BA03 Deskriptivní geometrie -...
Transcript of BA03 Deskriptivní geometrie -...
Zborcené plochy
přednášková skupina P-BK1VS1
učebna Z240
Mgr. Jan Šafařík
Konzultace č. 3
2
Literatura
Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006–2008. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Základní literatura:
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
3
Literatura
Doporučená literatura: Jiří Doležal: Základy geometrie a Geometrie,
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html
Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992.
Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.
Bulantová, Jana - Hon, Pavel - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004–2008.
Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003.
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
4
Literatura
Další zdroje: Blaženková, Šárka: Plochy technické praxe, Diplomová práce, Přírodovědecká
fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006
Černý, Jaroslav – Kočandrlová, Milada: Obrazová podpora skript Černý, Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, http://mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/kog/default.html.
Doležal, Jiří : Základy geometrie a Geometrie, http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html.
Juklová, Lenka: Přednášky z Ploch technické praxe - 8. semestr - KAG/GPTP8, http://kag.upol.cz/juklova/index.html.
Kadeřávek František: Plochy stavebně-inženýrské praxe, Druhé přepracované a rozšířené vydání připravily Václav Havel a František Harant, nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1958.
Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975.
Surynková, Petra: Plochy stavební praxe, Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova, Praha 2006
Vanadiová, Lucie: Využití matematických ploch k zastřešení, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006.
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
5
Zborcené plochy
Zborcená plocha je dána třemi různými (obecně prostorovými) řídícími křivkami 1, 2, 3, které neleží na téže rozvinutelné ploše
Značíme (1, 2, 3)
Přímka protínající všechny tři řídící přímky se nazývá tvořící přímka
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
6
Zborcené plochy
Konstrukce tvořící přímky:
Zvolme bod A 1. Tvořící přímku n procházející bodem A získáme jako průnik kuželové plochy 2 s vrcholem A a řídící křivkou 2 a kuželové plochy 3 s vrcholem A a řídící křivkou 3.
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
7
Zborcené plochy Je-li tvořící přímka m dotyková povrchová přímka obou kuželových
ploch, pak se nazývá torzální přímka a vrchol kuželů se nazývá kuspidální bod.
Podél torsální přímky existuje jediná tečná rovina zborcené plochy , tzv. torzální rovina.
Křivka na zborcené ploše se nazývá dvojná {trojná, …}, jestliže každým bodem této křivky (s konečným počtem vyjímek) prochází dvě {tři, …} tvořící přímky (které nemusí byt torzální).
Kuspidální body se vyskytují na dvojných {trojných, …} křivkách zborcené plochy . Torzální přímka prochází kuspidálním bodem.
Tečná rovina v nevlastním bodě netorzální přímky n zborcené plochy se nazývá asymptotická.
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
8
Zborcené plochy
Stupeň plochy:
Buď zborcená plocha dána algebraickými křivkami 1 stupně 1n, 2 stupně 2n a 3 stupně 3n.
Nemají-li řídící křivky žádný společný bod, pak je stupně 2·1n·2n·3n
Mají-li křivky i, j pro 1ij3 společný sij bodů, pak je stupně
2·1n·2n·3n – s12·3n – s13·
2n – s23·1n
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
9
Zborcené plochy
Užití zborcených ploch
Jejich soustava tvořících přímek je vhodná pro kladení bednění nebo výztuží betonu, které umožňuje značné zmenžení tloušťky klenby – vznik skořepinových ploch
Odolnost vůči tlakům vznikajícím ve stavbě, i při jejím provozním chodu bez zpevňujících zařízení
Ze statického hlediska jsou zborcené plochy samonosné
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
10
Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky)
Jednodílný hyperboloid
Hyperbolický paraboloid
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
11
Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky)
Buď dány tři řídící přímky – mimoběžky 1a, 2a, 3a. Tvořící přímky vytvoří zborcenou plochu Φ(1a, 2a, 3a) stupně 2·1·1·1=2, tj. kvadriku
Tvořící přímky plochy , například 1b, 2b, 3b, 4b, … jsou navzájem mimoběžné, neboť kdyby například 1b a 2b byly ruznoběžné, pak alespoň dvě z přímek 1a, 2a, 3a (1b, 2b), ale to je spor s předpokladem mimoběžnosti přímek 1a, 2a, 3a.
Tvořící přímky - mimoběžky ib plochy se nazývají např. přímky I. regulu plochy . Zvolme nyní tři mimoběžky I. regulu, například 1b, 2b, 3b jako řídící přímky plochy , pak přímky 1a, 2a, 3a spolu s dalšími mimoběžkami ia tvoří přímky II. regulu plochy .
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
12
Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky)
Z konstrukce je patrné, že:
Každá přímka I. regulu protíná všechny přímky II. regulu a naopak
Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné
Tečná rovina plochy v bodě M je určena přímkami obou regulů, bodem M procházejících
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
13
Jednodílný hyperboloid
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
14
Jednodílný hyperboloid Jestliže přímky téhož regulu nejsou rovnoběžné s
rovinou , pak se plocha nazývá jednodílný hyperboloid (obecně nerotační).
Základní vlastnosti
Bod přímky p nejblíže ose vytváří při rotaci hrdlovou kružnici (kružnice plochy s nejmenším poloměrem).
Střed hrdlové kružnice nazýváme středem hyperboloidu.
Dva systémy mimoběžných přímek na ploše… reguly.
Plocha dvojí křivosti.
Nerozvinutelná plocha.
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
15
Jednodílný hyperboloid
Asymptotická kuželová plocha
Kuželová plocha, jejíž vrchol je střed hyperboloidu.
Každá tvořící přímka asymptotické kuželové plochy je rovnoběžná s některou tvořící přímkou hyperboloidu.
Má-li asymptotická kuželová plocha obrys, jsou její obrysové přímky asymptotami obrysu hyperboloidu. Obrysem hyperboloidu je hyperbola.
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
16
Jednodílný hyperboloid Řezy na jednodílném hyperboloidu
přímky kružnice, elipsa
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
17
Jednodílný hyperboloid Řezy na jednodílném hyperboloidu
parabola hyperbola
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
18
Jednodílný hyperboloid arch. Oscar Niemeyer, 1970, Cathedral of Brasília (Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida)
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
19
Jednodílný hyperboloid The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
20
Jednodílný hyperboloid
Chladící věže jaderných elektráren
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
21
Hyperbolický paraboloid
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
22
Hyperbolický paraboloid Jestliže existuje rovina (), se kterou jsou přímky
nečárkovaného (čárkovaného) regulu rovnoběžné, dostaneme plochu zvanou hyperbolický paraboloid.
Základní pojmy Zborcený čtyřúhelník Řídicí rovina Systém (regulus) přímek Sedlový bod, sedlová plocha Vrchol hyperbolického paraboloidu Osa hyperbolického paraboloidu Směr osy hyperbolického paraboloidu Zborcená přímková kvadratická plocha Plocha dvojí křivosti
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
23
Hyperbolický paraboloid Základní pojmy
Zborcený čtyřúhelník – čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v téže rovině
Osa hyperbolického paraboloidu – přímka, která je rovnoběžná s průsečnicí řídících rovin obou regulů
Vrchol V hyperbolického paraboloidu – osa hyperbolického paraboloidu prochází bodem V, tzv. vrcholem HP. Tečná rovina ve vrcholu V je kolmá k ose HP.
Tečná rovina protíná hyperbolický paraboloid ve dvou přímkách, které se protínají v jejím bodě dotyku. Jedna patří do přímek 1. regulu a druhá do přímek 2. regulu.
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
24
Hyperbolický paraboloid
Základní pojmy
Řez hyperbolického paraboloidu rovinou:
Je-li rovina řezu rovnoběžná s řídící rovinou 1. nebo 2. regulu, je řezem jedna površka.
Je-li rovina řezu tečna hyperbolického paraboloidu v bodě dotyku T, jsou řezem dvě površky.
Je-li rovina řezu rovnoběžná resp. procházející osou hyperbolického paraboloidu, ale různoběžná s řídícími rovinami obou regulů, je řezem parabola
Pro všechny ostatní případy je řezem hyperbola.
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
25
Proč hyperbolický paraboloid
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
26
Hyperbolický paraboloid
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Příklad:
V izometrii je dán průmět
dvou zdí stejné výšky, jejíž
lícní roviny , mají různý
spád. Proveďte spojení obou
zdí pomocí plochy
hyperbolického paraboloidu.
A[60, 0, 0], B[80, 30, 0], C[0,
80, 60], D[0, 0, 60].
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
27
Hyperbolický paraboloid
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Příklad: V pravoúhlé izometrii je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD. Sestrojte několik tvořících přímek plochy patřících do obou přímkových regulů. Je dáno A[40, 0, 0], B[0, 80, 50], C[-40, 0, 0], D[0, -80, 50]. Plochu omezte rovinami (x, y), , , je- li dáno: : y = 80, : y = - 80.
Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
28
Hyperbolický paraboloid
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Příklad:
V Mongeově promítání je dána
plocha hyperbolického paraboloidu
pomocí zborceného čtyřúhelníku
ABCD, který se v půdorysně
zobrazí jako rovnoběžník. A[-69, 62,
77], B[19, 74, 0], C[?, ?, 77], D[-19,
9, 0]. V bodě dotyku T sestrojte
tečnou rovinu τ. Sestrojte řez
rovinou , rovnoběžnou s nárysnou
, procházející vrcholem V
hyperbolického paraboloidu.
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
29
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Střešní roviny stejného spádu hřeben není vodorovný
Požadujeme hřeben vodorovný
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
30
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
Jan Šafařík: Zborcené plochy
• Půlícím bodem střední příčky je veden vodorovný hřeben MN rovnoběžný s jednou okapovou hranou. • Část střešní plochy tvoří hyperbolický paraboloid určený zborceným čtyřúhelníkem ABMN. • Latě jsou vodorovné, ale krokve nejsou kolmé k hřebeni.
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
31
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
Jan Šafařík: Zborcené plochy
• Krokve jsou kolmé na hřeben. • Hyperbolický paraboloid je určen zborceným čtyřúhelníkem KLMN. • Nároží se sousedními střešními rovinami jsou části kuželoseček.
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
32
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
Jan Šafařík: Zborcené plochy
• Užitá část hyperbolického paraboloidu je ohraničena zborceným čtyřúhelníkem KLMN. • Přechází v části rovin určených body ALM a BKN. • Tím docílíme, že všechna nároží jsou úsečky.
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
33
Hyperbolický paraboloid Graham McCourt Architects, 1983, sportovní aréna, Calgary, Alberta, Canada
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
34
Hyperbolický paraboloid
Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972, Olympijský stadión, Mnichov, Německo
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
35
Hyperbolický paraboloid
F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
36
Zborcené plochy vyšších stupňů
Přímý kruhový konoid
Plückerův konoid
Küpperův konoid
Plocha Štramberské trúby
Plocha Montpellierského oblouku
Plocha Marseillského oblouku
Plocha Šikmého průchodu
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
37
Konoidy Má-li zborcená plocha mezi řídícími křivkami přímku v
konečnu a přímku v nekonečnu, zanývá se konoid.
Hyperbolický paraboloid je konoidem nejnižšího stupně.
Třetí řídící křivka dourčuje název konoidu: kruhový konoid
eliptický konoid
šroubový konoid
…
Konoidy dělíme na přímé a kosé podle úhlu, který svírá přímka v konečnu s řídící s řídící rovinou = 90 – přímý konoid
≠ 90 – kosý konoid
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
38
Přímý kruhový konoid
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
39
Přímý kruhový konoid
zadání
řídící rovinou (c ∞ )
řídící přímkou d
řídící kružnicí k ; , d
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
40
Přímý kruhový konoid
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Příklad:
V kosoúhlém promítání (=135,
qx=2/3) je dán přímý kruhový
konoid s řídící kružnicí 1k (S[35, 35,
0], r=) v půdorysně, řídící rovinou
a řídící přímkou 2k . Přímka
2k prochází bodem M[0, 35, 80].
Sestrojte několik tvořících přímek
konoidu, určete stupeň plochy.
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
41
Přímý parabolický konoid
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
42
Přímý parabolický konoid
zadání
řídící rovinou (c ∞ )
řídící přímkou d
řídící parabolou p ; , d
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
43
Přímý parabolický konoid
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
44
Plocha Štramberské trúby
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
45
Plocha Štramberské trúby
zadání
dvěma k sobě kolmými mimoběžkami 1d, 2d
kružnicí k ležící v rovině rovnoběžné s 1d a 2d a se středem na ose mimoběžek 1d a 2d.
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
46
Plocha Štramberské trúby
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
47
Plocha Montpellierského oblouku
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
48
Plocha Montpellierského oblouku
zadání
řídící kružnicí k
řídící přímkou 1d, která prochází středem S kružnice k kolmo na rovinu kružnice
řídící přímkou 2d, která je rovnoběžná a různá s rovinou kružnice a mimoběžná s řídící přímkou 1d
stupeň křivky:
2·2·1·1=4
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
49
Plocha Montpellierského oblouku
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
50
Plocha Montpellierského oblouku Příklad: V Mongeově promítání sestrojte Montpelliérský oblouk daný řídící kružnicí 1k (S [0, 20, 0], r = 40), která leží v rovině ν' || ν (x, z), dále
řídící přímkou 2d || x1,2, Q 2d, Q [0, 60, 60] a přímkou 3d, 3d ν, S 3d. Plochu omezte řídící kružnicí 1k, řídící přímkou 2d a rovinami α
(20, -20, ) a β (-20, -20, ). Dále sestrojte řez rovinou ρ(, 80, 65).
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03
51
Plocha Marseillského oblouku
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
52
Plocha Marseillského oblouku
zadání
řídící kružnicí 1k(1S, 1r) 1
řídící kružnicí 2k(2S, 2r) 2, 1 2
řídící přímkou d, 1Sd, 2Sd, d 1, 2
stupeň křivky:
2·2·2·1-2·1=6
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
53
Plocha Marseillského oblouku
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
54
Plocha Marseillského oblouku
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Příklad: V kolmé axonometrii Δ(90, 110, 95) je dána plocha Marseillského oblouku určena řídícími kružnicemi 1k (1S[0, 47, 0], r=30) v bokorysně , 2k (2S[30, 47, -10], r=50) v ronině rovnoběžné s a řídící přímkou 3k procházející bodem 1S kolmo k rovině . Sestrojte část plochy nad půdorysnou , omezenou rovina v nichž leží řídící kružnice.
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
55
Plocha šikmého průchodu
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
56
Plocha šikmého průchodu
zadání
řídícími kružnicemi 1k a 2k, ležících v rovnoběžných rovinách, o stejném poloměru a středech 1S a 2S
řídící přímkou d, kolmou na roviny kružnic a procházejí středem úsečky 1S 2S
stupeň křivky:
2·2·2·1-2·1-2=4
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
57
Plocha šikmého průchodu
Vyšehradský tunel
Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
dále viz … Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt
VUT v Brně:
Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební
fakulty Vysokého učení technického v Brně,
Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v
Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
Konec Děkuji za pozornost