Topologa Ano 2012

Trabajo Practico No 4 Axiomas de separabilidad

Glosario

Recordemos que, dado un espacio topologico (X, ), X se dice:

T0: si dados dos puntos distintos x, y X, existe un entorno Ux de x tal que y / Ux, o bien,existe un entorno Uy de y tal que x / Uy.

T1: si dados dos puntos distintos x, y X, existen Ux y Uy (entornos de x e y, respectivamente),tales que y / Ux y x / Uy.

T2: (o de Hausdorff) si dados dos puntos distintos x, y X, existen Ux y Uy (entornos de x ey, respectivamente) tales que Ux Uy = .

T3: si es T1 y regular.

X se dice regular si dados x X y un subconjunto cerrado A X tal que x / A, existenentornos U de x y V de A tales que U V = .

T4: si es T1 y normal.

X se dice normal si dados dos subconjuntos cerrados disjuntos A,B X, existen entornosde A y B tambien disjuntos.

N1: si el sistema de entornos de cada punto admite una base numerable.1

N2: si tiene una base numerable.

L: (o de Lindelof): si todo cubrimiento por abiertos de X tiene un subcubrimiento numerable.

Ejercicios

Generalidades

1. Dado un conjunto X, sean y dos topologas sobre X tales que . Si X es Tk(k = 1, . . . , 4) con alguna de estas topologas. Que se puede decir de X con la otra?

2. Para cada , sea (X, ) un espacio topologico. Mostrar que si

X es Tk respectoa la topologa producto (k = 1, . . . , 4) entonces cada (X, ) lo es.

3. Sea X un espacio topologico. Demostrar que:

a) si X es T3, todo par de puntos de X tienen entornos cuyas clausuras son disjuntas;

b) si X es T4, todo par de cerrados disjuntos tienen entornos cuyas clausuras son disjuntas.

4. (Optativo) Sea (X,) un conjunto bien ordenado.2 Demostrar que, con la topologa delorden, X es T4.

1Dado x X, una base para el sistema de entornos de x es una familia de entornos tal que todo entorno dex contiene a algun miembro de la familia.

2Un conjunto X dotado de un orden total () se dice bien ordenado si todo subconjunto no vaco de X admiteun mnimo.

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Topologa 2012 Axiomas de separabilidad

5. Sean (X, ) un espacio topologico e Y un subconjunto de X. Recordemos que la topologaque hereda Y a partir de es Y = {U Y : U }. Luego, diremos que una propiedad P eshereditaria si cada vez que un espacio topologico X la tiene, todo subespacio de X tambienla tiene.

a) Demostrar que las propiedades T0, T1, T2, T3, N1 y N2 son hereditarias.

b) Mostrar que todo subconjunto cerrado de un espacio T4 es T4.

6. Sea (X, ) un espacio topologico. Probar que X es T2 si y solo si el conjunto diagonal

= {(x, x) : x X},

es un cerrado en X X.7. Sea Rl el conjunto de los numeros reales dotado de la topologa generada por la base B ={[a, b) : a < b }. Verificar las siguientes afirmaciones:a) Los conjuntos [a, b), con a < b son abiertos y cerrados en esta topologa;

b) Rl es N1 y separable, pero no N2;c) Rl con esta topologa es de Lindelof.

(Sugerencia: Para la parte de N2 en b): dada una base B = {B} tomar para cada x Run elemento de dicha base que contenga a x y este contenido en [x, x+ 1). Para c): primeroverificar que basta considerar cubrimientos con elementos de la base B, es decir con abiertosde la forma [a, b), y luego demostrar que todo cubrimiento por abiertos de esa forma de unintervalo finito [, ] admite un subcubrimiento a lo sumo numerable.)

Contraejemplos varios

8. Dar un ejemplo de un espacio topologico (X, ) que no sea regular y tampoco T2.

9. Sean X = [0, 1] y D = { 1n : n N}. Dotemos a X de la topologa que tiene por sub-base atodo abierto de X \{0} (como subespacio de R) y todo conjunto Ba = {t X : t < a, t / D}con 0 < a < 1. Probar que X es T2 pero no es regular ni compacto.

10. Sea X = (0, 12) (12 , 1). Los conjuntos Ba,b = {x X : a < x < b} con 0 < a 12 b < 1generan una topologa sobre X. Mostrar que (X, ) es normal y no T2.

11. El producto de espacios normales puede no ser normal. Consideremos a Rl (R con la topologagenerada por los intervalos semiabiertos [a, b)) y a R2l = Rl Rl con la topologa producto.Probar que este espacio es regular y no es normal.

(Sugerencia: Considerar el subespacio L de R2l definido por L := {(x,x) : x R}. Verificarque L es cerrado y probar que la topologa inducida en L es la discreta. Suponiendo porel absurdo que R2l es normal, para cada subconjunto A de L existen subconjuntos abiertosdisjuntos UA y VA de R2l tales que A UA y L \ A VA. Sean P(L) y P(Q2) los conjuntosde partes de L y Q2 respectivamente. Definir f : P(L) P(Q2) tal que:

f(A) = UA Q2, f() = y f(L) = Q2.

Probar que f es inyectiva y deducir a partir de esto un absurdo.)

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