Bab 1 Sinyal Dan Sistem Diskrit

Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit

Bab I - 1

Bab 1

Sinyal dan Sistem Diskrit

1.1 Pendahuluan

Pada bab ini kita akan mempelajari pengolahan sinyal digital dengan menekankan pada

notasi sinyal dan sistem diskrit. Pada bagian ini kita akan konsentrasi pada

penyelesaian permasalahan yang berhubungan dengan representasi sinyal, manipulasi

sinyal, sifat-sifat sinyal, klasifikasi sistem dan sifat-sifat sistem diskrit. Pada bagian ini

juga ditunjukkan bahwa sistem yang linier – time invariant (LTI), bila diberi input maka

outputnya akan berlaku penjumlahan konvolusi. Penjumlahan konvolusi dan Sifat-

sifatnya akan didiskusikan, begitu juga sistem diskrit yang dinyatakan dengan

persamaan beda akan dibahas pada bab ini.

1.2 Sinyal Diskrit

Sinyal diskrit didefinisikan sebagai deretan bilangan real atau kompleks yang diberi

tanda (indeks) yang menyatakan deretan waktu. Selanjutnya sinyal diskrit dinyatakan

sebagai fungsi variabel integer 𝑛 yang dinotasikan dengan 𝑥(𝑛). Secara umum sinyal

diskrit 𝑥(𝑛) merupakan fungsi waktu 𝑛. Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) tidak didefinisikan untuk

nilai 𝑛 non integer. Sebagai ilustrasi sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dapat dilihat pada gambar 1.1.

Gambar 1.1 Representasi sinyal diskrit 𝑥(𝑛)

Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) diperoleh dari sinyal analog/kontinyu yang disampling dengan

analog-to-digital (A/D) converter dengan laju sampling 1/𝑇, dimana 𝑇 merupakan

periode sampling. Sebagai contoh sinyal suara yang mempunyai spektrum 0 – 3400 Hz

disampling dengan laju sampling 8 kHz. Sinyal analog 𝑥𝑎(𝑡) yang disampling dengan

periode sampling 𝑇 menghasilkan sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dari sinyal analog 𝑥𝑎 𝑡 sebagai

berikut

𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) (1.1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 −2 −3 −4 𝑛


Bab I - 2

1.2.1 Sinyal diskrit kompleks

Secara umum sinyal diskrit bisa bernilai kompleks. Dalam kenyataanya, pada beberapa

aplikasi, seperti pada sistem komunikasi digital, sinyal diskrit kompleks muncul secara

natural. Sinyal diskrit kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk lain yaitu bagian real

dan bagian imajiner,

𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 + 𝑗𝑏 𝑛 = 𝐑𝐞 𝑥(𝑛) + 𝑗𝐈𝐦 𝑥(𝑛) (1.2)

atau dalam bentuk kompleks polar, yaitu dalam magnitud dan fasanya,

𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑛) exp[𝑗𝐚𝐫𝐠 𝑥(𝑛) ] (1.3)

Magnitud sinyal diskrit dapat diturunkan dari bagian real dan imajinernya sebagai

berikut:

𝑥(𝑛) = 𝐑𝐞2 x n + 𝐈𝐦𝟐{x(n)} (1.4)

Sedangkan fasa sinyal diskrit dapat diperoleh dengan menggunakan,

𝐚𝐫𝐠{𝑥 𝑛 } = 𝑡𝑎𝑛−1 𝐈𝐦{𝑥(𝑛)

𝐑𝐞{𝑥(𝑛) (1.5)

Jika 𝑥(𝑛) merupakan urutan kompleks, maka kompleks konjuget dinyatakan dengan

notasi 𝑥∗(𝑛), yang diperoleh dengan cara mengubah tanda pada bagian imajiner dari

𝑥(𝑛) atau tanda argumennya apabila dalam bentuk kompleks polar,

𝑥∗ 𝑛 = 𝐑𝐞 𝑥 𝑛 − 𝐈𝐦{𝑥(𝑛)} = 𝑥(𝑛) exp[−𝑗𝐚𝐫𝐠 𝑥(𝑛) ] (1.6)

1.2.2 Beberapa sinyal diskrit dasar

Ada empat sinyal diskrit dasar yang biasa digunakan pada pengolahan sinyal digital,

diantaranya sinyal impuls (unit sample), sinyal unit step, sinyal eksponensial dan sinyal

sinusoida.

Sinyal impuls dinotasikan dengan 𝛿(𝑛) dan didefinisikan

𝛿 𝑛 = 1 𝑛 = 00 𝑛 ≠ 0

(1.7)

Bentuk sinyal impuls dapat dilihat pada gambar 1.2.

Gambar 1.2 Bentuk sinyal impuls

1

0 𝑛


Bab I - 3

Sinyal unit step (satuan tangga) dinotasikan dengan 𝑢(𝑛) dan didefinisikan

𝑢 𝑛 = 1 𝑛 ≥ 00 𝑛 < 0

(1.8)

Terdapat hubungan antara sinyal impuls dengan sinyal unit step yaitu

𝛿 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢(𝑛 − 1).

Bentuk sinyal unit step dapat dilihat pada gambar 1.3.

Gambar 1.3 Bentuk sinyal unit step

Sinyal eksponensial didefinisikan

𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 (1.9)

𝑎 merupakan bilangan real atau komplek. Dalam kasus ini 𝑎 bisa berupa 𝑒𝑗𝜔0

sehingga sinyal eksponensial menjadi 𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛 , dimana 𝜔0 merupakan

bilanagan real. Sinyal 𝑥(𝑛) tersebut dinamakan sinyal eksponensial kompleks

dan dapat dinyatakan dalam bentuk lain

𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 + j𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑛.

Sinyal eksponensial kompleks merupakan sinyal sinus dengan komposisi

komponen bagian real dan imajiner. Ilustrasi sinyal ekponensial dengan 𝑎 real

dapat dilihat pada gambar 1.4. Pada gambar 1.4 nilai 𝑎 = ½.

Gambar 1.4 Sinyal eksponensial real dengan 𝑎 = 1/2

1

𝑛 0 1 2 3 4

0 1 𝑛

2 3 4 5 6 7

1

1/2

1/4

1/8

𝑥 𝑛 = 1/2 𝑛


Bab I - 4

Sinyal sinus mempunyai bentuk umum sebagai berikut

𝑥 𝑛 = 𝐴. cos(𝜔0𝑛 + ∅) (1.10)

Dimana 𝐴, 𝜔0, dan ∅ merupakan amplitudo sinyal, frekuensi digital dan fasa

sinyal. Sinyal sinus merupakan sinyal diskrit yang periodik dengan periode 2𝜋

sehingga kita cukup memperhatikan dalam domain frekuensi pada interval

−𝜋 ≤ 𝜔0 ≤ 𝜋 atau 0 ≤ 𝜔0 ≤ 2𝜋.

Periodesitas sinyal diskrit

Dalam kasus waktu diskrit, sinyal diskrit periodik bila memenuhi kondisi bahwa

𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑛 + 𝑁) untuk semua 𝑛. Dimana 𝑁 adalah periode sinyal diskrit

(integer). Kondisi ini berlaku untuk sinyal sinus maka

𝐴. cos 𝜔0𝑛 + ∅ = 𝐴. cos(𝜔0𝑛 + 𝜔0𝑁 + ∅)

Sehingga harus memenuhi persyaratan bahwa

𝜔0𝑁 = 2𝜋𝑘 (1.11)

Dimana 𝑘 integer. Statemen tersebut berlaku juga untuk sinyal eksponensial

komplek 𝑥 𝑛 = 𝐶𝑒𝑗𝜔0𝑛 periodik dengan periode 𝑁 yang memenuhi syarat

𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0(𝑛+𝑁) = 𝑒𝑗𝜔0𝑛 (1.12)

Sinyal eksponensial kompleks tersebut hanya berlaku untuk 𝜔0𝑁 = 2𝜋𝑘 seperti

pada pers (1.11) sehingga berlaku persamaan

𝜔0

2𝜋=

𝑘

𝑁 (1.13)

Dimana 𝑘/𝑁 merupakan bilangan rasional, 𝑘 merupakan jumlah siklus dalam

satu periode. Beberapa contoh sinyal diskrit periodik seperti ditunjukkan pada

gambar 1.5.


Bab I - 5

(a) Frekuensi digital 𝜔0 = 𝜋

(b) Frekuensi digital 𝜔0 = 𝜋/4

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Bab I - 6

(c) Frekuensi digital 𝜔0 = 𝜋/5

Pada gambar 5.a terlihat bahwa bentuk sinyal diskrit dalam satu periode ada 2

sampling, sehingga sinyal tersebut memiliki periode 𝑁 = 2, sedangkan pada

gambar 5.b terlihat bahwa bentuk sinyal diskrit dalam satu periode ada 8

sampling, sehingga sinyal tersebut memiliki periode 𝑁 = 8. Pada gambar 5.c

bentuk sinyal diskrit terdapat 10 sampling dalam satu periode, sehingga sinyal

tersebut memiliki periode 𝑁 = 10, sedangkan pada gambar 5.d bentuk sinyal

diskrit terdapat 32 sampling dalam satu periode, sehingga sinyal tersebut

memiliki periode 𝑁 = 32 dan dalam satu periode memiliki 3 siklus.

Jika sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) merupakan sinyal periodik dengan periode 𝑁1 dan sinyal

diskrit 𝑥2(𝑛) merupakan sinyal diskrit periodik dengan periode 𝑁2, maka sinyal

diskrit hasil penjumlahan

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2(𝑛)

akan selalu periodik dengan periode dasar

𝑁 =𝑁1. 𝑁2

gcd(𝑁1, 𝑁2)

dimana gcd(𝑁1, 𝑁2) artinya the greatest common divisor dari 𝑁1 dan 𝑁2. Teori ni

berlaku juga untuk perkalian dua sinyal periodik yaitu sinyal diskrit 𝑥1(𝑛)

dengan periode 𝑁1 dan sinyal diskrit 𝑥2(𝑛) dengan periode 𝑁2, maka sinyal

diskrit hasil perkalian

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 .𝑥2(𝑛)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Bab I - 7

(d) Frekuensi digital 𝜔0 = 3𝜋/16

Gambar 1.5 Bentuk sinyal periodik untuk berbagai frekuensi digital

0 10 20 30 40 50 60 70-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Bab I - 8

Contoh 1.1

Tentukan periode sinyal diskrit berikut :

a. 𝑥 𝑛 = cos(0.5𝜋𝑛)

b. 𝑥 𝑛 = cos(0.75𝜋𝑛)

c. 𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗0.25𝜋𝑛

d. 𝑥 𝑛 = cos 0.5𝜋𝑛 + cos(0.75𝜋𝑛)

e. 𝑥 𝑛 = cos 0.5𝜋𝑛 . cos(0.75𝜋𝑛)

f. 𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜋𝑛

16 . cos(𝜋𝑛

17)

g. 𝑥 𝑛 = 𝑅𝑒 𝑒𝑗𝜋𝑛

12 + 𝐼𝑚 𝑒𝑗𝜋𝑛

18

Penyelesaian:

a. 𝜔0 = 0.5𝜋, maka periode sinyal diskrit 𝑁 sebagai berikut

𝑘

𝑁=

𝜔0

2𝜋=

0.5𝜋

2𝜋=

1

4

Periode dasar sinyal 𝑁 = 4 dan terdapat satu siklus dalam satu periode dasar.

b. 𝜔0 = 0.75𝜋, maka periode sinyal diskrit 𝑁 sebagai berikut

𝑘

𝑁=

𝜔0

2𝜋=

0.75𝜋

2𝜋=

3

8

Periode dasar sinyal 𝑁 = 8 dan terdapat tiga siklus dalam satu periode dasar.

c. 𝜔0 = 0.25𝜋, maka periode sinyal diskrit eksponensial kompleks 𝑁 sebagai

berikut

𝑘

𝑁=

𝜔0

2𝜋=

0.25𝜋

2𝜋=

1

8

Periode dasar sinyal 𝑁 = 8 dan terdapat satu siklus dalam satu periode dasar.

d. Pada soal tersebut merupakan penjumlahan dua sinyal periodik dengan

periode 𝑁1 = 4 dan 𝑁2 = 8 sehingga periode sinyal dasar sinyal hasil

penjumlahan adalah

𝑁 =𝑁1. 𝑁2

gcd(𝑁1, 𝑁2)=

4 . (8)

gcd(4,8)=

32

4= 8

e. Karena berlaku juga untuk perkalian dua sinyal diskrit maka periode dasar

hasil perkalian dua sinyal diskrit periodik dengan periode 𝑁1 = 4 dan 𝑁2 = 8

adalah 𝑁 = 8.


Bab I - 9

f. Pada soal tersebut merupakan perkalian dua sinyal periodik dengan periode

𝑁1 = 32 dan 𝑁2 = 34 sehingga periode sinyal dasar hasil perkalian adalah

𝑁 =𝑁1. 𝑁2

gcd(𝑁1, 𝑁2)=

32 . (34)

gcd(32,34)=

32 . (34)

2= 544

g. Pada soal tersebut merupakan perkalian dua sinyal periodik dengan periode

𝑁1 = 24 dan 𝑁2 = 36 sehingga periode sinyal dasar hasil perkalian adalah

𝑁 =𝑁1. 𝑁2

gcd(𝑁1, 𝑁2)=

24 . (36)

gcd(24,36)=

24 . (36)

12= 72

1.2.3 Operasi dasar pada sinyal diskrit

Pada buku ini beberapa operasi dasar pada pengoalahan sinyal digital ditinjau lagi

secara garis besar, diantaranya penjumlahan dua sinyal diskrit, perkalian dua sinyal

diskrit, perkalian skalar terhadap sinyal diskrit, refleksi (pantulan), dan pergeseran

waktu (penundaan/delay).

a. Penjumlahan dua sinyal diskrit

Proses penjumlahan dua sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dan 𝑥2(𝑛) dilakukan dengan cara

menjumlahkan level (harga) pada setiap sampling yang sama. Secara matematis dapat

dituliskan dengan persamaan

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2(𝑛) (1.14)

Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada gambar 1.6. Harga level 𝑥1 0 = 1 dijumlahkan

dengan harga level 𝑥2 0 = 1 hasilnya 𝑦 0 = 2, berikutnya harga level 𝑥1 1 = 1/2

dijumlahkan dengan harga level 𝑥2 1 = 1/2 hasilnya 𝑦 1 = 1, dan seterusnya sampai

sampling terakhir, hasil penjumlahannya adalah sinyal diskrit 𝑦(𝑛).

Gambar 1.6 Proses penjumlahan dua sinyal diskrit

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑥1(𝑛)

1

1/2

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2(𝑛)

2

1/2

1

3/2

1

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑥2(𝑛)

1

1/2


Bab I - 10

b. Perkalian dua sinyal diskrit

Proses perkalian dua sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dan 𝑥2(𝑛) dilakukan dengan cara mengalikan

level (harga) pada setiap sampling yang sama. Secara matematis dapat dituliskan

dengan persamaan

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 .𝑥2(𝑛) (1.15)

Sebagai ilustrasi hasil perkalian sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dan 𝑥2(𝑛) yang ada pada gambar

1.6 dapat dilihat pada gambar 1.7. Level 𝑥1 0 = 1 dikalikan dengan harga level

𝑥2 0 = 1 hasilnya 𝑦 0 = 1, selanjutnya harga level 𝑥1 1 = 1/2 dikalikan dengan

harga level 𝑥2 1 = 1/2 hasilnya 𝑦 1 = 1/4, dan seterusnya sampai sampling terakhir,

hasil perkaliannya adalah sinyal diskrit 𝑦(𝑛).

Gambar 1.7 Hasil perkalian dua sinyal diskrit

c. Perkalian skalar

Proses perkalian skalar terhadap sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dilakukan dengan cara mengalikan

level sinyal pada setiap sampling dengan bilangan pengali (konstanta). Secara

matematis dapat dituliskan dengan persamaan

𝑦 𝑛 = 𝑎. 𝑥 𝑛 (1.16)

Sebagai ilustrasi konstanta dimisalkan 𝑎 = 1/2 dan hasil perkalian skalar 𝑎 = 1/2

dengan 𝑥1(𝑛) yang ada pada gambar 1.6 dapat dilihat pada gambar 1.8. Setiap sampling

dari sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dikalikan dengan konstanta 𝑎 = 1/2.

Gambar 1.8 Hasil perkalian skalar dengan sinyal diskrit

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 .𝑥2(𝑛)

1

1/2 1/4 1/4

1

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑦 𝑛 = 1/2. 𝑥1(𝑛)

1/2

1/4


Bab I - 11

d. Refleksi

Proses refleksi suatu sinyal diskrit 𝑥(𝑛) adalah merefleksikan sinyal tersebut dalam

domain waktu terhadap 𝑛 = 0. Secara matematis dapat dituliskan dengan persamaan

𝑦 𝑛 = 𝑥 −𝑛 (1.17)

Sebagai ilustrasi sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) mengalami proses refleksi menjadi 𝑦 𝑛 = 𝑥1(−𝑛),

maka bentuk sinyal hasil refleksi dapat dilihat pada gambar 1.8.

Gambar 1.9 Hasil proses refleksi sinyal diskrit

e. Pergeseran waktu

Proses pergeseran waktu dilakukan dengan menggeser sinyal diskrit tersebut dalam

domain waktu sebesar nilai penggeser (integer). Bila nilai penggesernya positif maka

sinyal tersebut digeser ke kanan, begitu sebaliknya. Secara matematis dapat dituliskan

dengan persamaan

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑏 (1.18)

Sebagai ilustrasi sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) pada gambar 1.6 digeser kekanan sebesar 𝑏 = 2

sampling, hasilnya dapat dilihat pada contoh 1.10, artinya bahwa sinyal diskrit 𝑥1(𝑛)

mengalami delay 2 sampling.

Gambar 1.10 Hasil proses pergeseran waktu dengan delay 2 sampling

1.3 Sistem Diskrit

Sistem diskrit merupakan operator matematik atau transformasi sinyal input menjadi

sinyal lain (output) sesuai dengan karakteristik atau sifat sistem tersebut. Notasi sistem

diskrit secara umum adalah 𝑇[. ] seperti ditunjukkan pada gambar 1.11. Sinyal input

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑦 𝑛 = 𝑥1(−𝑛)

1

1/2

𝑛 2 3 4 5 6 7

𝑦 𝑛 = 𝑥1(𝑛 − 2)

1

1/2

1 0


Bab I - 12

𝑥(𝑛) ditransformasi menjadi output 𝑦(𝑛) melalui transformasi 𝑇[. ]. Sebagai contoh

sistem diskrit yang dinyatakan dengan hubungan input-output seperti

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 0.5𝑦(𝑛 − 1) (1.19)

Sistem yang memiliki persamaan beda yang menyatakan hubungan input-ouput seperti

pada pers (1.19) menunjukkan bahwa sistem mempunyai algoritma seperti pada pers

(1.19), artinya bahwa utput sistem 𝑦(𝑛) tergantung pada sinyal input 𝑥(𝑛) saat yang

sama ditambah dengan setengah kali output satu sampling sebelumnya. Sebagai contoh

bila diinginkan output pada saat 𝑛 = 1 yaitu 𝑦(1), maka output ditentukan oleh input

𝑥(1) ditambah dengan setengah kali 𝑦(0).

Gambar 1.11 Blok sistem diskrit secara umum

Berdasarkan proses yang dapat terjadi pada sistem diskrit, maka sistem diskrit

mempunyai beberapa sifat diantaranya:

1.3.1 Sistem tanpa memori (memoryless)

Sistem dikatakan tanpa memori jika output sistem pada saat 𝑛 = 𝑛0 tergantung pada

input saat yang sama yaitu 𝑛 = 𝑛0.

Contoh 1.2.

Sistem diskrit mempunyai persamaan hubungan input-output 𝑦 𝑛 = 0.5. 𝑥(𝑛)

merupakan sistem tanpa memori karena output sistem pada saat 𝑛 = 𝑛0 tergantung

pada input saat 𝑛 = 𝑛0 .

Sistem diskrit 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 0.2𝑥(𝑛 − 1) merupakan sistem dengan memori karena

output sistem tergantung pada input saat yang sama 𝑛 = 𝑛0 dan saat satu sampling

sebelumnya 𝑛 = 𝑛0 − 1.

1.3.2 Sistem linier

Sistem diskrit dikatakan linier jika berlaku sifat superposisi

𝑇 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2 𝑛 = 𝑎𝑇 𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑇[𝑥2 𝑛 ] (1.20)

Artinya bila sistem diberi input 𝑎𝑥1(𝑛) maka keluarannya 𝑦1 𝑛 = 𝑎𝑇 𝑥1 𝑛 dan bila

sistem diberi input 𝑏𝑥2(𝑛) maka keluarannya 𝑦2 𝑛 = 𝑏𝑇 𝑥2 𝑛 . Apabila diberi input

jumlahan kedua sinyal input tersebut 𝑥12 𝑛 = 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2(𝑛) maka output sistem

𝑦12 𝑛 = 𝑦1 𝑛 + 𝑦2(𝑛). Secara visual dapat diilustrasikan pada gambar 1.12.

𝑇[. ]

𝑥(𝑛) 𝑦 𝑛 = 𝑇[𝑥 𝑛 ]


Bab I - 13

Gambar 1.12. Ilustrasi proses sistem linier

Selain sifat superposisi, terdapat syarat perlu yaitu bila inputnya nol, maka outputnya

nol. Artinya bila sistem tidak diberi input maka keluaran sistem tidak ada.

Contoh 1.3

Sistem diskrit dinyatakan dengan persamaan beda sebagai berikut

a. 𝑦 𝑛 = 2 + 0.2𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 − 1)

b. 𝑦 𝑛 = 0.3𝑥 𝑛 + 0.5𝑥(𝑛 − 1)

Apakah sistem tersebut linier?

Penyelesaian:

a. Pertama kita beri input nol 𝑥 𝑛 = 0, dari persamaan sistem soal 1.3.a diperoleh

output 𝑦 𝑛 = 2. Jadi sistem tersebut tidak linier.

b. Pertama kita beri input nol 𝑥 𝑛 = 0, dari persamaan sistem soal 1.3.b diperoleh

output 𝑦 𝑛 = 0. Selanjutnya kita cek dari sifat superposisi.

o Sistem diberi input 𝑥1(𝑛) maka outputnya

𝑦1 𝑛 = 0.3𝑥1 𝑛 + 0.5𝑥1(𝑛 − 1)

o Sistem diberi input 𝑥2(𝑛) maka outputnya

𝑦2 𝑛 = 0.3𝑥2 𝑛 + 0.5𝑥2(𝑛 − 1)

o Sistem diberi input 𝑥12 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2(𝑛) maka outputnya

𝑦12 𝑛 = 0.3{𝑥1 𝑛 + 𝑥2 𝑛 } + 0.5{𝑥1 𝑛 − 1 + 𝑥2 𝑛 − 1 }

𝑦12 𝑛 = 0.3𝑥1 𝑛 + 0.5𝑥1 𝑛 − 1 + 𝑥2 𝑛 + 0.5𝑥2 𝑛 − 1

𝑦12 𝑛 = 𝑦1 𝑛 + 𝑦2 𝑛

Jadi sistem pada soal 1.3.b bersifat linier.

1.3.3 Sistem time-invariant

Sistem diskrit dikatakan time-invariant jika berlaku sifat

𝑇 𝑥 𝑛 − 𝑛0 = 𝑦(𝑛 − 𝑛0) (1.21)

Artinya sistem diberi input sama pada saat ini atau berikutnya, output sistem akan

tetap, dengan kata lain sistem tidak berubah terhadap waktu.

𝑇[. ]

𝑎𝑥1(𝑛) 𝑦1 𝑛 = 𝑎𝑇[𝑥1 𝑛 ]

𝑏𝑥2(𝑛) 𝑦2 𝑛 = 𝑏𝑇[𝑥2 𝑛 ]

𝑥12 𝑛 = 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2(𝑛) 𝑦12 𝑛 = 𝑦1 𝑛 + 𝑦2(𝑛)


Bab I - 14

Contoh 1.4

Apakah sistem pada soal 1.3.b mempunyai sifat time-invariant?

Penyelesaian:

Secara matematis dapat dijelaskan sebagai berikut:

Sistem diberi input 𝑥1(𝑛) = 𝑥(𝑛 − 𝑛0) maka outputnya

𝑦1 𝑛 = 0.3𝑥1 𝑛 + 0.5𝑥1(𝑛 − 1)

𝑦1 𝑛 = 0.3𝑥(𝑛 − 𝑛0) + 0.5𝑥(𝑛 − 𝑛0 − 1)

Output sistem 𝑦2 𝑛 ditunda sebesar 𝑛0 maka 𝑦2 𝑛 = 𝑦(𝑛 − 𝑛0) sehingga

𝑦2 𝑛 = 𝑦(𝑛 − 𝑛0) = 0.3𝑥(𝑛 − 𝑛0) + 0.5𝑥(𝑛 − 𝑛0 − 1)

Karena 𝑦1(𝑛) = 𝑦2(𝑛), maka sistem tersebut time-invariant.

1.3.4 Sistem Kausal

Sistem diskrit dikatakan kausal jika output pada 𝑛 = 𝑛0 hanya tergantung pada input

pada saat 𝑛 ≤ 𝑛0, dengan kata lain output sistem hanya tergantung pada input saat yang

sama atau saat sebelumnya. Pengertian kausal dapat diartikan bahwa sistem kausal,

berarti sistem dapat direalisasikan.

Contoh 1.5

Apakah sistem diskrit pada soal 1.3.b mempunyai sifat kausal?

Penjelasan:

Pada sistem dengan persamaan beda 𝑦 𝑛 = 0.3𝑥 𝑛 + 0.5𝑥(𝑛 − 1) terlihat bahwa

output sistem hanya tergantung pada input saat yang sama dengan output dan input

satu sampling sebelumnya. Misalnya output sistem pada 𝑦(2) tergantung pada input

𝑥(2) dan 𝑥(1). Jadi sistem tersebut kausal.

1.3.5 Sistem Stabil

Sistem dikatakan stabil BIBO (bounded input-bounded output) jika sistem diberi sinyal

input terbatas maka akan menghasilkan sinyal output yang terbatas. Urutan input 𝑥(𝑛)

terbatas jika mempunyai nilai terbatas positif tetap untuk semua 𝑛

𝑥(𝑛) ≤ 𝐵𝑥 < ∞ untuk semua 𝑛 (1.22)

Untuk setiap urutan input akan menghasilkan urutan output dengan nilai terbatas

positif tetap untuk semua 𝑛 yaitu

𝑦(𝑛) ≤ 𝐵𝑦 < ∞ untuk semua 𝑛 (1.23)


Bab I - 15

1.4 Sistem Linier Time-Invariant

Sistem diskrit yang mempunyai sifat linier dan time-invariant disebut sistem linier

time-invariant (LTI). Sistem LTI bila diberi input impuls 𝛿(𝑛) maka outputnya

dinamakan respons impuls 𝑕(𝑛) seperti ditunjukkan pada gambar 1.13.

Gambar 1.13 Respons impuls pada sistem LTI

Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dapat dinyatakan dengan penjumlahan deretan impuls terdelay yang

diilustrasikan pada gambar 1.14 dinyatakan secara matematis sebagai berikut

𝑥 𝑛 = ⋯ + 𝑐. 𝛿 𝑛 + 2 + 𝑑. 𝛿 𝑛 + 1 + 𝑒. 𝛿 𝑛 + 𝑓. 𝛿 𝑛 − 1 + 𝑔. 𝛿 𝑛 − 2 + ⋯ (1.24)

𝑥 𝑛 = ⋯ + 𝑥(−1).𝛿 𝑛 + 1 + 𝑥(0).𝛿 𝑛 + 𝑥(1). 𝛿 𝑛 − 1 + ⋯ (1.25)

Secara umum dapat ditulis secara matematis

𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝛿(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

(1.26)

Gambar 1.14 Representasi sinyal diskrit dalam deretan impuls

Sistem LTI bila diberi input impuls terdelay 𝑘 atau dengan kata lain impuls pada saat

𝑛 = 𝑘 yaitu 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛 − 𝑘) maka output sistem LTI adalah 𝑕𝑘 𝑛 = 𝑕(𝑛 − 𝑘), dan

dapat ditulis

𝑕𝑘 𝑛 = 𝑕 𝑛 − 𝑘 = 𝑇[𝛿 𝑛 − 𝑘 ] (1.27)

Bila sistem LTI diberi input sinyal diskrit 𝑥(𝑛) maka output sistem

𝑦 𝑛 = 𝑇[𝑥 𝑛 ] = 𝑇[ 𝑥 𝑘 𝛿(𝑛 − 𝑘)]

∞

𝑘=−∞

= 𝑇[𝑥 𝑘 𝛿(𝑛 − 𝑘)]

∞

𝑘=−∞

(1.28)

𝑇[. ]

𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛) 𝑦 𝑛 = 𝑕(𝑛)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 −2 −3 −4 𝑛

𝑎

𝑏

𝑐 d

𝑒 f

𝑔

𝑕

𝑖 𝑗 𝑘

𝑙

𝑚 𝑛

𝑜

𝑥(𝑛)


Bab I - 16

Koefisien 𝑥(𝑘) bernilai konstan maka

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑇[𝛿(𝑛 − 𝑘)]

∞

𝑘=−∞

= 𝑥 𝑘 𝑕𝑘 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

∞

𝑘=−∞

(1.29)

Persamaan (1.29) disebut sebagai penjumlahan konvolusi, secara matematis dapat

ditulis

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

= 𝑥 𝑛 ∗ 𝑕(𝑛) (1.30)

Tanda * merupakan operator penjumlahan konvolusi atau konvolusi diskrit.

Contoh 1.6 : konvolusi dua sinyal terbatas

Sistem LTI kausal mempunyai respons impuls

𝑕 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 0.5𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿(𝑛 − 2)

Tentukan ouput sistem bila inputnya:

a. 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 𝛿 𝑛 − 1 + 0.5𝛿(𝑛 − 2)

b. 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 2 + 0.5𝛿 𝑛 + 1 + 𝛿 𝑛 + 0.5𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿(𝑛 − 2)

Penyelesaian:

a. Bentuk sinyal 𝑥 𝑛 dan 𝑕(𝑛) sebagai berikut

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕 𝑛 − 𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑦 0 = 𝑥 𝑘 𝑕 −𝑘 = 𝑥 −1 𝑕 1 + 𝑥 0 𝑕 0 + 𝑥 1 𝑕 −1 = 1 (1) = 1

∞

𝑘=−∞

𝑦 1 = 𝑥 𝑘 𝑕 1 − 𝑘 = 𝑥 0 𝑕 1 + 𝑥 1 𝑕 0 = 1 0.5 + 1 (1) = 3/2

∞

𝑘=−∞

3 𝑛

0 1 2 4 5

𝑕(𝑛)

1/2

1

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑥(𝑛)

1 1/2


Bab I - 17

𝑦 2 = 𝑥 𝑘 𝑕 2 − 𝑘 = 𝑥 0 𝑕 2 + 𝑥 1 𝑕 1 + 𝑥 2 𝑕 0

∞

𝑘=−∞

𝑦 2 = 1 1 + 1 0.5 + 0.5 1 = 1 + 0.5 + 0.5 = 2

𝑦 3 = 𝑥 𝑘 𝑕 3 − 𝑘 = 𝑥 1 𝑕 2 + 𝑥 2 𝑕 1 = 1 1 + 0.5 0.5 = 5/4

∞

𝑘=−∞

𝑦 4 = 𝑥 𝑘 𝑕 4 − 𝑘 = 𝑥 2 𝑕 2 = 0.5 1 = 1/2

∞

𝑘=−∞

𝑦 5 = 0, 𝑦 6 = 0, dst

Bentuk hasil keluaran sistem pada contoh soal 1.6 a. sebagai berikut

b. Bentuk sinyal 𝑥 𝑛 dan 𝑕(𝑛) sebagai berikut

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕 𝑛 − 𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑦 −2 = 𝑥 𝑘 𝑕 −2 − 𝑘 = 𝑥 −2 𝑕 0 + 𝑥 −1 𝑕 −1 = 1 1 + 0 = 1

∞

𝑘=−∞

𝑛 0 1 2 3 4

𝑥(𝑛) 1

1/2

-1 -2 -3 3 𝑛

0 1 2 4 5

𝑕(𝑛)

1/2

1

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑦(𝑛)

1 1/2

3/2

2

5/4


Bab I - 18

𝑦 −1 = 𝑥 𝑘 𝑕 −1 − 𝑘 = 𝑥 −2 𝑕 1 + 𝑥 −1 𝑕 0

∞

𝑘=−∞

𝑦 −1 = 1 0.5 + 0.5 1 = 1

𝑦 0 = 𝑥 𝑘 𝑕 −𝑘 = 𝑥 −2 𝑕 2 + 𝑥 −1 𝑕 1 + 𝑥 0 𝑕 0

∞

𝑘=−∞

𝑦 0 = 1 1 + 0.5 0.5 + 1 (1) = 2.25

𝑦 1 = 𝑥 𝑘 𝑕 1 − 𝑘 = 𝑥 −2 𝑕 3 + 𝑥 −1 𝑕 2 + 𝑥 0 𝑕 1 + 𝑥 1 𝑕(0)

∞

𝑘=−∞

𝑦 1 = 0 + 0.5 1 + 1 0.5 + 0.5 1 = 1.5

𝑦 2 = 𝑥 𝑘 𝑕 2 − 𝑘 = 𝑥 −1 𝑕 3 + 𝑥 0 𝑕 2 + 𝑥 1 𝑕 1 + 𝑥 2 𝑕(0)

∞

𝑘=−∞

𝑦 2 = 0 + 1 (1)+(0.5)(0.5)+(1)(1)=2.25

𝑦 3 = 𝑥 𝑘 𝑕 3 − 𝑘 = 𝑥 0 𝑕 3 + 𝑥 1 𝑕 2 + 𝑥 2 𝑕 1

∞

𝑘=−∞

𝑦 3 = 0 + 0.5 1 + 1 0.5 = 1

𝑦 4 = 𝑥 𝑘 𝑕 4 − 𝑘 = 𝑥 1 𝑕 3 + 𝑥 2 𝑕 2 = 0 + 1 1 = 1

∞

𝑘=−∞

𝑦 5 = 𝑥 𝑘 𝑕 5 − 𝑘 = 0,

∞

𝑘=−∞

𝑦 6 = 0, 𝑦 7 = 0, dst

Bentuk hasil keluaran sistem pada contoh soal 1.6.b sebagai berikut

𝑛 −2 −1 0 1 2 3

𝑦(𝑛)

1

2.25

1.5

4 −3 5


Bab I - 19

Contoh 1.7

Sistem LTI kausal mempunyai respons impuls

𝑕 𝑛 = (1/2)𝑛

Tentukan ouput sistem bila inputnya:

a. 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 0.6𝛿 𝑛 − 1

b. 𝑥 𝑛 = (1/4)𝑛

c. 𝑥 𝑛 = (1/4)𝑛{𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 21 }

d. 𝑥 𝑛 = (1/4)𝑛{𝑢 𝑛 − 5 − 𝑢 𝑛 − 21 }

Penyelesaian :

a. Output sistem adalah

𝑦 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 0.6𝛿 𝑛 − 1 ∗ 𝑕 𝑛 = 𝑕 𝑛 + 0.6𝑕 𝑛 − 1

𝑦 𝑛 = 1

2 𝑛

+ 0.6 1

2 𝑛−1

b.


Bab I - 20

Sifat-sifat konvolusi diskrit

a. Komutatif

Secara matematis sifat komutatif

𝑥 𝑛 ∗ 𝑕 𝑛 = 𝑕 𝑛 ∗ 𝑥(𝑛) (1.31)

b. Asosiatif

Secara matematis sifat asosiatif

𝑥 𝑛 ∗ 𝑕1 𝑛 ∗ 𝑕2 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ {𝑕1 𝑛 ∗ 𝑕2 𝑛 } (1.32)

c. Distributif

Secara matematis sifat distributif

𝑥 𝑛 ∗ {𝑕1 𝑛 + 𝑕2 𝑛 } = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑕1 𝑛 + 𝑥 𝑛 ∗ 𝑕2 𝑛 (1.33)

Secara sistem dapat digambarkan pada gambar 1.15.

a. Sifat komutatif

b. Sifat asosiatif

c. Sifat distributif

Gambar 1.15 Interpretasi sifat konvolusi dari sistem diskrit

d. Urutan identitas

𝑥 𝑛 ∗ 𝛿 𝑛 = 𝛿 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑛) (1.34)

e. Konvolusi impuls terdelay dengan 𝑥(𝑛)

𝑥 𝑛 ∗ 𝛿 𝑛 − 𝑘 = 𝑥(𝑛 − 𝑘) (1.35)

𝑕(𝑛) 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 𝑥(𝑛) 𝑕 𝑛 𝑦 𝑛

𝑕1(𝑛) 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛

𝑕2(𝑛) 𝑕1 𝑛 ∗ 𝑕2(𝑛) 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛

𝑕1 𝑛 + 𝑕2(𝑛) 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛

𝑕1(𝑛)

𝑥 𝑛 𝑦 𝑛

𝑕2(𝑛)


Bab I - 21

Kausalitas sistem LTI

Definisi :

Berdasarkan respons impulsnya, sistem LTI dikatakan kausal bila respons impuls

𝑕 𝑛 = 0, untuk 𝑛 ≤ 0.

Stabilitas sistem LTI

Definisi :

Berdasarkan respons impulsnya, sistem LTI dikatakan stabil BIBO bila respons

impulsnya dapat dijumlahkan secara absolut.

𝑆 = 𝑕(𝑛) < ∞

∞

𝑛=−∞

(1.33)

Pembuktian:

Output sistem LTI :

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

= 𝑥 𝑛 ∗ 𝑕 𝑛 = 𝑕 𝑛 ∗ 𝑥(𝑛) (1.34)

Kedua sisi kiri dan kanan diabsolutkan

𝑦 𝑛 = 𝑕 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

≤ 𝑕 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

(1.35)

𝑦 𝑛 ≤ 𝑕(𝑘) . 𝑥(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

(1.36)

Bila input terbatas

𝑥(𝑛 − 𝑘) ≤ 𝐵𝑥 < ∞

Maka output juga terbatas

𝑦(𝑛) ≤ 𝐵𝑦 < ∞

Apabila

𝑆 = 𝑕(𝑘)

∞

𝑘=−∞

(1.37)


Bab I - 22

1.5 Persamaan Beda Koefisien Konstan Linier

Sistem linear time-invariant (LTI) dapat dikarakterisasi dengan respons impuls 𝑕(𝑛).

Selain itu. sistem LTI yang memiliki input 𝑥(𝑛) dan output 𝑦(𝑛) juga dapat

dikarakterisasi dengan persamaan beda koefisien konstan linier orde ke-𝑁 sebagai

berikut

𝑎𝑘𝑦 𝑛 − 𝑘 = 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

𝑁

𝑘=0

(1.38)

Jika sistem tersebut kausal maka kita dapat menyusun persamaan (1.38) menjadi

𝑦 𝑛 = − 𝑎𝑘

𝑎0𝑦 𝑛 − 𝑘 +

𝑏𝑘

𝑎0𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

𝑁

𝑘=1

(1.39)

Output sistem saat ke 𝑛 ditentukan oleh input saat ke 𝑛, input saat sebelumnya

𝑛 − 1, 𝑛 − 2, … , 𝑛 − 𝑀 dan output saat sebelumnya 𝑛 − 1, 𝑛 − 2, … , 𝑛 − 𝑁.

Contoh 1.8:

Sistem diskrit LTI dinyatakan dengan persamaan beda sebagai berikut :

𝑦 𝑛 − 0.5𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥(𝑛)

Diasumsikan 𝑦 𝑛 = 0, untuk semua 𝑛 < 0

a. Berapa orde sistem LTI tersebut.

b. Tentukan respons impuls sistem 𝑕(𝑛).

Penyelesaian :

a. Berdasarkan persamaan beda pada soal terlihat bahwa 𝑁 = 1, maka termasuk

orde ke-1

b. Evaluasi untuk 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛) maka output sistem

Ditulis kembali

𝑦 𝑛 = 0.5𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥(𝑛)

input siatem adalah impuls, maka

𝑛 = 0, 𝑦 0 = 0.5𝑦 −1 + 𝑥 0 = 0.5 0 + 1 = 1 = (0.5)0

𝑛 = 1, 𝑦 1 = 0.5𝑦 0 + 𝑥 1 = 0.5 . 1 + 0 = (0.5)1

𝑛 = 2, 𝑦 2 = 0.5𝑦 1 + 𝑥(2) = 0.5 . 0.5 + 0 = (0.5)2

𝑛 = 3, 𝑦 3 = 0.5𝑦 2 + 𝑥(3) = 0.5 . 0.5 2 + 0 = (0.5)3

𝑦 𝑛 = (0.5)𝑛 , untuk 𝑛 ≥ 0

𝑦 𝑛 = 0.5 𝑛𝑢(𝑛)


Bab I - 23

1.6 Klasifikasi sistem diskrit berdasarkan respons impuls

Sistem diskrit LTI dapat dikarakterisasi dengan respons impuls 𝑕(𝑛). Berdasarkan

durasi respons impuls atau dengan kata lain berdasarkan banyaknya sampling respons

impuls sistem, maka sistem LTI dapat dikelompokkan menjadi 2 macam:

1.6.1 Sistem IIR (Infinite-impuls respons)

Merupakan sistem diskrit yang mempunyai durasi respons impuls tak terbatas.

Contoh 1.9

Sistem diskrit dengan respons impuls 𝑕 𝑛 = 1

4 𝑛

𝑢(𝑛)

Apakah sistem tersebut IIR?

Penyelesaian:

Respons impuls mempunyai harga dari 𝑛 = 0 sampai 𝑛 = ∞ maka sistem

tersebut tergolong IIR.

1.6.2 Sistem FIR (Finite-impuls respons)

Merupakan sistem diskrit yang mempunyai durasi respons impuls terbatas.

Contoh 1.10

Sistem diskrit dengan respons impuls 𝑕 𝑛 = 1

4 𝑛

{𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 101 }.

Penyelesaian:

Pada contoh tersebut respons impuls berdurasi terbatas dari 𝑛 = 0 sampai

𝑛 = 100, sehingga disebut sebagai sistem FIR.

Contoh 1.11

Sistem diskrit dengan input 𝑥(𝑛) dan output 𝑦(𝑛) dikarakterisasi dengan

persamaan beda koefisien konstan linier

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 0.3𝑥 𝑛 − 1 − 0.5𝑥 𝑛 − 2 + 1.5𝑥 𝑛 − 3 − 0.75𝑥(𝑛 − 4)

Penyelesaian:

Apabila sistem diberi input impuls 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛) maka output sistem

𝑦 𝑛 = 𝑕(𝑛) = 𝛿 𝑛 + 0.3𝛿 𝑛 − 1 − 0.5𝛿 𝑛 − 2 + 1.5𝛿 𝑛 − 3 − 0.75𝛿(𝑛 − 4)

Sehingga terlihat respons impuls berdurasi terbatas dari 𝑛 = 0 sampai 𝑛 = 4,

sehingga disebut sebagai sistem FIR.

𝑛 0 1 2 3 4

𝑥(𝑛)

1

1/4

(1/4)2

(1/4)𝑛

5 6


Bab I - 24

SOAL LATIHAN

1. Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) berikut

Sketsa sinyal 𝑥(𝑛) setelah mengalami proses:

a. 𝑥 𝑛 − 2 d. 𝑥(−𝑛 + 2)

b. 𝑥 𝑛 + 2 e. 𝑥(−𝑛 − 2)

c. 𝑥 −𝑛 f. 𝑥(2𝑛)

2. Tentukan periode sinyal berikut

a. 𝑥 𝑛 = 2 Sin(𝜋

20𝑛)

b. 𝑥 𝑛 = 3 cos(0.055𝜋𝑛)

c. 𝑥 𝑛 = 2 sin 0.05𝜋𝑛 + 3 sin(0.12𝜋𝑛)

d. 𝑥 𝑛 = 2 sin 0.05𝜋𝑛 cos(0.05𝜋𝑛)

3. Sistem diskrit dengan input 𝑥(𝑛) dan output 𝑦(𝑛) mempunyai persamaan beda

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 0.3𝑥 𝑛 − 1 + 0.8𝑥(𝑛 − 2)

Buktikan bahwa sistem diskrit tersebut mempunyai sifat linear dan time invariant.

4. Sistem LTI mempunyai respons impuls 𝑕 𝑛 = (0.25)𝑛{𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 11 }

a. Apakah sistem tersebut kausal? Jelaskan.

b. Apakah sistem stabil BIBO? Jelaskan.

c. Tentukan output sistem bila inputnya

(i) 𝑥 𝑛 = 1

3 𝑛

𝑢(𝑛)

(ii) 𝑥 𝑛 = 1

3 𝑛

𝑢 𝑛 − 6

(iii) 𝑥 𝑛 = 1

3 𝑛

𝑢 𝑛 {𝑢 𝑛 − 6 − 𝑢 𝑛 − 56 }

𝑛 0 1 2 3 4

𝑥(𝑛)

1

1/2 1/4


Bab I - 25

5. Sistem diskrit mempunyai persamaan beda koefisien konstan linier

𝑦 𝑛 − 0.5𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛 + 0.4𝑥 𝑛 − 1 + 0.2𝑥(𝑛 − 2)

Diasumsikan 𝑦 𝑛 = 0, untuk 𝑛 < 0.

a. Orde berapa sistem diskrit tersebut.

b. Tentukan respons impuls pada 𝑛 = 0; 1; 2; 3; 4; 5

c. Tentukan respons unit step pada 𝑛 = 0; 1; 2; 3; 4; 5

6. Sistem diskrit mempunyai persamaan beda koefisien konstan linier

𝑦 𝑛 − 0.3𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛

Diasumsikan 𝑦 𝑛 = 0, untuk 𝑛 < 0.

a. Tentukan respons impuls sistem tersebut.

b. Apakah sistem tersebut stabil BIBO? Jelaskan.

c. Apakah sistem tersebut FIR atau IIR? Jelaskan.

==================================================

Rumus bantu:

𝑎𝑘 =𝑎𝑁1 − 𝑎𝑁2+1

1 − 𝑎

𝑁2

𝑘=𝑁1

, 𝑎 ≠ 1

Rumus trigonometri:

sin 𝐴 + 𝐵 = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵

cos 𝐴 + 𝐵 = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵

2cos 𝐴 cos 𝐵 = cos 𝐴 + 𝐵 + cos(𝐴 − 𝐵)

2cos 𝐴 sin 𝐵 = sin 𝐴 + 𝐵 − sin(𝐴 − 𝐵)

2sin 𝐴 cos 𝐵 = sin 𝐴 + 𝐵 + sin(𝐴 − 𝐵)

2sin 𝐴 sin 𝐵 = cos 𝐴 − 𝐵 − cos(𝐴 + 𝐵)

sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴

𝑐𝑜𝑠2𝐴 + 𝑠𝑖𝑛2𝐴 = 1

Bab 1 Sinyal Dan Sistem Diskrit

Documents

Transcript of Bab 1 Sinyal Dan Sistem Diskrit