Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról Bevezetés Sok évvel ezelőtt, amikor még nem volt internet, és a személyi számítógép is újdonság volt, sikerült néhány furcsa, a szakirodalomban nemigen szereplő összefüggést találnunk a merőleges axonometria témakörében is. Akkoriban a „papírmunka” sokkal nehézkesebb volt ( gépírás, rajzolás, stb. ), így a mintegy öncélú megörökítés technikailag sokkal nehe-zebben ment, mint manapság. Minthogy nem teljesen érdektelen dolgokról van szó, lega-lábbis a felfedező alkatú emberek számára, így célszerű ezt az adósságot is rendezni. Annakidején az egészet egy a témától nagyon távol állónak tűnő könyvben – [ 1 ] – közölt képletek indították el. A képletek igazolása, majd az eredmények továbbgondolása egy olyan dolgozat - folyamot indított el, melynek eredményei – vélhetően – ma is egy átfo-góbb megértést tesznek lehetővé a rajzi megjelenítés témakörében: a merőleges axono-metriában, a ferde axonometriában és a perspektívában. E dolgozatok közül ez az első. Furcsa a szerző helyzete: arról „panaszkodik”, hogy mi minden hiányzik a szakirodalom-ból, ugyanakkor e hiányok pótlása közben nagyon óvatosan kell eljárnia; ugyanis ~ a vájtfülűek számára ez az egész nyitott kapun való dörömbölésnek tűnhet, ráadásul még csak esztétikai örömet sem szerezve, hiszen helyenként meglehetősen letérünk a megszo-kott és elegánsan kikövezett útról; ~ a kezdők számára ez az egész valami öncélú magamutogatásnak tűnhet, hiszen egészen biztos, hogy valaki, valahol már rendbe rakta az itteni ismereteket, stb. Minthogy szinte minden szerzőre ez a Szkülla és Kharübdisz leselkedik, így sosem történne semmi, ha erre sokat adnánk. Így aztán vállaljuk a kritikát, és közzétesszük e kiadatlan, ill. csak szűk körben és részben ismertetett írásokat. A téma kifejtése során igyekszünk, hogy igazolás nélkül csak a szakirodalomban legin-kább hozzáférhető ismeretekre hivatkozzunk; az is megtörténhet, hogy az egyik dolgozat-ban levezetés nélkül közölt eredményt a másik dolgozatban részletesen levezetjük. Témánk kifejtése során a „szájbarágás” módszerétől sem riadunk vissza, mert – ahogy már célozgattunk rá – nem nagyon találni bevezető jellegű, ízlésünknek megfelelő magyar nyelvű szakirodalmat. Ennek megvan az az előnye, hogy később majd saját magunkra hi-vatkozhatunk. Az a vicces helyzet állt itt is elő, hogy a „komoly” szerzők szinte rangon alulinak tartják az ilyen ”nyilvánvaló” ismeretek közlését, mások pedig – talán éppen emiatt – még szégyellik is, vagy csak lusták. Akárhogy is van, ott tartunk, hogy egy átlagos kezdőnek sokszor érdemesebb a régebbi kiadású szakkönyvek felé fordulnia. Az elmondottakra jó példa a [ 2 ] mű, ahol szinte egyedülálló módon gondoskodik a szerző a megértés feltételeinek biztosításáról. Ez különösnek tűnhet, főként ha kiderítjük kiadásá-nak valószínű dátumát. E sorok írója azáltal is megköszöni az említett művek szerzőinek ezt a fajta ismeretterjesztő munkát, hogy alkalmazza a művükben foglaltakat, valamint ezeket mások figyelmébe is ajánlja. Így talán kevésbé lesznek szégyenlősek, ill. elszál-lottak azok, akiknek még hátravan egy - két tankönyv vagy szakkönyv megírása. Ugyanis nincs kétségünk afelől, hogy a jól átgondolt, alaposan megszerkesztett bevezető jellegű írásokra még sokáig lesz igény.

2

Kifejtés A feladat ( v.ö.: [ 1 ]! ) Igazoljuk, hogy orthogonális / merőleges / axonometriában való ábrázoláskor érvényesek az alábbi összefüggések – ld. az 1. ábrát is!

1. ábra

x y

x y z

2 2x

2 2y

2z

x ' X q cos Y q cos ,

y ' X q sin Y q sin Z q ,ahol

q A sin cos ;

q A cos sin ;

q 1 A ;

A tg tg ;

tgtg .tg

3

Megoldás Az 1. ábrán feltüntettük: ~ az ábrázolás síkjában – a képsíkon – felvett ( Oa x y z ) axon. tengelykeresztet; ~ egy P ( X, Y, Z ) térbeli pontnak / tárgypontnak az axon. tengelykeresztre vonatkoztatott ferdeszögű koordinátáival megadott K ( qx X, qy Y, qz Z ) képpontját; ~ a K képpontnak az ( Oa x’ y’ ) rajzi koordináta - rendszerben értelmezett K’ megfele-lőjét. A feladat kissé átfogalmazva: Adott: ( X, Y, Z ), ( α , β ). Keresett: ( x’, y’). Az állítás első és második sora:

x yx ' X q cos Y q cos , ( 1 )

x y zy ' X q sin Y q sin Z q , ( 2 ) azonnal adódik, az 1. ábra szerint is; ezért ha az állítás igaz, akkor a feladat valójában a további sorokban foglaltak szerint a

2 2xq A sin cos , ( 3 )

2 2yq A cos sin , ( 4 )

2zq 1 A , ( 5 )

valamint az A tg tg , ( 6 )

tgtgtg

( 7 )

képletekkel leírt

x x

y y

z z

q q ( , ) ,q q ( , ) ,q q ( , )

( 8 )

függvénykapcsolatok igazolása, ill. az állítás szerinti alakjának belátása. A feladat állítása szerint a K = K’ orth. axon. képpontot a térbeli P ( X, Y, Z ) pont, ill. az ábrázolás ( α, β ) szögparaméterei egyértelműen meghatározzák. Ezek szerint a fő feladat a ( 8 ) szerinti függvények, a qi ( i = x, y , z ) rövidülési együtthatók előállítása. Ezt pontokba foglalva, több, önállóan is tanulmányozható részben végezzük el.

4

1.) A térbeli vetítési összefüggések felírása − [ 3 ] Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!

2. ábra A 2. ábra a párhuzamos vetítés megformulázását segíti; itt: P: tárgypont; K: képpont; Π: képsík; ( O X Y Z ): térbeli koordináta - rendszer; ( O’ x’ y’ ): képsíkbeli koordináta - rendszer. A párhuzamos vetítés lényege: az ábrázolandó tárgy P pontján keresztül az u irány-vektorral párhuzamos vetítősugár halad át, mely a képsíkot a K képpontban döfi. A feladat: e döféspont x’, y’ koordinátáinak megkeresése. A vektoralgebrai megoldás az alábbi. Egyrészt:

z ' ; r' r u ( 1 – 1 ) másrészt:

x ' y ' ; 0 1 2r' r u u ( 1 – 2 ) most ( 1 – 1 ) és ( 1 – 2 ) - vel:

x ' y ' z ' . 0 1 2r r u u u ( 1 – 3 ) Most szorozzuk végig skalárisan ( 1 – 3 ) - at 1 2u ×u - vel! Ekkor:

5

x ' y ' z ' . 0 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2r r u ×u u u ×u u u ×u u u ×u ( 1 – 4 ) Figyelembe véve, hogy

0, 1 1 2 2 1 2u u ×u u u ×u ( 1 – 5 ) ( 1 – 4 ) és ( 1 – 5 ) - tel:

z ' .

0 1 2

1 2

r r u ×uu u ×u ( 1 – 6 )

Hasonló módon adódik, hogy

2x ' ,

0

1 2

r r u ×uu u ×u ( 1 – 7 )

továbbá

1

2 1

y ' .

0r r u ×uu u ×u ( 1 – 8 )

Az ( 1 – 6 ), ( 1 – 7 ), ( 1 – 8 ) képletek a ferde - párhuzamos vetítés, azaz a ferde

– más néven: klinogonális = ferdeszögű – axonometria általános képletei. Ezek közül leginkább csak az ( 1 – 7 ) és ( 1 – 8 ) képleteket használjuk, ahol ( x’ y’ ) a keresett ferde axonometrikus képpont képsíkbeli koordinátái. Megjegyezzük, hogy az előző számítás során felhasználtuk az

1 2

2 2 1

,

1 2

1

u u ×u u u ×u

u u ×u u u ×u ( 1 – 9 )

összefüggéseket is. A ferde axonometria igen fontos speciális esete a merőleges axonometria, amikor is a vetítősugarak merőlegesek a képsíkra, azaz:

. 1 2u u ×u ( 1 – 10 ) Ekkor, felhasználva az

a× b×c b a c c a b azonosságot, valamint az

, = 2 1a c u b u helyettesítéseket, az egységvektorokra vonatkozó ismert összefüggésekkel is kapjuk, hogy:

6

x ' , 0 1r r u ( 1 – 11 )

2y ' , 0r r u ( 1 – 12 )

z ' . 0r r u ( 1 – 13 ) Ezzel a merőleges - párhuzamos vetítési alapösszefüggéseket meghatároztuk. A későbbiekben használandó jelölésekkel újra felírjuk az orth. ax. képleteit; ld.: 3. ábra!

3. ábra Előtte értelmezzük a 3. ábra főbb jelöléseit:

aOO ,d a képsíkra merőleges vektor, a vetítés irányvektora; OP,p a P tárgypont helyvektora;

x ' y ', e e : az x’, y’ képsíkbeli tengelyek menti egységvektorok.

7

Most az ( 1 – 11 ), ( 1 – 12 ) képleteket az új jelölésekkel átírva: x'x ' , p d e ( 1 – 14 )

y'y ' . p d e ( 1 – 15 ) Most vegyük figyelembe, hogy d , így fennállnak az alábbiak:

x '

y '

0,0.

d ed e ( 1 – 16 )

Majd ( 1 – 14 ), ( 1 – 15 ), ( 1 – 16 ) - tal:

x 'x ' , p e ( 1 – 17 )

y 'y ' . p e ( 1 – 18 ) Az ( 1 – 17 ) és ( 1 – 18 ) egyenletek a képsíkra merőleges párhuzamos vetítés alap-egyenletei, az általunk használt jelölésekkel. 2.) A képsíkbeli egységvektorok kifejezése a képsík paramétereivel Ehhez tekintsük a 4. ábrát!

4. ábra

8

A részfeladat: Adott: u, v, w > 0.

Keresett: x ' y ', .e e Az azonnal látszik, hogy az ( u, v, w ) tengelymetszetek megadásával adott a képsík normálvektora, egyben a vetítés irányvektora is. A vetítés irányvektora:

X Y Z

X Y Z

d d d d cos d cos d cos ;

X Y Zd d d d i j k

i j k ( 2 – 1 )

a 4. ábra szerint:

X

Y

Z

dcos ,udcos ,vdcos .w

( 2 – 2 )

Most ( 2 – 1 ) és ( 2 – 2 ) - vel: 2 2 2d d d .

u v w d i j k ( 2 – 3 )

Definíció szerint a képsík normális egységvektora:

,d

0 0 dn d ( 2 – 4 )

majd ( 2 – 3 ) és ( 2 – 4 ) - gyel: d d d .u v w

0n i j k ( 2 – 5 )

Minthogy 1, 0 0n n ( 2 – 6 )

ezért ( 2 – 5 ) és ( 2 – 6 ) - tal: 2 2 2d d d 1,

u v w azaz:

22 2 2

1 1 1d 1,u v w

innen:

2 2 2 2

1 1 1 1 ,u v w d

( 2 – 7 )

9

illetve:

2 2 2

1d .1 1 1u v w

( 2 – 8 )

Majd ( 2 – 5 ) és ( 2 – 8 ) - cal:

2 2 2

1 1 1u v w .

1 1 1u v w

0i j k

n ( 2 – 9 )

Megjegyezzük, hogy a 4. ábra szerint használható az

0 a×bna×b ( 2 – 4 / 1 )

összefüggés is. Az egységvektorokra térünk rá. A 4. ábrán is látszik, hogy

x ' 2 2.

c u v

0 c c ce c

c ( 2 – 10 )

Ismét az ábráról: u v , i c j innen:

u v ; c i j ( 2 – 11 ) majd ( 2 – 10 ) és ( 2 – 11 ) - gyel:

x ' 2 2 2 2

u v .u v u v

e i j ( 2 – 12 )

A jobbsodrású koordináta - rendszerben:

y' . 0x'e n ×e ( 2 – 13 )

Most ( 2 – 5 ), ( 2 – 12 ), ( 2 – 13 ) - mal:

10

y' 2 2 2 2

2 2

2 2

d d d u vu v w u v u v

d v u u v u v w wu v

d v u u v ,w w v uu v

e i j k × i j

k j i

i j k

tehát

y' 2 2

d v u u v .w w v uu v

e i j k ( 2 – 14 )

3.) Az ábrázolás egyenleteinek kifejtése Tudjuk, hogy

X Y Z . p i j k ( 3 – 1 ) Most ( 1 – 17 ), ( 2 – 12 ) és ( 3 – 1 ) - gyel:

x ' 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

u vx ' X Y Zu v u v

u v 1 1 X Y X Y,u v u v v u1 1

u v

p e i j k i j

tehát:

2 2

1 1x ' X Y.v u1 1u v

( 3 – 2 )

Majd ( 1 – 18 ), ( 2 – 14 ) és ( 3 – 1 ) - gyel:

11

y ' 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

d v u u vy ' X Y Zw w v uu v

d v u u v X Y Zw w v uu v

d v d u d u v X Y Zw w v uu v u v u v

p e i j k i j k

,

tehát:

2 2 2 2 2 2

d v d u d u vy ' X Y Z .w w v uu v u v u v

( 3 – 3 )

4.) A rövidülési együtthatók számítása Ehhez tekintsük a 4. ábra mellékábráit is! Definíció szerint:

~ az x tengely menti rövidülési tényező: x 1Uq cos ;u

( 4 – 1 )

~ az y tengely menti rövidülési tényező: y 2Vq cos ;v

( 4 – 2 )

~ a z tengely menti rövidülési tényező: z 3Wq cos .w

( 4 – 3 )

Most nézzük az 5. ábrát is! Itt a térbeli és a képsíkbeli paraméterek kapcsolatát vizsgáljuk meg; ezen mindhárom alkalmazott koordináta - rendszer látható. Pitagorász tételével:

2 2

2 2

2 2

a u w ;

b v w ;

c u v .

( 4 – 4 )

Az 5. ábrán bevezettük a D1D2D3 nyomháromszög megfelelő oldalai által bezárt ( λ, μ, ν ) szögeket is, valamint feltüntettük az ábrázolás ( α , β ) alapadatait is. Az 5. ábra alapján készítettük el a 6. ábrát, amelyen már csak a képsíkbeli mennyiségeket ábrázoltuk. Közvetlen célunk a rövidülési együtthatók és az ( α , β ) szög - paraméterek kapcsolatának tisztázása.

12

5. ábra

6. ábra

13

A 6. ábra készítésénél felhasználtuk, hogy – ld.: [ 4 ]! –: ~ a nyomháromszög : hegyesszögű háromszög; ~ az orth. ax. tengelykereszt egyenesei a nyomháromszög magasságvonalai. Ezek alapján felírhatók a következő szög - összefüggések:

90 ; ( 4 – 5 ) 90 ; ( 4 – 6 )

. ( 4 – 7 ) Most sin - tétellel:

sinU c ,

sin

( 4 – 8 )

sinV c .

sin

( 4 – 9 )

Ezután ( 4 – 1 ), ( 4 – 4 ), ( 4 – 8 ) - cal:

22 2

xU c sin u v sin v sinq 1 ,u u sin u sin u sin

tehát:

2

xv sinq 1 .u sin

( 4 – 10 )

Hasonlóan ( 4 – 2 ), ( 4 – 4 ), ( 4 – 9 ) - cel:

22 2

yV c sin u v sin u sinq 1 ,v v sin v sin v sin

tehát:

2

yu sinq 1 .v sin

( 4 – 11 )

Most a 6. ábra alapján: W a sin U sin ; ( 4 – 12 ) majd ( 4 – 5 ) és ( 4 – 12 ) - vel: W a cos U sin . ( 4 – 13 ) Ezután ( 4 – 3 ), ( 4 – 4 ), ( 4 – 8 ), ( 4 – 13 ) - mal:

14

2 2 2 2

z

2 2 2

W a U u w u v sin sinq cos sin cosw w w w w sin

u u v sin sin 1 cos ,w w w sin

tehát:

2 2 2

zu u v sin sinq 1 cos .w w w sin

( 4 – 14 )

Most a 6. ábra alapján cos - tétellel:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

b a c 2 a c cos ;a b c 2 b c cos ;c a b 2 a b cos .

( 4 – 15 )

Majd ( 4 – 4 ) és ( 4 – 15 ) - tel:

2 2 2 2 2 2v w u w u v 2 a c cos , innen: 2u a c cos .

Hasonlóképpen végigszámolva:

2

2

2

u a c cos ;v b c cos ;w a b cos .

( 4 – 16 )

Ezután ( 4 – 16 ) - ból:

2

2

2

u a cos ;v b cos

u c cos ;w b cos

v c cos .w a cos

( 4 – 17 )

Ismét a 6. ábrával, sin - tétellel:

15

a sin ;b sinc sin ;b sinc sin .a sin

( 4 – 18 )

Most ( 4 – 17 ) és ( 4 – 18 ) - cal:

2

2

2

u tg ;v tg

u tg ;w tg

v tg .w tg

( 4 – 19 )

Majd ( 4 – 19 ) és ( 4 – 5, 6, 7 ) - tel:

2

2

2

tg 90u tg ctg tg ;v tg ctg tgtg 90

tg tgu tg tg tg ;w tg ctgtg 90

tg tgv tg tg tg .w tg ctgtg 90

( 4 – 20 )

Most ( 4 – 10 ) és ( 4 – 20 ) - szal:

2

xv sin tg sinq 1 1 ;u sin tg sin

( 4 – 21 )

trigonometriai átalakítással:

sin sin cos cos sin sin cos ,sin sin tg

tehát

16

sin tg 1 1cos 1 sin .sin tg tg tg

( 4 – 22 )

Ezután ( 4 – 21 ) és ( 4 – 22 ) - vel:

2

x1 tgtg 1 1 1q 1 ,

tg costg tg tgcos 1 1 1tg tg tg

tehát például:

x1 1q ,

cos tg1tg

( 4 – 22 / 1 )

illetve

2

x1 tgq .tg1

tg

( 4 – 22 / 2 )

Majd ( 4 – 11 ) és ( 4 – 20 ) - szal:

2

yu sin tg sinq 1 1 ;v sin tg sin

( 4 – 23 )

trigonometriai átalakítással: sin sin cos cos sin sincos ,sin sin tg

tehát: sin tg 1 1cos 1 sin .sin tg tg tg

( 4 – 24 )

Ezután ( 4 – 23 ) és ( 4 – 24 ) - gyel: 2

y1 tgtg 1 1 1q 1 ,

tg costg tg tgcos 1 1 1tg tg tg

tehát például:

17

y1 1q ,

cos tg1tg

( 4 – 25 / 1 )

illetve

2

y1 tgq .tg1

tg

( 4 – 25 / 2 )

Most a ( 4 – 14 ) és ( 4 – 20 ) képletekkel:

2 2 2

zu u v sin sinq 1 cosw w w sin

sin sin 1 tg tg cos tg tg tg tg .sin

( 4 – 26 ) Azonos átalakításokkal:

2 2

tg tg1 tg tg cos 1 tg cos1 tg tg

1 tg tg tg tg tg 1 tgcos cos1 tg tg 1 tg tg

1 ;1 tg tg

( 4 – 27 )

sin sin sin sintg tg tg tg tg tg tgsin sin

tg tg sin sin tg tg sin sintg tg ;1 tg tg sin sin1 tg tg

( 4 – 28 )

sin sin cos cos sin 1 1 tg tg ,sin sin sin sin tg tg tg tg

18

illetve:

sin sin tg tg ;sin tg tg

( 4 – 29 )

most ( 4 – 28 ) és ( 4 – 29 ) - cel:

sin sin tg tg tg tgtg tg tg tgsin tg tg1 tg tg

tg tg ,1 tg tg

( 4 – 30 )

így ( 4 – 26 ), ( 4 – 27 ), ( 4 – 30 ) - cal:

z1 tg tg 1 tg tgq 1 tg tg ,

1 tg tg 1 tg tg 1 tg tg

tehát:

zq 1 tg tg . ( 4 – 31 ) 5.) Az ( 1 ), ( 2 ) és a megfelelő ( 3 – 2 ), ( 3 – 3 ) képletek egyezésének vizsgálata Írjuk át egy kicsit az ( 1 ) és ( 2 ) képleteket!

x yx ' X q cos Y q cos , ( 5 – 1 )

x y zy ' X q sin Y q sin Z q . ( 5 – 2 ) Most ideírjuk a ( 3 – 2 ) és a ( 3 – 3 ) képleteket, összehasonlítás végett:

2 2

1 1x ' X Y,v u1 1u v

( 5 – 3 )

2 2 2 2 2 2

d v d u d u vy ' X Y Z .w w v uu v u v u v

( 5 – 4 )

Az ( 1 ) és ( 2 ) képletek jóságát az mutathatja, ha az x’ - re és y’ - re vonatkozó egyenletpárokban a koordináták együtthatói megegyeznek. Most ezt vizsgáljuk meg.

19

a.) x 2

1q cos ?v1u

A kérdés bal oldala ( 4 – 22 / 1 ) - ből:

x1B(a) q cos ;

tg1tg

( 5 – 5 )

a kérdés jobb oldala ( 4 – 20 ) - szal is:

2

1 1J(a) ;tgv 11 tgu

( 5 – 6 )

most ( 5 – 5 ) és ( 5 – 6 ) szerint: B(a) J(a), tehát ( a ) teljesül. ☻

b.) y 2

1q cos ?u1v

A kérdés bal oldala ( 4 – 25 / 1 ) - ből:

y1B(b) q cos ;

tg1tg

( 5 – 7 )

a kérdés jobb oldala ( 4 – 20 ) - szal is:

2

1 1J(b) ;tgu 11 tgv

( 5 – 8 )

most ( 5 – 7 ) és ( 5 – 8 ) szerint: B(b) J(b), tehát ( b ) teljesül. ☻ Az a.) és b.) pontok szerint az ( 5 – 1 ) és ( 5 – 3 ) egyenletek azonosak egymással. Ez azt jelenti, hogy az orth. ax. ábrázolás első kép - koordinátájának helyességét igazoltuk.

20

c.) x 2 2

d vq sin ?wu v

A kérdés bal oldalához ( 4 – 21 ) és ( 4 – 22 ) - vel:

xtg sin tg 1q 1 1 ,tg sin tg 1 1sin

tg tg

innen:

xtg 1 tg tg tgq sin 1 1 ,1 1 tgtg tg tg1 1tg tg tg tg

tehát:

xtgB(c) q sin .

tg1tg

( 5 – 9 )

A kérdés jobb oldala:

2 2 2

d v 1 dJ(c) ;w wu v u1

v

( 5 – 10 )

most ( 2 – 8 ) és ( 5 – 10 ) - zel:

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1J(c) ;u w w u w w u w1 1 1 2v u v v u v v v

( 5 – 11 ) ( 5 – 11 ) nevezőjének négyzete ( 4 – 20 ) - szal is:

2

2

2 2

2

2

2

tg 1 1 tg 1N 1 2tg tg tg tg tg tg tg tg

tgtg 2 tgtg tg tg 2 tg tg tgtg 1 1tg tg tg tg tg tg tg tg

tg tg ttg tg 1 1tg tgtg tgtg tg1 tg tg

2

g tg 1 tg tg,

tg tg

majd

21

2 2 2 2

22

2 2

tgtg tg tg tg tg tg tg tg tg tgtgN

tg tg

tg tg 1 tg 1 ;tg tg tg tg

ezzel is:

1 tgJ(c) ,N tg1

tg

tehát:

tg J(c) . tg1tg

( 5 – 12 )

Most ( 5 – 9 ) és ( 5 – 12 ) szerint: B(c) J(c), tehát c.) teljesül. ☻

d.) y 2 2

d uq sin ?wu v

A kérdés bal oldalához ( 4 – 23 ) és ( 4 – 24 ) - gyel:

ytg sin tg 1q 1 1 ,tg sin tg 1 1sin

tg tg

innen:

ytg 1 tg tg tgq sin 1 1 ,1 1 tgtg tg tg1 1tg tg tg tg

tehát:

ytgB(d) q sin .

tg1tg

( 5 – 13 )

A kérdés jobb oldala ( 5 – 10 ) - zel is:

2 2 2 2

d u d v u uJ(d) J(c) .w w v vu v u v

( 5 – 14 )

22

Most ( 5 – 12 ) és ( 4 – 20 ) felhasználásával: 2tg tg tg tg tg tg 1 tgJ(d) tg ,tg tgtg tg tgtg tg1 11 1tg tgtg tg

tehát:

tgJ(d) .tg1tg

( 5 – 15 )

Most ( 5 – 13 ) és ( 5 – 15 ) szerint: B(d) J(d), tehát d.) teljesül. ☻

e.) z 2 2

d u vq ?v uu v

A kérdés bal oldala ( 4 – 31 ) szerint:

zB(e) q 1 tg tg . ( 5 – 16 ) A kérdés jobb oldala:

2 2

2 2 2

udd u v v d vvJ(e) 1 1 ;v u u v uu v vu 1

u

( 5 – 17 )

most ( 2 – 8 ) és ( 5 – 17 ) - tel:

2

2 2 2e

2

v1u 1 1J(e) ;

Nv v v1u w w1

v1u

( 5 – 18 )

majd ( 5 – 18 ) és ( 4 – 20 ) - szal:

23

2

2e 2

vtg tg tg tg tgwN 1 1 1tg tg tgv 11 tgu

tg tg tg tg tg tg 1 tg tg tg tg 1 1tg tg 1 tg tg 1 tg tg 1 tg tg

1 ;1 tg tg

innen:

e1N .

1 tg tg

( 5 – 19 )

Ezután ( 5 – 18 ) és ( 5 – 19 ) - cel: J(e) 1 tg tg . ( 5 – 20 ) Most ( 5 – 16 ) és ( 5 – 20 ) szerint: B(e) J(e), tehát e.) teljesül. ☻ Ezzel beláttuk, hogy az ( 1 ), ( 2 ) és a megfelelő ( 3 – 2 ), ( 3 – 3 ) képletek tartalmilag azonosak. 6.) A feladat állításában közölt rövidülési együtthatók helyességének igazolása Az állítás szerint:

2 2xq A sin cos ; ( 6 – 1 )

2 2yq A cos sin ; ( 6 – 2 )

2zq 1 A ; ( 6 – 3 )

A tg tg ; ( 6 – 4 )

tgtg .tg

( 6 – 5 )

Most elvégezzük a következő műveleteket:

24

2 22 2 2 2x 2 2 2

2

tg 1 1 tg tg tgq A sin cos tg tg1 tg 1 tg 1 tg

tg1 tg tg1 tgtg ,tg tg1 1

tg tg

tehát: 2

x1 tgq .tg1

tg

( 6 – 6 )

Megállapítjuk, hogy ( 6 – 6 ) megegyezik ( 4 – 22 / 2 ) - vel. ☻ Továbbá:

2 22 2 2 2y 2 2 2

22 2

1 tg tg tg tgq A cos sin tg tg1 tg 1 tg 1 tg

tgtg tg tg 1 tgtg tg tg 1 tgtg ,tg tgtg tg tg tg1 1tg tg

tehát: 2

y1 tgq .tg1

tg

( 6 – 7 )

Megállapítjuk, hogy ( 6 – 7 ) megegyezik ( 4 – 25 / 2 ) - vel. ☻ Végül:

2 2zq 1 A 1 tg tg , innen:

zq 1 tg tg . ( 6 – 8 ) Megállapítjuk, hogy ( 6 – 8 ) megegyezik ( 4 – 31 ) - gyel. ☻ Ezzel a rövidülési együtthatóknak a feladat állításában szereplő alakja helyességét is beláttuk. Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk.

25

Megjegyzések: M1. A ( 6 – 1 ), ( 6 – 2 ) és ( 6 – 3 ) négyzetre emelésével és összeadásával:

2 22 2 2 2 2 2x y z

2 2 2 2 2 2

2 2

q q q A sin cos A cos sin 1 A

A sin cos sin cos 1 A

A 1 1 A 2,

tehát

2 2 2x y zq q q 2 ( 6 – 9 )

fontos és ismert összefüggés adódik az orth. ax. rövidülési együtthatóira – v.ö.:[ 4 ]! M2. Nem érdektelen, hogy mivel egy összeget vizsgáltunk, ezért a ( 6 – 9 ) képlet előtti számítás önmagában még nem bizonyító erejű; a bizonyítás azzal ment végbe, hogy a ( 6 – 4 ) és ( 6 – 5 ) képletekkel együtt egyenként beláttuk az állítás képleteinek helyességét. Alkalmazások Gyakorlati alkalmazásokban felvetődik a következő kérdés: előírt qx, qy, qz rövidülési együtthatókkal ténylegesen megvalósítható - e egy merőleges axonometrikus ábrázolás; ha igen, akkor milyen feltételek mellett és hogyan történhet ez? A probléma megoldásához először gondoljuk végig az alábbiakat – ld.: [ 2 ], [ 5 ]! a.) A qi ( i = x, y, z ) rövidülési együtthatóknak ki kell elégítenie ( 6 – 9 ) - et. b.) A 4. ábra és ( 4 – 1 ), ( 4 – 2 ), ( 4 – 3 ) szerint is:

x 1 y 2 z 3q cos , q cos , q cos . ( ▲ )

Minthogy a 1 2 3, , szögek hegyesszögek – ld.: 4. ábra! – , fennállnak a

1 2 30 cos 1, 0 cos 1, 0 cos 1 ( ▲▲ ) relációk. Ebből következően az is igaz, hogy

2 2 21 2 30 cos 1, 0 cos 1, 0 cos 1 . ( ▲▲▲ )

Továbbá ( 6 – 9 ) - ből: 2 2 2x y z

2 2 2x z y

2 2 2y z x

q q 2 q ,

q q 2 q ,

q q 2 q .

( ■ )

26

A ( ■ ) képletsorba téve a ( ▲ ) szerintieket: 2 2 2

1 2 3

2 2 21 3 2

2 2 22 3 1

cos cos 2 cos ,

cos cos 2 cos ,cos cos 2 cos .

( ■■ )

A ( ■■ ) képletek jobb oldalán érvényesítve a ( ▲▲▲ ) relációkat: 2 2 2

1 2 32 2 2

1 3 22 2 2

2 3 1

cos cos 1 cos ,

cos cos 1 cos ,

cos cos 1 cos .

( ■■■ )

A ( ■■■ ) relációkat ( ▲ ) szerint visszaírva: 2 2 2x y z

2 2 2x z y

2 2 2y z x

q q q ,

q q q ,

q q q .

( ▼ )

A ( ▼ ) egyenlőtlenségek azt fejezik ki, hogy a három rövidülési együttható közül kettő négyzetének összege mindig nagyobb kell, hogy legyen, mint a harmadik négyzete, merőleges axonometriában. Ezek előrebocsátása után a probléma megoldása a következő. c.) Legyen a rövidülések aránya az alábbi:

x y z x y zq : q : q m : m : m , azaz

x x y y z zq k m , q k m , q k m , ( ! ) ahol mx, my, mz : megadott pozitív számok, k pedig egy arányossági tényező! k - t úgy kell megválasztani, hogy teljesüljön ( 6 – 9 ), tehát

2 2 2 2x y z 2 2 2

x y z

2k m m m 2 k ;m m m

( !! )

majd ( ! ) és ( !! ) segítségével 22 2yx z

x y z2 2 2 2 2 2 2 2 2x y z x y z x y z

2 m2 m 2 mq , q , q .m m m m m m m m m

( !!! )

A ( ▼ ) és az ( ! ) összefüggések szerint csak az 2 2 2x y z

2 2 2x z y

2 2 2y z x

m m m ,

m m m ,

m m m

( ♦ )

feltételeket kielégítő értékhármas jöhet számításba.

27

A mondottak bemutatására nézzünk két példát! 1. Példa: Legyen mx : my : mz = 3 : 4 : 5! Minthogy utóbbiak pitagorászi számhármast képeznek, így ezekkel ( ♦ ) első sora nem teljesül. Más szavakkal: a rövidülési együtthatók ilyen viszonyai mellett nem valósítható meg egy merőleges axonometrikus ábrázolás. 2. Példa: Legyen qx : qy : qz = mx : my : mz = 4 : 5 : 6! Ekkor 2 2 2

x y zm 16, m 25, m 36. 2 2x y

2 2x z2 2y z

m m 41 36,

m m 52 25,

m m 61 16,

tehát utóbbi választással létrejöhet a merőleges axonometrikus ábrázolás. Továbbá ( !! ) - ből:

2k 0,16116 ,16 25 36

azután ( ! ) képlettel: x x

y y

z z

q k m 0,16116 4 0,6446;q k m 0,16116 5 0,8058;

q k m 0,16116 6 0,9670.

A rövidülések négyzetei: 2 2 2x y zq 0,416; q 0,649; q 0,935 ,

vagyis bármelyik rövidülési együttható négyzete tényleg kisebb, mint a másik két rövidülési együttható négyzetének összege. Most számítsuk ki, hogy milyen ( α , β ) szögparaméterek tartoznak e példabeli rövidülési együtthatókhoz! Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy

2 2 2 2x z x z

1 1 1 1sin 1 1 arcsin 1 1 ;q q q q ( ● )

2 2 2 2y z y z

1 1 1 1sin 1 1 arcsin 1 1 .q q q q

( ●● )

28

Számszerűen:

1 1 arcsin 1 1 0,3177 rad 18, 2 ,

0, 416 0,935

tehát

18, 2 .

Hasonlóan:

1 1arcsin 1 1 0,1951 rad 11, 2 ,0,649 0,935

tehát

11,2 .

A tárgyalt problémára visszatekintve látható, hogy a rövidülési együtthatók megválasz-tásakor a ( ♦ ) képletsor szerinti próbálgatásra vagyunk utalva. A fordított utat követve megszabadulunk e kényelmetlenségtől: csak az ( α , β ) szögparamétereket kell megadni, és az ábrázolás azonnal elvégezhető, az ( 1 ) és ( 2 ) képletek „receptje” szerint. Záró megjegyzések Már az ( 1 ) és ( 2 ) képleteknek is sajátja egyfajta szimmetria; ez még inkább kidom-borodik, ha behelyettesítjük ( 1 ) és ( 2 ) - be az ( 5 – 5 ), ( 5 – 7 ), ( 5 – 9 ), ( 5 – 13 ), ( 5 – 16 ) kifejezéseket. Ekkor kapjuk, hogy:

1 1x ' X Y,tg tg1 1tg tg

tg tgy ' X Y 1 tg tg Z.tg tg1 1tg tg

( S )

A kapott képletek számítógéppel könnyen kezelhetők. Az ábrázolás elvégzése előtt érdemes egy L léptéktényezővel megoldani a rajzi méretarány megválasztását:

rajzi

rajzi

x ' L x ';

y ' L y '.

( R )

29

Irodalom: [ 1 ] – Sors László: Műanyagalakító szerszámok tervezése Zsebszámológép programok Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984. [ 2 ] – Romsauer Lajos: Ábrázoló geometria, I. kötet Franklin Társulat, Budapest, 1929. [ 3 ] – I. D. Faux ~ M. J. Pratt: Computational Geometry for Design and Manufacture Ellis Horwood Ltd., 1987. [ 4 ] – Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995. [ 5 ] – Hajdu Endre: Ábrázoló geometria I. Kézirat, Sopron, EFE, 1983. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2009. augusztus 28.