BAB 2 GELOMBANG MEKANIK GELOMBANG TALI

PERSAMAAN GELOMBANG TRANSMISI DAYA PEMANTULAN DAN TRANSMISI INTERFERENSI GELOMBANG BERDIRI FREKUENSI RESONANSI

GELOMBANG TALI

Gelombang mekanik dapat menjalar sepanjang tali atau kawat bila direntangkan (diberi tegangan) Pada saat gelombang menjalar, setiap bagian tali melakukan gerakan vertikal Gelombang perpindahan/simpangan Termasuk gelombang transversal

PERSAMAAN GELOMBANGE1 T T sin E2 E2

\(x) T T sin E1 (x

\(x + (x)

F ! T (sin E 2 sin E1 )

sin E } tgEx\ tg E 2 ! xx x\ tg E1 ! xx

F !T (tgE 2 tgE1 )x

x (x

x\ F ! T xx

x (x

x\ xx

x

Deret Taylorx\ xx x\ x\ 2 ! 2 (x xx x xx

xf f ( x (x ) $ f ( x) (x xx

x (x

x\ xx

x\ x\ 2 ! 2 (x xx x xx x (xx\ 2 F ! T xx 2 (x

Hukum Newton

x\ 2 F ! m a ! V L (x 2 xt

x\ 2 x\ 2 T 2 (x ! V L (x 2 xt xx

x\ 2 T x\ 2 x\ 2 ! ! c2 2 xt 2 V L xx 2 xx

c ! Kecepa tan gelombang pada tali [m / s ] T ! Tegangan pada tali [ N ] V L ! Rapat massa linier tali [kg / m]

c!

T VL

Contoh Soal 2.1 Suatu gelombang transversal menjalar sepanjang suatu kawat yang mempunyai rapat massa sebesar 20 g/m. Kawat ini mendapat tegangan sebesar 40 N. Amplituda dari gelombang ini adalah 5 mm dan frekuensinya adalah 80 c/s. Nyatakan perpindahan \ dan kecepatan perpindahan v sebagai fungsi ruang dan waktu. Jawab :

A ! 5 x10 3 m

T ! 40 N

V L ! 20 x10 3 kg / m

f ! 80 Hz

T 40 c! ! ! 44,7 m / s 3 VL 20 x10

c 44,7 P! ! ! 0,56 m f 80

[ ! 2 T f ! 2 T (80) ! 503 rad / s 2T 2T k! ! ! 11,24 rad / m P 0,56

\ ( x, t ) ! A sin (k x [ t )\ ( x, t ) ! 5 x10 sin (12,24 x 503 t ) mx\ 3 v ( x, t ) ! ! 5 x10 (503) cos (12,24 x 503 t ) xt3

v( x, t ) ! 2,52 cos (12,24 x 503 t )

Contoh Soal 2.2 Sebuah osilator mekanik yang dihubungkan dengan ujung sebuah kawat menyebabkan perpindahan transversal dari ujung kawat tersebut bergetar dengan \ = 0,01 sin (20 t) m Tegangan pada kawat adalah 10 N dan kawat tersebut mempunyai rapat massa sebesar 20 g/m. Hitung kecepatan, panjang gelombang, dan frekuensinya. Jawab :

\ o ! 0,01 m [ ! 20 rad / s T ! 10 N c! 10 T ! ! 22,361 m / s 3 VL 20 x10

V L ! 20 x10 kg / m

3

[ 20 f ! ! ! 3,18 Hz 2T 2T

c 22,361 P! ! ! 7,03 m f 3,18

Contoh Soal 2.3 Sebuah kawat bermassa 60 g sepanjang 3 m yang disambung dengan tali bermassa 80 g sepanjang 1 m direntangkan horisontal dengan tegangan sebesar 12,5 N oleh dua orang A (pada sisi kawat) dan B (pada sisi tali). Pada saat yang hampir bersamaan A dan B memberikan hentakan pada ujung kawat dan tali sehingga terdapat dua buah gelombang yang merambat di dalam kawat dan tali tersebut. Bila A lebih dahulu 20 ms memberikan hentakan tersebut, kapan dan dimana kedua gelombang tersebut berpapasan ? Jawab :

60 x10 3 V L1 ! ! 20 x10 3 kg / m 3 3 T 12,5 c1 ! ! ! 25 m / s 3 V L1 20 x10

80 x10 3 VL2 ! ! 80 x10 3 kg / m 3 1 T 12,5 c1 ! ! ! 12,5 m / s 3 VL2 80x10

3-x

x

3m

1m

3 x ! 0,020 (3 x )(0,040) ! 0,140 0,040 x 25 1 x t2 ! ! 0,080 0,040 x 12,5 25 t 1 ! t 2 p 0,140 0,040 x ! 0,080 0,040 x p 0,080 x ! 0,060 t 1 ! 0,020 0,060 x! ! 0,75 m p t ! 0,080 0,040(0,75) ! 0,110 s ! 110 ms 0,080

DAYA TRANSMISI

Titik 1 (perut) Energi potensial maksimum Titik 2 (simpul) Energi kinetik maksimum

dy ! [A cos(kx [t ) y ! A sin(kx [t ) p u ! dt 1 1 2 2 dK ! dm u ! (V L dx ) [A cos 2 (kx [t ) 2 2 dK 1 2 2 dx 2 ! VL[ A P! cos (kx [t ) dt 2 dt 1 1 2 2 PK ! V L c[ A E P max ! E K max p P ! V L c[2 A 2 4 2 Analogi gelombang listrik : Impedansi mekanik Impedansi Listrik Kecepatan partikel Arus Listrik

Z ! V L c U ! u max ! [A

1 ZU 2 2

1 2 p ZI 2

PEMANTULAN DAN TRANSMISI GELOMBANG - Impedansi Mekanik = Rapat Massa x Kecepatan Gelombang = VL c - Faktor Refleksi R dan Faktor Transmisi TA R Z1 Z 2 R! ! A 0 Z1 Z 2R T = =

AT 2Z1 T! ! A 0 Z1 Z 2

Faktor refleksi Faktor transmisi Impedansi mekanik tali 1 dan tali 2 Amplituda gelombang yang datang Amplituda gelombang yang dipantulkan ke tali 1 Amplituda gelombang yang diteruskan ke tali 2

Z1, Z2 = Ao AR AT = = =

A R Z1 Z 2 R! ! A 0 Z1 Z 2

AT 2Z1 T! ! A 0 Z1 Z 2

Z1 < Z2

Z1 > Z2

Contoh Soal 2.4 Sebuah tali sepanjang 5 m dengan rapat massa sebesar 80 gram/m disambung dengan tali lain yang lebih kecil sepanjang 2 m dengan rapat massa sebesar 20 gram/m. Kedua tali ini direntangkan dengan tegangan sebesar 200 N. Ujung tali yang lebih besar digetarkan oleh suatu osilator mekanik. Bila osilator ini bergetar dengan frekuensi 5 Hz dan amplituda sebesar 10 cm, tentukan : a). Daya rata-rata dari osilator mekanik. b). Amplituda gelombang yang dipantulkan dan yang diteruskan.

Jawab :T 200 c1 ! ! ! 50 m / s p Z1 ! VL1c1 ! (80 x10 3 )(50) ! 4 kg / s 80 x10 3 V L1 T 200 c2 ! ! ! 100 m / s p Z 2 ! V L 2 c 2 ! (20 x10 3 )(100) ! 2 kg / s 20 x10 3 VL2

1 1 2 2 a ). Pav ! V L1c1[ \ o ! (4)(10T) 2 (0,10) 2 ! 19,74 W 2 2 \ R Z1 Z 2 4 2 1 1 ! ! b). R ! ! p \ R ! (12) ! 4 cm \o Z1 Z 2 4 2 3 3 \T 2 Z1 2(4) 4 4 ! ! ! p \ T ! (12) ! 16 cm T! \ o Z1 Z 2 4 2 3 3

Contoh Soal 2.5 Sebuah kawat bermassa 60 g sepanjang 3 m yang disambung dengan tali bermassa 80 g sepanjang 1 m direntangkan horisontal dengan tegangan sebesar 12,5 N oleh dua orang A (pada sisi kawat) dan B (pada sisi tali). Pada saat yang sama (t = 0) kedua orang tadi memberikan hentakan pada ujung kawat dan tali sebesar 20 cm sehingga dua buah gelombang mulai merambat di dalam kawat dan tali tersebut. Beberapa saat kemudian kedua orang tadi akan menerima dua buah gelombang yang datangnya berturutan waktunya. a). Kapan dan dimana kedua gelombang tersebut berpapasan ? b). Hitung perbandingan amplituda antara dua gelombang yang diterima A c). Hitung perbandingan amplituda antara dua gelombang yang diterima B

Jawab :

\o \RA 60 g A \TA x 3m 1m

\TB

B 80 g \RB \o

V L1

0,06 12,5 ! ! 0,02 kg / m p c1 ! ! 25 m / s 3 0,02

p Z1 ! (0,02)(25) ! 0,5 kg / s

V L2 !

0,08 12,5 ! 0,08 kg / m p c 2 ! ! 12,5 m / s p Z 2 ! (0,08)(12,5) ! 1 kg / s 1 0,08

a).t1 ! t 2 p

x 1 3 x ! 25 12,5 25

p

2x 2,5 ! 0,2 p x ! 2,5 m p t ! ! 0,1 s 25 25

b).

\o \RA 60 g A \TA x 3m 1m

\TB

B 80 g \RB \o

\ RA \TA

Z1 Z 2 0,5 1 ! \o ! 0,3 ! 0,1 m Z1 Z 2 0,5 1 2Z2 2(1) ! \o ! 0,3 ! 0,4m Z1 Z 2 0,5 1

\ TA 0,4 ! ! 4 \ RA 0,1

c).

\o \RA 60 g A \TA x 3m 1m

\TB

B 80 g \RB \o

\ RB \ TB

1 0,5 Z 2 Z1 ! 0,1 m ! 0,3 ! \o 0,5 1 Z1 Z 2 2Z1 2(0,5) ! \o ! 0,3 ! 0,2m Z1 Z 2 0,5 1

\ RB 0,08 ! ! 0,4 \ TB 0,2

Pantulan dan transmisi pada ujung terikat dan ujung bebas- Ujung terikat: gelombang pantul mengalami pembalikan fasa

- Ujung bebas gelombang pantul tidak mengalami pembalikan fasa

INTERFERENSI Tergantung pada amplituda dan beda fasa dari kedua gelombang

y1 ! A sin( kx [t J) y 2 ! A sin( kx [t ) y ! y1 y 2 ! A[sin(kx [t ) sin(kx [t J)] 1 1 sin E sin F ! 2 sin (E F) cos (E F) 2 2 1 1 y ! 2A[cos J sin( kx [t J) 2 2 J ! 0 p y ! 2A sin sin( kx [t ) p konstruktif J ! T p y ! 0 p destruktif

Contoh Soal 2.6 Dua buah gelombang masing-masing y1(x,t)=40cos(10x-100t) y2(x,t)=30cos(10x-100t+600) Tentukan superposisi dua gelombang tersebut Jawab : Gelombang Superposisi : yR(x,t)=ARcos(10x-100t+JR)2 A R ! A1 A 2 2A1A 2 cos 60 2

A2 JR A1

AR

! 40 2 30 2 2( 40)(30) cos 60 o ! 60,82 A 2 ! A1 A 2 2A1A R cos J R 2 R

40 2 60,82 30 2 cos J R ! ! 0,904 2(40)(60.8) J R ! 25,3o p y ! 60,8 cos(kx [t 25,3o )

Fasor- Prinsip diagram fasor: menggambarkan fungsi gelombang sebagai suatu vektor - Gelombang dinyatakan sebagai vektor dengan panjang A dan membentuk sudut * = kx-[t+J terhadap sumbu horizontal. - x dan t boleh sembarang, pilih x=0 dan t =0

y ! A cos(kx [t J) p y ! AJ

Diagram fasor:AT

A2 A1 *T *2 *1

y T ! y1 y 2 !A T cos(kx [t JT ) Ay A T ! A A JT ! tg A x A x ! A1 cos J1 A 2 cos J 2 A y ! A1 sin J1 A 2 sin J 22 x 2 y 1

Contoh Soal 2.7 Dua buah gelombang masing-masing y1(x,t)=40cos(10x-100t) y2(x,t)=30cos(10x-100t+600) Tentukan superposisi dua gelombang tersebut Jawab : Gelombang Superposisi : yR(x,t)=ARcos(10x-100t+JR)

A x ! 40 cos 0o 30 cos 60o ! 55 A y ! 40 sin 0 30 sin 60 ! 26o o

A2 JR A1

AR

A R ! 552 26 2 ! 60,8 26 J R ! tg ! 25,3o 55 1

Contoh Soal 2.8 Dua buah gelombang, masing-masing y1=40sin(x-100t), y1=60cos(x-100t+60) Tentukan gelombang superposisinya Jawab : Gelombang superposisi akan berbentuk yR=ARcos(x-100t+JR) Semua persamaan diubah ke dalam bentuk cosinus. y1=40sin(x-100t) = 40cos(x-100t-900) y2=60cos(x-100t+600)

Ax ! 60 cos 60 40 cos(90) ! 30

60 600 -900 40 32Ay ! 60 sin 60 40 sin( 90) ! 30 3 40 } 12

AR ! !

2 2 Ax Ay

900 144

} 32 12 0 * R ! tan 1 } 22 30

Gelombang superposisi: yR=32cos(x-100t+220)

Contoh Soal 2.9 Tiga buah gelombang masing-masing y1=40cos(kx-[t+60o), y2=20cos(kx-[t+30o) y3=10sin(kx-[t) Tentukan persamaan gelombang superposisi Jawab :Ay ! 10 sin 0 20 sin 30 40 sin 60 } 45

40Ax ! 10 cos 0 20 cos 30 40 cos 60 } 47

20 Ay * R ! tan } 460 Ax 1

10

Superposisi gelombang: yR=65cos(kx-[t+460)

GELOMBANG BERDIRI Superposisi gelombang datang dan gelombang pantul pada tali menghasilkan gelombang berdiri Amplituda gelombang di perut maksimum, amplituda gelombang disimpul nol Contoh lain gelombang berdiri: getaran dawai gitar, getaran pada pipa organa

y1 ! A sin(kx [t ) y 2 ! A sin(kx [t ) y ! A sin(kx [t ) A sin( kx [t ) ! 2A sin kx cos([t )Letak simpul :

sin( kx ) ! 0 p kx ! nT, n ! 0,1, 2 .

Contoh Soal 2.10 Sebuah gelombang berdiri dinyatakan dalam persamaan y1=10sin10xcos100t. Tentukan: a. Tempat terjadinya simpul b. Tempat terjadinya perut Jawab : a. Terjadi simpul jika sin10x=0, atau 10x=2nT x=0,2nT , dengan n=0,1,2,3,... b. Terjadi perut jika sin10x=1 atau 10x=(2n+1)T/2 x=(2n+1)T/20 , dengan n=0,1,2,3,...

FREKUENSI RESONANSI Tali dengan dua ujung terikat

nP 2N N ! P! 2 n c 2N c ! p f ! n, n ! 0,1, 2, 3. f n 2N

Contoh Soal 2.11 Seorang pemanjat tebing (climber) bermassa 70 kg mengikatkan ujung tali yang diulurkan oleh seorang penolong (rescuer) pada badannya seperti terlihat pada gambar di samping ini. Tali tersebut terdiri dari dua bagian yang berbeda. Tali sebelah atas panjangnya 8 m dengan rapat massa sebesar 200 g/m sedangkan tali sebelah bawah panjangnya 4 m dengan rapat massa sebesar 50 g/m. Pada saat yang bersamaan kedua orang tadi memberikan hentakan pada ujung tali sebagai tanda siap. Tentukan jarak di bawah penolong dimana kedua gelombang ini saling berpapasan.

Jawab :c2 ! (70)(9,8) T ! ! 58,566 m / s Q2 0,2

c2 !

T (70)(9,8) ! ! 117,132 m / s ! 2c2 Q1 0,05

t2 !

d c2

N Nd 4 8 d 10 d 1 2 t1 ! ! ! c1 c2 2c 2 c2 c2 t1 ! t 2 p d 10 d ! c2 c2 p d ! 5m

GELOMBANG LONGITUDINALF ! (Po (P)A Po A ! A(PImpuls = perubahan momentum

F ! (Po (P)A Po A ! A(P F t ! (m v' A(Pt ! (VAvt)v' (P ! Vvv'

F t ! (m v' A(P t ! (VAvt) v' (P ! Vvv'Modulus Bulk didefinisikan sebagai :

Vvv' (P ! B! (V (V Vo VoF ! (Po (P)A Po A ! A(P

Vo ! Avt (V ! Av' t Vvv' Avt ! Vv 2 B! Vo ! Vvv' (V Av' t B Fluida v! V

Padatan :

v!

E V

E= modulus Young

REFLEKSI (PEMANTULAN)

Muka gelombang selalu tegak lurus pada arah gelombang Misalkan jarak antar muka gelombang adalah satu panjang gelombang :

Vi ! Vr

p P i ! P r ! Vi T ! Vr T p Ui ! Ur

REFFRAKSI (PEMBIASAN)

Vi { Vr

p P i ! Vi T { Vr T ! P r

p Ui { U r

N P1 V1T ! sin U1 ! 1 ! a a a N P 2 V2 T ! sin U 2 ! 2 ! a a a sin U1 V1 ! sin U 2 V2 V2 sin U1 ! V1 sin U 2

Gelombang optik : n = indek bias

c n1 ! V1

c n2 ! V2

p n1 sin U1 ! n 2 sin U2

Contoh Soal 2.12 Bila terdapat suatu gempa, maka akan terjadi gelombang seismik di dalam bumi. Tidak seperti dalam gas, di dalam tanah yang merupakan suatu padatan dapat terjadi baik gelombang longitudinal (8 km/s) maupun gelombang transversal (4,5 km/s). Gelombang longitudinal sering disebut sebagai gelombang P (Primary) karena sampai ke seismograf terlebih dahulu sedangkan gelombang transversal sering disebut sebagai gelombang S (Secondary) karena datang belakangan. Bila gelombang P sampai ke seismograf 3 menit sebelum gelombang S datang, tentukan jarak antara seismograf dan lokasi gempa. Prinsip yang sama juga digunakan oleh seekor kalajengking untuk mendeteksi lokasi dimana mangsanya berada sehingga ia dengan mudah dapat menangkapnya.

Jawab:Seismograf

L

VL = 8 km/s VT = 4,5 km/s

Gempa

L tT ! VT p L L ! 3(60) ! 180 s 4500 8000

L tL ! VL

L L tT tL ! VT VL

1 1 L ! L(97,2x106 ) ! 180 p L ! 1851,4 km 4500 8000

Contoh Soal 2.13 Seekor kalajengking dengan 8 kakinya berada di atas pasir. Kecepatan gelombang longitudinal di pasir adalah 150 m/s sedangkan kecepatan gelombang transversalnya adalah 50 m/s. Seekor kumbang yang bergerak di atas pasir di sekitarnya, akan menghasilkan kedua jenis gelombang yang dideteksi oleh delapan kaki kalajengking sehingga arah dari posisi kumbang diketahui. Bila kedua gelombang yang dideteksi oleh kaki kalajengking berselang waktu sebesar 4 ms, berapa jarak kumbang dari kalajengking

d d 2d (t ! ! 50 150 150

p d ! 75(t ! 75(4ms) ! 30cm

Problem 2.1 : A sinusoidal wave traveling along a string is decribed by y(x,t) = 0.00327 sin(72.1 x 2.72 t) a) What is the amplitude of this wave ? b) What are the wavelength and the period of this wave ? c) What is the wave number and frequency of this wave d) What is the speed of this wave ? Problem 2.2 : A string has a linear density 0f 525 g/m and is stretched with a tension of 45 N. A wave whose frequency and amplitude are 120 Hz and 8.5 mm, is traveling along the string. At what average rate is the wave transporting energy along the string ?