sepotong benda. Dalam hal seperti ini x mungkin menyatakan banyaknya tikus sawah per hektar, banyaknya bakteri dalam suatu kultur, ataupun banyaknya salah tik per halaman. Percobaan Poisson mendapat namanya dari proses Poisson dan memiliki sifat berikut: Banyaknya hasil yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah. Dalam hubungan ini proses Poisson dikatakan tidak memiliki ingatan. Peluang terjadinya suatu hasil (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak bergantung pada banyaknya hasil yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.Banyaknya hasil x dalam suatu percobaan Poisson disebut suatu peubah acak Poisson dan distribusi peluangnya disebut distribusi Poisson. Rataan banyaknya hasil dihitung dari =t, bila t menyatakan waktu atau daerah khas yang menjadi perhatian. Karena peluangnya tergantung pada , lalu terjadinya hasil akan kita nyatakan dengan lambang p (x;t).Distribusi peluang peubah acak Poisson x yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t, diberikan oleh .. (1)...t menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah tersebut dan e = 2,71828... Untuk menghitung rataan dan variansi distribusi Poisson adalah ..(2) (3)Seperti distribusi binomial, distribusi Poisson banyak digunakan dalam pengendalian mutu, pertanggungan mutu, dan sampling penerimaan. Di samping itu beberapa distribusi kontinu yang penting yang digunakan dalam teori keterandalan (reliabilitas) dan teori antrian bergantung pada proses Poisson.Jika distribusi Poisson diturunkan sebagai bentuk limit distribusi binomial bila , dan np tetap tidak berubah. Jadi bila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi Poisson dapat digunakan dengan =np, untuk menghampiri peluang binomial. Bila p dekat dengan 1, distribusi Poisson masih dapat dipakai untuk menghampiri peluang binomial dengan mempertukarkan apa yang telah dinamai dengan sukses dan gagal, jadi dengan mengganti p dengan suatu nilai yang dekat dengan 0.

( Ronald E. Walpole, 1995, Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan.)

3.2 Distribusi EksponensialDistribusi eksponensial adalah distribusi gamma yang khusus dengan =1. Sedangkan peubah acak kontinu x berdistribusi gamma dengan parameter dan , bila fungsi padatnya berbentuk (5)

Distribusi gamma dan eksponensial memainkan peran yang penting dalam teori antrian dan teori keandalan (reliabilitas). Jarak antara waktu tiba di loket pelayanan umum dan lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang dan alat listrik, sering menyangkut distribusi eksponensial. Terapan distribusi eksponensial yang terpenting ialah bila proses Poisson berlaku. Proses Poisson memungkinkan penggunaan distribusi diskrit yang disebut distribusi Poisson. Distribusi Poisson digunakan untuk menghitung peluang jumlah khusus kejadian selama jangka waktu atau selang tertentu. Hubungan antara distribusi eksponensial (sering disebut eksponensial negatif) dan proses Poisson cukup sederhana. Distribusi Poisson diturunkan sebagai distribusi berparameter tunggal dengan parameter , di sini dapat diartikan sebagai rataan banyaknya kejadian per satuan waktu. Dengan menggunakan distribusi Poisson, kita peroleh bahwa peluang tidak ada kejadian yang muncul dalam jangka waktu t diberikan oleh (6)Hasil di atas akan digunakan dan misalkan X waktu sampai kejadian Poisson yang pertama. Peluang bahwa jangka waktu sampai kejadian pertama melampaui x sama dengan peluang bahwa tidak ada kejadian Poisson yang muncul dalam waktu x. Yang terakhir ini tentu sama dengan e-x. Dengan demikian P(X x) = e-x. Jadi fungsi distribusi tumpukan untuk X adalah(7)Sedangkan fungsi padat distribusi eksponensial adalah turunan dari fungsi distribusi tumpukan di atas yaitu (8)dengan =1/ untuk x>0 dan >0.Sedangkan untuk menghitung rataan dan variansi pada distribusi eksponensial yaitu dengan persamaan .. (9) .(10)

Rataan distribusi eksponensial adalah parameter , kebalikan dari parameter pada distribusi Poisson. Distribusi Poisson tidak mempunyai ingatan, maksudnya bahwa terjadinya dalam selang waktu yang berurutan tidak saling mempengaruhi. Parameter yang penting adalah rataan waktu antara kejadian. Teori keandalan yang menyangkut kegagalan peralatan sering memenuhi proses Poisson ini, disini disebut rataan waktu antara kegagalan. Banyak kerusakan peralatan memenuhi proses Poisson, dan karena itu distribusi eksponensial dapat diterapkan disana.

Berikut ini akan disajikan perbedaan antara Distribusi poisson dan distribusi Eksponensial.Tabel 2.1 Perbedaan Distribusi Poisson dan Distribusi EksponensialDistribusi PoissonDistribusi Eksponensial

AplikasiJumlah kejadian yang terjadi dalam interval waktu ketika kejadian yang terjadi pada tingkat yang tetap, jumlah item dalam sekumpulan dari ukuran random, jumlah item yang diminta dari inventarisWaktu antar kedatangan dari pelanggan suatu sistem yang konstan, waktu rusaknya bagian dari suatu perlengkapan

Lanjutan Tabel 2.1 Perbedaan Distribusi Poisson dan Distribusi EksponensialFungsi Padat

...

Untuk nilai x yang lain p(x;=0Jika x0, =1/

f(x)=0 untuk nilai x yang lain

DistribusiF(x) = 0 jika x0>0

Jangkauan{0,1,...}[0,)

Rataan

Variansi2

MLE

( Ronald E. Walpole, 1995, Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan.)

2.3 Hubungan Eksponensial Dengan Proses PoissonHubungan antara distribusi eksponensial (sering disebut eksponensial negatif) dan proses poisson cukup sederhana. Distribusi poisson dapat diturunkan sebagai distribusi berparameter tunggal dengan parameter ( = rataan banyaknya kejadian per satuan waktu). Dengan menggunakan distribusi poisson, dapat diperoleh bahwa peluang tidak ada kejadian yang muncul dalam jangka waktu t diberikan oleh :p ( 0; t ) = ,x=1,2,3e =2.71828meanHasil di atas akan digunakan dan misalkan X waktu sampai kejadian poisson yang pertama. Peluang bahwa jangka waktu sampai kejadian pertama melampaui x sama dengan peluang bahwa tidak ada kejadian poisson yang muncul dalam waktu x yang terakhir ini, tentunya sama dengan . Dengan demikian :P( X x ) = Jadi fungsi distribusi tumpukan untuk X adalah P(0Xx ) = 1-. Sedangkan fungsi padat sebagai hasil turunan fungsi distribusi tumpukan di atas adalah f(x) = yang merupakan fungsi padat dari distribusi eksponensial dengan = 1 / .( Ronald E. Walpole, 1995, Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan.)

2.4 Fungsi Distribusi KumulatifDalam teori probabilitas dan statistik, fungsi distribusi kumulatif atau hanya fungsi distribusi, menggambarkan probabilitas bahwa variabel acak X bernilai real dengan diberikan distribusi probabilitas akan ditemukan dengan nilai kurang dari atau sama dengan x. Secara intuitif, ini merupakan selang sejauh fungsi distribusi.Untuk setiap bilangan real x, distribusi fungsi kumulatif dari variabel acak X bernilai real diberikan oleh persamaan :

Dimana persamaan pada sisi kanan menunjukkan bahwa variabel acak x mengambil nilai kurang dari atau sama dengan x. Probabilitas bahwa x terletak pada selang (a,b), dimana a