Universidad Técnica

“Luis Vargas Torres”

Integrantes:

Cristhoper Jama Delgado

Asignatura:

Dibujo Técnico

Maestro:

Ing. Arcesio Ortiz

Carrera:

Ingeniería mecánica

Ciclo:

Segundo Ciclo

Año:

2014

Axioma

Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin

requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda

proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de

pensamiento lógico (por oposición a los postulados).

En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse

evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar

otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas

«afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.

En lógica un postulado es una proposición no necesariamente evidente:

una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en una

deducción para llegar a una conclusión.

En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.

Axioma lógico

Los axiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje formal que son

universalmente válidas, esto es fórmulas satisfechas por cualquier estructura y

por cualquier función variable. En términos coloquiales son enunciados

verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible,

con cualquier asignación de valores. Comúnmente se toma como axioma un

conjunto mínimo de tautologías suficientes para probar una teoría.

Ejemplo 1

En cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las

fórmulas siguientes:

1.)

2.)

3.) ,

donde , , y pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje.

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para

generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo si p, q, y r son variables

proposicionales,

entonces y son instancias del

esquema 1 y por lo tanto son axiomas.

Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla

de inferencia modus ponens, todas las tautologías del cálculo proposicional son

demostrables. También se puede probar que ningún par de estos esquemas es

suficiente para demostrar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este

conjunto de esquemas axiomáticos también se utiliza en el cálculo de

predicados, pero son necesarios más axiomas lógicos.

Limitaciones de los sistemas axiomáticos

A mediados del siglo XX, Kurt Gödel demostró sus famosos teoremas de incompletitud. Estos teoremas mostraban que aunque un sistema de axiomas recursivos estuvieran bien definidos y fueran consistentes, los sistemas axiomáticos con esos sistemas de axiomas adolecen de limitaciones graves. Es importante, notar aquí la restricción de que el sistema de axiomas sea recursivamente enumerable, es decir, que el conjunto de axiomas forme un conjunto recursivamente enumerable dada una codificación o gödelización de los mismos. Esa condición técnica se requiere ya que si el conjunto de axiomas no es recursivo entonces la teoría ni siquiera será decidible.

Con esa restricción Gödel demostró, que si la teoría admite un modelo de cierta complejidad siempre hay una proposición P verdadera pero no demostrable. Gödel prueba que en cualquier sistema formal que incluya aritmética puede generarse una proposición P mediante la cual se afirme que este enunciado no es demostrable.

Postulados De Euclides

Los postulados de Euclides hacen referencia al tratado denominado Los

Elementos, escrito por Euclides hacia el año 300 a. C., exponiendo los

conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de

cinco postulados, considerados los más evidentes y sencillos.1

Los postulados de Los Elementos son:

1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.

2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal

manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor

que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el

que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado tiene un equivalente, que es el más usado en los libros

de geometría:

Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

A principios del siglo XIX Gauss, Lobachevsky y János Bolyai consideraron la

posibilidad de una geometría sin el quinto postulado, descubriendo

la Geometría hiperbólica. Ésta fue la primera geometría no euclídea en

aparecer históricamente y Gauss consideró seriamente la posibilidad de que

fuera la geometría del espacio en que vivimos[cita requerida], planteando así la

cuestión de la estructura geométrica del Universo, que conduciría a la Teoría

de la relatividad general de Einstein. Gauss incluso llegó a presentir

[cita requerida] que la geometría hiperbólica era preferible, porque en ella hay

unidades de longitud naturales.

En términos actuales, estos postulados fueron enunciados por Hilbert en

sus axiomas.

Geometría No euclidiana

Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma

de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los

establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un solo tipo de

geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a

espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio es la misma en

cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden

distinguirse tres tipos de geometrías:

La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene

curvatura cero.

La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de

Euclides y tiene curvatura negativa.

La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de

Euclides y tiene curvatura positiva.

Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la

curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura

intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de

geometría riemanniana general, como sucede en la teoría de la relatividad

general donde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio

tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo

cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.

Modelos de La geometría No euclidiana

Los modelos de geometría no euclidiana son modelos matemáticos de

geometría que no cumplen el quinto postulado de Euclides, el que establece

que dos rectas paralelasson equidistantes.

En los modelos geométricos hiperbólicos (geometría hiperbólica), dos rectas

paralelas son divergentes; y en modelos geométricos elípticos (geometría

elíptica), no existen líneas paralelas que pasen por un punto exterior.

La geometría euclidiana se fundamenta en la noción de "plano euclidiano". El

equivalente en geometría elíptica es una esfera, donde las líneas

son circunferencias (por ejemplo la línea del ecuador o los meridianos del globo

terráqueo), y puntos opuestos uno del otro son identificados (considerados ser

el mismo). La pseudoesfera tiene la curvatura apropiada para modelar la

geometría hiperbólica.

Ejemplo de la geometría no euclidiana

Una forma de esta geometría está dada por la superficie de una esfera, en donde si trazas un línea recta en la superficie de la esfera, luego formas un ángulo recto y sigues con una nueva línea recta, luego otro ángulo recto y otra

línea recta, y luego otro Angulo recto y otra línea recta, te darás cuenta que esta última intersectará la primera línea pero sin formar un ángulo recto, de

forma que no puedes formar un cuadrado con líneas rectas en la superficie de una esfera, por ser una geometría no euclidiana elíptica.

Los tres tipos de geometrías homogéneas posibles, además de la geometría euclidea de curvatura nula, existen la geometría elíptica de curvatura positiva, y la geometría hiperbólica de curvatura negativa. Si se consideran geometrías

no-euclídeas homogéneas entonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades riemannianas generales.