BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya...

19
MATEMATIKA DISKRIT BY : SRI ESTI BAB 2 RELASI Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta, Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di Surabaya, Ali di Jakarta, dan Diah di Jakarta, maka kita dapat menuliskannya sebagai sebuah himpunan R = {(Edi, Bandung), (Tini, Surabaya), (Ali, Jakarta), (Diah, Jakarta)} R merupakan himpunan yang anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pair). Disini pada pasangan terurut (Diah, Jakarta), Diah merupakan komponen pertama dan Jakarta merupakan komponen kedua dari dari pasangan terurut tersebut. Himpunan R di atas merupakan sebuah relasi, yang dapat kita bentuk antara himpunan A dan B. kita dapat juga menuliskan R = {(x,y) l x bertempat tinggal di y, x ϵ B}. Dengan pendefinisian relasi “x bertempat tinggal di y” di atas jelas bagi kita bahwa penulisan (Diah, Jakarta) tidak boleh dibalik menjadi (Jakarta, Diah) yang kalau dibaca “Jakarta bertempat tinggal di Diah”. Itulah sebabnya pasangan tersebut dinamakan pasangan terurut, (a,b) ≠ (b,a). Relasi dapat pula terjadi di antara anggota sebuah himpunan A. sebagai contoh, himpunan A = {1,2,4,16}. Kemudian kita definisikan sebuah relasi R antara anggota A sebagi relasi “x adalah kuadrat dari y”. Dengan mudah kita peroleh R = {(1,1), (4,2),(16,4)}. Di sini komponen pertama maupun komponen kedua dari pasangan terurut adalah anggota himpunan A. Demikianlah, kalau kita mempunyai sebuah himpunan ataupun dua himpunan, kita dapat mendefinisikan sebuah relasi. Tentunya relasi tersebut bisa bermacam-macam sesuai kehendak kita.

Transcript of BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya...

Page 1: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

BAB 2

RELASI

Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta,

Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di

Surabaya, Ali di Jakarta, dan Diah di Jakarta, maka kita dapat menuliskannya sebagai

sebuah himpunan R = {(Edi, Bandung), (Tini, Surabaya), (Ali, Jakarta), (Diah, Jakarta)}

R merupakan himpunan yang anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pair).

Disini pada pasangan terurut (Diah, Jakarta), Diah merupakan komponen pertama dan

Jakarta merupakan komponen kedua dari dari pasangan terurut tersebut. Himpunan R

di atas merupakan sebuah relasi, yang dapat kita bentuk antara himpunan A dan B. kita

dapat juga menuliskan R = {(x,y) l x bertempat tinggal di y, x ϵ B}.

Dengan pendefinisian relasi “x bertempat tinggal di y” di atas jelas bagi kita bahwa

penulisan (Diah, Jakarta) tidak boleh dibalik menjadi (Jakarta, Diah) yang kalau dibaca

“Jakarta bertempat tinggal di Diah”. Itulah sebabnya pasangan tersebut dinamakan

pasangan terurut, (a,b) ≠ (b,a).

Relasi dapat pula terjadi di antara anggota sebuah himpunan A. sebagai contoh,

himpunan A = {1,2,4,16}. Kemudian kita definisikan sebuah relasi R antara anggota A

sebagi relasi “x adalah kuadrat dari y”. Dengan mudah kita peroleh R = {(1,1),

(4,2),(16,4)}. Di sini komponen pertama maupun komponen kedua dari pasangan

terurut adalah anggota himpunan A. Demikianlah, kalau kita mempunyai sebuah

himpunan ataupun dua himpunan, kita dapat mendefinisikan sebuah relasi. Tentunya

relasi tersebut bisa bermacam-macam sesuai kehendak kita.

Page 2: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

1. Produk Cartesian

Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian :

(a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b;

(a1, a2, …, an) n-tuple dari elemen-elemen a1, …, an;

A x B = {(a, b) : a Є A, b Є B} hasil kali himpuan A dan B;

A1, x A2 x … x An atau ∏ hasil kali himpunan-himpunan A1, A2, …, An

A2 = A x A dan An = A x A x … x A (n faktor)

Urutan elemen-elemen di (a, b) menimbulkan suatu perbedaan; dalam hal ini a

adalah elemen pertama dan b adalah elemen kedua. Maka (a, b) ≠ (b, a), bila

tidak demikian maka a = b. Sebaliknya (a, b) dan (b, a) mewakili himpunan yang

sama.

Dua pasangan terurut (a, b) dan (c, d) sama jika dan hanya jika a = c dan b = d

n-tuple (a1, a2, … , an) dan (b1, b2, …, bn) sama jika dan hanya jika a1 = b1, a2 =

b2, …, an = bn

Perwakilan dari R2 = R x R sebagai titik-titik dalam bidang

Setiap titik p dalam bidang mewakili sebuah pasangan terurut (a, b) dari

bilangan real dan sebaliknya. Garis vertikal melalui P bertemu dengan sumbu x di

a dan garis horisontalnya bertemu sumbu y di b. R2 seringkali disebut sebagai

bidang cartesian.

y

x

b

a

p(a,b)

Page 3: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Contoh :

1. Tentukan x dan y jika (3x, x – 2y) = (6, -8)

3x = 6 → x = 2; x – 2y = -8 → y = 5

2. Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}. Tentukan a. A x B dan b. B x A

a. A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

b. B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

Latihan soal :

1. Tentukan x, y dan z jika (2x, x + y, x – y -2z) = (4, -1, 3)

2. Anggap A = {1, 2}. Tentukan a. A2 dan b. A3

3. Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}. Tunjukkan apakah pernyataan di bawah ini

sama dengan A x B

a. E = {{1, a}, {1, b}, {2, a}, {2, b}}

b. F = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

c. G = {(1, a), (1, b), (2, a), (b, 2)}

d. {(1, b), (2, a), (1, a), (2, b)}

4. Misalkan A = {pria, wanita} dan B = {kucing, anjing, ikan}. Tentukan : a. A x B

dan b. B x A

5. Misalkan Y = {0, 1} dan Z = {1, 0}. Tentukan : a. Y x Z b. Z x Y c. apakah

yang dapat kamu catat dari hasil Y x Z dan Z x Y?

Untuk setiap pasangan terurut (a, b) dalam A x B, terdapat n(A) pilihan untuk a dan

n(B) pilihan untuk b. Maka ada n(A).n(B) pasangan terurut. Sehingga n(A xB) =

n(A).n(B). Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa jika A1, A2, …, Am

adalah himpunan berhingga maka :

n(A1 x A2 x … x Am) = n(A1) n(A2) … n(Am)

Contoh :

1. Misalkan A = {1, 2, 3, …, 8, 9, 10} dan B = {a, b, c, …, x, y, z}. Berapa banyak

elemen dari A x B ?

Page 4: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Penyelesaian :

n(A) = 10 dan n(B) = 26.

A x B = (10) (26) = 260 elemen

2. Misalkan A = {1, 2, 3, 6} dan B = {8, 9, 10}. Tentukan jumlah elemen dalam

a) A x B b) B x A c) A2 d) B4 e) A x A x B f) B x A x B

Penyelesaian :

N(A) = 4 dan n(B) = 3

a) n(A x B) = 4.3 = 12 d) n(B4) = 34 = 81

b) n(B x A) = 3.4 = 12 e) n(A x A x B) = 4.4.3 = 48

c) n(A2) = 4.4 =16 f) n(B x A x B) = 3.4.3 = 36

3. Diberikan A = {1, 2}, B = {x, y, z}, dan C = {3, 4}. Tentukan A x B x C dan n(A

x B x C)

A x B x C terdiri dari semua triple terurut (a, b, c) dimana a Є A, b Є B dan c Є C.

Elemen- elemen dari A x B X C terdiri dari 12 triple terurut.

N(A x B x C) = n(A) x n(B) x n(C) = 12

A x B x C = {(1, x, 3),(1, x, 4),(1, y, 3), (1, y, 4), (1, z, 3), (1, z, 4), (2, x, 3),

(2, x, 4), (2, y, 3), (2, y, 4), (2, z, 3), (2, z, 4)}

3

4

3

4

3

4

3

4

3

4

3

4

1

2

x

y

z

x

y

z

Page 5: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Latihan soal :

1. Setiap pelemparan sebuah uang logam akan menghasilkan muka atau belakang.

Misalkan C = {H, T} menyatakan himpunan yang dihasilkan. Tentukan C3, n(C3)

dan sebutkan wakil dari C3.

2. Misalkan S = {a, b, c}, T = {b, c, d}, dan W = {a, d}. Bentuklah diagram pohon

S x T x W kemudian tentukanlah S x T x W.

3. Diberikan himpunan A = {1, 2}, B = {a, b, c}, C = {c, d}. Tentukan

a) (A x B) ∩(A x C) dan b) A x (B∩C)

4. Misalkan A = {a, b}, B = {1, 2}, C = {2, 3}. Tentukan

a) (A x B)U(A x C) dan b) A x (B U C)

2. Penyajian Lain

Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu :

1. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pendaftaran (tabulasi),

P = {(Ami, 1), (Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)}

2. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pencirian,

P = {(x,y) : x berusia y, dimana x Є M dan y Є N}

3. Diagram panah,

M N

p

Ami

Budi

Candra

Dita

1

2

3

Page 6: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

4. Diagram koordinat atau grafik relasi,

4. Matriks relasi,

P = [

]

5. Bentuk graf berarah (digraf)

Latihan soal :

1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {x, y, z} yang didefinisikan oleh :

R ={(1, y), (1, z), (3, y), (4, x), (4, z)}

Buatlah diagram panah dan tentukan matriks M yang mewakili R

Ami

Budi

Chandra

Dita

1

3

2

3

2

1

Ami Budi Chandra Dita

Page 7: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

2. Misalkan T adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4, 5} ke B = {merah, putih, biru,

hijau} didefinisikan oleh T = {(1, merah), (2, biru), (3, biru), (4, hijau)}

a. Gambarlah diagram panah relasi T

b. Tentukan domain dan range dari T

c. Tentukan matriks M yang mewakili T

3. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6} dan misalkan R adalah relasi pada A yang

didefinisikan “x membagi y”, dituliskan dengan xIy.

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6),(3, 3), (3, 6), (6, 6)}

a. Gambarlah graph berarah R

b. Tentukan matriks M dari relasi R

4. Misalkan R adalah relasi pada A = {1, 2, 3, 4, 5} yang diterangkan oleh graph

berarah berikut :

a. Tulislah R sebagai himpunan pasangan terurut

b. Tentukan setiap subset dari A berikut : E = {a : a R 2}, F = {a : a R 3}, G =

{a : 2 R a}, dan H = {a : 3 R a}

5. Gambar berikut menunjukkan grafik dari relasi S yang didefinisikan persamaan

y = x2.

a. Tentukan domain dan range dari S

b. Tentukan persamaan yang menunjukkan relasi invers S-1

c. Gambarkan grafik dari S-1

1 3 2

4 5

Page 8: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

y

3. Relasi Invers

Sebuah relasi biner (relasi) dari suatu himpunan A ke himpunan B adalah suatu

subset R dari A x B. Misalkan a Є A dan b Є B, ditulis :

a R b atau a R b berarti (a, b) Є R atau (a, b)∉ R

Domain dari R adalah subset dari A terdiri dari elemen-elemen pertama dari

pasangan terurut R, dan range dari R adalah subset dari B terdiri dari elemen-

elemen yang kedua.

Invers dari R dinotasikan R-1 adalah relasi dari B ke A yang terdiri dari pasangan

terurut yang berkebalikan dengan R; yaitu :

R-1 = {(b, a): (a, b) Є R}

Dengan kata lain b R-1 a jika dan hanya jika a R b

Contoh :

1. Tentukan manakah dari pernyataan berikut yang merupakan relasi dari A =

{a, b, c} ke B = {1, 2}

a. R1 = {(a, 1), (a, 2), (c, 2)}

b. R2 = {(a, 2), (b, 1)}

c. R3 = {(c, 1), (c, 2),(c, 3)}

d. R4 = {(b, 2)}

e. R5 = Ø

f. R6 = A x B

x

y = x2

Page 9: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Penyelesaian :

Semua merupakan relasi dari A ke B karena semuanya adalah subset dari A x B.

R5 = Ø disebut relasi kosong dari A ke B, dan R6 = A x B disebut relasi

semesta dari A ke B

2. Tentukan invers dari setiap relasi pada soal no 1 diatas.

Tukarkan urutan pasangan terurut pada setiap relasi untuk mendapatkan Rk-1

a. R1 = {(1, a), (2, a), (2, c)}

b. R2 = {(2, a), (1, b)}

c. R3 = {(1, c), (2, c),(3, c)}

d. R4 = {(2, b)}

e. R5 = Ø

f. R6 = B x A

3. Tentukan jumlah relasi dari A = (a, b, c} ke B = {1, 2}

Terdapat 3*2 = 6 elemen dengan demikian m = 64 relasi dari A x B.

Latihan soal :

1. Misalkan R adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4} didefinisikan oleh “x lebih kecil dari

y”, maka R adalah relasi <. Tuliskan R sebagai himpunan pasangan terurut.

2. Tuliskan invers R-1 dari relasi R pada soal 1. Dapatkah R-1 diterangkan dengan

kata-kata?

3. Misalkan R adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {x, y, z} didefinisikan oleh

R = {(1, y), (1, z), (3, y), (4, x), (4, z)}

a. Tentukan domain dan range dari R

b. Tentukan relasi invers R-1 dari R

4. Misalkan R adalah relasi “terletak di” dari himpunan kota-kota (X) ke himpunan

negara (Y). Nyatakan setiap pernyataan berikut dengan kata-kata dan tentukan

apakah pernyataannya benar atau salah :

a. (Paris, Perancis) Є R c. (Washington, Kanada) Є R

Page 10: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

b. (moskow, Itali) Є R d. (London, Inggris) Є R

5. Misalkan A = {1, 2, 3} dan misalkan R = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (1, 3)} adalah

sebuah relasi dari A (yaitu sebuah relasi dari A ke A). Tentukan apakah setiap

pernyataan berikut benar atau salah :

a. 1 R 1 b. 1 R 2 c. 2 R 3 d. 2 R 1 e. 3 R 2 f. 3 R 1

4. Komposisi Relasi

Misalkan A, B dan C adalah himpunan-himpunan, dan misalkan R adalah sebuah

relasi dari A ke B dan misalkan S adalah relasi dari B ke C. Jadi, R adalah subset

dari A x B dan S adalah subset dari B x C. Maka R dan S akan memberikan suatu

relasi dari A ke C yang dinyatakan dengan R ο S dan didefinisiskan :

a(R ο S)c jika untuk sembarang b Є B kita dapatkan a R b dan b S c

Dengan begitu,

R ο S = {(a, c) : ada b Є B dimana (a, b) Є R dan (b, c) Є S}

Misalkan A, B, C, dan D adalah himpunan. Anggap sebuah R adalah relasi dari A ke

B, S adalah relasi dari B ke C dan T adalah relasi dari C ke D. Maka :

(Rο S)ο T = R ο (S ο T) (hukum assosiatif)

Contoh :

1. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} dan C = {x, y, z}. Perhatikan relasi R dari

A ke B dan S dari B ke C berikut : R = {(1, b), (2, a), (2, c)} dan S = {(a, y),

(b, x), (c, y), (c, z)}

Tentukan relasi komposisi R ο S.

Penyelesaian :

Page 11: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

A B C

Gambarlah diagram panah dari R ke S seperti di atas. Ada panah dari 1 ke b

yang diikuti panah dari b ke x. Maka 1(R ο S)x karena 1 R b dan b S x; dengan

begitu (1, x) anggota dari R ο S. Dengan cara yang sama sebuah path dari 2 ke

a dan path dari 2 ke c ke z. Maka (2, y) dan (2, z) juga anggota dari R ο S.

Tidak ada pasangan lain yang menjadi anggota R ο S. Maka : R ο S = {(1, x),

(2, y), (2, z)}

2. Perhatikan relasi R, S dan R ο S pada soal diatas.

a) Tentukan matriks MR, MS dan M R ο S dari relasi masing-masing.

b) Kalikan MR dan MS dan bandingkan MR dan MS dan bandinglan MR MS dengan

M R ο S

Penyelesaian :

a. Matriks dari MR, MS dan M R ο S adalah :

a b c x y z x y z

MR = [

], MS =

[

] M R ο S = [

]

b. Kalikan matriks MR dan MS kita dapatkan MR MS = [

]

Matriks M R ο S dan MR MS mempunyai entri bernilai 0 yang sama

Latihan soal :

1. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} dan C = {x, y, z}. Perhatikan relasi R

dari A ke B dan S dari B ke C yang didefinisikan :

1

2

3

a

b

c

x

y

z

R S

Page 12: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

R = {(1, a), (2, d), (3, a), (3, b), (3, d)} dan S = {(b, x), (b, z), (c, y), (d, z)}.

Tentukan relasi komposisi R ο S

2. Gunakan matriks untuk menentukan komposisi R ο S dari relasi R dan S pada

soal diatas

3. Misalkan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} dan C = {w, x, y, z}. Perhatikan relasi

dari R dari A ke B dan S dari B ke C yang didefinisikan :

R = {(a, 3), (b, 3), (c, 1), (c, 3), (d, 2)} dan S = {(1, x), (2, y), (2, z)}.

a) Gambarkan diagram panah untuk R dan S

b) Tentukan relasi komposisi R ο S

5. Sifat Relasi

Misalkan R adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan A, maka :

1. R adalah Refleksif jika a R a untuk setiap a di A

2. R adalah Simetris jika a R b maka b R a

3. R adalah Antisimetris jika a R b dan b R a maka a = b

4. R adalah Transitif jika a R b dan b R c maka a R c

Suatu himpunan A adalah :

1. Tidak refleksif jika ada a Є A sedemikian sehingga (a, a) bukan anggota R

2. Tidak simetris jika ada (a, b) di R sedemikian sehingga (b,a) bukan anggota R

3. Tidak transitif jika ada (a, b) dan (b, c) di R sedemikian sehingga (a, c) bukan

anggota R

4. Tidak antisimetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,

b) dan (b, a) anggota R

Contoh :

1. Perhatikan 5 relasi dari himpunan A = {1, 2, 3} berikut, tentukan yang

merupakan relasi refleksif, simetris, transitif, dan antisimetris :

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} Ø = relasi kosong

S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1) (2, 2), (3, 3)} A x A = relasi semesta

Page 13: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

T = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)}

Penyelesaian :

R tidak refleksif karena 2 Є A tetapi (2, 2) ∉ R. T tidak refleksif karena (3, 3) ∉

T dan Ø tidak refleksif. Hanya S dan A x A yang refleksif.

R tidak simetris karena (1, 2) Є R tetapi (2, 1) ∉ R, dengan cara yang sama T

tidak simetris. S, Ø dan A x A yang simetris.

T tidak transitif karena (1, 2) dan (2, 3) anggota T, tetapi (1, 3) bukan

anggota T. Keempat relasi yang lain adalah transitif.

S tidak antisimetris karena 1 ≠ 2, dan (1, 2) dan (2, 1) anggota S. Dengan

cara yang sama A x A tidak antisimetris. Ketiga relasi yang lain adalah

antisimetris.

2. Misalkan R adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4} yang didefinisikan oleh :

R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 2),(4, 2), (4, 4)}. Tunjukkan bahwa R :

a) Tidak refleksif b) Tidak transitif c) Tidak simetris d) Tidak antisimetris

Penyelesaian :

a) R tidak refleksif karena 3 Є A tetapi 3 R 3, yaitu (3, 3) ∉ R

b) R tidak transitif karena 4 R 2 dan 2 R 3 tetapi 4 R 3, yaitu (4, 2) Є R dan (2,

3) Є R tetapi (4, 3) ∉ R

c) R tidak simetris karena 4 R 2 tetapi 2 R 4, yaitu (4, 2) Є R tetapi (2, 4) ∉ R

d) R tidak antisimetris karena 2 R 3 dan 3 R 2 tetapi 2 ≠ 3

Latihan soal :

1. Berikan contoh dari relasi R pada A = {1, 2, 3} mempunyai sifat :

a. R kedua-duanya simetris dan antisimetris

b. R tidak kedua-duanya, simetris maupun antisimetris

c. R transitif tetapi R U R-1 tidak transitif

2. Misalkan R, S, dan T adalah relasi pada A = {1, 2, 3} yang didefinisikan oleh :

R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

Page 14: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

S = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}

T = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}

Tentukan yang mana relasi refleksif, simetris, antisimetris dan transitif?

3. Tiap pernyataan berikut mendefinisikan suatu relasi pada himpunan bilangan

positif N

R : x lebih besar dari y S : x + y = 10 T : x + 4y = 10

Tentukan manakah relasi yang refleksif, simetri, transitif, antisimetris.

4. Misalkan P(X) adalah kumpulan semua subset dari himpunan X dengan paling

sedikit terdiri dari 3 elemen. Setiap pernyataan berikut mendefinisikan sebuah

relasi pada P(X)

R : A ⊆ B S : A saling asing dengan B T : A U B = X

Tentukan manakah relasi di atas yang refleksif, simetris, antisimetris, dan

transitif.

6. Partisi

Sebuah partisi dari S adalah suatu koleksi P ={Ai} dari subset-subset S yang tidak

kosong sedemikian hingga :

(i) Setiap elemen a dalam S anggota dari salah satu Ai

(ii) Himpunan-himpunan dari P adalah saling asing, yaitu jika Ai ≠ Aj maka Ai∩Aj=Ø

Subset-subset dalam sebuah partisi disebut sel. Gambar berikut adalah diagram

venn dari suatu partisi dari himpunan titik-titik dalam 5 sel.

A1 A2 A3

A4 A5

Page 15: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Contoh :

1. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tunjukkan apakah setiap pernyataan berikut

adalah sebuah partisi dari S :

a. P1 = {(1, 2, 3), (1, 4, 5, 6)} c. P3 = {(1, 3, 5), (2, 4), (6)}

b. P2 = {(1, 2), (3, 5, 6)} d. P4 = {(1, 3, 5), (2, 4, 6, 7))

Penyelesaian :

a. Bukan, karena 1 Є S anggota dari 2 sel

b. Bukan, karena 4 Є S bukan anggota sel manapun

c. P3 adalah sebuah partisi dari S

d. Bukan, karena (2, 4, 6, 7) bukan subset dari S

2. Misalkan S = (merah, biru, hijau, kuning). Tunjukkan apakah setiap pernyataan

berikut adalah sebuah partisi dari S :

a. P1 = {(merah), (biru, hijau)}

b. P2 = {(merah, biru, hijau, kuning)}

c. P3 = { Ø, (merah, biru), (hijau, kuning)}

Penyelesaian :

a. Bukan, karena kuning bukan anggota sel manapun

b. P2 adalah partisi dari S yang hanya memiliki satu elemen yaitu S sendiri

c. Bukan, karena Ø tidak bisa menjadi anggota sebuah partisi

Latihan soal :

1. Misalkan S = {1, 2, ..., 8, 9}. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah

sebuah partisi dari S.

a. {(1, 3, 5), (2, 6), (5, 7, 9)}

b. {(1, 3, 9), (2, 4, 6, 8), (5, 7, 9)}

c. {(1, 3, 5), (2, 4, 6, 8), (7,9)}

d. {(S)}

2. Misalkan X = {1, 2, ..., 8, 9}. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah

sebuah partisi dari X.

Page 16: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

a. {(1, 3, 6), (2, 8), (5, 7, 9)}

b. {(1, 5, 7), (2, 4, 8, 9), (3, 5, 6)}

c. {(2, 4, 5, 8), (1, 9), (3, 6, 7)}

d. {(1, 2, 7), (3, 5), (4, 6, 8, 9), (3, 5)}

3. Tentukan semua partisi dari S = {1, 2, 3}

4. Tentukan semua partisi dari X = {a, b, c, d}

5. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari himpunan

bilangan bulat positif N :

a. {(n : b > 5), (n : x < 5)}

b. {(n : x > 5), (0), (n : x < 0)}

c. {(n : x2 > 11), (n : x2 < 11)}

7. Relasi Ekuivalen

Sebuah relasi R pada suatu himpunan A disebut relasi ekuivalen jika refleksif,

simetris dan transitif (persamaan biasa adalah bentuk relasi ekuivalen)

Contoh :

1. Misalkan L adalah himpunan garis dalam bidang euclid, sedangkan R adalah

relasi pada L yang didefinisikan oleh sejajar dengan (II). Tunjukkan bahwa R

adalah relasi ekuivalen.

Penyelesaian :

Karena a = a untuk sembarang garis di L maka R adalah refleksif. Jika a II b dan

b II c maka a II c; sehingga R adalah transitif, maka R adalah sebuah relasi

ekuivalen.

2. Misalkan R adalah relasi pada himpunan N yang didefinisikan oleh = {(a, b) : a +

b genap}. Apakah R adalah relasi ekuivalen?

Penyelesaian :

Page 17: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

Ya. Untuk a Є N, a + a adalah genap; dan jika a + b genap maka b + a genap.

Sehingga refleksif dan simetris. a R b jika dan hanya jika keduanya a dan b

mempunyai jenis yang sama yaitu a dan b genap atau a dan b ganjil

3. Misalkan R = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}. Apakah R adalah suatu relasi

ekuivalen pada

A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3} ?

Penyelesaian :

R adalah simetris dan transitif; tetapi R tidak ekuivalen pada A karena 2 R 2

sehingga R tidak refleksif pada A. Sebaliknya, R refleksif pada B sehingga R

adalah relasi ekuivalen pada B

Latihan Soal :

1. Misalkan S = {1, 2, 3}. Tuliskan relasi ekuivalen dari R pada S.

2. Misalkan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}. Apakah R adalah

suatu relasi ekuivalen pada A = {1, 2, 3, 4}.

3. Misalkan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Apakah R adalah suatu relasi

ekuivalen pada

A = {1, 2}

8. Relasi N-Ary

Hubungan antara elemen-elemen pada dua himpunan bahkan lebih sering kali

terjadi. Sebagai contoh hubungan yang melibatkan nama mahasiswa, jurusan dan

IPK. Contoh lain adalah nama kantor, alamat serta nomor telepon.

Disini kita akan mempelajari hubungan pada dua himpunan atau lebih. Relasi ini

sering disebut dengan Relasi n-ary yang sering direpresentasikan dengan database.

Relasi ini membantu kita saat melakukan query data pada database.

Definisi:

Page 18: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

A1, Aa .. An adalah himpunan. Sebuah relasi n-ary adalah himpunan bagian A1 × Aa ×

.. × An. Himpunan A1, Aa .. An disebut domain dan n disebut derajat.

Contoh :

1. Misalkan A = {1, 2, 3, ..., 14, 15} dan R adalah relasi 4-ary pada A yang

didefinisikan dengan : R = {(x, y, z, t): 4x + 3y + z2 = t}. Tuliskan R sebagai

himpunan dengan 4-tuple

Penyelesaian :

Kita hanya mempunyai x = 1, 2, 3. Maka :

R = {(1, 1, 1, 8), (1, 1, 2, 11), (1, 2, 1, 11), (1, 2, 2, 14), (1, 3, 1, 14), (2, 1, 1,

12), (2, 1, 2, 15), (2, 2, 1, 15)}

2. Misalkan :

NIM = {13598011, 13598014, 13598015, 13598019, 13598021,13598025}

Nama = {Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan}

MatKul = {Matematika Diskrit, Algoritma, Struktur Data, Arsitektur Komputer}

Nilai = {A, B, C, D, E}

Relasi MHS terdiri dari 4-tuple (NIM, Nama, MatKul, Nilai):

MHS NIM Nama MatKul Nilai

Satu contoh relasi yang bernama MHS adalah

MHS = {(13598011, Amir, Matematika Diskrit, A),

(13598011, Amir, Arsitektur Komputer, B),

(13598014, Santi, Arsitektur Komputer, D),

(13598015, Irwan, Algoritma, C),

(13598015, Irwan, Struktur Data C),

(13598015, Irwan, Arsitektur Komputer, B),

(13598019, Ahmad, Algoritma, E),

(13598021, Cecep, Algoritma, A),

(13598021, Cecep, Arsitektur Komputer, B),

(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B),

Page 19: BAB 2 RELASI - Staffsite STMIK PPKIA Pradnya Paramitastaffsite.stimata.ac.id/.../5fbff-bab-2---relasi.pdf · 2018-11-14 · himpunan ataupun dua himpunan, ... Gambar berikut menunjukkan

MATEMATIKA DISKRIT

BY : SRI ESTI

(13598025, Hamdan, Algoritma, A, B),

(13598025, Hamdan, Struktur Data, C),

(13598025, Hamdan, Ars. Komputer, B)}

Relasi MHS di atas juga dapat ditulis dalam bentuk Tabel:

NIM Nama MatKul Nilai

13598011

13598011

13598014

13598015

13598015

13598015

13598019

13598021

13598021

13598025

13598025

13598025

13598025

Amir

Amir

Santi

Irwan

Irwan

Irwan

Ahmad

Cecep

Cecep

Hamdan

Hamdan

Hamdan

Hamdan

Matematika Diskrit

Arsitektur Komputer

Algoritma

Algoritma

Struktur Data

Arsitektur Komputer

Algoritma

Algoritma

Arsitektur Komputer

Matematika Diskrit

Algoritma

Struktur Data

Arsitektur Komputer

A

B

D

C

C

B

E

B

B

B

A

C

B

Latihan Soal :

1. Misalkan A = {1, 2, 3, ..., 12} dan R adalah relasi 3-ary pada A yang

didefinisikan dengan : R = {(x, y, z): 3x + y2 = z}. Tuliskan R sebagai

himpunan dengan 3-tuple

2. Misalkan A = {1, 2, 3, ..., 15} dan R adalah relasi 4-ary pada A yang

didefinisikan dengan : R = {(x, y, z, t): x2 + 2y + 5z = t}. Tuliskan R sebagai

himpunan dengan 4-tuple