CHAPTER 2

GELOMBANG OPTIK

2.1 DALIL-DALIL GELOMBANG OPTIK

2.2 GELOMBANG MONOKROMATIK

       A. Representasi Kompleks dan Persamaan Helmholtz

       B. Gelombang Dasar

       C. Gelombang Paraksial

2.3 HUBUNGAN ANTARA GELOMBANG OPTIK DAN SINAR OPTIK

2.4 KOMPONEN OPTIK SEDERHANA

       A. Refleksi dan Refraksi

       B. Transmisi Melalui Komponen Optical

       C. Graded- Indeks Komponen Optical

2.5 INTERFERENSI

       A. Interferensi Dua Gelombang

       B. Interferensi Beberapa Gelombang

2.6 POLIKROMATIK DAN PULSA CAHAYA

       A. Temporal dan spektral Deskripsi

       B. Pemukulan Cahaya

1

Christiaan Huygens (1629-1695) melanjutkan beberapa konsep baru mengenai perambatan gelombang cahaya.

Thomas Young (1773-1829) memperjuangkan teori gelombang cahaya dan menemukan prinsip interferensi optik.

Cahaya merambat dalam bentuk gelombang. Dalam ruang bebas, gelombang cahaya merambat

dengan kecepatan konstan, c0=3.0 × 108 m /s (30 cm/ns atau 0,3 mm/ps atau 0,3 µm/fs). Seperti

diilustrasikan pada Gambar. 2.0-1, rentang panjang gelombang optik terdiri dari tiga daerah:

inframerah (0,76-300 µm), cahaya tampak (390-760 nm), dan ultraviolet (10-390 nm). Sesuai

rentang frekuensi optik membentang dari 1 THz di-inframerah jauh untuk 3 ×1016 Hz dalam

ultraviolet ekstrim.

Gambar 2.0-1 frekuensi optik dan panjang gelombang. Wilayah Inframerah (IR) dari spektrum

terdiri dari inframerah dekat (NIR), inframerah tengah (MIR), dan inframerah jauh (FIR)

semnetara wilayah ultraviolet (UV) terdiri dari ultraviolet dekat (NUV), pertengahan ultraviolet

(MUV), ultraviolet jauh (FUV), dan ultraviolet ekstrim (EUV atau XUV). Radiasi di pita EUV

juga dikenal sebagai soft sinar-X (SXR). Ultraviolet vakum (VUV) terdiri dari pita FUV dan

EUV. Wilayah Inframerah, cahaya tampak, dan ultraviolet semuanya disebut "optik" karena

mereka menggunakan komponen sejenis (misalnya, lensa dan cermin).

Teori gelombang cahaya meliputi teori ray (Gambar 2.0-2). Sebenarnya, sinar optik adalah

batas optik gelombang ketika panjang gelombang amat singkat. Namun, panjang gelombang

2

tidak perlu benar-benar menjadi nol untuk teori optik ray untuk menjadi berguna. Selama

gelombang cahaya merambat melalui dan di sekitar benda yang dimensinya jauh lebih besar dari

panjang gelombang, teori ray sudah cukup untuk menggambarkan fenomena sinar optik. Karena

panjang gelombang cahaya tampak jauh lebih pendek dari dimensi benda yang biasa ditemui

dalam kehidupan sehari-hari, manifestasi dari sifat gelombang cahaya tidak jelas tanpa

pengamatan yang cermat.

Bab Ini

Dalam bab ini, cahaya digambarkan oleh fungsi skalar, yang disebut fungsi gelombang, yang

memenuhi persamaan diferensial orde kedua yang dikenal sebagai persamaan gelombang.

Sebuah diskusi tentang pentingnya fungsi gelombang fisik yang ditunda ke Bab 5, di mana kita

mempertimbangkan optik elektromagnetik, kita akan melihat bahwa fungsi gelombang

merupakan setiap komponen bidang listrik atau magnet. Persamaan gelombang, dan hubungan

antara densitas daya optik dan fungsi gelombang, merupakan dalil-dalil model gelombang skalar

cahaya yang dikenal sebagai gelombang optik.

Konsekuensi dari postulat sederhana ini banyak ragamnya dan menjangkau jauh. Gelombang

optik merupakan dasar untuk menjelaskan berbagai macam fenomena optik yang berada di luar

batas-batas optik ray, termasuk interferensi dan difraksi, seperti yang ditunjukkan dalam hal ini

dan dua bab berikut.

Gelombang optik memang memiliki keterbatasan. Hal ini tidak mampu memberikan

gambaran lengkap dari refleksi dan refraksi cahaya pada batas antara media dielektrik, juga tidak

dapat menjelaskan fenomena optik yang memerlukan formulasi vektor, seperti efek polarisasi.

Permasalahan tersebut akan dibahas dalam Bab 5, karena kondisi di mana optik gelombang

skalar memberikan pendekatan yang baik untuk optik elektromagnetik.

Bab ini dimulai dengan dalil-dalil optik gelombang (Bab. 2.1). Dalam bab 2.2-2.5 kita

mempertimbangkan gelombang monokromatik; cahaya polikromatik dibahas dalam Bab 2.6.

Gelombang elementer, seperti pesawat gelombang dan gelombang bola, diperkenalkan di Bab

3

Gambar 2.0-2 Gelombang optik meliputi optik ray. Optik Ray adalah batas optik gelombang ketika panjang gelombang sangat pendek.

2.2. Bab 2.3 menetapkan bahwa optik ray dapat diturunkan dari optik gelombang. Interaksi

gelombang optik dengan komponen optik sederhana seperti cermin, prisma, lensa, dan kisi-kisi

yang diperiksa dalam Bab 2.4. Interferensi, merupakan manifestasi penting dari sifat gelombang

cahaya, adalah subjek dari Bab. 2.5 dan 2.6.

2.1 DALIL OPTIK GELOMBANG

Persamaan Gelombang

Cahaya merambat dalam bentuk gelombang. Dalam ruang bebas, gelombang cahaya bergerak

dengan kecepatan c0. Sebuah medium transparan homogen seperti kaca ditandai dengan konstan

tunggal, indeks biasnya n (≥ 1). Dalam medium dengan indeks bias n, gelombang cahaya

bergerak dengan kecepatan berkurang

c=c0

n. (2.1-1)

Kecapatan cahaya dalam

sebuah medium

Gelombang optik dijelaskan secara matematis dengan fungsi nyata posisi r = (x, y, z) dan waktu

t, dinotasikan u (r, t) dan dikenal sebagai fungsi gelombang. Ini memenuhi persamaan

diferensial parsial yang disebut persamaan gelombang.

∇2u− 1c2

∂2u∂t 2 =0 , (2.1-2)

Persamaan Gelombang

di mana ∇2 adalah operator Laplacian, yang ∇2=∂2/∂ x2+∂2/∂ y2+∂2/∂ z2 dalam koordinat

Cartesian. Setiap fungsi yang memenuhi (2.1-2) merupakan kemungkinan gelombang optik.

Karena persamaan gelombang adalah linier, prinsip superposisi berlaku: jika u1 (r ,t ) dan

u2 (r ,t ) mewakili kemungkinan gelombang optik, maka u (r , t )=u1 (r , t )+u2 (r , t ) juga merupakan

kemungkinan gelombang optik.

4

Pada batas antara dua medium yang berbeda, fungsi gelombang berubah dengan cara yang

tergantung pada indeks bias mereka. Namun, hukum yang mengatur perubahan ini tergantung

pada makna fisik fungsi gelombang, seperti yang akan terlihat dalam Bab 5, merupakan

komponen elektromagnetik-bidang. Asal fisik yang mendasari dari indeks bias berasal dari optik

elektromagnetik (Bab. 5.5B).

Persamaan gelombang juga kurang berlaku untuk medium dengan indeks bias yang

bergantung posisi, asalkan variasi lambat dalam jarak dari urutan panjang gelombang. Medium

tersebut kemudian dikatakan sebagai homogen lokal. Untuk media seperti, n di (2.1-1) dan c

dalam (2.1-2) hanya diganti dengan yang sesuai fungsi bergantung posisi n(r) dan c(r), masing-

masing.

Intensitas, Daya, dan Energi

Intensitas Optik I (r , t ), didefinisikan sebagai daya optik per satuan luas (Watt/cm2), sebanding

dengan rata-rata dari fungsi gelombang kuadrat:

I (r , t )=2 ⟨ u2 (r , t ) ⟩ . (2.1-3)

Intensitas Optik

Operasi ⟨ ∙ ⟩ menunjukkan rata-rata selama suatu interval waktu lebih lama daripada waktu siklus

optik, tapi jauh lebih pendek daripada waktu lain yang menarik (seperti durasi dari pulsa cahaya).

Lamanya siklus optik yang sangat pendek: 2 x 10-15 s = 2 fs untuk cahaya dari panjang

gelombang 600 nm, sebagai contoh. Konsep ini lebih lanjut dijelaskan dalam Bab 2.6.

Meskipun makna fisis dari fungsi gelombang u (r, t) belum secara eksplisit ditentukan, (2.1-

3) merupakan hubungannya dengan kuantitas terukur fisik - intensitas optik. Ada beberapa

kesewenang-wenangan dalam definisi fungsi gelombang dan hubungannya dengan intensitas.

Sebagai contoh, (2.1-3) bisa saja ditulis tanpa faktor 2 dan fungsi gelombang diskala oleh faktor

√2, dalam hal ini intensitas akan tetap sama. Pemilihan faktor 2 di (2.1-3) nanti akan

membuktikan kebenaran.

Daya Optik P(t) (satuan watt) mengalir ke daerah A normal terhadap arah propagasi cahaya

adalah intensitas terintegrasi

5

P ( t )=∫A

❑

I (r , t ) dA . (2.1-4)

Energi optik (satuan joule) dikumpulkan dalam interval waktu tertentu adalah integral dari daya

optik selama interval waktu.

2.2 GELOMBANG MONOKROMATIK

Sebuah gelombang monokromatik diwakili oleh fungsi gelombang harmonik dengan

ketergantungan waktu,

u (r , t )=a (r ) cos [2πvt+φ (r ) ] , (2.2-1)

seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.2-1 (a), di mana

a (r )=amplitudo

φ (r )=fase

v=frekuensi ( putarans

atau Hz)

ω=2 πv=frekuensi sudut ¿T=1/v=2 π /ω=periode(s)

Baik amplitudo dan fase umumnya bergantung posisi, tetapi fungsi gelombang adalah fungsi

harmonik waktu dengan frekuensi v di semua posisi. Gelombang optik memiliki frekuensi yang

terletak di kisaran 3 x 1011 - 3 x 1016 Hz, seperti yang digambarkan dalam Gambar 2.0-1.

Gambar 2.2-1 Representasi gelombang monokromatik pada posisi tetap r: (a) fungsi gelombang

u(t) adalah fungsi harmonik waktu, (b) amplitudo kompleks U=a exp ( jφ ) adalah fasor tetap; (c)

fungsi gelombang kompleks U ( t )=U exp ( j 2πvt ) adalah fasor rotasi dengan kecepatan sudut

ω=2 πv radian / s.

6

7

A. Representasi Kompleks dan Persamaan Helmholtz Fungsi Gelombang Kompleks

Lebih mudah untuk mewakili fungsi gelombang nyata u (r , t ) di (2.2-1) dalam hal fungsi

kompleks

U (r , t )=a (r ) exp [ jφ (r ) ] exp [ j 2 πvt ] , (2.2-2)

sehingga 

u (r , t )=R e {U (r , t ) }=12

[U (r ,t )+U ¿ (r , t ) ] , (2.2-3)

di mana simbol * menandakan konjugasi yang kompleks. Fungsi U (r , t ), yang dikenal sebagai

fungsi gelombang kompleks, menggambarkan gelombang akhir; fungsi gelombangu (r , t )

hanyalah bagian nyata. Seperti fungsi gelombang u (r , t ), fungsi gelombang kompleks U (r , t )

juga harus memenuhi persamaan gelombang

∇2U − 1c2

∂2U∂ t 2 =0. (2.2-4)

Persamaan Gelombang

Dua fungsi memenuhi kondisi batas bersamaan. 

Amplitudo kompleks

Persamaan ( 2.2-2 ) dapat ditulis dalam bentuk

U (r , t )=U (r )exp ( j2 πvt ) , (2.2-5)

Dimana faktor waktu-independen U (r )=a (r ) exp [ jφ (r ) ] disebut sebagai amplitudo kompleks

gelombang . Fungsi gelombang u (r , t ) tersebut berhubungan dengan amplitudo kompleks

u (r , t )=R e {U (r ) exp ( j 2 πvt ) }=12

[U (r ) exp ( j2 πvt )+U ¿ (r )exp (− j2 πvt ) ] (2.2-6)

Pada posisi r, amplitudo kompleks U (r ) adalah variabel yang kompleks [digambarkan dalam

Gambar 2.2-1 (b)] yang besarnya |U (r )|=a ( r ) adalah amplitudo gelombang dan arg {U (r ) }=φ (r )

adalah fase . Fungsi gelombang kompleks U (r , t ), ditunjukkan pada Gambar 2.2-1 (c), diwakili

secara grafis oleh fasor yang berputar dengan kecepatan sudut ω=2 πv radian/s. Nilai awal pada t

= 0 adalah amplitudo kompleks U (r ).

Persamaan Helmholtz

8

Menggantikan U (r , t )=U (r )exp ( j2 πvt ) dari (2.2-5) ke dalam persamaan gelombang (2.24)

mengarah ke persamaan diferensial untuk amplitudo kompleks U (r ):

∇2U +k2U =0 (2.2-7)

Yang dikenal sebagai persamaan Helmholtz , di mana

k=2 πvc

=ωc

(2.2-8)

Disebut sebagai bilangan gelombang. Solusi yang berbeda diperoleh dari kondisi batas yang

berbeda .

Intensitas Optik

Intensitas optik ditentukan dengan memasukkan (2.2-1) ke (2.1-3):

2 u2 (r , t )=2 a2 (r ) cos2 [2 πvt+φ (r ) ]

¿|U (r )|2 {1+cos (2 [2 πvt+φ (r ) ]) }. (2.2-9)

Merata-ratakan (2.2-9) selama waktu lebih lama dari periode optik , 1/v , menyebabkan periode

kedua (2.2-9) menghilang , dimana

I (r )=|U (r )|2 . (2.2-10)

Intensitas optik gelombang monokromatik adalah kuadrat mutlak amplitudo kompleks .

Intensitas gelombang monokromatik tidak berbeda dengan waktu .

Muka Gelombang

Muka gelombang adalah permukaan fase yang sama , φ (r )= konstan. Konstanta sering diambil

untuk menjadi kelipatan dari 2 π sehingga φ (r )=2 πq, di mana q adalah bilangan bulat.

Permukaan gelombang normal pada posisi r sejajar dengan vektor gradien ∇ φ (r ) (sebuah vektor

yang memiliki komponen ∂ φ /∂ x, ∂ φ /∂ y, dan ∂ φ /∂ z dalam sistem koordinat Cartesian) . Ini

merupakan arah di mana laju perubahan fase adalah maksimum.

9

Ringkasan

Gelombang monokromatik dengan frekuensi v digambarkan oleh fungsi

gelombang kompleks U (r , t )=U (r ) exp [ j2 πvt ], yang memenuhi persamaan

gelombang .

Amplitudo Kompleks U (r ) memenuhi persamaan Helmholtz, besarnya |U (r )| dan

argumen arg {U (r ) } adalah amplitudo dan fase gelombang, masing-masing.

Intensitas optic I (r )=|U (r )|2. Permukaan gelombang adalah permukaan fase

konstan , φ (r )=arg {U (r ) }=2 πq (q = bilangan bulat).

Fungsi gelombang u (r , t ) adalah bagian nyata dari fungsi gelombang kompleks ,

B. Dasar Gelombang

Solusi paling sederhana dari persamaan Helmholtz dalam medium homogen adalah gelombang

bidang dan gelombang bola .

Gelombang Bidang

Gelombang bidang memiliki amplitudo kompleks

U (r )=A exp (− j k ∙r )=Aexp [− j (k x x+k y y+k z z ) ] , (2.2-11)

Dimana A adalah konstanta kompleks yang disebut envelope kompleks dan k=(k x , k y , kz ) disebut

vektor gelombang. Mensubstitusi (2.2-11) ke dalam persamaan Helmholtz (2.2-7) menghasilkan

hubungan k x2+k y

2 +kz2=k2, sehingga besarnya vector gelombang k adalah bilangan gelombang k.

Selama fase gelombang adalah arg {U (r ) }=arg { A }−k ∙ r , permukaan fase konstan

(permukaan gelombang) memenuhi k ∙ r=kx x+k y y+k z z=2 πq+arg { A } dengan q bilangan bulat.

Ini adalah persamaan yang menggambarkan bidang sejajar tegak lurus terhadap vector

gelombang k (maka namanya “gelombang bidang”). Bidang berturut-turut dipisahkan oleh jarak

λ=2 π /k, sehingga

λ= cv

, (2.2-12)

Panjang gelombang

Dimana λ disebut panjang gelombang . Gelombang bidang memiliki intensitas konstan

I (r )=|A|2 di manapun dalam ruangan sehingga membawa daya yang tak terbatas. Gelombang ini

jelas merupakan idealisasi karena ada di manapun dan setiap saat.

Jika sumbu z diambil sepanjang arah vector gelombang k, maka U (r )=A exp (− jk z ) dan

fungsi gelombang yang sesuai diperoleh dari (2.2-6) adalah

u (r , t )=|A|cos [2 πvt−kz+arg { A } ]=¿|A|cos [2πv ( t−z /c )+arg { A } ] .¿ (2.2-13)

Fungsi gelombang Oleh karena itu periodik dalam waktu dengan periode 1/v , dan periodik

dalam ruang dengan periode 2 π /k , yang sama dengan panjang gelombang λ (lihat Gambar 2.2-

2). Karena fase fungsi gelombang kompleks, arg {U (r , t ) }=2πv (t−z /c )+arg { A }, bervariasi

10

Ringkasan

Gelombang monokromatik dengan frekuensi v digambarkan oleh fungsi

gelombang kompleks U (r , t )=U (r ) exp [ j2 πvt ], yang memenuhi persamaan

gelombang .

Amplitudo Kompleks U (r ) memenuhi persamaan Helmholtz, besarnya |U (r )| dan

argumen arg {U (r ) } adalah amplitudo dan fase gelombang, masing-masing.

Intensitas optic I (r )=|U (r )|2. Permukaan gelombang adalah permukaan fase

konstan , φ (r )=arg {U (r ) }=2 πq (q = bilangan bulat).

Fungsi gelombang u (r , t ) adalah bagian nyata dari fungsi gelombang kompleks ,

dengan waktu dan posisi sebagai fungsi dari variabel t−z /c (lihat Gambar 2.2-2), c disebut

kecepatan fase gelombang .

Gambar 2.2-2 Sebuah gelombang bidang bergerak dalam arah z adalah fungsi periodik z dengan

periode spasial λ dan fungsi periodik dari t dengan periode sementara 1/v .

Dalam medium dengan indeks bias n, gelombang memiliki kecepatan fase c=c0/n dan

panjang gelombang ¿c /v=c0/nv , sehingga λ=λ0/n di mana λ0=c0/ v adalah panjang

gelombang di ruang bebas. Dengan demikian, untuk frekuensi v, panjang gelombang dalam

medium berkurang dibandingkan dengan yang di ruang bebas dengan faktor n. Sebagai

konsekuensinya, bilangan gelombang k=2 π / λ relatif meningkat dalam ruang bebas (k 0=2 π / λ0 )

dengan factor n.

Sebagai gelombang monokromatik merambat melalui medium dengan indeks bias yang

berbeda frekuensi tetap sama, tetapi kecepatannya, panjang gelombangnya, dan bilangan

gelombang yang diubah:

c=c0

n, λ=

λ0

n, k=n k 0. (2.2-14)

Panjang gelombang yang ditampilkan pada Gambar 2.0-1 berada di ruang bebas (n = 1).

Gelombang Bola

Solusi sederhana yang lain dari persamaan Helmholtz (dalam koordinat bola) adalah gelombang

bola

11

U (r )=A0

rexp (− jk r ) , (2.2-15)

Dimana r adalah jarak dari titik asal , k=2 πv /c=ω/c adalah bilangan gelombang, dan A0 adalah

konstan. Intensitas I (r )=|A0|2/r2 berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Mengambil

arg { A0 }=0 untuk kesederhanaan, muka gelombang adalah permukaan kr=2πq atau r=qλ, di

mana q adalah bilangan bulat. Ini adalah bola konsentris dipisahkan oleh jarak radial λ=2 π /k

sebelumnya bahwa radial pada kecepatan fase c (Gambar 2.2-3).

Gelombang bola berasal pada posisi r0 memiliki amplitudo kompleks

U (r )=( A0/|r−r0|) exp(− jk|r−r0|). Muka gelombangnya adalah bola yang berpusat sekitar r0.

Sebuah gelombang dengan amplitudo kompleks U (r )= ( A0/r ) exp (+ jkr ) adalah gelombang bola

bergerak ke dalam (ke arah asal) bukan keluar (jauh dari asal).

Aproksimasi Fresnel dari Gelombang Bulat: Gelombang Paraboloidal

Marilah kita periksa gelombang bola (yang berasal pada r = 0) pada titik-titik r=x , y , z ¿ yang

cukup dekat dengan sumbu z tetapi jauh dari asal, sehingga √ x2+ y2 ≪ z. Pendekatan paraksial

optik ray (Bab 1.2) akan berlaku titik-titik endpoint dari sinar yang dimulai pada titik asal.

Menunjukkan kemunculanθ2= ( x2+ y2 ) /z2 ≪1, kita gunakan perkiraan berdasarkan perluasan

deret Taylor:

r=√x2+ y2+z2=z √1+θ2=z (1+ θ2

2−θ4

8+⋯)

≈ z (1+ θ2

2 )=z+ x2+ y2

2 z. (2.2-16)

12

Gambar 2.2-3 Cross section muka gelombang dari

gelombang bola.

Ungkapan ini , r=z+( x2+ y2 )/2 z, kini diganti menjadi fase U (r ) di (2.2-15). Sebuah ekspresi

kurang akurat, r ≈ z, dapat digantikan besarnya karena kurang sensitif terhadap kesalahan dari

fase. Hasilnya diketahui sebagai pendekatan Fresnel dari gelombang bola :

U (r ) ≈A0

zexp (− jk z )exp [− jk

x2+ y2

2 z ] . (2.2-17)

Pendekatan Fresnel

dari Gelombang Bola

Pendekatan ini memainkan peran penting dalam menyederhanakan teori transmisi optic-

gelombang melalui lubang (difraksi), seperti dibahas dalam Bab 4.

Amplitudo kompleks (2.2-17) dapat dilihat sebagai perwakilan gelombang bidang

A0 exp (− jk z ) dimodulasi oleh faktor (1/ z ) exp [− jk ( x2+ y2 ) /2 z ], yang melibatkan fase

k ( x2+ y2 )/2 z. Fase ini berfungsi untuk faktor menekuk muka gelombang planar dari gelombang

bidang ke permukaan paraboloidal (Gambar 2.2-4), karena persamaan revolusi paraboloid adalah

( x2+ y2 )/ z = konstan. Di wilayah ini gelombang bola baik didekati oleh gelombang paraboloidal.

Ketika z menjadi sangat besar, faktor fase paraboloidal di (2.2-17) mendekati 0 sehingga fase

keseluruhan gelombang menjadi kz. Karena besarnya A0 /z bervariasi perlahan dengan z,

gelombang bola akhirnya mendekati gelombang bidang exp (− jk z ), seperti yang diilustrasikan

pada Gambar 2.2-4.

Kondisi validitas untuk pendekatan Fresnel tidak hanya bahwa θ2 ≪1. Meskipun istilah

ketiga dari seri ekspansi,θ4/8, mungkin sangat kecil jika dibandingkan dengan istilah kedua dan

pertama, bila dikalikan dengan kz dapat menjadi sebanding dengan π. Pendekatan yang

digunakan dalam hal tersebut berlaku ketika kz θ4 /8≪ π, atau ( x2+ y2 )2≪4 z3 λ. Untuk poin ( x , y )

yang berada di dalam lingkaran berjari-jari a

13

Gambar 2.2-4 Gelombang bola dapat diperkirakan pada titik-titik di dekat sumbu z dan cukup jauh dari asal oleh gelombang paraboloidal. Untuk poin yang sangat jauh dari asal, gelombang bola mendekati gelombang bidang.

Berpusat sekitar sumbu z, kondisi validitas demikian a4 ≪4 z3 λ atau

N F θm2

4≪1 , (2.2-18)

Dimana θm=a /z, adalah sudut maksimum dan

N F=a2

λz (2.2-19)

Bilangan Fresnel

dikenal sebagai Bilangan Fresnel

.

LATIHAN 2.2-1

Validitas Aproksimasi Fresnel. Tentukan radius lingkaran di mana gelombang bola dengan

panjang gelombang λ=633 nm, berasal pada jarak 1 m, dapat didekati dengan gelombang

paraboloidal. Tentukan sudut maksimum θm dan bilangan Fresnel N F.

C. Gelombang Paraksial

Sebuah gelombang dikatakan paraksial jika muka gelombang normalnya adalah sinar paraksial.

Salah satu cara untuk membangun gelombang paraksial adalah mulai dengan gelombang bidang

A exp (− jk z ), menganggapnya sebagai “pembawa” gelombang, dan mengubah atau

“memodulasi” envelope kompleks A, sehingga fungsi perlahan-lahan berbagai fungsi posisi,

A(r), sehingga bahwa amplitudo kompleks dari gelombang termodulasi menjadi

U (r )=A (r ) exp (− jkz ) . (2.2-20)

Variasi envelope A(r) dan turunannya dengan posisi z harus lambat dalam jarak panjang

gelombang λ=2 π /k sehingga gelombang mempertahankan sifatnya yang mendasari gelombang

bidang.

Fungsi gelombang dari gelombang paraksial ,u (r , t )=|A (r )|cos [2 πvt−kz+arg { A (r ) } ], digambarkan pada Gambar 2.2-5 (a) sebagai fungsi z di t=0 dan x= y=0. Ini adalah fungsi

sinusoidal z dengan amplitudo |A (0 , 0 , z )| dan fasearg { A (0 ,0 , z ) }, yang keduanya bervariasi

perlahan dengan z . Karena fase arg { A ( x , y , z ) } merubah sebagian kecil jarak panjang

14

gelombang, muka gelombang planar kz=2πq dari gelombang bidang pembawa hanya sedikit

menekuk, sehingga sinar paraksial bentuk normal mereka [Gambar 2.2-5 (b)] .

Gambar 2.2-5 (a) Fungsi gelombang dari gelombang paraksial pada titik-titik pada sumbu z

sebagai fungsi dari jarak z aksial. (b) Muka gelombang dan muka gelombang normal gelombang

paraksial pada bidang x-z.

Persamaan Helmholtz Paraksial

Untuk gelombang paraksial (2.2-20) untuk memenuhi persamaan Helmholtz (2.2-7), envelope

kompleks A (r ) harus memenuhi persamaan diferensial parsial lain yang diperoleh dengan

mengganti (2.2-20) ke (2.2-7). Asumsi bahwa A (r ) bervariasi perlahan sehubungan dengan z

menandakan bahwa dalam jarak ∆ z= λ, perubahan Δ A jauh lebih kecil dari A itu sendiri, yaitu,

Δ A≪ A. Ini ketimpangan variabel yang kompleks berlaku terhadap besaran dari bagian real dan

imajiner secara terpisah. Karena ∆ A=(∂ A/∂ z ) ∆ z=(∂ A/∂ z ) λ, berikut bahwa

∂ A/∂ z ≪ A / λ=Ak /2 π , sehingga

∂ A∂ z

≪kA . (2.2-21)

Turunan ∂ A/∂ z itu sendiri juga harus sangat lambat dalam jarak λ, sehingga

∂2 A /∂ z2≪k ∂ A/∂ z, yang menyediakan

∂2 A∂ z2 ≪k2 A . (2.2-22)

15

Mengganti (2.2-20) ke (2.2-7), dan mengabaikan ∂2 A /∂ z2 dibandingkan dengan k ∂ A /∂ z atau

k 2 A, mengarah ke persamaan diferensial parsial untuk envelope kompleks A (r ):

∇T2 A− j 2 k

∂ A∂ z

=0 , (2.2-23)

Persamaan Helmholtz Paraxial

di mana ∇T2 =∂2/∂ x2+∂2/∂ y2 adalah operator Laplacian.

Persamaan (22-23) adalah envelope pendekatan perlahan berbagai persamaan Helmholtz.

Kami hanya akan menyebutnya persamaan Helmholtz paraksial . Ini menghasilkan beberapa

kemiripan dengan persamaan Schrodinger fisika kuantum [lihat (13.1-1)]. Solusi paling

sederhana dari persamaan Helmholtz paraksial adalah gelombang paraboloidal (Latihan 2.2-2),

yang merupakan pendekatan paraksial dari gelombang bola. Salah satu solusi yang paling

menarik dan berguna, namun, adalah Gaussian beam, yang Bab 3 dikhususkan.

LATIHAN 2.2-2

Gelombang Paraboloidal dan Gaussian Beam. Verifikasi bahwa gelombang paraboloidal

dengan envelope kompleks A (r )= ( A0/ z ) exp [− jk ( x2+ y2 ) /2 z ] [lihat (2.2-17)] memenuhi

persamaan Helmholtz paraksial (2.2-23). Tunjukkan bahwa gelombang dengan envelope

kompleks (r )=[ A1/q ( z ) ] exp [− jk ( x2+ y2 ) /2 q ( z ) ], di mana q ( z )=z+ j z0 dan z0 adalah konstan,

juga memenuhi persamaan Helmholtz paraksial. Gelombang ini, disebut Gaussian beam, adalah

subyek dari Bab 3. Sketsa intensitas sinar Gaussian pada bidang z=0.

*2.3 HUBUNGAN ANTARA GELOMBANG OPTIK DAN RAY OPTIK

Kami lanjutkan untuk menunjukkan bahwa sinar optik muncul sebagai batas optik gelombang

ketika gelombang λ0→ 0. Pertimbangkan gelombang monokromatik dengan panjang gelombang

ruang bebas λ0 dalam medium dengan indeks bias n (r ) yang bervariasi cukup lambat dengan

amplitudo kompleks (2.2-5) dalam bentuk

16

U (r )=a (r ) exp [− j k 0 S (r ) ] . (2.3-1)

Dimana a ( r ) adalah besarnya, −k 0 S (r ) adalah fase, dan k 0=2 π / λ0 adalah bilangan gelombang

ruang bebas. Kami berasumsi bahwa a ( r ) bervariasi cukup lambat dengan r bahwa hal itu dapat

dianggap sebagai konstan dalam jarak panjang gelombang λ0.

Muka gelombang adalah permukaan S (r )=konstandan titik muka gelombang normal dalam

arah vektor gradient ∇ S. Di lingkungan posisi tertentu r0, gelombang dapat secara lokal

dianggap sebagai gelombang bidang dengan amplitudo a (r 0 ) dan vektor gelombang k sebesar

k=n (r 0 ) k0 dan arah sejajar dengan vektor gradien ∇ S di r 0. Sebuah lingkungan yang berbeda

menunjukkan gelombang bidang lokal dari amplitudo yang berbeda dan vektor gelombang

berbeda.

Dalam optik ray itu menunjukkan bahwa sinar optik normal pada permukaan equilevel dari

fungsi S (r ) disebut eikonal (lihat Sec. 1.3c). Oleh karena itu kita mengasosiasikan vektor

gelombang lokal (muka gelombang normal) di optik gelombang dengan sinar optik ray dan

mengakui bahwa fungsi S (r ), yang sebanding dengan fase gelombang, tidak lain adalah eikonal

optik ray (Gambar 2.3-1). Asosiasi ini memiliki dasar matematika formal, seperti yang akan

ditunjukkan segera. Dengan analogi ini, optik ray dapat berfungsi untuk menentukan dampak

perkiraan komponen optik pada muka gelombang normal, seperti yang diilustrasikan pada

Gambar 2.3-1.

Gambar 2.3-1 (a) sinar optik ray ortogonal terhadap muka gelombang optik gelombang ( lihat

juga Gambar 1.3-10). (b) Pengaruh lensa pada sinar dan muka gelombang.

Persamaan Eikonal

Mengganti (2.3-1) ke dalam persamaan Helmholtz (2.2-7) menghasilkan

k 02 [ n2−|∇S|2 ] a+∇2 a− j k0 [2∇S ∙∇ a+a∇2 S ]=0 (2.3-2)

17

Dimana a=a (r ) dan S=S (r ). Bagian real dan imajiner dari sisi kiri dari (23-2) berdua harus

lenyap. Menyamakan bagian nyata ke nol dan menggunakan k 0=2 π / λ0, kita memperoleh

|∇S|2=n2+( λ0

2 π )2∇2 a

a (2.3-3)

Asumsi nilai a bervariasi perlahan selama jarak λ0 berarti λ02∇2 a/a≪1, sehingga istilah kedua

dari sisi kanan dapat diabaikan dalam batas λ0→ 0, dimana

|∇S|2 ≈ n2 (2.3-4)

Persamaan Eikonal

Ini adalah persamaan eikonal (1.3-20), yang dapat dianggap sebagai postulat utama ray optik

(prinsip Fermat dapat diturunkan dari persamaan eikonal dan sebaliknya).

Dengan demikian, fungsi scalar S (r ), yang sebanding dengan fase gelombang optik, adalah

eikonal optik ray. Hal ini juga sejalan dengan pengamatan bahwa di sinar optik S (r B )−S (r A )

sama dengan panjang optik jalur antara titik r A dan r B.

Persamaan eikonal adalah batas dari persamaan Helmholtz ketika λ0→ 0. Mengingat n (r ) kita

dapat menggunakan persamaan eikonal untuk menentukan S (r ). Dengan menyamakan bagian

imajiner (2.3-2) ke nol, kita memperoleh hubungan antara a dan S, sehingga memungkinkan kita

untuk menentukan fungsi gelombang.

2.4 KOMPONEN OPTIK SEDERHANA

Dalam bagian ini, kami meneliti efek komponen optik, cermin, pelat

transparan, prisma dan lensa, pada gelombang optik.

A. Refleksi Dan Pembiasan

Refleksi dari cermin Planar

Bidang gelombang pada vector gelombang k1 terjadi ke cermin planar

terletak di ruang bebas bidang z = 0. Gelombang tercermin pada bidang

gelombang vector k2 dibuat. Timbulnya sudut dan refleksi adalah θ1dan θ2,

seperti digambarkan dalam Fig. 2.4-1. Jumlah dari dua gelombang

memenuhi persamaan Helmholtz jika wavenumber adalah sama, yaitu, jika

18

k1=k2 = k0. Kondisi batas tertentu harus dipenuhi pada permukaan cermin.

Karena kondisi ini sama pada semua poin (x, y), hal ini diperlukan bahwa

Front gelombang pada pertemuan dua gelombang, yaitu,

k 1 . r=k2 . r untuk semuar=( x , y , 0 )(2.4−1)

Mengganti r = (x, y, 0), k1 = (k 0sin θ1 , 0 , k0 sin θ1), dan k2 = (k 0sin θ2 , 0 ,−k0 sinθ2

), ke (2.4-1), kita mendapatkan (k 0 x sinθ1=k 0sin θ2),, dari θ1=θ2, sehingga sudut

dari insiden dan refleksi harus sama. Dengan demikian, hukum refleksi optik

sinar ini berlaku untuk vektor gelombang pada bidang gelombang.

Refleksi Dan Pembiasan Di Batas Dielektrik Planar

Kita sekarang mempertimbangkan bidang gelombang pada gelombang

vector k1 peristiwa pada batas planar antara dua media homogen bias indeks

n1 dan n2.Batas terletak di bidang z=0( Gb.2.4-2).

Gambar 2.4-1 refleksi gelombang pesawat

dari cermin planar. Fase pencocokan pada

permukaan cermin memerlukan bahwa sudut

dari insiden dan refleksi menjadi sama.

Bidang gelombang dibiaskan dan pantulan oleh gelombang vectors k2 dan k3

muncul. Kombinasi dari tiga gelombang memenuhi persamaan Helmholtz di

mana-mana jika masing-masing gelombang memiliki wavenumber tepat

dalam jangka menengah dan di mana itu menjalar (k1=k3=n1k0 dan k2=n2k0).

Gambar 2.4-2 Refraksi gelombang bidang di

batas dielektrik. Pencocokan wavefronts pada

batas: jarak P1 P2 untuk gelombang insiden,

λ1/sin θ1= λ0/n1sin θ1, sama dengan yang

19

untuk gelombang dibiaskan, λ2/sin θ2= λ0/n2sin

θ2 , dari mana hukum Snellius berikut.

Sejak batas kondisi invarian untuk x dan y, sangatlah penting bahwa

wavefronts pada pencocokan tiga gelombang, yaitu,

k 1 . r=k2 . r=k3 .r untuk semua r=( x , y , 0 )(2.4−2)

Sejak k1=( n1k0 sin θ1, 0, n1k0 cos θ1), k3=( n1k0 sin θ3, 0, n1k0 cos θ3), dan

k2=( n2k0 sin θ2, 0, n2k0 cos θ2), dimana θ1, θ2,dan θ3 adalah sudut dari insiden,

bias, dan refleksi, secara berturut-turut, maka mengikuti dari (2.4-2) agar

θ1= θ3 dan n1 sin θ1= n2 sin θ2. Ini adalah hukum refleksi dan refraksi (Hukum

Snellius) sinar optik, Sekarang berlaku untuk wavevectors.

Hal ini tidak mungkin untuk menentukan amplitudo refleksi dan refraksi

gelombang menggunakan skalar gelombang optik karena kondisi batas yang

tidak sepenuhnya ditentukan dalam teori ini. Ini akan dicapai di Sec. 6.2

menggunakan optik elektromagnetik (Bab 5 dan 6).

B. Transmisi melalui komponen optik

Sekarang kita meneruskan untuk meneliti transmisi gelombang optik melalui

komponen transparan optik seperti pelat, prisma dan lensa. Efek refleksi

pada permukaan komponen ini akan diabaikan, karena itu tidak dapat

dianggap benar untuk menggunakan teori skalar gelombang cahaya. Juga

dapat efek penyerapan dalam materi, yang diturunkan ke Sec. 5.5.

Penekanan utama di sini adalah pada pergeseran fasa yang diperkenalkan

oleh komponen ini dan terkait wavefront membengkok.

Transmisi melalui Sebuah Pelat yang Transparan

Pertimbangan pertama pada transmisi bidang gelombang melalui pelat

transparan dengan indeks bias n dan ketebalan d dikelilingi oleh ruang

bebas. Permukaan pelat adalah bidang z = 0 dan z = d dan pengaruh

gelombang bergerak ke arah z (Fig. 2.4-3). Biarkan U (x, y, z) menjadi

amplitudo gelombang kompleks. Karena refleksi eksternal dan internal

20

diabaikan, U (x, y, z) diasumsikan terus-menerus di perbatasan. Rasio t (x,

y)-U (x, y, d) /U (x, y, 0) karena itu mewakili amplitudo kompleks piringan;

Hal ini memungkinkan kita untuk menentukan U (x, y, d) untuk U sembarang

(x, y, 0) pada input. Efek refleksi dianggap di Sec. 6.2 dan efek dari beberapa

refleksi internal dalam pelat diperiksa dalam Sec. 10.1.

Gambar 2.4-3 Transmisi sebuah bidang

gelombang melalui sebuah pelat yang

transparan.

Sekali di dalam pelat, gelombang itu berlanjut untuk menyebarkan

sebagai bidang gelombang dengan wavenumber nk0, sehingga U(x,y,z)

proporsional untuk exp (—jnk 0z). Dengan demikian, rasio U(x, y, d)/U(x,y,0)

= exp (— jnk0d), sehingga

t ( x , y )=exp (− jnk 0d ) (2.4−3 )

Transmitansi Pelat

Transparan

Pelat ini terlihat untuk memperkenalkan pergeseran fasa n k 0d=2 π ( dλ ) .

Jika pengaruh bidang gelombang membuat sudut θ sehubungan dengan

sumbu z dan wavevector k (Fig. 2.4-4), gelombang dibiaskan dan

ditransmisikan juga bidang gelombang dengan wavevectors k1dan k dan

sudut θ1 dan θ, berturut-turut, dimana θ1 dan θ berhubungan dengan

hukum Snellius: sin θ= n sin θ1. Amplitudo kompleks U(x,y,z) dalam pelat kini

sebanding exp (-jk1• r) = exp [— jnk0 (z cos θ1+ x sin θ1)], sehingga

transmitansi amplitudo kompleks pada pelat U (x, y, d) /U (x, y, 0) adalah

t ( x , y )=exp (−¿ jn k0 dcos θ1)(2.4−4)¿

21

Jika pengaruh sudut θ adalah kecil (misalnya, jika pengaruh gelombang

adalah paraxial), kemudian θ1 ≈ θ/n juga kecil dan pendekatan cosθ1≈ 1−12

θ12

menghasilkan t ( x , y )≈ exp (−¿ jn k0 d )exp (¿ j k0 θ2 d /2n)¿¿. Jika piringan cukup tipis,

dan sudut θ adalah cukup kecil seperti k 0θ2 d /2n≪2 π [atau( dλ0

)θ2/2n≪1],

kemudian transmitansi pelat dapat diperkirakan oleh (2.4-3). Di bawah

kondisi ini transmitansi pelat adalah kira-kira sudut kebebasannya θ.

Pelat Transparan Tipis yang Ketebalannya Bervariasi

Kita sekarang menentukan transmitansi amplitudo pelat transparan tipis

yang ketebalannya d (x, y) bervariasi dengan lembut sebagai fungsi dari x

dan y, dengan asumsi bahwa pengaruh gelombang adalah gelombang

paraxial sembarang. Pelat terletak di antara bidang z = 0 dan z=d0, yang

dianggap sebagai batas-batas bungkus komponen optik (Fig. 2.4-5).

Gambar 2.4-4 Transmisi sebuah gelombang

bidang miring yang melalui sebuah pelat

transparan yang tipis

Gambar 2.4-5 Sebuah pelat transparan dengan

ketebalan yang bervariasi

Di posisi sekitar (x, y, 0) pengaruh gelombang paraxial dapat dianggap

secara lokal sebagai bidang gelombang yang merambat di sepanjang arah

yang membuat sebuah sudut yang kecil dengan sumbu z. Melintasi material

22

pelat tipis yang ketebalannya d (x, y) dikelilingi oleh lapisan tipis dari udara

yang total ketebalannya d0 - d(x,y). Sesuai dengan hubungan perkiraan (2.4-

3), transmitansi lokal adalah produk dari transmitansi lapisan udara tipis

yang ketebalannya do-d (x, y) dan lapisan material tipis dengan ketebalan d

(x, y), sehingga t ( x , y )≈ exp [− jnk 0 d ( x , y ) ]exp [− j k0 (d0−d ( x , y ) )], dari

t ( x , y )≈ ho exp¿¿

Variabel Transmitansi-Ketebalan

Pelat

Dimana h o=exp (− j k 0d0) adalah sebuah konstanta faktor fase. Hubungan ini

berlaku dalam pendekatan paraxial (di mana semua sudut θ kecil) dan ketika

ketebalannya d0 cukup kecil sehingga (d¿¿0 / λ0)θ2/2n≪1¿.

LATIHAN 2.4-1

Transmisi melalui sebuah prisma. Menggunakan (2.4-5) untuk

menunjukkan bahwa transmitansi amplitudo kompleks prisma tipis terbalik

dengan sudut apex α ≪1 dan ketebalan d0 (Fig. 2.4-6) adalah t ( x , y )=h oexp¿¿,

dimana h o=exp (− j k0 d0 ). Apakah efek Prisma berpengaruh pada bidang

gelombang yang merambat ke arah z? Bandingkan hasil Anda dengan orang-

orang yang diperoleh melalui model ray-optik [lihat (1.2-7)].

Gambar 2.4-6 Transmisi sebuah

bidang gelombang melalui prisma tipis.

Lensa tipis

Ekspresi Umum (2.4-5) untuk transmitansi kompleks amplitudo pada pelat

tipis transparan yang variabel ketebalannya sekarang diterapkan ke lensa

tipis planoconvex ditampilkan dalam Fig. 2.4-7. Karena lensa nya adalah bola

23

tertutup berjari-jari R, ketebalan pada titik (x, y) adalah

d ( x , y )=d0−PQ=d0−( R−PQ ), atau

d ( x , y )=d0−[ R−√R2 – ( x2+ y2) ](2.4−6)

Ungkapan ini dapat disederhanakan dengan mempertimbangkan hanya poin

untuk x dan y yang cukup kecil dibandingkan dengan R sehingga x2+ y2≪ R2 .

Dalam hal ini

√ R2 – ( x2+ y2 )=R√1− x2+ y2

R2≈ R (1− x2+ y2

2R2 ) ,(2.4−7)

dimana kami telah menggunakan ekspansi deret Taylor yang mengarah

sama pada perkiraan gelombang Fresnel bulat di (2.2 -17). Menggunakan

pendekatan ini (2.4-6) kemudian menetapkan

t ( x , y )≈ d0−x2+ y2

2 R2 (¿2.4−8)¿

Akhirnya, substitusi ke hasil (2.4-5)

t ( x , y )≈ h0exp [ j k0x2+ y2

2 f ] ,(2.9−9)

dimana

f = Rn−1

(2.4−10)

adalah panjang fokus lensa (Lihat Sec. 1.2 C) dan h0 = exp(—jnk0d0) adalah

faktor lain konstan fase yang biasanya tidak signifikannya.

Karena lensa memberikan sebuah fase yang sebanding x2+ y2 untuk

peristiwa bidang gelombang, itu mengubah planar wavefronts menjadi

wavefronts gelombang paraboloidal berpusat pada jarak f dari lensa, seperti

yang ditunjukkan dalam latihan 2.4-3.

Gambar 2.4-7 A planoconvex lensa.

24

LATIHAN 2.4-2

Lensa Double-cembung. Menunjukkan bahwa transmitansi amplitudo

kompleks lensa double-cembung (juga disebut lensa bulat) ditampilkan

dalam Fig. 2.4-8 diberikan oleh (2.4-9) dengan

1f= (n−1 )( 1

R1

−1R2

)(2.4−11)

Anda dapat membuktikan ini baik dengan menggunakan rumus umum (2.4-

5) atau mengenai lensa double-cembung sebagai lensa riam dua

planoconvex. Ingat bahwa, oleh konvensi, jari-jari permukaan berbentuk

cembung/cekung positif/negatif, sehingga R1 positif dan R2 negatif untuk

lensa ditampilkan dalam Fig. 2.4-8. Parameter f diakui sebagai panjang fokus

lensa [lihat (1.2-12)].

Gambar 2.4-8 Sebuah lensa double-

cembung.

LATIHAN 2.4-3

Fokus sebuah bidang gelombang oleh sebuah lensa tipis. Menunjukkan

bahwa ketika bidang gelombang ditransmisikan melalui lensa tipis dari

panjang f dalam arah sejajar sumbu lensa, waktunya akan diubah ke

gelombang paraboloidal (pendekatan Fresnel gelombang bulat) yang

berpusat sekitar titik pada jarak f dari lensa, seperti digambarkan dalam Fig.

2.4-9. Apakah efek dari lensa pada peristiwa bidang gelombang pada sudut θ

kecil?

25

Gambar 2.4-9 Sebuah lensa tipis

mengubah bidang gelombang ke

gelombang paraboloidal.

LATIHAN 2.4-4

Penggambaran sifat sebuah lensa. Menunjukkan bahwa gelombang

paraboloidal yang berpusat di titik P1 (Gambar 2.4-10) dikonversi dengan

panjang lensa f ke gelombang paraboloidal berpusat sekitar P2, dimana

1/ z1+1/z2=1 / f (dikenal sebagai persamaan pencitraan).

Gambar 2.4-10 Sebuah lensa

gelombang paraboloidal berubah menjadi

gelombang paraboloidal yang lain. Dua

gelombang yang berpusat pada jarak

yang memenuhi persamaan pencitraan.

Kisi-kisi Difraksi

Kisi Difraksi merupakan komponen optik yang berfungsi untuk secara

berkala memodulasi fase atau amplitudo gelombang. Dapat dibuat piring

transparan dengan ketebalan bervariasi secara berkala atau secara berkala

dinilai indeks bias (Lihat Sec. 2.4 C). Pengulangan array diffracting unsur-

unsur seperti lubang, rintangan, atau menyerap unsur-unsur (Lihat Sec. 4.3)

juga dapat digunakan untuk tujuan ini. Difraksi refleksi kisi-kisi sering dibuat

dari film tipis secara berkala memerintah film tipis aluminium yang telah

menguap ke substrat kaca.

Pertimbangkan kisi Difraksi terbuat dari pelat transparan tipis

ditempatkan di bidang z = 0 ketebalan yang bervariasi secara berkala ke

arah x dengan periode Λ (Fig. 2.4-11). Seperti yang akan ditunjukkan dalam

latihan 2.4-5, pelat ini mengkonversi sebuah peristiwa bidang gelombang

yang panjang gelombang λ≪ Λ, berpindah di sudut kecil θi sehubungan

26

dengan sumbu z, ke beberapa bidang gelombang di sudut kecil sehubungan

dengan sumbu z:

θq=θi+qλΛ

,(2.4−12)

dimana q = 0, ±1, ±2,..., disebut urutan Difraksi. Gelombang diffracted

dipisahkan oleh sebuah sudut θ=λ/ Λ, seperti yang ditunjukkan dalam

gambar 2.4-11

Gambar 2.4-11 Sebuah pelat tipis transparan

dengan secara berkala berbagai ketebalan

berfungsi sebagai kisi Difraksi. Membagi sebuah

gelombang insiden pesawat ke beberapa

pesawat gelombang bepergian dalam arah yang

berbeda.

LATIHAN 2.4-5

Transmisi melalui kisi Difraksi.

(a) ketebalan pelat tipis transparan bervariasi sinusoidally ke arah x

d ( x , y )=12

d0 [1+cos (2 πx / Λ ) ] seperti digambarkan dalam Fig. 2.4-11.

Menunjukkan bahwa trnsmitansi amplitude kompleks

t ( x , y )=h0 exp [− j12

(n−1 ) k0 d0 cos (2 πx / Λ )]dimana h0=exp[− j12

(n+1 )k 0d0] (b) menunjukkan bahwa peristiwa bidang gelombang yang berpindah di

sudut kecil θi sehubungan dengan arah z ditransmisikan dalam bentuk

sejumlah bidang gelombang berpindah di sudut θq diberikan oleh (2.4-12).

Petunjuk: Memperluas fungsi periodik t(x, y) dalam deret Fourier.

Persamaan (2.4-12) ini berlaku hanya dalam pendekatan paraxial (ketika

semua sudut kecil). Pendekatan ini berlaku ketika periode Λ lebih besar

daripada panjang gelombang λ. Analisis yang lebih umum pengukuran

Difraksi tipis, tanpa menggunakan pendekatan paraxial, menunjukkan bahwa

27

peristiwa bidang gelombang diubah menjadi beberapa bidang gelombang di

sudut θq memuaskan *

sin θq=sin θi+qλΛ

(2.4−13)

Kisi-kisi Difraksi digunakan sebagai filter dan analisis spektrum. Karena sudut

θq tergantung pada panjang gelombang λ (dan karena itu pada frekuensi v),

gelombang polychromatic dipisahkan oleh kisi-kisi ke dalam komponennya

spektral (Fig.2.4-12). Kisi-kisi Difraksi telah menemukan banyak aplikasi di

bidang spektroskopi.

Gambar 2.4-12 A Difraksi grating

mengarahkan dua gelombang dengan

panjang gelombang yang berbeda, λ1dan λ2,

menjadi dua arah yang berbeda, θ1 dan θ2.

Karena itu berfungsi sebagai sebuah analyzer

spectrum atau spektrometer.

C. Nilai-lndex komponen optik

Efek Prisma, lensa atau difraksi grating pada peristiwa gelombang optik

diberikan pada keadaan pergeseran fasa itu, yang berfungsi untuk menekuk

wavefront dalam beberapa cara yang ditentukan. Pergeseran fasa ini

dikendalikan oleh variasi dalam ketebalan bahan dengan jarak melintang

dari sumbu optik (linear, quadratically, atau secara berkala, dalam kasus

sebuah prisma, lensa dan difraksi grating, secara berturut-turut). Pergeseran

fasa yang sama memungkinkan diganti yang diperkenalkan oleh pelat planar

transparan ketebalan tetap tetapi dengan berbagai indeks bias. Ini adalah

hasil dari fakta bahwa ketebalan dan indeks bias muncul sebagai hasil di

(2.4-3).

Transmitansi amplitudo kompleks pelat planar transparan tipis ketebalan

d0 dan nilai indeks bias n (x, y) adalah, dari (2.4-3),

28

t ( x , y )=exp [− jn ( x , y ) k0 d0 ](2.4−14 )

Transmitansi nilai indeks pelat tipis

Dengan memilih variasi yang sesuai dari n(x,y) dengan x dan y, aksi tetap

indeks komponen optik tipis dapat ditiru, seperti yang ditunjukkan dalam

latihan 2.4-6.

LATIHAN 2.4-6

Nilai indeks Lensa. Menunjukkan bahwa ketebalan pelat tipis yang

seragam d0 (Fig. 2.4-13) dan nilai indeks bias quadratically

n ( x , y )=n0[1−12

α 2 ( x2+ y2 )], dengan α d0≪1. bertindak sebagai sebuah lensa yang

jarak focus f =1/n0 d0 α 2 (Lihat latihan 1.3 - 1).

Gambar 2.4-13 Sebuah nilai indeks piring

bertindak sebagai lensa.

29

2.5 INTERFERENSI

Ketika dua atau lebih gelombang optik hadir secara bersamaan di daerah

yang sama dalam ruang dan waktu, total fungsi gelombang adalah jumlah

dari fungsi gelombang individu. Prinsip dasar superposisi berikut ini dari

linearitas dari persamaan gelombang. Untuk gelombang monokromatik pada

frekuensi yang sama, prinsip superposisi meluas amplitudo kompleks, yang

mengikuti dari linearitas dari persamaan Helmholtz.

Prinsip superposisi tidak berlaku untuk intensitas optik karena jumlah

intensitas dari dua atau lebih gelombang ini belum tentu jumlah intensitas

mereka. Perbedaan terkait dengan interferensi. Fenomena interferensi tidak

dapat dijelaskan berdasarkan sinar optik karena bergantung pada fase

hubungan antara gelombang yang berimpit.

Dalam bagian ini, kami meneliti interferensi antara dua atau lebih

gelombang monokromatik pada frekuensi yang sama. Interferensi

gelombang frekuensi yang berbeda dibahas dalam Sec. 2.6.

A. Interferensi dua gelombang

Ketika dua monokromatik gelombang dengan amplitudo kompleks U1(r) dan

U2(r) berimpit, hasilnya adalah gelombang monokromatik pada frekuensi

yang sama yang memiliki amplitudo kompleks

U (r )=U 1 (r )+U 2 (r )(2.5−1)

Sesuai dengan (2.2-10), intensitas gelombang konstituen adalahI 1=|U 1|2 dan

I 2=|U 2|2, sementara intensitas gelombang total adalah

I=|U|2=|U 1+U 2|2=|U 1|

2+|U 2|2+U 1

¿U 2+U 1 U 2¿ (2.5−2 )

Ketergantungan eksplisit pada r telah dihilangkan untuk kenyamanan.

Mengganti

U 1=√I 1exp ( j φ1 ) dan U 2=√ I 2exp ( jφ2 ) (2.5−3 )

ke (2,5-2), dimana φ1dan φ2 adalah fase dua gelombang, kita memperoleh

30

I=I 1+ I 2+2√I 1 I 2 cosφ , (2.5−4 )

Persamaan interferensi

dengan

φ=φ1+φ2(2.5−5)

Hubungan ini, yang disebut persamaan intereferensi, ini juga perlu

difahami dari segi geometri diagram phasor ditampilkan dalam Fig. 2.5-1 (a),

yang menunjukkan bahwa besarnya phasor U sensitif tidak hanya untuk

besaran Konstituante Phasor tetapi juga untuk fase perbedaan φ.

Ini jelas, karena itu, bahwa jumlah intensitas dari dua gelombang tidak

jumlah intensitas mereka [gambar 2.5-1(b)]; istilah tambahan, dikaitkan

dengan interferensi antara dua gelombang, hadir dalam (2.5-4). Istilah ini

mungkin positif atau negatif, sesuai dengan interferensi konstruktif atau

merusak, terus-menerus. Jika I 1=I 2=I0, misalnya, maka (2.5-4) menghasilkan

I=2 I0 (1+cos φ )=4 I 0cos2 (φ/2 ), sehingga untuk φ=0 , I=4 I 0 (yaitu, intensitas total

adalah empat kali intensitas dari masing-masing superposed gelombang).

Gambar 2.5-1 (a) Diagram Phasor untuk superposisi dua gelombang

intensitas I 1dan I 2 dan

perbedaan tahap φ=φ1−φ2 , (b) ketergantungan intensitas total I pada

perbedaan fase φ.

Untuk φ=π, di sisi lain, gelombang superposed membatalkan satu sama

lain dan intensitas total I = 0. Melengkapi pembatalan intensitas di wilayah

31

ruang ini umumnya tidak mungkin kecuali intensitas dari konstituen

superposed gelombang sama. Ketika φ=π /2 atau 3 π /2, istilah interferensi

lenyap dan I=2 I0; untuk hubungan khusus fase ini intensitas total adalah

jumlah dari intensitas konstituen. Ketergantungan kuat intensitas I pada

perbedaan fase φ memungkinkan kita untuk mengukur tahap perbedaan

dengan mendeteksi intensitas cahaya. Prinsip ini digunakan dalam berbagai

sistem optik.

Interferensi ini disertai dengan redistribusi spasial intensitas optik tanpa

melanggar kekuatan konservasi. Misalnya, dua gelombang mungkin memiliki

intensitas seragam I 1dan I 2 di bidang tertentu, tetapi karena bergantung

pada posisi perbedaan fase φ, intensitas total dapat lebih kecil daripada I 1+ I 2

di beberapa posisi dan lebih besar dari yang lain, dengan total daya (integral

dari intensitas) kekal.

interferensi tidak diamati dalam kondisi pencahayaan yang biasa karena

menyebabkan fluktuasi fase acak φ1 dan φ2 disebabkan perbedaan fase φ

untuk mengasumsikan nilai-nilai acak yang merata antara 0 dan 2 π ,

sehingga cos φ rata-rata 0 dan istilah interferensi pembersihan keluar.

Cahaya dengan keacakan dikatakan sebagian koheren dan Bab 11 ditujukan

untuk studi. Kami membatasi diri kita di sini untuk mempelajari cahaya

koheren.

Interferometer

Pertimbangkan superposisi dua bidang gelombang, masing-masing intensitas

I 0, menyebarkan ke arah z, dan menganggap bahwa gelombang satu

tertunda oleh jarak d terhadap yang lain jadi itu U 1=√I 0 exp (− jkz) dan

U 2=√I 0 exp [− jk ( z−d ) ]. Intensitas I dari jumlah dari dua gelombang ini dapat

ditentukan dengan mengganti I 1=I 2=I0 dan φ=k d=2π d / λ ke dalam

persamaan gangguan (2.5-4),

I=2 I0 [1+cos (2 πdλ )] (2.5−6 )

32

Ketergantungan I pada penundaan d adalah sketsa di Fig. 2.5-2. Ketika

penundaan ini perkalian bilangan bulat λ, interferensi konstruktif lengkap

terjadi dan intensitas total I=4 I0. Pada sisi lain, ketika d adalah perkalian

bilangan bulat λ /2, terjadinya interferensi destruktif lengkap dan I = 0. Rata-

rata intensitas adalah jumlah dari dua intensitas, yaitu, 2 I0.

Interferometer adalah satu peralatan optikal yang membagi

gelombang menjadi dua gelombang menggunakan splitter balok,

penundaannya dengan jarak yang tidak seimbang, mengarahkan mereka

menggunakan cermin, recombines mereka menggunakan yang lain (atau

sama) beamsplitter, dan mendeteksi intensitas superposisi mereka. Tiga

contoh penting diilustrasikan pada gambar 2,5-3: Mach-Zehnder

interferometer, dilakukan Michelson interferometer dan Sagnac

interferometer.

Gambar 2.5-2 Ketergantungan pada intensitas I

dari superposisi dua gelombang, masing-

masing intensitas I 0, penundaan jarak d. Ketika

jarak penundaan perkalian λ, interferensi

konstruktif; ketika perkalian bilangan ganjil λ /2,

interefrensi bersifat merusak.

Gambar 2,5-3 Interferometers: Gelombang U 0

dibagi menjadi dua gelombang U 1 dan U 2

(mereka ditampilkan sebagai terang dan gelap

untuk kemudahan visualisasi tetapi sebenarnya

33

kongruen). Setelah perjalanan melalui jalan yang

berbeda, gelombang yang bergabung semula ke

dalam gelombang superposisi U=U 1+U 2

intensitas yang tercatat. Gelombang yang dibagi

dan bergabung menggunakan beamsplitters.

Dalam Sagnac interferometer dua gelombang

perjalanan melalui jalan yang sama, tetapi

dalam arah yang berlawanan.

Karena intensitas I sensitif denganφ=2 π dλ

=2 πn dλ0

=2 πnvdc0

, dimana d

adalah perbedaan jarak antara yang dilalui oleh dua gelombang,

interferometer dapat digunakan untuk mengukur perubahan kecil dalam

jarak d, n indeks bias, atau panjang gelombang λ0 (atau frekuensi v).

Misalnya, jika dλ0

=104, perubahan indeks bias ∆ n=10−4 hanya berkaitan

dengan perubahan fase dengan mudah diamati ∆ φ=2 π. Fase φ juga

perubahan penuh 2 π jika perubahan panjang gelombang λ. Perubahan yang

meningkat frekuensi ∆ v=c /d memiliki efek yang sama.

Interferometers memiliki berbagai aplikasi. Ini termasuk penentuan jarak

di aplikasi metrological seperti pengukuran strain dan profil permukaan;

Indeks bias-pengukuran; dan spektrometri untuk analisis polychromatic

cahaya (Lihat Sec. 11.2B). Dalam interferometer Sagnac jalur optik identik

tetapi berlawanan arah, sehingga itu rotasi interferometer mengakibatkan

pergeseran fasa φ sebanding dengan kecepatan sudut rotasi. Oleh karena itu

sistem ini dapat digunakan sebagai giroskop. Karena dengan presisi,

interferometer optik juga sedang dilantik untuk mendeteksi berlalunya

gelombang gravitasi.

Akhirnya, kami menunjukkan bahwa konservasi energi interferometer

memerlukan fase gelombang tercermin dan dikirimkan di beamsplitter yang

berbeda dengan π /2. Setiap interferometer yang dianggap di Fig. 2,5-3

memiliki output gelombang U=U 1+U 2 yang keluar dari satu sisi beamsplitter

34

dan juga output gelombang lain U '=U 1' +U 2

' yang keluar dari sisi berlawanan.

Konservasi energi menyatakan bahwa jumlah intensitas dua gelombang ini

harus sama dengan peristiwa intensitas gelombang, sehingga jika satu

gelombang output memiliki intensitas tinggi berdasarkan interferensi

konstruktif ,yang lain harus memiliki intensitas rendah karena interferensi

yang merusak. Komplementaritas ini hanya dapat dicapai jika perbedaan

fase φ dan φ ', terkait dengan komponen gelombang output U dan U ',

berturut-turut, berbeda dengan π. Sejak komponen U dan komponen U '

mengalami perbedaan panjang lintasan yang sama, dan nomor yang sama

dari refleksi dari cermin, perbedaannya fase π harus disebabkan oleh

berbagai fase yang diperkenalkan oleh refleksi beamsplitter dan transmisi.

Pemeriksaan tiga interferometer di gambar. 2,5-3 mengungkapkan bahwa

untuk satu output gelombang, masing-masing komponen ini ditularkan

melalui beamsplitter sekali dan tercermin dari itu sekali, sehingga tidak ada

perbedaan fase yang diperkenalkan. Namun, untuk gelombang output lain,

salah satu komponen ditransmisikan dua kali dan yang lain tercermin dua

kali, dengan demikian memperkenalkan perbedaan fase π. Ini mengikuti

bahwa fase gelombang tercermin dan dikirimkan di beamsplitter berbeda

dengan π /2. Sifat penting beamsplitter ini dijelaskan secara lebih rinci dalam

Sec. 7.1 (Lihat contoh 7.1-2).

Interferensi Dua Gelombang Bidang Miring

Sekarang mempertimbangkan interferensi dua gelombang bidang miring

dengan intensitas yang sama: menyebarkan satu arah z, U 1=√I 0 exp (− jkz),

menyebarkan pada sudut θ yang lain sehubungan dengan sumbu z, dalam

bidang x-z, U 2=√I 0 exp [− j (k cosθ z+k sin θ x ) ], seperti digambarkan dalam gambar

2.5-4. Pada z = 0 dua bidang gelombang memiliki perbedaan fase φ=k sin θ x,

yang persamaan interferensi (2.5-4) menghasilkan sebuah intensitas total

I=2 I0 [1+cos ( k sinθ x ) ] (2.5−7 )

35

Pola sinusoidally ini bervariasi dengan x, dengan periode 2 πk

sinθ=λ /sinθ,

seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.5-4. Jika θ=30°, Misalnya, periode

Apakah 2 λ. Hal ini menunjukkan metode pencetakan pola sinusoidal resolusi

tinggi untuk digunakan sebagai kisi difraksi. Hal ini juga menunjukkan

metode pemantauan sudut datang gelombang θ dengan mencampurnya

gelombang referensi dan merekam distribusi resultan intensitas. Seperti

telah dibahas dalam Sec. 4.5, ini adalah prinsip yang ada di balik Holografi.

Gambar 2.5-4 Interferensi dua bidang gelombang

bepindah pada sudut θ terhadap hasil satu sama

lain dalam pola intensitas sinusoidal dalam arah x

dengan periode λ /sinθ.

LATIHAN 2.5-1

Interferensi sebuah bidang gelombang dan gelombang bulat. Bidang

gelombang berpindah di sepanjang arah z dengan amplitudo kompleks

( A¿¿2 /z )exp (− jkz)¿, dan gelombang bulat berpusat di z = 0 dan diperkirakan

oleh gelombang paraboloidal kompleks amplitudo

( A¿¿2 /z )exp (− jkz)exp [− jk (x2+ y2)/2 z ]¿ [lihat (2.2-17)], yang mencampuri dalam

bidang z = d. Memperoleh ekspresi untuk intensitas total I(x, y, d). Dengan

asumsi bahwa dua gelombang memiliki intensitas yang sama di bidang z =

d, memverifikasi bahwa titik lokus intensitas nol adalah satu set cincin

konsentris, seperti digambarkan dalam Fig. 2.5-5.

Gambar 2.5-5 gangguan pesawat gelombang

dan gelombang bulat menciptakan pola cincin

konsentris (digambarkan di bidang z = d)

36

LATIHAN 2.5-2

Interferensi Gelombang Dua Bulat. Dua gelombang bulat dengan

intensitas sama I 0, berasal di points (−a ,0 , 0 ) dan (a , 0 , 0 ), mencampuri dalam

bidang z = d seperti digambarkan dalam Gambar. 2,5-6. Sistem jarum-ganda

ini serupa dengan yang digunakan oleh Thomas Young dalam eksperimen

yang terkenal yaitu celah ganda di mana ia menunjukkan interferensi.

Menggunakan pendekatan paraboloidal untuk gelombang bulat untuk

menunjukkan bahwa intensitas di bidang z = d adalah

I ( x , y , d ) ≈ 2 I 0(1+cos2 π2 πxθ

λ ), (2.5−8 )

mana sudut yang ditunjukkan oleh dua pusat gelombang pada bidang

pengamatan adalah θ ≈ 2a/d. Pola intensitas periodik dengan periode λ /θ.

Gambar 2,5-6 Interferensi dari dua gelombang bulat dengan intensitas

sama berasal dari poin P1 dan P2. Dua gelombang dapat diperoleh dengan

mengizinkan untuk bergeser dua bidang gelombang pada lubang kecil di

layar. Intensitas cahaya di bidang pengamatan besar jarak d dari lubang

kecil yang mengambil bentuk pola interferensi sinusoidal, dengan periode

≈ λ /θ sepanjang arah garis yang menghubungkan pada lubang kecil.

B. Interferensi Beberapa Gelombang.

37

Superposisi dari beberapa gelombang monokromatik M pada frekuensi yang sama, dengan

amplitudo kompleks U1, U2, • • •, UM , menimbulkan sebuah gelombang yang frekuensi sisanya

tetap sama dan yang amplitudo kompleks diberikan oleh U = U1 + U2 + • • • + UM. Informasi

tentang intensitas gelombang yang terpisah, I1, I2, . . . , IM, tidak cukup untuk menentukan

Intensitas total I = U2 sejak fase relatif juga harus diketahui. Peran yang dimainkan oleh fase

secara dramatis diilustrasikan dalam contoh berikut.

Interferensi beberapa Gelombang M dengan Amplitude yang sama dan Perbaedaan Fase

yang Sama

Pertama kita meneliti interferensi gelombang M dengan amplitudo kompleks.

Um = √ I 0exp [ j (m−1 ) φ ] , m – 1, 2,……,M (2.5-9)

Gelombang memiliki intensitas sama dengan I0, dan perbedaan fase antara gelombang berturut

turut, seperti yang diilustrasikan pada Gambar. 2.5-7 (a). Untuk menurunkan ekspresi untuk

intensitas super-posisi, akan lebih mudah untuk memasukkan kuantitas h = exp(j) dimana

Um=√I 0 hm−1. Amplitudo kompleks dari gelombang disuperposisikan ini kemudian.

U = √ I 0(1 + h + h2 + ……+ hM-1) = √ I 01−hM

1−h

= √ I 0 1−exp¿¿¿ (2.5-10)

yang memiliki intensitas yang sesuai.

I = |U|2 = I0 |exp (− j M /2)−exp ( jM φ /2)exp(− j φ¿¿2)−exp ( j φ /2)¿

|2 (2.5-11)

Dimana

I = I0 sin2(M φ/2)

sin2(φ/2)(2.5-12)

Interferensi dari gelombang M

38

Gambar 2,5-7 (a) Jumlah fasor M dengan ukuran yang sama dan perbedaan fase yang sama. (b)

Intensitas I sebagai fungsi . Puncak intensitas terjadi ketika semua fasor selaras, ini kemudian

M kali lebih besar dari rata-rata intensitas I = MI0. Dalam contoh ini M = 5.

Intensitas I jelas sangat tergantung pada perbedaan fasa , seperti yang diilustrasikan pada

Gambar. 2,5-7 (b) untuk M = 5. Ketika = 2πq, di mana q adalah bilangan bulat, semua fasor

sejajar sehingga amplitudo total gelombang M kali sebuah komponen terpisah, dan intensitas

mencapai nilai puncaknya M 2I0. Intensitas rata-rata selama distribusi seragam adalah

I=(1/2π )∫0

2π

I dφ=M I 0 , yang sama dengan hasil yang diperoleh tanpa adanya interferensi. Oleh

karena itu puncak intensitas M kali lebih besar dari pada intensitas rata-rata. Sensitivitas dari

intensitas ke fase karena itu dramatis bagi M besar. Pada nilai puncaknya, intensitas diperbesar

oleh M faktor di atas rata-rata tetapi menurun tajam karena perbedaan fasa menyimpang

sedikit dari 2πq. Secara khusus, ketika = 2π / M intensitas menjadi nol. Sekarang untuk

membandingkan Gambar. 2,5-7 (b) untuk M = 5 dengan Gambar. 2,5-2 untuk M = 2.

LATIHAN 2,5-3

Refleksi Bragg. Pertimbangkan cahaya yang dipantulkan pada sudut θ dari M bidang refleksi

paralel dipisahkan oleh jarak Λ, seperti ditunjukkan pada Gambar. 2,5-8. Asumsikan bahwa

hanya sebagian kecil dari cahaya yang terpantul dari masing masing tingkat, sehingga amplitudo

gelombang M terpantul adalah kurang lebih sama. Tunjukkan bahwa gelombang yang terpantul

memiliki perbedaan fasa = k (2Λ sin θ) dan bahwa sudut θ dimana intensitas cahaya pantulan

total memuaskan maksimum

39

Sin θ = λ

2∧ (2.5-13)

Bragg Angle

Persamaan ini mendefinisikan sudut Bragg θ. Refleksi tersebut ditemui ketika cahaya

dipantulkan dari struktur multilayer (lihat Sec. 7.1) atau ketika gelombang sinar-X terpantul dari

tingkat atom dalam struktur kristal. Hal ini juga terjadi ketika cahaya dipantulkan dari struktur

periodik yang dibuat oleh gelombang akustik (lihat Bab 19). Sebuah perlakuan yang tepat dari

refleksi Bragg tersedia dalam Sec. 7.1c.

Gambar 2,5-8 Refleksi tingkat gelombang dari bidang sejajar M yang terpisah satu sama lain

oleh Jarak A. Interferensi gelombang yang terpantul konstruktif dan menghasilkan intensitas

maksimum saat sudut θ adalah sudut Bragg. Catatan bahwa θ adalah didefinisikan sehubungan

dengan bidang sejajar.

Interferensi Angka Tak Terhingga dari Gelombang yang Amplitudonya Semakin kecil dan

Perbedaan Fase yang Sama.

Kitai sekarang membahas superposisi gelombang yang jumlahnya tak terbatas dengan perbedaan

fase yang sama dan dengan amplitudo yang menurun pada tingkat geometris:

U1 = √10 , U2 = hU1, U3 = hU2 = h2 U1, …………., (2.5-14)

40

dimana h = h ej , | h | <1, dan I0 adalah intensitas gelombang awal. Amplitudo gelombang ke-

m lebih kecil dibandingkan dengan gelombang ke-(m - l) dengan faktor hdan fase berbeda

dengan . Diagram fasor ditunjukkan pada Gambar. 2,5-9 (a).

Gelombang superposisi memiliki amplitudo kompleks

U = U1 + U2 + U3 +……….

= √10 ( 1 + h + h2 +………)

Gambar 2,5-9 (a) Jumlah tak terbatas fasor yang besarannya berturut-turut menurun pada tingkat

geometris dan perbedaan fase adalah sama. (b) Ketergantungan intensitas I pada perbedaan

fase untuk dua nilai dari F . Nilai puncak terjadi pada = 2πq. Lebar penuh pada setengah

maksimum masing-masing puncak adalah sekitar 2π / F ketika F >>1. Ketajaman puncak

meningkat dengan meningkatnya F .

= √10

1−h = √10

1−¿h∨e jφ (2.5-15)

Total intensitas kemudian

I = |U|2 = I 0

¿1−¿h∨e jφ¿2 = I 0

¿¿¿(2.5-16)

Dari yang mana

I = I 0

(1−|h|)2+4|h|sin2(φ /2)

(2.5-17)

Ini lebih mudah untuk menulis rumus dalam bentuk

41

I = I max

1+(2 F /π )2sin2(φ/2) ,Imax =

I 0

(1−|h|)2 (2.5-18)

Intensitas Gelombang

Tak hingga

di mana kuantitas

F = π √¿h∨¿1−¿h∨¿¿

¿ (2.5-19)

Finesse adalah parameter yang dikenal sebagai finesse.

Intensitas I adalah fungsi periodik dengan periode 2π, seperti yang diilustrasikan pada Gambar.

2.5-9 (b). Ini mencapai nilai maksimum Imax ketika = 2πq, di mana q adalah bilangan bulat. Ini

terjadi ketika fasor menyelaraskan untuk membentuk garis lurus. (Hasil ini tidak berbeda dengan

yang ditampilkan pada Gambar. 2,5-7 (b) untuk interferensi gelombang M dengan amplitudo

yang sama dan perbedaan fase yang sama.) Ketika finesse F besar (yaitu, faktor h mendekati

1), I menjadi sebuah fungsi yang memuncak tajam dari . Nilai penentu mendekati = 0

puncak, sebagai contoh yang representatif. Untuk <<1, sin (/2) /2 dimana (2.5-18) dapat

ditulis sebagai

I ≈ I max

1+(F /π )2 φ2 (2.5-20)

Intensitas I kemudian menurun hingga setengah dari nilai puncaknya ketika = π / F, sehingga

lebar penuh pada setengah maksimum (FWHM) dari puncak menjadi

∆ 𝜑 ≈ 2 πF

(2.5-21)

Lebar Pola Interferensi

Dalam rezim F >> 1, kita kemudian memiliki Λ << 2π dan asumsi bahwa << 1 berlaku.

Finesse F adalah rasio dari periode 2π ke FWHM dari puncak di pola interferensi. Oleh karena

42

itu ukuran ketajaman fungsi interferensi, yaitu penyimpangan sensitivitas intensitas dari dari

nilai 2πq sesuai dengan puncak.

Sebuah alat yang digunakan berdasarkan prinsip ini adalah interferometer Fabry - Perot . Ini

terdiri dari dua cermin paralel di mana cahaya mengalami beberapa refleksi. Dalam setiap jalur

datang dan pergi, cahaya mengalami penurunan amplitudo tetap h = | r | , yang timbul dari

pengurangan pada cermin, dan pergeseran fase = k2d = 4π vd / c = 2πv / ( c/2d ) terkait dengan

penyebaran , di mana d adalah jarak pemisahan cermin. Intensitas total cahaya tergantung pada

pergeseran fase sesuai dengan ( 2,5-18 ) , mencapai maksimum ketika / 2 adalah beberapa

integer π . Proporsionalitas pergeseran fase dengan frekuensi optik v menunjukkan bahwa

transmisi intensitas perangkat Fabry - Perot akan menunjukkan puncak dipisahkan dalam

frekuensi dengan c / 2d . Lebar puncak ini akan menjadi ( c/2d ) / F, di mana finesse F diatur oleh

pengurangan melalui ( 2,5-19 ). Interferometer Fabry - Perot, yang juga berfungsi sebagai

penganalisis spektrum , dibahas lebih lanjut dalam Sec . 7.IB. Hal ini umumnya digunakan

sebagai resonator untuk laser , seperti yang dibahas dalam Sec . 10.1 dan 15.1A .

2.6 POLIKROMATIK DAN CAHAYA BERGETAR.

Karena fungsi gelombang cahaya monokromatik adalah fungsi harmonik waktu memperpanjang

atas semua waktu (dari-∞ ke ∞), itu adalah idealisasi yang tidak dapat dipenuhi dalam kenyataan.

Bagian ini dikhususkan untuk gelombang bergantung waktu, termasuk getaran optik dengan

durasi waktu tertentu. Gelombang tersebut polikromatik dari pada monokromatik. Pengenalan

lebih rinci tentang getaran cahaya optik tersedia dalam bab 22.

A. Temporal dan Gambaran Spektrum.

Meskipun gelombang polikromatik dapat tergambarkan oleh fungsi gelombang u(r, t) dengan

tidak bergatung waktu harmonik, mungkin diperluas sebagai superposisi dari fungsi harmonik,

yang masing-masing mewakili sebuah gelombang monokromatik. Karena kita sudah tahu

bagaimana gelombang monokromatik merambat dalam ruang bebas dan melalui berbagai

komponen optik, kita dapat mengetahui pengaruh sistem optik lampu polikromatik dengan

menggunakan prinsip superposisi.

43

Metode Fourier memungkinkan perluasan fungsi bergantung waktu u (t), mewakili fungsi

gelombang u (r, t) pada posisi tetap r, sebagai superposisi yang terpisahkan dari fungsi harmonik

dengan perbedaan frekuensi, amplitudo, dan fase:

u(t) = ∫−∞

∞

u ( v )exp ( j2 πvt ) dv (2.6-1)

dimana u (v) ditentukan dengan melakukan Transformasi Fourier

u(v) = ∫−∞

∞

u ( t ) exp (− j 2 πvt )dt . (2.6-2)

Tinjauan dari Transformasi Fourier dan sifat-sifatnya disajikan dalam Sec. A.l dari lampiran A.

Perluasan (2,6-1) membentang di atas frekuensi positif dan negatif. Namun, karena u (t) adalah

nyata, u (-v) = u * (v) (lihat Sec. A.l). Dengan demikian, komponen frekuensi negatif tidak

independen, mereka adalah versi yang terkonjugasi sederhana sesuai komponen frekuensi positif.

Representasi kompleks

Lebih mudah untuk mewakili fungsi nyata u (t) di (2,6-1) dengan fungsi kompleks

u(t) = 2∫0

∞

u (v ) exp ( j 2 πvt ) dv (2.6-3)

yang hanya mencakup komponen frekuensi positif (dikalikan dengan faktor 2), dan menekan

semua frekuensi negatif. Transformasi Fourier dari U (t) adalah karena itu fungsi V (v) = 2u (v)

untuk v ≥ 0, dan 0 untuk v < 0.

Fungsi nyata U (t) dapat ditentukan dari representasi kompleks U (t) dengan hanya mengambil

bagian nyata,

u(t) = Re{U(t)}= ½ [U(t) + U*(t)] (2.6-4)

Fungsi kompleks U (t) ini dikenal sebagai sinyal analitik kompleks. Validitas (2,6-4) dapat

diverifikasi dengan memisah integral dalam (2,6-1) menjadi dua bagian, dengan batas 0 sampai

44

+∞ dan dari -∞ sampai 0. Integral pertama sama 12

U (t ) berdasarkan (2,6-3), sedangkan yang

kedua diberikan oleh

∫−∞

0

u ( v )exp ( j2 πvt ) dv = ∫0

∞

u (−v ) exp (− j 2 πvt )dv

= ∫0

∞

u¿ (v ) exp (− j 2 πvt ) dv = ½ U*(t) (2.6-5)

Langkah pertama di atas mencerminkan perubahan sederhana dari variabel dari v ke -v,

sedangkan langkah kedua menggunakan hubungan simetri u (-v) = u *(v). Hasil akhirnya adalah

bahwa u (t) dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi kompleks 12

U (t ) dan konjugat,

membenarkan (2.6-4).

Sebagai contoh sederhana, representasi kompleks dari fungsi harmonik nyata u (t) = cos (ωt)

adalah fungsi harmonic kompleks U (t) = exp (jωt). Ini adalah representasi kompleks yang

diperkenalkan di Sec. 2.2A untuk gelombang monokromatik. Bahkan, representasi kompleks

gelombang polikromatik, seperti yang dijelaskan dalam bagian ini, adalah hanya superposisi dari

representasi kompleks dari masing-masing monokromatik komponen Fourier.

Sinyal analitik kompleks yang sesuai dengan fungsi gelombang u (r, t) disebut fungsi gelombang

kompleks U (r,t). Karena setiap komponen Fourier memenuhi persamaan gelombang, demikian

juga fungsi gelombang kompleks U (r, t),

∇2U − 1C2

∂2 U∂ t2 =0 (2.6-6)

Persamaan Gelombang

Gambar 2,6-1 menunjukkan besaran Fourier yang mengubah fungsi gelombang u (r, t) dan

fungsi gelombang U (r, t). Dalam ilustrasi ini gelombang optik adalah kuasi-monokromatik,

yaitu, ia memiliki komponen Fourier dengan frekuensi terbatas dalam sebuah band sempit

dengan lebar ∆v mengelilingi frekuensi pusat v0, sehingga ∆v << v0,

45

Gambar 2,6-1 (a) Besarnya | u (r, v) | dari Transformasi Fourier dari fungsi gelombang u (r, t).

(b) Besarnya |V (r, v) dari Transformasi Fourier dari fungsi gelombang kompleks yang sesuai

U (r, t).

46

Intensitas Gelombang polikromatik

Intensitas optik terkait dengan fungsi gelombang pada (2.1 -3):

I (r , t )=2 ⟨u2(r , t)⟩

= 2 ⟨{12

[U (r , t )+U ¿ (r , t ) ]}2⟩

= 12 ⟨U 2 (r , t )+ 1

2U ¿2 (r ,t )+U2 (r ,t ) 1

2U ¿2 (r , t )⟩ (2.6-7)

Untuk gelombang kuasi-monokromatik dengan frekuensi pusat v0 dan lebar spektral ∆v << v0,

rata-rata ⟨• ⟩ diambil selama suatu interval waktu lebih lama dari waktu siklus optik l / v0 tapi jauh

lebih pendek daripada l / ∆v (lihat Sec. 2.1). Karena U (r, t) yang diberikan oleh (2,6-4), istilah U 2 di (2,6-7) memiliki komponen berosilasi pada frekuensi 2v0. Demikian pula, komponen U * 2

berosilasi pada frekuensi -2v0. Oleh karena itu, bagian ini terhilangkan oleh operasi rata rata.

Istilah ketiga, walaupun, hanya mengandung perbedaan frekuensi, yang berurutan ∆v << v0. Oleh

karena itu, dia bervariasi perlahan-lahan dan tidak terpengaruh oleh waktu operasi rata rata. Jadi,

istilah ketiga (2,6-7) bertahan dan intensitas cahaya menjadi

I (r , t )=¿U (r , t)¿2 (2.6-8)

Intensitas Optik

Intensitas optik gelombang kuasi-monokromatik adalah kuadrat mutlak nya fungsi gelombang

kompleks.

Sederhananya dari hasil ini adalah, pada kenyataannya, alasan untuk memperkenalkan konsep

fungsi gelombang kompleks.

Getaran Gelombang Datar

Contoh paling sederhana dari getaran cahaya adalah getaran gelombang datar. Fungsi gelombang

kompleks memiliki bentuk

47

U (r , t )=A (t− zc )exp[ j 2 π v0(t− z

c )] (2.6-9)

dimana bungkus kompleks A(t) adalah fungsi variasi waktu dan v0 adalah pusat frekuensi optik.

Gelombang datar monokromatik adalah kasus khusus dari (2,6-9) yang mana A(t) adalah

konstan, yaitu, U (r, t) = Aexp [ j 2πv0 (t - z / c)] = A exp (- jk0 z) exp ( jω0t), dimana k0 = ω0 / c

dan ω0 = 2πv0.

Karena U (r, t) di (2,6-9) adalah fungsi dari t - z / c ini memenuhi persamaan gelombang (2,6-6)

terlepas dari bentuk fungsi A(∙) (asalkan d 2 A / dt 2, ada). Hal ini dapat diverifikasi oleh substitusi

langsung.

Jika A (t) adalah terbatas durasi , maka pada setiap posisi tetap z gelombang berlangsung selama

periode waktu , dan pada setiap waktu t ini tetap membentang di atas jarak c. Oleh karena itu

suatu gabungan gelombang yang bergerak searah z (Gambar 2,6-2). Sebagai contoh, getaran

dengan = 1 ps meluas lebih dari jarak c = 0,3 mm di ruang bebas.

Transformasi Fourier dari fungsi gelombang kompleks pada (2,6-9) adalah

V (r , t )=A ( v−v0 ) exp(− j2 πvz /c) (2.6-10)

dimana A (v) adalah Transformasi Fourier dari A (t). Hal ini bisa ditunjukkan dengan

menggunakan properti penerjemah frekuensi dari Transformasi Fourier (lihat Sec. A. 1 dari

Lampiran A).

Bungkus kompleks A(t) sering berubah secara perlahan dibandingkan dengan siklus optik,

sehingga mengubah bentuk Fourier A(v) memiliki lebar spektral ∆v jauh lebih kecil dari pada

frekuensi pusat v0. Lebar spektral ∆v berbanding terbalik dengan lebar temporal . Secara

terperinci, jika A(t) adalah Gaussian, maka bentuk Fourier A(v) juga

Gauss. Jika lebar tempo dan spektral didefinisikan sebagai ukuran power-rms, maka hasilnya

sama dengan 1/4π (lihat Sec. A.2 dari Lampiran A). Sebagai contoh, jika = 1 ps,

kemudian ∆v = 80 GHz. Jika frekuensi pusat v0 adalah 5 x 1014 Hz (sesuai dengan

0 = 0.6 m), maka ∆v/v0 = 1,6 x 10 -4, sehingga cahaya tersebut adalah kuasi-monokromatik.

Gambar. 2,6-2 menggambarkan temporal, spasial, dan karakteristik spektral dari getaran

gelombang datar dari bentuk fungsi gelombang.

48

Gambar 2,6-2 Temporal, spasial, dan karakteristik spektral dari getaran gelombang datar, (a)

Fungsi gelombang pada posisi tetap memiliki durasi . (b) Fungsi gelombang sebagai fungsi

posisi pada waktu t dan t + T. Getaran merambat dengan kecepatan c dan mencapai jarak c. (c)

Besarnya |A (v)| dari Transformasi Fourier pada bungkus kompleks. (d) Besarnya |V (v)| dari

Transformasi Fourier dari fungsi gelombang kompleks berpusat di v0.

Penyebaran dari sebuah gelombang datar yang bergetar melalui media dengan frekuensi

bergantung indeks bias ( yaitu , dengan frekuensi bergantung pada kecepatan cahaya c = c0 / η)

dibahas dalam Sec . 5.5b sementara Bab 22 mencakup aspek lain dari getaran cahaya.

B. Tumbukan Cahaya

Ketergantungan intensitas gelombang polikromatik pada waktu mungkin disebabkan interferensi

diantara komponen monokromatik yang merupakan gelombang. Konsep ini kini ditunjukkan

melalui dua contoh : interferensi antara dua gelombang monokromatik dan interferensi antara

sejumlah gelombang monokromatik yang terbatas.

Interferensi Dua Gelombang monokromatik dengan Frekuensi Berbeda

Sebuah gelombang cahaya yang terdiri dari dua gelombang monokromatik dengan frekuensi v1

dan v2 dan meliki intensitas I1 dan I2 mempunyai fungsi gelombang kompleks di beberapa titik

dalam ruang

U ( t ) = y / h exp ( J2iruit ) + \ [h exp ( j2 ? Xu 2 t ) ,

49

U ( t )=√I 1 exp( j2 π v1t ) + √ I2 exp( j 2 π v2 t) (2.6-11)

dimana tahap yang diambil untuk menjadi nol dan ketergantungan r telah ditekan demi

kemudahan. Intensitas total gelombang ditentukan dengan menggunakan persamaan interferensi

( 2,5-4 ),

I ( t )=I 1+ I2+2√I 1 I2 Cos[2 π ¿ - V 1)t] (2.6-12)

Karena itu intensitas sinusoidal bervariasi pada perbedaan frekuensi v2 – v1, yang dikenal

sebagai frekuensi tumbukan. Fenomena ini disebut dengan sejumlah nama : light beating,

optocal mixing, photomixing, dan optical heterodyning.

Persamaan (2.6-12) sama dengan (2.5-7), yang menggambarkan interferensi spasial dari dua

gelombang frekuensi yang sama pada arah gerak yang berbeda. Hal ini dapat dipahami dalam

diagram fasor pada Gambar . 2.5-1. Kedua fasor U1 dan U2 berputar pada frekuensi sudut ω1 =

2πv1 dan ω = 2πv2 , maka perbedaan sudutnya = 2 - 1 = 2π(v2 – v1)t, sesuai dengan (2.6-12 ).

Gelombang dengan frekuensi berbeda bergerak pada arah yang berbeda memperlihatkan

interferensi spatiotemporal.

Dalam elektronik, tumbukan atau pencampuran dikatakan terjadi ketika gabungan dari dua sinyal

sinusoidal yang diketahui nonlinear (misalnya, kuadrat) alat yang disebut mixer, memproduksi

sinyal pada perbedaan dan jumlah frekuensi. Perangkat ini digunakan didalam radio penerima

heterodyne. Dalam optik, photodetectors responsif terhadap intensitas cahaya (lihat Bab 18),

yang mana, sesuai dengan (2,6-8), adalah sebanding dengan kuadrat absolut fungsi gelombang

kompleks. Oleh karena itu, detektor cahaya hanya sensitif terhadap perbedaan frekuensi.

Walaupun (2.5-7) memberikan dasar untuk menentukan arah gelombang melalui

pola interferensi pada layar, (2.6-12) menyediakan cara untuk menentukan

frekuensi sebuah gelombang cahaya dengan mengukur pola interferensi sementara yang

dihasilkan photodetektor. Penggunaan tumbukan cahaya dalam penerima cahaya heterodyne

dibahas dalam Sec . 24.5 . Bentuk lain dari pencampuran cahaya memanfaatkan media nonlinier

50

untuk menghasilkan perbedaan dan jumlah frekuensi cahaya, seperti yang dijelaskan dalam Bab

21.

LATIHAN 2.6-1

Optical Doppler Radar. Sebagai akibat dari efek Doppler, gelombang optik monokromatik

dengan frekuensi v, yang dipantulkan dari sebuah objek bergerak dengan kecepatan komponen v

sepanjang garis pandang dari pengamat, mengalami pergeseran frekuensi ∆v = ±(2v/c)v,

bergantung pada apakah objek bergerak menuju (+) atau pada arah yang berlawanan (-) dari

pengamat. Dengan asumsi bahwa gelombang asli dan setelah terpantulkan ditumpangkan,

menurunkan ekspresi untuk intensitas gelombang yang dihasilkan. Menyarankan metode untuk

mengukur kecepatan target menggunakan pengaturan tersebut. Jika salah satu cermin dari

interferometer Michelson [(Gambar 2.5-3 (b) | bergerak dengan kecepatan ±v, penggunaan (2.5-

6) untuk menunjukkan bahwa frekuensi tumbukan adalah ±(2v/c)v.

Interferensi Gelombang Monokromatik M dengan Intensitas yang Sama dan

Jarak Frekuensi yang Sama

Interferensi sejumlah besar gelombang monokromatik dengan intensitas yang sama,

fase yang sama, dan jarak frekuensi yang sama dapat menghasilkan generasi getaran singkat

cahaya. Pertimbangkan ganjil gelombang, M = 2L + 1, masing-masing dengan intensitas I0 dan

fase nol, dan dengan frekuensi

V q=V 0+qvfF ,q=L , ……….,0 ,…… L , (2.6-13)

berpusat pada rentang frekuensi v0 dan terpisakan oleh frekuensi vF << v0. Pada posisi tertentu,

total gelombang memiliki fungsi gelombang kompleks

U ( t )=√I 0 ∑q=−L

L

exp[ j 2π ( v0+qvF ) t ] (2.6-14)

51

Ini merupakan jumlah dari fasor M dengan besaran yang sama dan fase yang silih berbeda

dengan = 2πvFt. Hasil untuk intensitas yang segera tersedia dari analisa yang dilakukan pada

Sec. 2.5B, yang secara matematis identik dengan contoh dekat. Mengacu (2.5-12) dan Gambar

2.5-7, dan menggunakan substitusi = 2πt / TF dengan TF = 1/ vF, intensitas total adalah.

I (t )=¿U (r , t )¿2=I 0

sin2(Mπt /TF)sin2(πt /T f )

(2.6-15)

Gambar 2.6-3 Intensitas cahaya bergantung waktu I (t) dari gelombang polikromatik terdiri dari

Gelombang monokromatik M yang intensitasnya sama, fasenya sama, dan frekuensi berturut-

turut yang berbeda vF. Intensitas I(t) adalah rentetan getaran secara berkala dari periode TF = 1/vF

dengan puncak yang M kali lebih besar dari pada rata-rata I. Durasi setiap getaran adalah M kali

lebih pendek dari periode. Dalam hal ini misalnya M = 5. Grafik ini harus dibandingkan dengan

yang pada Gambar . 2.5-7 . Besarnya Transformasi Fourier |V(v)| ditampilkan dalam grafik yang

lebih rendah.

Seperti diilustrasikan pada Gambar. 2.6-3, intensitas I(t) adalah urutan berkala dari getaran

cahaya dengan periode TF, puncak intensitas M 2I0, dan intensitas rata-rata Ῑ = M I0. Dengan

puncak intensitas yang M kali lebih besar dari pada intensitas rata-rata intensitas. Durasi setiap

getaran adalah kurang lebih TF / M sehingga getaran menjadi sangat pendek ketika M besar. Jika

52

vF = 1 GHz , misalnya, kemudian TF = 1 ns ; untuk M = 1000, getaran 1-ps durasi yang

dihasilkan.

Contoh ini memberikan demonstrasi dramatis tentang bagaimana gelombang monokromatik M

dapat bergabung untuk menghasilkan deretan yang panjang dari getaran cahaya yang sangat

pendek . Kita dapat lihat di Sec . 15.4D bahwa jenis cahaya laser dapat menjadikan fase terkunci

dalam mode yang dijelaskan di atas untuk menghasilkan rentetan getaran laser yang sangat

pendek.

53