BAB 3

FUNGSI &

GRAFIKNYA

2.1 DEFINISI RELASI

Dua himpunan A dan B dikatakan mempunyai relasi

apabila ada cara atau aturan tertentu untuk

mengkaitkan antara anggota A dengan anggota B.

Relasi antara himpunan A dan B dituliskan:

R : A → B = {(a, b)|a Є A, b Є B}

Contoh:

1

2

3

2

5

Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {2, 5}

Relasi dengan aturan R = “a lebih kecil dari b” digambarkan dengan:

A B R

Dapat ditulis:

A → B = {(1, 2), (1, 5), (2, 5), (3, 5)}

Dalam Relasi ada tiga istilah:

Domain atau daerah asal sering dilambangkan

dengan himpunan A.

Kodomain atau daerah kawan sering

dilambangkan dengan himpunan B.

Range atau daerah hasil yaitu himpunan yang berisi

elemen-elemen dari B yang merupakan kawan dari

A, sehingga Himpunan Range merupakan himpunan

bagian dari himpunan B atau bisa juga himpunan

Range sama dengan Himpunan B.

Fungsi

Misalkan A dan B himpunan.

Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap

elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di

dalam B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A B

yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah

hasil (range) dari f.

Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A

dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a

dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah

(range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah

himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

a b

A B

f

Fungsi adalah relasi yang khusus:

1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh

prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.

2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B”

berarti bahwa jika (a, b) f dan (a, c) f, maka b = c.

2.3 JENIS-JENIS FUNGSI

1. Fungsi Konstan

2. Fungsi Linier

3. Fungsi Kuadrat

2.3.1 Fungsi Konstan

Definisi:

Fungsi konstan adalah fungsi yang variabel bebasnya

pangkat nol.

y = c atau f(x) = c

Contoh:

y = 3 atau f(x) = 3

Ciri-ciri Grafik Fungsi Konstan:

Grafiknya berupa garis lurus yang horizontal atau

mendatar.

Selalu memotong sumbu Y di titik (0, c).

2.3.2 Fungsi Linier

Definisi:

Fungsi linier adalah fungsi yang variabel bebasnya

pangkat satu.

y = ax + b atau f(x) = ax + b

Ciri-ciri Grafik Fungsi Linier:

Grafiknya berupa garis lurus yang mempunyai

kemiringan.

Selalu memotong sumbu Y di titik (0, b) dan

memotong sumbu X di titik (-b/a, 0).

Untuk membuat grafik fungsi linier cukup dengan

menghubungkan dua titik yaitu titik (0, b) dengan titik

(-b/a, 0) atau dua titik sembarang yang lain.

2.3.3 Fungsi Kuadrat

Definisi:

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi

variabel bebasnya adalah dua.

y = ax2 + bx + c atau f(x) = ax2 + bx + c

Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat:

Grafiknya berupa garis melengkung (parabola).

Selalu memotong sumbu Y di titik (0, c).

Ada yang memotong sumbu X di dua titik, ada

yang menyinggung sumbu X dan ada yang tidak

memotong sumbu X, tergantung dari nilai

Diskriminan (D).

D = b2 – 4ac

Berdasarkan nilai Diskriminannya, bentuk dasar

grafik ada 3 jenis:

1. Jika D > 0, grafik memotong sumbu X di dua

titik (x1, 0) dan (x2, 0).

X

a > 0

D > 0

X

a < 0

D > 0

Berdasarkan nilai Diskriminannya, bentuk dasar

grafik ada 3 jenis:

2. Jika D = 0, grafik menyinggung di sebuah

titik pada sumbu X di (x1, 0).

X

a > 0

D = 0 X

a < 0

D = 0

Berdasarkan nilai Diskriminannya, bentuk dasar

grafik ada 3 jenis:

3. Jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu X.

X

a > 0

D < 0 X

a < 0

D < 0

Langkah-langkah Menggambar Grafik Fungsi

Kuadrat:

1. Titik potong grafik dengan sumbu X, dengan

mengambil y = 0.

2. Titik potong grafik dengan sumbu Y, dengan

mengambil x = 0.

3. Sumbu simetris grafik, x = -b/2a.

4. Koordinat titik balik atau titik puncak (x, y)

dimana x = -b/2a dan y = -D/4a.

Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat:

1. Grafik memotong sumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0) serta melalui titik sembarang (x3, y3) pada grafik, maka persamaannya adalah

y = a(x – x1)(x – x2).

2. Grafik mempunyai titik balik P(xp, yp) serta melalui titik sembarang (x1, y1) pada grafik, maka persamaannya adalah

y = a(x – xp)2 + yp.

3. Grafik melalui tiga buah titik yaitu (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3), maka persamaannya adalah

y = ax2 + bx + c.

2.4 GARIS LURUS

2.4.1 Gradien Persamaan Garis Lurus Cara menentukan gradien :

(i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m.

(ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m=

(iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya

adalah m =

b

a

12

12

xx

yy

Contoh :

1. Tentukan gradien persamaan garis berikut

a. y = 3x – 4

b. 2x – 5y = 7

2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)

Jawab :

1a. Y = 3x – 4

gradien = m = 3

b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5

m = = - b

a

5

2

2. m =

=

=

= 1

12

12

xx

yy

)2(1

36

21

36

2.4.2 Menentukan Persamaan Garis Lurus Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m

adalah y – y1 = m ( x – x1 )

Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah

=

12

1

xx

xx

12

1

yy

yy

Contoh 1 :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2

Jawab :

y – y1 = m ( x – x1 )

y – 1 = -2 ( x – (-2))

y - 1 = -2x – 4

y = -2x - 3

Contoh 2 :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4)

12

1

yy

yy

Jawab :

=

=

=

3(y – 3) = 1(x + 2)

3y – 9 = x + 2

3y - x – 11 = 0

12

1

xx

xx

34

3

y

21

2

x

1

3y

3

2x

2.4.3 Kedudukan Dua Garis Lurus Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2

Dua garis saling sejajar jika m1 = m2

Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m2 = -

1

1m

Contoh :

1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan

sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0

2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan

tegak lurus pada 6x – 3y – 10 = 0

Jawab :

1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0

maka

Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien adalah

y – y1 = m ( x – x1)

y + 3 = ½ ( x – 2 )

y + 3 = ½ x – 1

2y + 6 = x – 2

x – 2y – 8 = 0

Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 dan

melalui titik (2,-3) adalah x – 2y – 8 = 0

2

1

2

11

b

am

12 mm

2

12

12 m

2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0.

Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½, maka persamaannya adalah

y – y1 = m(x – x1)

y – 5 = -½ (x + 3)

y – 5 = -½x -

2y – 10 = -x – 3

x + 2y – 10 + 3 = 0

x + 2y – 7 = 0

Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis 6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0.

23

61

b

am

2

1

2

111

1

221

m

mmm

2

3