Bab 1-3(1)
-
Upload
ummu-sayyid-jusriani -
Category
Documents
-
view
262 -
download
4
Transcript of Bab 1-3(1)
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
1/22
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar BelakangAljabar abstrak kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang
mempelajari Struktur Aljabar semacam grup, gelanggang atau ring, ideal,
lapangan dan lainnya yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis.
Jika dalam grup membicarakan tentang satu himpunan dan satu operasi
maka dalam gelanggang membicarakan tentang satu himpunan dengan
dua operasi yaitu tambah (+ dan kali (!, serta lapangan yang
membicarakan tentang dua himpunan dan dua operasi.Setiap dua anggota dalam gelanggang tersebut perkaliannya
bersifat komutatif maka gelanggang tersebut disebut gelanggang
komutatif. Jika terdapat salah satu anggota dari gelanggang tersebut yang
perkaliannya tidak komutatif maka gelanggang tersebut disebut
gelanggang tak komutatif. "re (#$$% telah memperkenalkan gelanggang
polinom miring yang merupakan pengembangan dari pembahasan
gelanggang. &elanggang polinom miring berisi himpunan polinom-polinom
dengan aturan perkaliannya bersifat tak komutatif. 'ontohnya gelanggang
polinom miring atas bilangan real adalah himpunan polinom-polinom
anxn+an1x
n1++a2x2+ax+a0 dimana x adalah ariabel yang tak
diketahui danaiR dengan aturan perkalian xa=(a )x+(a) untuk
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
2/22
2
semuaaiR , dimana adalah suatu endomorfisma dan
adalah -deriatif.
)alam disertasi Amir *amal Amir (## mengatakan baha secara
garis besar peneliti gelanggang polinom miring dapat dibagi ke dalam tiga
kelompok. *elompok pertama adalah kelompok peneliti yang
mengembangkan kelas gelanggang polinom miring menjadi kelas
gelanggang yang lebih besar. *elompok kedua adalah kelompok peneliti
yang menggunakan gelanggang polinom miring dalam dunia aplikasi.
Sedangkan kelompok yang ketiga adalah kelompok peneliti yang meneliti
struktur gelanggang polinom miring dengan berbagai macam gelanggang
tumpuan. )alam disertasinya Amir *amal Amir berada pada kelompok
yang ketiga dengan gelangganng tumpuan pada daerah dedekind.Sebagian besar penelitian yang dilakukan oleh Amir *amal Amir
selanjutnya adalah gelanggang polinom miring dengan gelanggang
tumpuan yang komutatif. )alam beberapa penelitiannya Amir *amal Amir
juga telah menemukan bentuk pusat dan ideal dari gelanggang polinom
miring dengan gelanggang tumpuan komutatif. al inilah yang melatar
belakangi penulis tesis melanjutkan penelitian yang telah dilakukan oleh
Amir *amal Amir mengenai gelanggang polinom miring dengan
gelanggang tumpuan yang tidak komutatif.
/uaternion adalah salah satu contoh standar gelanggang yang
tidak komutatif (John 0raleigh, %. /uaternion ditemukan oleh amilton
sehingga untuk menghargai jasanya 1uaternion dilambangkan dengan
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
3/22
3
H . /uaternion merupakan perluasan dari bilangan kompleks untuk
aljabar empat dimensi.
2enelitian yang telah dilakukan oleh Amir *amar Amir menemukan
bentuk pusat dan ideal dari gelanggang polinom miring dengan
gelanggang biasa berbeda, sehingga bentuk pusat dan ideal gelanggang
polinom miring pada gelanggang yang tak komutatif khususnya 1uaternion
juga pasti berbeda. 3ntuk itu, penulis akan mengkaji bentuk pusat dan
ideal gelanggang polinom miring atas 1uaternion.
B. Rumusan Masalah
4agaimanakah bentuk pusat dan ideal gelanggang polinom miring
atas 1uaternion5
C. Tujuan Penelitian
6ujuan penelitian ini adalah untuk menemukan bentuk pusat dan
ideal gelanggang polinom miring atas 1uaternion.
D. Manfaat Penelitian
2enelitian ini dapat memberikan kontribusi dalam perkembangan
bidang ilmu matematika khususnya aljabar.
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
4/22
4
E. istematika PenulisanSistematika dan struktur bagian utama tesis ini terdiri atas7
4A4 8 29:)A3;3A:A. ;atar 4elakang Masalah4.
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
5/22
5
BAB II
TIN!AUAN PUTA"A
A. #elanggang P$lin$m Miring%. #elanggang
Struktur aljabar yang paling umum dengan dua operasi biner
disebut dengan gelanggang. (John 0raleigh, %
Definisi &.% #elanggang
Sebuah gelanggang [R ,+ , ] adalah sebuah himpunan
R dengan dua operasi biner, penjumlahan (+), dan perkalian
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
6/22
6
(), yang didenisikan pada R , yang a, b, ! R
memenuhi aksioma"aksioma beriku# $
a% a+bR ,a , bR
b. a+b=b+a , a , b ,R
c. a+(b+c )=(a+b )+c a , b , cR
d% 0R ,aR ,0+a=a+0 , selanju#nya & disebu#
dengan elemen ne#ral dari R
e% aR ,aR ,a+ (a )=0 , selanju#nya a disebu#
in'ers dari penjumlahan
f. a bR , a ,bR
g. a (b c )= (a b ) c ,a , b , cR
h. a (b+c )=( a b )+( a c ) , dan (a+b ) c=( a c )+ (b c ) , a , b , cR
enuru# aksioma 1 5, maka sebuah gelanggang haruslah
merupakan grup abelian (komu#a#i*) #erhadap operasi
penjumlahan%
ika un#uk se#iap aR , #erdapa# 1R , sehingga a 1=1 a=a %
Selanju#nya R disebu# gelanggang dengan elemen sa#uan dan
1 disebu# elemen sa#uan di R .
pabila di R juga berlaku a b=b a , a , bR maka R
dinamakan gelanggang komu#a#i*% (-rihandoko, 2&&.)
Contoh 2.1
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
7/22
/
0impunan bilangan real R dengan operasi penjumlahan (+)
dan perkalian ( ) memben#uk gelanggang% an karena di R
juga berlaku a b=b a , a , bR , maka R juga merupakan
gelanggang komu#a#i*%
&. H$m$m$rfisma
omomorfisma adalah hubungan pemetaan, berikut pemaparan
definisi homomorfisma.
Definisi &.& H$m$m$rfisma #ru'
MisalkanG , dan
(G , ) adalah masing-masing grup. Suatu fungsi
:G G ' dinamakan fungsi homomorf atau suatu homomorfisma jika
(ab )= (a ) (b) , a ,bG. (John 0raleigh, %
C$nt$h &.&
G B himpunan bilangan rasional dengan operasi +. G B himpunan
bilangan riil tanpa nol dengan operasi . 2emetaan 7 GGadalah (x
B x, untuk setiapxG. Apakah suatu homomorfisma5
Maka akan dibuktikan baha
(x+y )= (x ) (y)
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
8/22
2 (x+y ) 2x 2y
*arena tidak sama, maka bukan merupakan homomorfisma grup.
Definisi &.( H$m$m$rfisma #elanggang
Misalnya R dan R ' merupakan gelanggang. 2emetaan :R R '
merupakan homomorfisma gelanggang jika a , bR berlaku
a. (a+b )= ( a )+(b)
b. (ab )= (a ) (b) . (John, 0raleigh %
C$nt$h &.(
MisalkanR
danR '
merupakan gelanggang. *emudian diberikan
pemetaan
:R R '
dengan aturan
(a )=2a. Akan ditunjukkan
pmetaan
adalah suatu homomorfisma gelanggang.
Misalkan diambil a , bR . Akan ditunjukkan baha a , bR berlaku
a. (a+b )= ( a )+(b)
b.
(ab )= (a ) (b)
Sehingga 7
a. (a+b )= ( a )+ (b )
(a+b )=2 (a+b )=2a+2b
(a )+ (b )=2a+2b
Jadi terbukti (a+b )= ( a )+ (b )
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
9/22
.
b. (ab )= (a ) (b)
(ab )=2 (ab)=2ab
(a ) (b )=2a 2b=4 b
)apat disimpulkan baha (ab ) (a ) (b) .
*arena (ab ) (a ) (b) maka :R R ' untuk (a )=2a bukan
merupakan homomorfisma gelanggang.
(. En)$m$rfisma
Definisi &.* En)$m$rfisma #ru'
Suatu homomorfisma grup
dikatakan endomorfisma jika
adalah
fungsi yang memetakan dari Gke Gsendiri. (Amir *amal Amir, dkk.
C$nt$h &.*
Misalkan Z adalah himpunan bilangan bulat dan bersama dengan
operasi penjumlahan biasa membentuk suatu grup. *emudian terdapat
pemetaan : C yang didefinisikan oleh (x )=n x , nN . Akan
ditunjukkan baha adalah suatu endomorfisma grup.
Misalkan diambil , akan ditunjukkan (a+b)= ( a )+(b) .
sehingga, (a )=na
(b )=nb
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
10/22
1&
selanjutnya (a+b )=n (a+b )=na+nb , a , bZ ,
dan (a )+ (b )=na+nb , a ,bZ .
Jadi terbukti baha (a+b )= ( a )+(b)
.
Definisi &.+ En)$m$rfisma #elanggang
Suatu homomorfisma gelanggang dikatakan endomorfisma apabila
memetakan gelanggang R ke dirinya sendiri. (Amir *amal Amir, dkk
*. Pusat #elanggang
Definisi &., Pusat )ari #elanggang
MisalkanR
adalah suatu gelanggang. 2usat dari gelanggangR
disimbol dengan Z(R) didefinisikan seperti7
Z(R )= {rRrx=xr ,xR } . (Amir *amal Amir
C$nt$h &.+
Sebuah gelanggang R adalah komutatif jika dan hanya jika Z(R )=R .
Jadi, setiap anggota gelanggang komutatif adalah pusat gelanggang.
+. I)eal #elanggang
Definisi &.- I)eal #elanggang
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
11/22
11
Sebuah sub gelanggang I dari gelanggang R disebut ideal dari R
jikaarI dan
raI ,aI , rR .
Jika I adalah ideal dalamR
maka perkalian elemen I
dengan elemen R harus menghasilkan sebuah elemen di I . (
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
12/22
12
memperkenalkan suatu gelanggang polinom tidak komutatif, yang
selanjutnya dikenal dengan gelanggang polinom miring. 4erikut diberikan
pengertian lengkap gelanggang polinom miring.
Definisi &. #elanggang P$lin$m Miring
MisalkanR adalah suatu gelanggang dengan identitas # , adalah
suatu endomorfisma dari R , dan adalah suatu-deriatif, yaitu7
a. adalah suatu endomorfisma pada R , dengan R sebagai
grup penjumlahan.
b. ) ) ,( ()( + () untuk setiap , R .
&elanggang polinom miring atas R dengan ariabel adalah
gelanggang7 7[ 78 ) {( + 9 + & : R ; dengan
+ ), < () ( R . Suatu elemen dari gelanggang
polinom miring 78[ mempunyai bentuk kanonikp=
i=0
r
aixi
, +
=&, 1, >;, R , 1, 2, > , . (McConn el & Robs on, 1 98 )
C$nt$h &.-
Misalkan ! adalah ? yang merupakan himpunan bilangan kompleks
sedangkan adalah suatu endomorfisma pada ? yang didefinisikan
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
13/22
13
sebagai + ) @( , untuk setiap + ? , dan adalah
suatu "deriatif yang didefinisikan sebagai ) ( + , untuk setiap
? + % &elanggang polinom miring ? 8[", adalah salah satu
contoh gelanggang polinom miring.
Misalkan terdapat dua polinom f(x )=(4+5 i )x dan g (x )=(26 i )x
f(x ) g (x )=[(4+5 i )x ] [(26 i )x ]
(4+5i )[x (26 i)]x (sifat asosiatif perkalian
(4+5i )[(26 i )x+(26 i )]x (sifat perkalian gelanggang
polinom miring
(4+5i )[(2+6 i )x+(6 )]x
(4+5i ) (2+6 i )x2+(4+5i ) (6 )x (s #$% '#s #b #$ *e nl %- %n )
[(830 )+ (24+10 ) i ]x2+ (2430 i )x
(22+34 i)x2+ (2430 i )x
g (x ) f(x )=[(26 i)x ] [(4+5 i )x ]
(26 i )[x (4+5 i)]x (sifat asosiatif perkalian
(26 i )[(4+5 i )x+(4+5i )]x (sifat perkalian gelanggang
polinom miring
(26 i )[(45 i)x+ (5)]x
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
14/22
14
(26 i ) (45 i)x2+ (26 i ) (5 )x (s #$% '#s #b #$ *e nl %- %n )
[(830 )(24+10 ) i ]x2+(1030i )x
(2234 i )x2+ (1030 i )x .
*arena f(x ) g (x) g (x ) f(x ) kita dapat menyimpulkan baha perkalian
gelanggang polinom miring tidak bersifat komutatif.
B. Alja/ar 0uaterni$n
Menurut Shoemake (D aljabar 1uaternion diciptakan oleh
amilton pada tahun #E>% dan dinotasikan dengan H untuk
menghormatinya yang merupakan perluasan bilangan kompleks untuk
aljabar empat dimensi (=).
%. Definisi 1uaterni$n
/uaternion merupakan kombinasi linear skalar real dan tiga satuan
imajiner ortogonal (dilambangkan dengan i 2 j dan dengan
koefisien real yang dapat dituliskan sebagai
H={!=!0+i !
1+j !
2+ !
3|!0 ,!1 , !2 , !3R } (.#
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
15/22
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
16/22
16
2enjumlahan dua buah 1uaternion tersebut adalah
a+b= (a0+b0)+ ( a1+b1 ) i+ (a2+b2) j+ (a3+b3)
a
[0+b0 ,(a1+b1 , a2+b2, a3+b3)]
a
[0+b0 , ( a1 ,a2, a3 )+ (b1 , b2 ,b3 )]
[a
0+b
0, a+b]
[a0 , a ]+[b0, b ] . (.>
2erkalian dua buah 1uaternion adalah
ab=[a0 , a] [b0 , b ]
a
(0+a1i+a2j+a3)(b0+b1 i+b2j+b3 )
a0(b0+b1 i+b2j+b3 )+a1 i(b0+b1 i+b2j+b3 )+a2j (b0+b1 i+b2j+b3 )+a3 (b0+b1i+b2j+b3
a
aa
a
(3b0 +a3 b1 i+a3 b2j+a3b3 )(2b0j+a2b1ji+a2 b2jj+a2b3j)+
( 1b0 i+a1b1i2
+a1 b2ij+a1 b3 i)+(0b0+a0 b1i+a0b2j+a0 b3 )+
a0
b0+a
0b1
i+a0
b2j+a
0b3
+a1
b0
ia1
b1+a
1b2
a1
b3j+a
2b0ja
2b1
a2
b2+a
2b3
i+a3
b0
+a3
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
17/22
1/
a
(1
b1
+a2b2+a3 b3)+a
0b0
(
a0
b1+a
1b0+a
2b3a
3b2 i+(a0b2a1 b3+a2b0+a3 b1 )j+(a0 b3+a1 b2a2 b1+a3 b0)
a
(1b2a2b1)
a0
b0a b+a
0(b1i+b2j+b3 )+b0(a1 i+a2j+a3 )+( a2 b3a3b2)i+(a1 b3+a3 b1 )j+
a0 b0a b+a0 b+b0 a+a b
a0
b0a b , a
0b+b
0a+a b
F. (.?
)imana a b adalah perkalian titik yang didefinisikan sebagai berikut7
a b=(a1
, a2
, a3) (b1 , b2 ,b3 )
(a1 b1 , a2 b2 , a3b3 )=a1b1+a2b2+a3 b3 . (.D
a b adalah perkalian silang yang didefinisikan sebagai berikut
a b=|
i j
a1
a2
a3
b1
b2
b3
|=|a2 a3b2 b3|i|a1 a3b1 b3|j+|a1 a2b1 b2|
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
18/22
1
a
a
a(1b2a2 b1)
(1b3a3b1)j+(2b3a3 b2) i
a
aa
(1b2a2 b1)(1b3+a3 b1)j+
(2b3a3 b2) i+
. (.E
/. "$njugat )ari 0uaterni$n
*onjugat suatu 1uaternion memiliki nilai negatif pada bagian
imaginernya. Misalnya diberikan 1uaterniona=a
0+i a
1+j a
2+ a
3H
,
maka konjugat dari 1uaternion tersebut didefinisikan sebagai berikut7
a= a
0+i a
1+j a
2+ a
3=a
0i a
1j a
2 a
3 . (.$
Adapun bentuk 1uaternion pada persamaan (.% adalah7
a=a
0+a
a=a0a
. (.#
4erdasarkan (.? perkalian 1uaternion a dengan konjugatnya
dapat dituliskan sebagai berikut 7
a a=a0
a0a . a+a
0(a)+a
0a+a (a)
a02+a1
2+a22+a3
2
. (.##
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
19/22
1.
5. N$rm )ari 0uaterni$n
:orm dari 1uaternion diperoleh dari modulus perkalian 1uaternion
a dengan konjugatnya a , berdasarkan persamaan (.# diperoleh
norm dari 1uaternion aH
|a|=a a=a02+a
1
2+a2
2+a3
2
. (.#%
). In6ers )ari 0uaterni$n
)engan menggunakan konjugat (.# dan modulus 1uaternion
a (.#>, maka diperoleh iners dariaH $ {0 }
didefinisikan sebagai
a1=
a
|a|2 . (.#=
C. #elanggang P$lin$m Miring atas 0uaterni$n
&elanggang polinom miring atas 1uaternion dengan ariabel tak
diketahui x adalah gelanggang yang terdiri dari polinom-polinom
sebagai berikut 7
! (x )=!nxn+!n1x
n1++!2x2+!1x+!0
dengan!iH atau
!i=!0+!1i+!2j+!3 dengan!0
, !1
, !2
, !3R
.
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
20/22
2&
BAB III
MET4DE PENELITIAN
A. Ran5angan Penelitian2enelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut 7
%. Inisiasi;angkah aal dari penelitian ini adalah inisiasi. Gang dimaksud
inisiasi disini adalah persiapan. 2ersiapan mengenai referensi-referensi
yang dibutuhkan untuk penelitian ini.
&. I)entifikasi masalah8dentifikasi masalah dilakukan untuk memastikan fokus masalah
dari penelitian.
(. tu)i 'ustakaStudi pustaka ini dilakukan terhadap referensi-referensi penelitian
yang berkaitan dengan penelitian sebagai tahap melengkapi pengetahuan
dasar peneliti untuk keperluan pelaksanaan penelitian.
*. Penelitian2enelitian yang dilakukan adalah pengolahan teori pustaka untuk
mendapatkan
(endomorfisma dari
%
kemudian dicari bentuk
pusat dan ideal dari%[x , ] .
+. "esim'ulanSetelah meleati beberapa tahap penelitian, hasil yang diperoleh
tentunya akan disimpulkan berdasarkan rumusan masalah dan tujuan
penelitian.
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
21/22
Anisiasi
Ben#uk pusa# dan ideal gelanggang biasa
Aden#ikasi masalah
Ben#uk pusa# dan ideal gelanggang polinom miring dengan gelanggang komu#a#i*
Ben#uk pusa# dan ideal gelanggang polinom miring a#as Cua#ernion
Desimpulan
Ben#uk endomorsma pada
21
;angkah-langkah kerja dalam penelitian ini dapat digambarkan dalam satu
diagram alur berikut7
-
7/24/2019 Bab 1-3(1)
22/22
22
&ambar # ;angkah-langkah kerja penelitian
B. L$kasi )an 7aktu Penelitian;okasi penelitian ini bertempat di kota Makassar 2ropinsi Sulaesi
Selatan, khususnya di 2erpustakaan 2ascasarjana 0M82A 3niersitas
asanuddin. 2enelitian ini dilaksanakan mulai bulan Maret sampai Juni
#>.