Ausgew¨ahlte Aspekte zur numerischen Simulation eines ... · Ausgew¨ahlte Aspekte zur numerischen...

Ausgewahlte Aspekte

zur numerischen Simulation eines

gleichlaufigen Doppelschneckenextruders

mittels Finite Elemente Methode in 3D

Masterarbeit im Studiengang Technomathematik

vorgelegt von Tatiana Theis

Betreuer: Prof. Dr. Stefan TurekLehrstuhl III - Angewandte Mathematik und Numerik

Fakultat fur Mathematik, TU Dortmund, 15. Juli 2011

Inhaltsverzeichnis

1 Der Extruder 5

2 Die Modellbildung 102.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Annahmen des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Die Finite Elemente Methode (FEM) 183.1 Die variationelle Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Die Diskretisierung in Raum und Zeit . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Das Defekt-Korrektur-Verfahren (pp3d) . . . . . . . . . . . . . 25

4 Die Erweiterung des Featflow-Codes 284.1 Nicht-Newtonsche Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.1 Der Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.2 Die Validierung des Potenzgesetzes . . . . . . . . . . . 32

4.2 Das Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.1 Die Methode der Fiktiven Rander (FBM) . . . . . . . 404.2.2 Die Validierung des Drehmomentes . . . . . . . . . . . 414.2.3 Das Drehmoment des Extruders . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Der Quellterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.1 Die Validierung des Quellterms . . . . . . . . . . . . . 49

5 Die Geometriedefinition 555.1 1-gangiges Schneckenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 2-gangiges Schneckenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Numerische Resultate 676.1 Schlusswort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1

Abbildung 1: Mega-Compounder ZSK 340 (Werkbild Werner & Pfeiderer).Quelle: Kohlgruber [18] auf Seite 32.

Vorwort

Die vorliegende Arbeit ist entstanden im Rahmen der Kooperation zwischenKTP (Gruppe von Prof. Schoppner, Institut fur Kunststofftechnik der Uni-versitat Paderborn) und Lehrstuhl III (Gruppe von Prof. Turek, Institutfur Angewandte Mathematik der TU Dortmund). Weiterhin ist die FirmaIANUS GmbH in die Kooperation eingebunden. Die Arbeitsgruppe von Prof.Schoppner befasst sich mit Extrusionsanlagen. Zur Veranschaulichung ist aufder Abbildung 1 und 2 ein Extruder wiedergegeben.

Der Extruder ist ein Maschinentyp, der haufig bei der Verarbeitung vonKunststoffen eingesetzt wird. Die Komplexitat des Vorgangs und die man-gelnde experimentelle Zuganglichkeit legen eine numerische Simulation nahe.

Die Software Sigma der Arbeitsgruppe KTP wird seit mehreren Jahren ein-gesetzt, um den Prozess im Extruder in 1D zu simulieren. Leider entsprichtdas eindimensionale Modell nicht der Realitat. In der 10. Version von Sigmasoll nun auch die 3D- Berechnung moglich werden.

Das Softwarepaket FeatFlow ist ein hoch effizienter, parallelisierter Loservon partiellen Differentialgleichungen auf Basis der Methode der FinitenElemente. FeatFlow hat in vielen industriellen Anwendungen seine Leis-tungsfahigkeit nachgewiesen.

2

Das Ziel des Projektes ist, in einer akzeptablen Zeit nutzbare Ergebnissefur die Geschwindigkeitsfelder, die Temperaturverteilung, den Druck etc. imExtruder zu erhalten. Die Simulation soll eine zutreffende Prognose fur dieExtrusion in einem vollgefullten System ermoglichen. Weiterhin soll mit Hilfeder numerischen Erkenntnisse eine Optimierung des Prozesses erzielt werden.

Die vorliegende Masterarbeit behandelt ausgewahle Aspekte der Simulati-on eines gleichlaufigen Doppelschneckenextruders. Im Vordergrund steht einzweigangiges Forderelement, das von der Industrie oftmals eingesetzt wird.

Die von mir bearbeiteten Aspekte betreffen:

a) Die Erzeugung eines Gitters und die Parametrisierung des 1, 2- gangigenSchneckenelementes.

b) Die Assemblierung der D3S0-Kombination fur das Defekt-Korrektur-Verfahren.

c) Die Validierung des Potenzgesetzes.

d) Die Programmierung und Validierung des Drehmomentes.

e) Die Programmierung und Validierung des Source-Terms.

Abbildung 2: Mikro-Compounder Rondol: Der kleinste gleichlaufige Doppel-schneckenextruder der Welt. Quelle: www.hilder-bt.de

3

Danksagung

Mein Dank gilt Prof. Stefan Turek dafur, dass er mir dieses spannendeProjekt anvertraut hat und mir in jeder Projektphase die Richtung gewiesenhat.

Weiterhin mochte ich mich bei Dr. Otto Mierka dafur bedanken, dass ermir mit großer Geduld mit Rat und Tat zur Seite stand. Mit seiner Hilfees ist mir gelungen, physikalische Prozesse am Bildschirm des Computers zubeobachten.

Bei meinen Kollegen aus Paderborn Philipp Kloke undNils Kretzschmarbedanke ich mich fur ihre zahlreichen und kompetenten Auskunfte.

Schließlich mochte ich mich bei Raphael Munster, Erven Bayraktar,Dr. Frank Platte, Dr. Matthias Moller und den weiteren Mitgliederndes Lehrstuhls III fur ihre Diskussions- und Hilfsbereitschaft bedanken.

Tatiana TheisDortmund, im Juli 2011

4

Kapitel 1

Der Extruder

Der gleichlaufige Doppelschneckenextruder hat viele industrielle Anwendun-gen. Er ist einer der wichtigsten Plastifizieraggregate. Der Extruder wird ein-gesetzt bei der Herstellung von Fasern, Folien, Rohren und Profilen. Weiter-hin werden Extruder verwendet, um Kunststoffe aufzubereiten. Hierbei ent-stehen haufig Granulate, die die gewunschten attraktiven Eigenschaften auf-weisen.

Die Hauptaufgabe des Extruders besteht darin, den Feststoff in Schmelzeumzuwandeln. Der Granulatstrom wird durch den Extruder gefordert undvollstandig aufgeschmolzen. Je nach Funktionszone sind die Homogenisierungder Schmelze, Entgasung der im Granulat befindlichen Luft, Verhinderungvon Materialschadigungen, Forderung des Materials und Druckaufbau weite-re Anforderungen an einen Extruder1.

Bei einem gleichlaufigen Doppelschneckenextruder rotieren beide Schneckensynchron in einer Drehrichtung mit gleicher Drehzahl von einem Antriebsmo-tor gesteuert. Doppelschnecken besitzen die zusatzliche Funktion der Selbst-reinigung. Die Kennwerte (Durchsatz, Druck und Leistung) des gleichlaufigenExtruders sind im Vergleich zum gegenlaufigen energetisch gunstiger 2. Dahersind Maschinen mit gleichsinniger Rotation der Schrauben von besonderemInteresse.

1Weitere Information findet man bei [17]2Siehe auch [18]

5

Forderelemente und Knetelemente mit der Gangzahl z ∈ 1, 2

Die innere Geometrie der Schnecke beeinflusst das Extrusionsverfahren undfolglich die Produktqualitat. Die Konzeption der Schnecken wird durch dieHersteller der Maschinen vorgenommen.

Bei der Definition der Basisgeometrie sind wir wie bei der Gittererzeugungvorgegangen. Zuerst wurde das zweidimensionale Profil parametrisiert unddanach dieses im Raum schraubenformig verdreht. Fur ein Forderelement istdiese Transformation kontinuierlich.

Man kann das Profil der Schnecke mit folgenden Parametern beschreiben:

- der Zylinderdurchmesser Dz,

- der Achsabstand a,

- das Spiel Schnecke-Schnecke s,

- das Spiel Gehause-Wand δ.

In der dritten, raumlichen Dimension kommt noch hinzu:

- die Steigung T(im Falle eines Forderelements),

- die Knetscheibenbreite b und der Versatzwinkel β(im Falle eines Knetelementes).

Abbildung 1.1: Forderelement (links) und Knetelement (rechts) mit 1-Gang.

6

Der Aufbau der Geometrie wird ausfuhrlich im Kapitel 5 beschrieben. Inder Abb. 1.1-1.3 findet man weitere Darstellungen von Forder- und Knetele-menten.

Abbildung 1.2: 2-gangiges Forderelement.

Abbildung 1.3: 2-gangiges Knetelement.

Zum effektiven Mischen der Polymerschmelze werden Knetelemente ein-gesetzt. Die Knetblocke sind in Abb. 1.3 dargestellt. Die Scheiben werden miteinem Versatzwinkel gegeneinander verschoben. Die Stromung fließt durchdie Zwischenraume3. Die somit erzeugten Teilstrome werden intensiv mitein-ander ausgetauscht. Dadurch wird eine bessere Mischung als beim Forderelementgewahrleistet.

3Siehe [18]

7

Das Spiel Schnecke-Schnecke

In der Praxis werden nicht exakt abschabende Schnecken benutzt. Die tech-nischen Grunde hierfur sind zum einen Fertigungstoleranz, Rauhigkeit undWinkelabweichungen. Zum anderen will man den Kontakt der Metalle mit-einander sowie ubermassigen Produktstress vermeiden. Das Spiel zwischenbeiden Schnecken ist ein wichtiger Parameter fur die Definition der Geome-trie.

Abbildung 1.4: Die Spiele: Schnecke-Gehausewand δ , Schnecke-Schnecke s.

Ich benutze das Gitter, das in Abb. 1.5 dargestellt ist. Die Mitte der Rotati-onskreise wird nicht berechnet, weil dort kein raumlichen Wechsel zwischenFluid-Solid stattfindet. Entlang der Konturen sind die Gitterzellen deutlichkleiner als die durchschnittlichen. Das ist notwendig, um eine gute Auflosungder beiden Spalten Schnecke-Schnecke und Schnecke-Wand zu erzielen. Be-merkenswert ist, dass das Spiel zwischen beiden Schnecken kleiner ist als dasSpiel Schneckenkamm-Gehausewand: s < δ. Somit wird der Spalt auch beider Diskretisierung beibehalten.

Die Anisotropie des Gitters beeinflusst die Numerik. Die schlechte Konditionder in Kapitel 3.2 aufgebauten Systemmatrix A erfordert den Einsatz einesVorglatters. Das Einzelschrittverfahren mit leichter Unterrelaxation (SOR)bzw. das symmetrische Einzelschrittverfahren (SSOR) sind fur stark aniso-trope Gitter besser geeignet, als der einfach parallelisierbare Jacobi Glatter.

8

Abbildung 1.5: Das anisotrope Gitter auf Level 1.

Abbildung 1.6: Die Auflosung der Spiele auf Level 2.

9

Kapitel 2

Die Modellbildung

2.1 Grundgleichungen

In einem abgeschlossenen physikalischen System gelten bekanntlich die Masse-erhaltung, die Impulserhaltung und die Energieerhaltung1.

Die Masseerhaltung fuhrt zu der Kontinuitatsgleichung

∂t+∇ ·(

v)

= 0

fur die gegebene Dichte und das Geschwindigkeitsfeld v. Wir betrachten dasMedium als inkompressibel. Folglich 6= (~x, t) und die Gleichung reduziertsich zu

∇ · v = 0.

Um die Impulserhaltung (2. Newtonsches Gesetz) aufzuschreiben, mussman die auf ein materielles Volumen wirkende Krafte im Betracht ziehen.Der Impuls

∫v bleibt erhalten. Also ist die zeitliche Ableitung des Impulses

gleich allen wirkenden Kraften.

Die Aufgabe ist nun, den Impuls nach der Zeit abzuleiten. Mit Hilfe desReynoldschen Transporttheorems bekommt man fur i = 1, 2, 3

d

dt

(

pvi

)

= ∂t

(

vi

)

+∇ ·(

viv)

1Ich folge hier dem Skript von Prof. Rannacher [14]

10

Unter Verwendung der Vektoranalysis kann man dies zusammenfassen zu:

⇒d

dt

(

pv)

= ∂t

(

v)

+ v∇ ·(

v)

︸︷︷︸

=0, inkompressibel

+ (

v · ∇)

v︸︷︷︸

Konvektionsterm

Sei weiter mit σ der Spannungstensor bezeichnet2. Alle wirkenden Kraftefasst man in dem Term ∇ · σ zusammen:

d

dt

(

pv)

= ∂t

(

v)

+ (

v · ∇)

v = ∇ · σ︸︷︷︸

die wirkende Krafte

So gewinnt man die bekannte Navier-Stokes Gleichung fur die Beschreibungder Stromung eines inkompressiblen Fluides:

∂tv + (v · ∇)v = ∇ · σ

∇ · v = 0(2.1)

Ein Fluid kann nur dann ruhen, wenn es ausschließlich Normalspannungenausgesetzt ist. Der Spannungszustand wird in diesem Falle mit einer skalarenFeldfunktion, namlich dem hydrostatischen Druck p beschrieben3.Im bewegten Fluid gilt:

σ =

−p+ τxx τxy τxzτyx −p + τyy τyzτzx τzy −p+ τzz

= −pI + τ

∇ · σ = −∇p +∇ · τ

Dabei ist τ der viskose Anteil des Spannungstensors. Die englische Bezeichn-ung dafur ist viscous stress tensor. Durch τij werden die innere Reibungs-krafte (Scherspannungen) beschrieben. Deswegen wird τ auch Scherspan-nungstensor genannt:

τ = η(

∇v +(

∇v)T)

.

Die Energie eines abgeschlossenen Systems bleibt unverandert. Aus der allge-meinen Energieerhaltung folgt nun der 1. Hauptsatz der Thermodynamik:In einen abgeschlossenen thermodynamischen System ohne externe Quellenmuss die Anderung der Gesamtenergie des Systems gleich der Arbeit aller

2Die ubrigen Bezeichnungen werden auf der Seite 17 aufgelistet.3Siehe [11]

11

wirkenden Krafte minus abfließender Warme sein. Die Warme und die me-chanische Arbeit sind somit energetisch gleichwertig.

Es sei e die innere Energiedichte, e die potentielle Energie,12|v|2 die kinetische Energie und e+ 1

2|v|2 die totale Energie des Systems:

d

dt

(

e +1

2|v|2

)

= ∇ ·(

σ · v)

︸︷︷︸

Leistung wirkender Krafte

− ∇ · q︸︷︷︸

abfliessende Warme

Es sei an dieser Stelle erinnert, dass es sich um volumenbezogene Großenhandelt: Krafte- und Energiedichte, Leistung etc.

Nach dem Transporttheorem gilt:

d

dt

(

e +1

2|v|2

)

= ∂t

(

e+1

2|v|2

)

+∇ ·(

ev +1

2|v|2v

)

Wir betrachten die einzelnen Terme:

∂t

(1

2|v|2

)

=1

2|v|2∂t

︸︷︷︸

=0, inkompressibel

+ ∂tv · v︸︷︷︸

=(∇·σ−(v·∇)v)·v, Navier-Stokes

∇ ·(1

2|v|2v

)

=1

2|v|2∇ ·

(

v)

︸︷︷︸

=0, inkompressibel

+ (

v · ∇)

v · v︸︷︷︸

kurzt sich mit dem Summand s. o.

Daraus folgt die reduzierte Gleichung:

⇒d

dt

(

e+1

2|v|2

)

= ∂t

(

e)

+∇ ·(

ev)

+(

∇ · σ)

· v = ∇ ·(

σ · v)

−∇ · q

⇒ ∂t

(

e)

+∇·(

ev)

= ∇ ·(

σ · v)

−(

∇ · σ)

· v︸︷︷︸

=σ:∇v, siehe Kapitel 4.3

−∇·q = σ : ∇v︸︷︷︸

Quellterm

−∇·q

∂t

(

e)

+∇ ·(

ev)

= σ : ∇v −∇ · q (2.2)

Das Fourier Gesetz liefert uns den Ausdruck fur den diffusiven Warmestrom:

q = −λ∇θ ,

12

wobei λ ein Skalar (Warmeleitungskoeffizient) und θ die Temperatur ist.

Ferner kann man aus den 2. Hauptsatz der Thermodynamik die Bedingungfur die potentielle Energie gewinnen:

e = cpθ − p

Setzen wir diese Ausdrucke in der obigen Gleichung (2.2) ein, so erhalten wir:

∂t

(

cpθ − p)

+∇ ·(

(cpθ − p)v)

−∇ ·(

λ∇θ)

= σ : ∇v

Wir erinnern uns noch an die Gleichheit σ = −pI + τ (Stokessche Fluide ).Die gebrauchliche Form der Energiebilanzgleichung ist somit:

cp∂tθ + cp(

v · ∇)

θ − λ∆θ = τ : ∇v

2.2 Materialgleichungen

Die Abhangigkeit der Scherspannug τ von der Schergeschwindigkeit γ wirddurch das Materialgesetz beschrieben:

τ = f(

γ)

= f(

∇v +(

∇v)T

︸︷︷︸

γ

)

,

wobei f eine stetige, tensorwertige Funktion ist. Es gibt nun verschiedeneAnsatze fur die Wahl der Funktion f. Diese gewinnt man, indem man dieexperimentellen Daten mit geeigneten numerischen Methoden interpoliert.

Das Potenzgesetz

Das Potenzgesetz wird im wesentlichen durch den Parameter n (den sog.Potenzgesetzexponenten) festgelegt:

τ = η0aθ

(

γ)n

wobei η0 der konstante Vorfaktor (Konsistenzfaktor) und aθ der tempera-turabhangige Koeffizient ist. In dieser Projektphase wird die Temperatu-rabhangigkeit vernachlassigt: aθ ≡ 1. In der weiteren Projektphase wird dieRuckkopplung der Temperaturgleichung in das Modell hinzugefugt.

τ = η(

∇v +(

∇v)T)

= ηγ ⇒ η = η0aθ

(

‖γ‖)n−1

(2.3)

Die Scherviskositat η wird somit durch (2.3) bestimmt.

13

Der (modifizierte) Carreau Ansatz

Das Carreau Modell hat einen breiteren Gultigkeitsbereich als der Potenz-ansatz. Die Viskositat wird mit drei Parametern A,B,C beschrieben:

η =aθA

(

1 + aθB‖γ‖)C

(2.4)

Die Materialparameter A,B und C werden aus Messdaten durch Regressi-onsrechnung ermittelt. Da die Scherraten ‖γ‖ bei der Extrusion sich starkunterscheiden konnen, liefert die Gleichung (2.4) eine bessere Approximationfur die Scherviskositat der Polymerschmelze als (2.3).

η

‖γ‖

Im Gegensatz zum Potenzgesetz liefert das Modell auch fur ‖γ‖ −→ 0 kor-rekte Viskositatswerte. Fur Polymere wird die Viskositat η haufig mit demCarreau Ansatz (2.4) beschrieben.

Temperaturabhangigkeit der Viskositat

Die Viskositat von Polymerschmelzen ist nicht nur von der Schergeschwin-digkeit γ , sondern auch von der Temperatur θ abhangig. Zur Ermittlung desTemperaturverschiebungsfaktors aθ sind verschiedene Modelle bekannt.

Der (universelle) Ansatz von Williams, Landel und Ferry:

WLF(θb, θs) : log aθ =log η(θ)

log η(θs)=

C1(θb − θs)

C2 + θb − θs−

C1(θ − θs)

C2 + θ − θs

wobei θb die Bezugstemperatur und θs die Standardtemperatur ist.C1, C2 = const. DieWahl von C1, C2 hangt von der Glasubergangstemperaturdes Polymeres ab. Fur viele Polymere wird C1 = 8.86 und C2 = 101.6 [Kelvin]eingesetzt.

14

Randbedingungen

Die drei-dimensionale Berechnung des gesamten Extruders4 ist aufgrund desUmfang des Problems nicht erreichbar. Wir simulieren daher nur einen aus-gewahlten Schnecken-Abschnitt. Das vorhergehende Segment bestimmt dieAnstromungsrandbedingungen. Das nachfolgende Segment beeinflusst denDruck und damit das gesamte Stromungsverhalten. Die Anstromung (inflow)in das betrachtete Segment und der Wegfluss (outflow) aus dem betrachtetenSegment sind bei Beginn der Simulation nicht bekannt.

Ein Ausweg ist, alle drei Segmente zu berechnen: Das vorhergehende Seg-ment, das Segment an dem wir interessiert sind und das nachfolgende (sie-he Bild unten). Wir setzen fur die Anstromung die Dirichlet- und fur denWegfluss die Neumann Randbedingungen ein. An dem Kontakt der Poly-merschmelze mit dem Metall gilt die Haftrandbedingung.

Dirichlet RB

(inflow):

~v = ~vo∀~x ∈ ∂Ωinflow

Neumann RB

(outflow):

∂w∂~n

− ~np = 0

v = u = 0

∀~x ∈ ∂Ωoutflow~v =

vuw

- -result

Zur Definition der Anfangswerte (v0, u0, w0)T siehe Kapitel 6.

Die Gehausewand besitzt eine konstante Temperatur. Dies entspricht der Di-richlet Randbedingung. Fur die adiabate Schnecke wahlt man die NeumannRandbedingungen:

θ ≡ θ0 ∀~x ∈ ∂ΩZylinder

∂θ∂~n

= 0 ∀~x ∈ ∂ΩSchnecke

Manchmal interessiert man sich fur den Prozessverlauf, falls die Schneckeauch konstante Temperatur aufweist. In diesem Falle schreibt man die Tem-peratur auch fur die Schrauben vor.

4Siehe Abb. 1 auf der Seite 2 und Abb. 2 auf der Seite 3

15

2.3 Annahmen des Modells

1. Haftrandbedingung: Die Schmelze ist wandhaftend. Beim Uberschrei-ten der kritischen Werte des spezifischen Durchsatzes tritt Schmelze-bruch auf. Dann ist diese Annahme nicht mehr gultig.

2. Laminare und inkompressible Stromung: Aufgrund der hohenViskositat bildet sich eine schleichende Stromung aus, die selbst beiMischvorgangen laminar bleibt.

3. Strukturviskose Flussigkeit: Es wird ein rein viskoses Materialver-halten angenommen. Das bedeutet eine enorme Abhangigkeit der Vis-kositat von der Schergeschwindigkeit. Zur Beschreibung dieser Abhangig-keit benutzen wir das Potenzgesetz bzw. den Carreau Ansatz. Die meis-ten Polymere sind viskoelastisch, wobei jedoch das elastische Stoffver-halten oft vernachlassigbar ist.

4. Vollgefulltes Segment: Fur die Simulationsrechnung sind die teil-gefullten Segmente aufgrund der Komplexitat der Vorgange zur Zeitausgeschlossen.

Im ubrigen ist die Teilfullung in der Kunststoffverarbeitungstechnikunerwunscht.

”Extrusionsanlagen mit einem partiell teilgefullten Auf-

schmelzextruder sind nichtausreichend zum Druckaufbau in der Lagebzw. weisen bei hohem Gegendruck eine unzulassig hohe Massetempe-ratur auf .“- schreibt Prof. Schoppner in seiner Habilitationsschrift 5.

5. Adiabate Schnecke: Es findet kein Warmeaustausch zwischen denSchraubenelementen und der Polymerschmelze statt.

6. Isothermer Zylinder: Die Zylinderwandtemperatur bleibt unverandert.Mathematiker erkennen dies als die Dirichlet-Randbedingung.

7. Temperaturunabhangigkeit: Im Rahmen dieser Masterarbeitwerden alle Stoffwerte (die Dichte , die Viskositat η sowie der Warme-diffusionskoeffizient α) als temperaturunabhangig angenommen. In derzukunftigen, weiterfuhrenden Phase des Projektes wird die Abhangigkeitder oben genannten Stoffwerte von der Temperatur berucksichtigt.

5[17], Seite 144.

16

Bezeichnungen

Die inkompressible Navier-Stokes Gl. und die Energieerhaltung :

∂tv + (v · ∇)v +∇p = ∇ · τ

∇ · v = 0

cp∂tθ + cp(v · ∇)θ − λ∆θ = τ : ∇v

Dabei bezeichnet~v = (v, u, w)T - die Geschwindigkeit des Fluides,p - den hydrostatischen Druck,τ - den Scherrspannungstensor:

τ = η(

∇v + (∇v)T)

,

η - die dynamische Viskositat (Formel (2.3) bzw. (2.4) ), - die Dichte,λ - die Warmeleitfahigkeit,cp - die Warmekapazitat,θ - die Temperatur undt - die Zeit.

Weiter bezeichnet~x = (x, y, z)T - die raumliche Koordinate,σ - den Spannungstensor,γ - den Schergeschwindigkeitstensor:

γ = ∇v + (∇v)T

und ‖γ‖ =√

12(γ : γ) die Magnitude des Schergeschwindigkeitstensors:

‖γ‖ =(

v2x + u2y + w2z + (ux + vy)

2 + (wx + vz)2 + (uz + wy)

2) 1

2

Schließlich bezeichnet α den Warmediffuionskoeffizient:

α =λ

cp

Man beachte, dassτ : ∇v -der Quellterm ist:

τ : ∇v = η(

2v2x + 2u2y + 2w2z + (ux + vy)

2 + (wx + vz)2 + (uz + wy)

2)

wobei ux = ∂xu usw.

17

Kapitel 3

Die Finite Elemente Methode(FEM)

3.1 Die variationelle Formulierung

Navier-Stokes

Zunachst wird die schwache Formulierung der Grundgleichungen dargestellt.Betrachten wir nochmals die Navier-Stokes Gleichung:

vt + (v · ∇)v −∇ · η(

∇v + (∇v)T)

︸︷︷︸

∇·τ

+∇p = 0

∇ · v = 0

(3.1)

Dabei bezeichnet das Paar (v, p) die unbekannte, kontinuierliche Losung:

v ∈ L2(I, (W 1,2(Ω))3) ∩ L∞(I, (L2(Ω))3) =: V

p ∈ L2(I, L2(Ω)) =: P

Hier I ist ein Zeitinterval und Ω - das Gebiet. Das Paar (v, p) ∈ V × P wirdmit finiten Elementen aus den Raumen Vh ⊂ V sowie Ph ⊂ P approximiert.Die Wahl von Vh×Ph wird am Ende des Kapitel 3.1 auf der Seite 21 getroffen.

Mit dem Skalarprodukt:(

φ1, φ2

)

H1(Ω):=

∑

|j|61

(

∂jφ1, ∂jφ2

)

L2(Ω)

wird der Sobolevraum W 1,2(Ω) = H1(Ω) zu einem Hilbertraum.Ferner bezeichnet H1

0 (Ω) den Abschluss aller glatten Funktionen mit kom-paktem Trager in H1(Ω). Somit ist H1

0 (Ω) auch ein Hilbertraum.

18

Es sei φ eine Testfunktion aus dem Hilbertraum Vh ⊂ H10 (Ω). Wir multipli-

zieren alle Terme der partiellen Differentialgleichung mit φ und integrierenuber das gesamte Gebiet Ω:

∫

Ω

vtφ d~x+

∫

Ω

(v ·∇)vφ d~x−

∫

Ω

∇· η(

∇v+(∇v)T)

φ d~x+

∫

Ω

∇pφ d~x = 0

(3.2)Ich benutze ab dieser Stelle die Schreibweise d~x fur das Lebesgueschen Maß,um zwischen dem Vektor ~x = (x, y, z)T und der ersten Koordinate x zuunterscheiden.∫

Ω

vtφ d~x

︸︷︷︸

=: (vt,φ)

+

∫

Ω

(v · ∇)vφ d~x

︸︷︷︸

=: ((v·∇)v,φ)

−

∫

Ω

∇ · η(

∇v + (∇v)T)

φ d~x

︸︷︷︸

=: (∇·η(∇v+(∇v)T ),φ)

+

∫

Ω

∇pφ d~x

︸︷︷︸

=: (∇p,φ)

= 0

Mit Hilfe der Notation des L2-Skalarproduktes laßt sich diese Gleichung inder kompakten Form schreiben:

(

vt, φ)

+(

(v · ∇)v, φ)

−(

∇ · η(∇v + (∇v)T ), φ)

+(

∇p, φ)

= 0 (3.3)

Es gilt nach der Greenschen Formel bzw. nach dem Satz von Gauß:

∫

Ω

∇ · η(

∇v + (∇v)T)

φ d~x+

∫

Ω

η(

∇v + (∇v)T)

∇φ d~x =

∫

∂Ω

φ η(

∇v + (∇v)T)

~ndo~x

Dabei bezeichnet ~n die außere Normale. Wegen homogener Randbedingun-gen, denen φ ∈ Vh ⊂ H1

0 (Ω) genugt, sind nun weitere Vereinfachungenmoglich: ∫

∂Ω

φ η(

∇v + (∇v)T)

~ndo~x = 0 ⇒

−

∫

Ω

∇ · η(

∇v + (∇v)T)

φ d~x =

∫

Ω

η(

∇v + (∇v)T)

∇φ d~x und

−(

∇ · η(∇v + (∇v)T ), φ)

=(

η(∇v + (∇v)T ),∇φ)

.

Die analoge Uberlegung liefert uns die Modifikation fur den Druck p:

(

∇p, φ)

= −(

p,∇φ)

19

Die variationelle Navier-Stokes Gleichung sieht wie folgt aus:

(

vt, φ)

+(

(v·∇)v, φ)

+(

η(∇v+(∇v)T ),∇φ)

−(

p,∇φ)

= 0, ∀ φ ∈ Vh.

Die Inkompressibilitatsbedingung ∇ · v = 0 spielt hierbei die Rolle derexpliziten Nebenbedingung. Der Druck p ist damit ein Lagrange Multiplika-tor. Wir testen nun die divergenzfreie v mit ϕ ∈ Ph ⊂ H1

0 (Ω):

∫

Ω

(

∇ · v)

ϕ d~x = 0 ∀ ϕ ∈ Ph

−

∫

Ω

(

∇ · v)

ϕ d~x =

∫

Ω

v∇ϕ d~x =(

∇ϕ, v)

= 0

(

vt, φ)

+(

(v · ∇)v, φ)

+(

η(∇v + (∇v)T ),∇φ)

−(

p,∇φ)

= 0(

∇ϕ, v)

= 0, ∀ ϕ ∈ Ph, ∀ φ ∈ Vh

(3.4)Man erkennt in dem Gleichungssystem (3.4) ein Sattelpunktproblem. BeiVariationsproblemen in Sattelpunktform werden haufig gemischte Methodeneingesetzt.

Das Sattelpunktproblem

Durch die Abkurzungen a(v, φ) : = (vt, φ)+((v·∇)v, φ)+(η(∇v+(∇v)T),∇φ)sowie b(p, φ) : = (p,∇φ) erhalt man eine ubersichtliche Formulierung des Va-riationsproblems (3.4):

a(

v, φ)

− b(

p, φ)

= 0 ∀ φ ∈ Vh

b(

ϕ, v)

= 0 ∀ ϕ ∈ Ph

(3.5)

Wir nehmen an, dass die Navier Stokes Gleichung (2.1) eine eindeutige Losungbesitzt. Damit muss das Problem (3.5) auch eindeutig losbar sein.

Mit Hilfe des Matrixoperators schreibt man das Problem (3.5) wie folgt um:

(A −∆tBBT 0

)(vp

)

=

(RHS0

)

(3.6)

Zur Definition der Matrizen A,B siehe Kapitel 3.3. Es handelt sich um dieOperatoren zwischen den Raumen Vh, Ph und deren Dualraumen V

′

h, P′

h :

20

B : Ph → V′

h

p 7→ b(p, φ) : = (p,∇φ)

∀φ ∈ Vh

BT : Vh → P′

h

v 7→ b(ϕ, v) : = (∇ϕ, v)

∀ϕ ∈ Ph

Um eine eindeutige Losung des Systems (3.6) zu garantieren, muss die MatrixB injektiv bzw. die Matrix BT surjektiv sein. Denn nur dann ist die Inverseder Gesamtmatrix stetig.

Die LBB - Bedingung

Nach dem Satz von Brezzi (1974) ist die Bedingung

infϕ∈Ph

supφ∈Vh

b(ϕ, φ)

‖ϕ‖Ph‖φ‖Vh

> βh > 0 (3.7)

gleichbedeutend mit der Stetigkeit der Inversen. Die Forderung (3.7) bedeu-tet, dass die Eigenwerte der Gesamtmatrix nicht nur nicht Null seien durfen,sondern auch nicht gegen Null konvergieren.

Die (3.7) ist auch als LBB-Bedingung zu Ehren von Ladyschenskaja-Babuska-Brezzi oder auch als inf-sup Bedingung bekannt1. Wegen (3.7) kann mandie Raume der Finiten Elementen nicht allein aus Approximationsgrundenwahlen. Die LBB-Bedingung (3.7) ist insbesondere eine Bedingung an die Di-mension der Raume Vh, Ph.

Es stellt sich heraus, dass das Paar des konformen, biquadratischen Q2-Elementes fur die Approximation der Geschwindigkeit ~v sowie des unstetigen,linearen P1-Elementes fur die Approximation des Drucks p die Forderung(3.7) erfullt. Damit ist das Paar Q2P1 stabil gegenuber kleinen Storungen.

Q2 = qζ−1 ∈ C(Ωh)3 | q ∈ span < 1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz, x2, y2, z2, x2y, x2z, xy2, y2z,

xz2, yz2, x2y2, x2z2, y2z2, x2yz, xy2z, xyz2, x2y2z, x2yz2, xy2z2, x2y2z2 >

Vh = φ | φ|Element ∈ Q2

P1 = q ζ−1 ∈ L2(Ωh) | q ∈ span < 1, x, y, z >

Ph = ϕ | ϕ|Element ∈ P1

Die Transformation ζ−1 des Einheitswurfels auf das Element des Gitters istlinear in allen drei Komponenten. Die Freiheitsgrade von Q2P1 sind zusatzlichauf dem Bild auf der Seite 23 dargestellt.

1Den Beweis findet man z.B. in [9]

21

Energiebilanz

Die Energiebilanzgleichung wurde auf Seite 13 hergeleitet und lautet:

cp∂tθ + cp(v · ∇)θ − λ∆θ = τ : ∇v

θ ∈ L2(I,W 1,2(Ω)) ∩ L∞(I, L2(Ω)) =: Θ ⊃ Θh

Den Raum Θ approximieren wir mit dem Raum der Finiten Elemente Θh.Die Temperaturgleichung schreiben wir folgendermassen um:

∂tθ + (v · ∇)θ −λ

cp∆θ =

τ : ∇v

cp

Zur Abkurzung bezeichne ich die skalare Große 1cpτ : ∇v mit s (source).

∂tθ + (v · ∇)θ − α∆θ = s (3.8)

Die Gleichung (3.8) testen wir mit einer Basisfunktion ψ ∈ Θh ⊂ H10 (Ω) :

∫

Ω

∂tθψ d~x+

∫

Ω

(v · ∇)θψ d~x− α

∫

Ω

∆θψ d~x =

∫

Ω

sψ d~x, ∀ ψ ∈ Θh

Die Modifikation

−α

∫

Ω

∆θψ d~x = α

∫

Ω

∇θ∇ψ d~x

bringt die Gleichung (3.8) in die Form, wie wir sie diskretisieren werden:(

∂tθ, ψ)

+(

(v · ∇)θ, ψ)

+(

α∇θ,∇ψ)

=(

s, ψ)

, ∀ ψ ∈ Θh (3.9)

Das Geschwindigkeitsfeld ~v sowie die ubrigen Parameter α, s seien in (3.9)als bekannt vorausgesetzt.

Fur die Approximation mittels Finiten Elementen haben wir das konformeQ1-Element gewahlt. Mit den (multi-)linearen Elementen kann man das nu-merische Konvergenzverhalten angemessen kontrollieren.

Q1 : = q ζ−1 ∈ C(Ωh) : q ∈ span < 1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz >

Θh : = ψ | ψ|Element ∈ Q1

So erhalten wir die Gleichungen, mit denen weitergearbeitet wird:

(

vt, φ)

+(

(v · ∇)v, φ)

+(

(η∇v + η(∇v)T ),∇φ)

=(

p,∇φ)

(

∇ϕ, v)

= 0 , ∀ ϕ ∈ Ph, ∀ φ ∈ Vh(

θt, ψ)

+(

(v · ∇)θ, ψ)

+(

α∇θ,∇ψ)

=(

s, ψ)

, ∀ ψ ∈ Θh

(3.10)

22

3.2 Die Diskretisierung in Raum und Zeit

Als Diskretisierung benutzen wir einen Q2/P1/Q1-Ansatz auf dem Hexaeder-gitter. DasQ2−Element ist konform biquadratisch (sog. Stokes Element), dasP1−Element ist unstetig linear und das Q1−Element ist konform linear.

######

QQ

QQ

Q

######

QQ

QQ

Q

QQ

QQ

Q

######

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

ss

(vh, uh, wh)

Q2 (27 dof)

+∂ph∂x

QQ

QQ

Q

QQ

QQ

Q

QQ

QQ

Q

QQ

QQ

Q

QQs

∂ph∂y

6∂ph∂z

s ph

P1 (4 dof)

######

QQ

QQ

Q

######

QQ

QQ

Q

QQ

QQ

Q

######

v

v

v

v

v

v

v θh

Q1 (8 dof)

Finite Elemente : Q2/P1/Q1

Im folgenden wird die unbekannte, kontinuierliche Losung (~v, θ, p) mit derdiskreten Losung (~vh, θh, ph) approximiert, wobei

~vh = (vh, uh, wh)T =

(n∑

j=1

vjhφj ,

n∑

j=1

ujhφj ,

n∑

j=1

wjhφj

)T, φj ∈ Q2 ,

ph =n∑

i=j

pjϕj , ϕj ∈ P1 und

θh =

n∑

j=1

T jψj , ψj ∈ Q1 ist.

Die Vektoren ~u1h =(v1h, . . . , v

nh

)T, ~u2h =

(u1h, . . . , u

nh

)T, ~u3h =

(w1

h, . . . , wnh

)T,

~ph =(p1, . . . , pn

)T, ~Th =

(T 1, . . . , T n

)Tsind die unbekannten Koeffizienten.

23

(

vt, φ)

+(

(v · ∇)v, φ)

︸︷︷︸

Konvektion

+(

(η∇v + η(∇v)T ),∇φ)

︸︷︷︸

Diffusion

−(

p,∇φ)

= 0

(

∇ϕ, v)

= 0

(3.11)

Die variationelle Formulierung der Navier-Stokes Gleichung (3.11) schreibtman in der Operatorschreibweise in der Form:

M∂~uk

h

∂t+K(~vh) ~u

kh + Sη ~u

kh − B ~ph = 0, k = 1, 2, 3,

BT ~uh = 0, ~uh = (~u1h, ~u2h, ~u

3h).

Dabei bezeichnet M die Massematrix (mass matrix):

(M

)

ij=

∫

Ω

φjφid~x,

K(~vh) den Konvektionsoperator (convective part):

(K(~vh)

)

ij=

∫

Ω

(~vh · ∇)φjφid~x,

Sη den Stresstensoroperator (stress tensor):

(Sη

)

ij=

∫

Ω

η(∇φj) · (∇φi) + η(∇φi) · (∇φj)d~x,

B die Gradientenmatrix (gradient matrix):

(B)

ij=

∫

Ω

(∇ϕi)φjd~x,

BT die Divergenzmatrix (divergence matrix) :(BT

)

ij=

(B)

ji.

Wir werden im Laufe der Simulation noch zwei Operatoren brauchen.L die

”gelumpte“ Massematrix (lumped mass matrix) fur = const:

(L

)

ij=

∑

i

((M

)

ij

)fur i = j,

0 fur i 6= j,

D den Diffusionsoperator (diffusive part):

(D)

ij= −

∫

Ω

∇ · (∇φj)φidx =

∫

Ω

(∇φj) · (∇φi)dx.

24

Analog definierte Operatoren auf dem Raum der Finiten Elementen Θh

erlauben es uns, die Gleichung fur die Temperatur zu diskretisieren:

M∂~Th∂t

+K(~vh)~Th + αD~Th = L~sh (3.12)

Zeit-Diskretisierung (Crank -Nicolson)

Das Verfahren von Crank - Nicolson ist ein A-stabiles implizites Θ-Verfahrenmit Θ = 1

2. Es ist auch als Trapezregel bekannt. Die Zeitableitung wird

approximiert durch∂~vh∂t

≈~v n+1h − ~v n

h

∆t,

wobei ~v nh = ~vh(tn), tn = n∆t und ∆t der Zeitschritt ist.

Somit wird das diskrete Problem wie folgt gelesen:

M~un+1

h−~un

h

∆t+Θ

(

K(~un+1h ) ~un+1

h + Sη ~un+1h

)

− B ~p n+1h = (Θ− 1)

(

K(~unh ) ~u

nh + Sη ~u

nh

)

,

BT ~un+1h = 0,

M~T n+1

h−~T n

h

∆t+Θ

(

K~T n+1h + αD~T n+1

h

)

= L~sh(~un+1h ) + (Θ− 1)

(

K~T nh + αD~T n

h

)

,

(3.13)

3.3 Das Defekt-Korrektur-Verfahren (pp3d)

Das diskrete Problem haben wir geschrieben in der Form

M~un+1h +∆tΘ(K ~u

n+1h + Sη ~u

n+1h )

︸︷︷︸

=: Aun+1

h

−∆tB ~p n+1h =M~u

nh +∆t(Θ− 1)(K ~u

nh + Sη ~u

nh )

︸︷︷︸

=: RHS

mit der Inkompressibilitatsbedingung BT~un+1h = 0.

Es seien (~unh , ~p

nh ) schon bekannt. Gesucht ist (~un+1

h , ~p n+1h ).

Was macht man in dem (n + 1)−ten Zeitschritt?

Die unbekannten Terme werden der Einfachheit halber zu einem OperatorA : = M + ∆tΘK + ∆tΘSη zusammengefasst. Die bekannten Termenennen wir ”die rechte Seite”RHS (right hand side ).

25

Es ist also das Gleichungssystem

A~un+1h −∆tB ~p n+1

h = RHS

BT~un+1h = 0

zu losen.

Algorithmus

1. Aus der Gleichung

A~un+1h = ∆tB~p n

h +RHS

findet man eine Naherung ~w n+1h fur die gesuchte Losung ~un+1

h . Dasgeschieht unter Verwendung des Mehrgitterverfahrens (V-Zyklus). DieInkompressibilitatsbedingung ist aber nicht erfullt: BT ~w n+1

h 6= 0.

2. Wir vergleichen die gegebene Gleichung mit der gelosten. Multipliziertman beide Gleichungen mit BT und substrahiert voneinander, so erhaltman:

0 = BT~un+1h = BT

[A−1(∆tB~p n+1

h +RHS)︸︷︷︸

=~un+1

h

](3.14)

BT ~w n+1h = BT

[A−1(∆tB~p n

h +RHS)]

(3.15)

(3.15)− (3.14) = BT ~w n+1h = ∆tBTA−1B (~p n

h − ~p n+1h )

︸︷︷︸

~q

BT ~w n+1h = ∆tBTA−1B~q (3.16)

Der Vergleich erlaubt uns, den Korrekturterm ~q fur den Druck zuberechnen: ~p n+1

h = ~p nh − ~q . Dazu mussen wir die Gleichung (3.16)

losen. Leider kann man die Matrix BTA−1B nur mit einem enormenAufwand aufbauen. Deswegen reduziert man die Gleichung auf (3.17).Die Lump-Massmatrix L hat Diagonalgestalt und ist leicht zu inver-tieren. Die Gleichung (3.17) losen wir wieder mit dem Mehrgitterver-fahren (F-Zyklus). Auf dem groben Level wird die lineare Gleichungexakt mittels UMFPACK gelost.

BT ~w n+1h = ∆tBTL−1

B~q (3.17)

So gewinnt man den Wert ~p n+1h (pressure correction).

26

3. Genauso erhalt man die Korrektur fur die Geschwindigkeit:

~un+1h = ~w n+1

h −∆tL−1 B~q .

(velocity correction)

4. Die Transportgleichung fur die Temperatur

M∂~Th∂t

+K(~un+1h )~Th + αD~Th = L~sh

losen wir wieder mittels des Defekt-Korrektur-Verfahrens.

M ~T n+1h +∆tΘ

(

K(~un+1h )~Th + αD~Th

)

︸︷︷︸

=: A~Tn+1

h

= ∆tL~sh +M ~T nh +∆t(Θ− 1)

(

K(~un+1h )~Th + αD~Th

)

︸︷︷︸

=: RHS

Dabei hangen der Konvektionsoperator K sowie der Source-Term ~shvon der zu dem Moment bekannten Geschwindigkeit ~un+1

h ab.

27

Kapitel 4

Die Erweiterung desFeatflow-Codes

In diesem Kapitel wird beschrieben, welche Erweiterungen im Laufe des Pro-jektes wir vorgenommen haben.

4.1 Nicht-Newtonsche Fluide

Bei newtonischen Fluiden hangt die Deformationgeschwindigkeit γ von demReibungstensor τ linear ab : τ = ηγ. Die Viskositat η andert sich nicht:η = const. Dieses einfache Stoffverhalten hat man beispielsweise beim Was-ser.

Die Polymerschmelze weist eine komplizierte, nicht-lineare Abhangigkeit zwi-schen der Scherung τ und der Schersgeschwindigkeit γ auf. Eine Moglichkeitden Zusammenhang zu beschreiben ist das Potenzgesetz (power law):

τ = η0(γ)n.

Wie schon bereits erwant, gilt fur die Scherung

τ = η(∇v + (∇v)T ) = ηγ.

Wir gewinnen mit dem Potenzgesetz

• die Formel zur Berechnung der Viskositat η = η0‖γ‖n−1 = η0

(√12(γ : γ)

)n−1

• das Rezept, mit dem man eine nicht-Newtonsche Stromung numerischsimuliert. Man benotigt dazu lediglich den Tensor γ = (∇v + (∇v)T )

28

4.1.1 Der Spannungstensor

Die Navier-Stokes Gleichung kann man im Falle eines Newtonschen Fluideswegen η = const vereinfachen zu:

∂tv + (v · ∇)v − η(

∇ · ∇v +∇ · (∇v)T)

︸︷︷︸

2∆v

+∇p = 0

∂tv + (v · ∇)v︸︷︷︸

Konvection

− 2η∆v︸︷︷︸

Diffusion

+∇p = 0

Die diskrete Form der Navier-Stokes Gleichung fur Newtonsche Fluide siehtwie folgt aus:


n+1h + 2ηD~un+1

h )−∆tB ~p n+1h = RHS (4.1)

Den Diffusionsoperator haben wir bereits in Kapitel 3.2 eingefugt. Jetzt ana-lysieren wir, was beim Losen der Navier-Stokes Gleichung (3.13) fur nicht-Newtonsche Fluide passiert und vergleichen sie mit der Gleichung (4.1).

Der Konvektionsoperator K = K(~u n+1h ) hangt zwar von der Geschwindigkeit

ab, aber er lasst sich fur jede einzelne Komponente des Geschwindigkeitsvek-tors ~uh = (vh, uh, wh) separat formulieren. Die Operatoren M, D,B kannman ebenso nur fur eine Komponente aufbauen. Dagegen fordert die As-semblierung der Matrix Sη eine enge Kopplung aller drei Dimensionen. DieMatrix Sη ist dreimal so groß, wie die ubrigen Matrizen, weil sie sich nichtentkoppeln lasst.

Das fuhrt zu einem dreimal so großen linearen Gleichungssystem und folglichzu einem erhohten Speicheraufwand. Man versucht deswegen die lastige Sη

Assemblierung loszuwerden. Dies kann mit einem”Trick“ geschehen.

Die Idee ist die Matrix A vorzukonditionieren. Wir suchen eine approximativeLosung ~w n+1

h mit Hilfe der Gleichung (modifizierter Algorithmus 3.3):


n+1h + 2ηD~un+1

h )︸︷︷︸

A~un+1

h

−∆tB ~p nh =M~u

nh +∆t(Θ− 1)(K ~u

nh + Sη ~u

nh )

︸︷︷︸

RHS

Die rechte Seite bleibt unverandert. Der Defekt wird unter Verwendung desSpannungstensors Sη berechnet. Dagegen enthalt die MatrixA den Diffusions-operator D anstelle des Spannungstensors S. Diese Kombination bezeichnenwir mit D3S0.

29

D3S0 bedeutet somit, dass die Matrix D fur jede Iteration aufgebaut wird.D0S3 steht fur den Fall, dass mit der Matrix S gerechnet wird.

Der Featflow-Kode ist so progammiert worden, dass der User selbst wahlenkann, welche Operatoren und wie oft diese fur die Simulationsrechnung ver-wendet werden. Fur ein Newtonsches Fluid reicht es, die DiffusionsmatrixD einmal aufzubauen : M1K3D1S0. Die Massematrix M wird ebenso einmalassembliert und der Konvektionsoperator K = K(~un

h ) muss fur jede nicht-lineare Iteration erneut gebildet werden.

Die K2-Kombination wurde bedeuten, dass der Konvektionsoperator K injedem Zeitschritt assembliert werden soll.

Wir haben die beiden Moglichkeiten D3S0 und D0S3 am Beispiel der Simula-tion des Doppelschneckenextruders analysiert. Die Daten kann man aus dernachfolgenden Tabelle entnehmen.

Extrud3D

D3S0 D0S3

Level 2 Level 3 Level 2 Level 3

15 NonLin 14 NonLin 5 NonLin 5 NonLin

Iters per Iters per Iters per Iters per

tstep=1d-5 tstep=5d-6 tstep=1d-5 tstep=5d-6

Unter Verwendung von D0S3 konvergiert das Verfahren in 5 Iterationen. Da-gegen mittels D3S0 werden ca. 15 Iterationen fur die Konvergenz benotigt.Das liegt daran, dass die Rechnung mit dem Stresstensor S3 aufwendiger,aber gleichzeitig genauer ist. Deswegen kann man mit S3 einen großerenZeitschritt fur die Simulation verwenden als mit D3.

Man fragt sich, ob die Rechnung mit S3 dadurch schneller wird. Wir haben einnumerisches Experiment durchgefuhrt, indem wir eine adaptive Schrittweiteerlaubt haben. Fur diesen Test haben wir die Stromung im Kanal ausgewahlt.Die Simulationszeit betrug 20 sec. Die Ergebnisse sind in der Tabelle auf derSeite 31 aufgetragen.

Die Kombination D0S3 benotigt wieder weniger Zeitschritte als die D3S0.Mit der Stresstensorassemblierung ist auch ein großerer Zeitschritt moglichals mit D3. Aber die gesamte Simulationszeit ist dadurch nicht umbedingtkurzer. Grund dafur ist der aufwendige Matrixaufbau.

30

Channel

D3S0 D0S3

Level 3 Level 4 Level 5 Level 3 Level 4 Level 5

118 tstep 156 tstep 287 tstep 96 tstep 103 tstep 173 tstep

320 sec. 4403 sec. 30842 sec. 1463 sec. 3660 sec. 42660 sec.

tstep=0.37d-1 tstep=0.21d-1 tstep=0.8d-2 tstep=0.98d-1 tstep=0.55d-1 tstep=1.5d-2

31

4.1.2 Die Validierung des Potenzgesetzes

?

y = 0

y = 2b

$

%parabolic inflow

power

law

Poiseuille Flow for Non-Newtonian Fluid

v2b = 0

v0 = 0

vb-

Problembeschreibung

Betrachten wir wieder die inkompressible Navier-Stokes Gleichung:

∂tv + (v · ∇)v = ∇ · σ

∇ · v = 0

Der Spannungstensor σ ist symmetrisch : σ = σT

Im bewegten Fluid gilt:σ = −pI + τ

∇ · σ = −∇p +∇ · τ

Dabei ist der Tensor τ auch symmetrisch. Zur Vereinfachung betrachten wirdie Gleichungen fur eine einzelne Komponente: τxy =

FA.

Das Potenzgesetz besagt nun, wie die Scherspannung von der Schergeschwin-digkeit abhangt. Fur die laminare Stromung in nur einer x-Richtung gilt:

τxy = η0(γxy)n

So gewinnt man die Scherviskositat:

η =τxyγxy

= η0(γxy)n−1

Der Potenzgesetzexponent n spielt hier eine wichtige Rolle. Fur n > 1 beob-achtet man scherverdickende Effekte (shear-thickening). Diese Fluide nenntman dilatant. Fur 0 < n < 1 treten scherverdunnende Effekte auf (shear-thinning). Das sind strukturviskose Fluide, die auch fur die Extrusion rele-vant sind.

32

Analytische Losung

Wir betrachten eine stationare Stromung zwischen zwei unendlichlangen,parallelen Platten. Die Geometrie ist in der Abbildung 4.1 dargestellt. DieStromungsgeschwindigkeit verschwindet nur in x-Richtung nicht. Diese Kom-ponente des Geschwindgkeitsvektors bezeichnen wir mit U . Wegen der Sym-metrie ist es genug, nur die Halfte des Kanals bis zu Mitte zu betrachten(0 < y < b).

Abbildung 4.1: Geometrie.

Das Kraftegleichgewicht fur das Element ABCD lautet

∫ p+p

p

dp2Wy =

∫ L

0

dxτxy2W

⇒ τxy =p

Ly

Aber nach dem Potenzgesetz im Falle einer Stromung nur in x-Richtung giltfur y ∈ (0, b)

τxy = η0

(−∂U

∂y

)n

So bekommt man die analytische Losung fur die Geschwindigkeit U :

U =n

n+ 1

( 1

η0

p

L

) 1

n

(bn+1

n − yn+1

n )

Dieses analytisch losbare Problem wurde entnommen aus dem Buch [10].Die graphischen Darstellungen wurden mit Hilfe von Matplotlib angefertigt.

33

Numerische Resultate

Die geometrischen Großen sind ebenfalls in Abb. 4.1 abgebildet. In unseremFall gilt: b = 0.5 , L = 16.Es gibt nun zwei Moglichkeiten, die analytische Losung numerisch zu uberprufen:

• Man schreibt p vor und bekommt dann die entsprechende exakteLosung. Man beachte aber, dass der Volumenstrom des Startprofilsmit dem Volumenstrom des analytischen Profils ubereinstimmen muss.

• Es wird der Volumenstrom 2∫ b

0Udy vorgeschrieben. In diesem Falle

muss man erst p berechnen, um die exakte Losung aufzuschreiben.

Dazu benotigen wir das Verhaltnis:

∫ b

0

Udy =n

2n+ 1

( 1

η0

p

L

) 1

n

b2n+1

n

Die Simulationsergebnisse werden jeweils graphisch dargestellt.

1.Fall: p ist vorgeschrieben

Fur die einfache Rechnung haben wir p so gewahlt, dass die Gleichheit(1η0

p

L

)

= 1 gilt. Dies ist fur n = 0.5 und n = 1.8 gerechnet.

Am Anfang wurde das parabolische Geschwindigkeitsprofil entlang des Ka-nals eingesetzt:

Uinit = 0.1875y(1− y)

Der Faktor 0.1875 sorgt dafur, dass die mittlere Geschwindigkeit am Anfanggleich der mittleren Geschwindigkeit der exakten Losung ist. Der Volumen-strom andert sich somit nicht, und p auch nicht.

Exakte Losung zur Abb. 4.2:

U =

0.53 + (y − 0.5)3

3, 0 ≤ y < 0.5

0.53 − (y − 0.5)3

3, 0.5 ≤ y ≤ 1

34

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0channel in y-direction

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05ve

loci

ty U

in x

-dire

ctio

nn=0.5

startfinishexact

Abbildung 4.2: Potenzgesetz η = 0.01‖γ‖n−1 mit n = 0.5.


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

velo

city

U in

x-d

irect

ion

n=1.8

startfinishexact


Exakte Losung zur Abb. 4.3:

U =

914

(0.5

14

9 − (0.5− y)14

9

), 0 ≤ y < 0.5

914

(0.5

14

9 − (y − 0.5)14

9

), 0.5 ≤ y ≤ 1

Startprofil: Uinit = 0.7987y(1− y).

35

2.Fall: Der Volumenstrom∫ b

0Udy ist vorgeschrieben

Wir fordern: 2∫ b

0Udy = 1.

⇒1

2=

∫ b

0

Udy =n

2n+ 1

( 1

η0

p

L

) 1

n

b2n+1

n

⇒ p = η0L(2n+ 1

2n

)n

b−2n−1.

Mit b = 12kann man die analytische Losung kompakt aufschreiben:

U = 2n+1

n2n+ 1

n+ 1(b

n+1

n − yn+1

n ) =

=2n+ 1

n + 1

(

1− (2y)n+1

n

)

.

In diesem Falle wurden n ∈ 1.5, 2.0, 2.5 betrachtet. Die Anfangsgeschwin-digkeit ist fur alle n gleich eingesetzt

Uinit = 6y(1− y)

⇔ 2

∫ 0.5

0

Uinitdy = 2

∫ 0.5

0

6y(1− y)dy = 1.


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

velo

city

U in

x-d

irect

ion

n=1.5

startfinishexact


36


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

velo

city

U in

x-d

irect

ion

n=2.0

startfinishexact



0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

velo

city

U in

x-d

irect

ion

n=2.5

startfinishexact


37

Fur n < 1 tritt in diesem Fall ein Problem auf, da der Kanal nicht langgenug ist. Die maximale Anfangsgeschwindigkeit ist zu hoch. Folglich kanndas Stromungsprofil nicht komplett entwickelt werden.

Wir nehmen daher: 2∫ b

0Udy = 1

16.

In diesem Falle wurden n ∈ 0.5, 0.25, 1.5 betrachtet.

Die Anfangsgeschwindigkeit ist fur alle n gleich eingesetzt:

Uinit = 0.375y(1− y)

⇔ 2

∫ 0.5

0

Uinitdy = 2

∫ 0.5

0

0.375y(1− y)dy = 0.0625 =1

16.


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

velo

city

U in x

-dir

ect

ion

n=0.5

startfinishexact


38


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

velo

city

U in x

-dir

ect

ion

n=0.25

startfinishexact



0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

velo

city

U in x

-dir

ect

ion

n=0.1

startfinishexact


39

4.2 Das Drehmoment

Die genaue Bestimmung des Drehmomentes M ist wichtig fur die Festlegungder maximalen Drehzahl n der Schnecke. Zum einen ergibt sich daraus dieerforderliche Motorleistung P ∼Mn fur den Extrusionsprozess. Zum ande-ren dient die Kenntnis des Drehmomentes M dem Schutz des Extruders. Umdie Risiken der Beschadigung des Extruders zu vermeiden, berechnet mandas Drehmoment numerisch.

4.2.1 Die Methode der Fiktiven Rander (FBM)

Die Methode der Fiktiven Rander (Fictitious Boundary Method) ist ein wirk-sames numerisches Verfahren zur Beschreibung von sich bewegenden Ob-jekten komplexer Geometrie. Es erlaubt uns, die Simulation der rotierenenSchrauben bei einem festen Gitter durchzufuhren.

Wir definieren eine Hilfsfunktion χ analog zu der charakteristischen Dirac-Funktion:

χ(~x) =

1 fur ~x ∈ ΩSchnecke

0 sonst

wobei ~x die raumliche Koordinate ist. Die Gebietsoberflache ΩSchnecke wirdanalytisch gegeben1. Mit einer einfachen Rechnung kann man entscheiden,ob ein bestimmter Gitterpunkt zu einer bestimmten Zeit sich im Fluid oderim Solid befindet: 0 oder 1.

Der Gradient ∇χ verschwindet nicht in denjenigen Gitterpunkten, die zudem Element gehoren in dem die Grenzoberflache des Objektes verlauft.Somit approximiert ∇χ die außere Normale ~n zu der Oberflache2.

Im Falle des Extruders benotigen wir zwei charakteristische Funktionen:

χ1(~x) =

101 fur ~x ∈ Ω1. Schnecke

0 sonst, χ2(~x) =

102 fur ~x ∈ Ω2. Schnecke

0 sonst

Durch die Kenntnis des Spannungstensors σ sind die Reibungskrafte imMedi-um bekannt. Die Berechnung der auf die Oberflache der Schnecke wirkendenKraft F erfolgt durch Integration uber das gesamte Gebiet Ω:

F1,2 = −

∫

Ω

σ · ∇χ1,2d~x

1Im Falle des Extruders siehe Kapitel 5.2Die FBM- Methode ist z. B. in [16] erlautert.

40

Eine andere Moglichkeit, die rotierenden Schrauben zu simulieren, bestehtdarin, zu jedem Zeitschritt ein neues Gitter aufzubauen, das die neue Posi-tion der Schnecke umfasst (re-meshing). Eine numerische Simulation solcherArt wurde bei Kohlgruber [18] dargestellt. Die re-meshing Methode hat denNachteil eines drastisch erhohten Rechnungsaufwandes und verlauft dement-sprechend deutlich langsamer. Außerdem ist die re-meshing Methode fur dieGebietszerlegung nicht so gut geeignet wie die FBM-Methode. Grund dafurist ein festes Gitter, das die FBM-Methode verwendet. Die FBM-Methodeerlaubt eine akkurate Beschreibung einer komplexen Geometrie. Daher hatman sich fur die Methode der Fiktiven Rander entschieden.

4.2.2 Die Validierung des Drehmomentes

Das folgende Beispiel wurde dem klassischen Lehrbuch der Physik von Landau,Lifshitz [3] von Seite 55 entnommen. Man betrachtet die Stromung zwischenzwei koaxialen, unendlichen Zylindern. Die Zylinder mit den Radien R2 > R1

rotieren mit der Winkelgeschwindigkeiten ω1 und ω2 um ihre Achsen.

Abbildung 4.10: Die auf einen rotierenden Zylinder wirkende Kraft(Bird et al. [1] (Seite 20)).

Fur die stationare, inkompressible Stromung des Newtonschen Fluides gilt:

vz = 0, vr = 0, vθ = v(r), R1 ≤ r ≤ R2

41

Dies folgt aus der Symmetrie des Problems. Die Navier-Stokes Gleichungkann man in dem Falle analytisch losen:

∂p

∂r−

v2

r= 0

∂2v

∂r2+

1

r

∂v

∂r−

v

r2= 0

Unter Berucksichtigung der Randbedingungen v|r=R1= ω1R1, v|r=R2

= ω2R2

erhalt man die Formel fur die Geschwindigkeit des Fluides v:

v =ω2R

22 − ω1R

21

R22 − R2

1

r +(ω1 − ω2)R

21R

22

R22 −R2

1

1

r

Der Druck wird nicht weiter benotigt und deswegen nicht separat aufgeschrie-ben. Die Reibungskraft, die auf den inneren Zylinder wirkt, ist gleich:

[τrθ]r=R1= η

[(∂v

∂r−v

r

)]

r=R1

= −2η(ω1 − ω2)R

22

R22 − R2

1

Das auf die Lange bezogene Drehmoment des 1. Zylinders gewinnt man,indem man noch mit 2πR2

1 multipliziert:

M1 = −4πη(ω1 − ω2)R

21R

22

R22 − R2

1

Unser Ziel ist jetzt, die analytischen Resultate numerisch wieder zu erhalten.Wir verzichten deswegen fur den Moment auf die FBM-Methode. Die rotie-renden Zylinder werden wie ublich durch das feste Gitter beschrieben.

Ich setze folgende Daten ein: R1 =12, ω1 = π, R2 = 1, ω2 = 0, η = 0.01

und ich starte mit der Anfangsgeschwindigkeit ~vinit = 0 an allen Punkten.Nach der obigen Berechnung erwarte ich M1 = −0.1315.

Wie man in Abb. 4.11 sehen kann, hat das Simulationsergebnis eine guteUbereinstimmung mit dem theoretischen Wert. Der Level 4 wird hier wegender endlichen Auflosung der Graphik nicht prasentiert.

42

Abbildung 4.11: Simulation vs. Theorie: Das Drehmoment des inneren, ro-tierenden Zylinders mit Entwickling der Zeit.

Die Fehleranalyse

Ich vergleiche nun in der unteren Tabelle den numerischen Wert mit demtheoretischen. Man kann eine gute Ubereinstimmung der Theorie mit demnumerischen Experiment feststellen. Die Fehlerreduktion wird zusatzlich gra-phisch in der Abb. 4.12 illustiert.

rotated cylinder

Level 2 Level 3 Level 4

torque -0.13083 -0.13132 -0.13152

L∞−error 0.67d-3 0.18d-3 0.2d-4

relativ error ca. 5 % ca. 1.4% ca. 0.15%

Wie man der Tabelle entnehmen kann, reduziert sich der Fehler von Level 2auf Level 3 um den Faktor 4 sowie von Level 3 auf Level 4 um den Faktor 9.Vermutlich hangt dieses Verhaltnis mit der besseren Kreisapproximation zu-sammen.

43

Abbildung 4.12: Die Fehlerreduktion mit steigendem Level.

44

4.2.3 Das Drehmoment des Extruders

In den Abb. 4.13, 4.14 ist eine Testkonfiguration des Extruders dargestellt.Es wird nur ein Schneckenelement berechnet, wobei die Stromung nur in derXY-Ebene stattfinden kann. Dies wurde getan, um eine Vorstellung uber dasDrehmoment einer Schnecke zu bekommen.

Abbildung 4.13: Testkonfiguration von einem Segment des Doppelschnecken-extruders: keine Stromung in z-Richtung.

Abbildung 4.14: Testkonfiguration des Extruders nach einer 18-Drehung.

45

Abbildung 4.15: Das Drehmoment einer Schnecke fur die strukturviskosenStromungen mit den Potenzgesetzexponenten n= 0.75, 0.9,1.0 ,1.1

Wie man in der Abb. 4.15 sieht, liefert die FBM-Methode sehr glatte Kurvenfur den Verlauf des Drehmomentes. Fur diesen numerischen Test habe ichdie fiktive Werte verwendet. Es geht an dieser Stelle hauptsachlich um einequalitative Aussage. Mit sinkendem Potenzgesetzexponent nimmt die Rei-bungskraft ab.

Das Bild 4.16 verdeutlicht den Einfluss des Spaltes auf die Antriebsmotor-leistung. Die Abkurzungen SS und SG stehen fur die beiden Spiele des Ex-truders, die die Geometrie und den gesamten Prozess stark beeinflussen.Das Spiel Schnecke-Schnecke SS= 1.126% und das Spiel Schneckenkamm-Gehausewand SG= 2.25 % bezogen auf der Lange des ZylinderdurchmessersDz entsprechen den realen Werten, die man in der Industrie benutzt.

Wie schon oben ausgefuhrt, waren die Zahlenwerte fur uns in dieser Projekt-phase irrelevant. Wir waren nur an einer qualitativen Aussagen interessiert.Wie man tatsachlich auf dem Bild 4.16 sieht, ruft die kleine Storung desSpaltes SS zwischen beiden Schnecken eine geringe Anderung des Drehmo-mentes hervor. Dagegen verursacht ein Abfall des Spiels Schneckenkamm-

46

Gehausewand SG um nur 0.25% Dz eine sichtbare Erhohung des Drehmo-mentes (Vergleiche SG=2.25% Dz rot mit SG=2.0% Dz blau auf dem Bild).

Abbildung 4.16: Abhangigkeit des Drehmomentes von den Geometrieparame-tern Spiel Schnecke-Schnecke SS und Spiel Schnecke-Gehausewand SGbezogen auf der Lange des Zylinderdurchmessers Dz fur 2-gangigenForderelement.

Auf der Abbildung 4.17 werden die Ergebnisse dieses numerischen Testes fur2-gangigen Knetelement prasentiert. Die Kurven zeigen gewissen Oszillatio-nen. Das liegt daran, dass die von uns gewahlte Konfiguration fur den Knet-element sehr schwer durchfuhrbar ist. Denn wir verbieten die Stromung inRichtug der z-Achse. Deswegen steht das Fluid unter Wirkung hohen Span-nungen aus. Diese werden besonders groß, wenn der Spalt Schnecke-Schneckes klein ist. Das ist auch der Grund dafur, dass das Knetelement viel mehrempfindlich zu den Variationen von s ist (Vergleiche SS= 1.126% Dz rot mitSS= 1.5 % Dz schwarz auf dem Bild 4.17).

47

Abbildung 4.17: Abhangigkeit des Drehmomentes von den Geometrieparame-tern Spiel Schnecke-Schnecke SS und Spiel Schnecke-Gehausewand SG bezo-gen auf der Lange des Zylinderdurchmessers Dz fur 2-gangigen Knetelement.

48

4.3 Der Quellterm

Betrachten wir wieder die Energiebilanzgleichung (3.8) bzw. ihre variationelleFormulierung (3.9) und die diskrete Version (3.12):

∂tθ + (v · ∇)θ − α∆θ = s

(

∂tθ, φ)

+(

(v · ∇)θ, φ)

+(

α∇θ,∇φ)

=(

s, φ)

MTh +K(vh)Th + αDTh = sL

MT n+1h +∆tΘ

(

K(vn+1h )T n+1

h +αDT n+1h

)

= s∆tL+∆t(Θ−1)(

K(vn+1h )T n

h+αDTnh

)

Um den Source-Term in die Gleichung zu integrieren, muss man den Skalar sfur jeden Knoten berechnen, mit Lump-Massematrix L multiplizieren undzu der rechten Seite addieren3.

s =1

cpτ : ∇v =

η

cp(∇v + (∇v)T ) : ∇v

⇒ s =η

cp

(

2v2x + 2u2y + 2w2z + (ux + vy)

2 + (wx + vz)2 + (uz + wy)

2)

(4.2)

4.3.1 Die Validierung des Quellterms

\\\\\\

ZZZZ

ZZZZ-

--

-

vb

v0 = 0θ0

θb

?

y0 = 0

yb = b

Couette Flow for Newtonian Fluid

θmax > θb

viscous source s = η(vbb

)2

Den Source-Term werde ich anhand zweier Beispiele validieren, namlich dengut bekannten planaren Couette- und Poiseuille- Stromungen. Das erste Bei-spiel zur Couette-Stromung findet sich bei Bird et all. [1] auf Seite 298.

3siehe auch Seite 22

49

Das zweite Beispiel ist eine erarbeitete Erweiterung des ersten Beispiels furdie Poiseuille-Stromung.

Sei weiter cp = 1, = 1. Die Energiebilanzgleichung liest sich:

∂tθ + (~v · ∇)θ − α∆θ = s

Wir betrachten wieder die Stromung zwischen zwei unendlichlangen, paralle-len Platten. Der Abstand zwischen den Platten sei b. Eine Wand sei festund die andere bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit vb (siehe obigesBild). Im Falle eines Newtonischen Fluides stellt sich ein lineares Profil derGeschwindigkeit ein.

Die sich bewegende Wand besitzt die Temperatur θb und die starre Wand dieTemperatur θ0. Die Temperaturgleichung ist eindimensional. Wir interessie-ren uns nur fur den stationaren Fall. Dann verschwindet die Ableitung nachder Zeit. Wegen der linearen Abhangigkeit der Geschwindigkeit ~v = ~v(y) ist

der Quellterm s = ηv2y = η(vbb

)2

= const (laut Gleichung (4.2)). Weiter es

ist klar, dass im unendlichen Kanal die Temperatur nur von der y-Koordinate

abhangen kann: θ = θ(y). Das Fluid fließt nur in x-Richtung: ~v =

v00

.

Daher verschwindet der Term ~v · ∇θ =

v00

·

0θy0

= 0.

Man erhalt eine gewohnliche Differentialgleichung 2-ter Ordnung, die mandurch die Integration uber y lost:

− α∆θ = −α(∂2θ

∂y2

)

= s (4.3)

Unter Berucksichtigung der Randbedingungen θ|y=0 = θ0, θ|y=b = θb gilt4

fur θ0 6= θbθ − θ0θb − θ0

=1

2

ηvbα(θb − θ0)

y

b

(

1−y

b

)

+y

b(4.4)

und fur θ0 = θbθ − θ0θ0

=1

2

ηvbαθ0

y

b

(

1−y

b

)

(4.5)

4 Die Gleichung (4.5) erhalt in [1] einen Druckfehler.

50

Diese analytischen Losungen wurden mit unserem Code wiedergegeben. DieAbb. 4.18 entspricht dem unsymmetrischen Fall der Gleichung (4.4), wobeiDiffKoef=α und Visc=η ist. Die Anfangs- sowie Randbedingungen fur dieTemperatur θ sind durch

θ = θ0 + (θb − θ0)y

b= 0.5 + 1.5y

festgelegt. Die Geschwindigkeit v im Falle einer stationaren Couette Stromungist linear. Es sei v = 2y, α = 0.05, η = 0.1, θ0 = 0.5, θb = 2.0, b = 1.0.

Wie erwartet, ist das Temperaturprofil eine unsymmetrische Parabel. Auf-grund der inneren Quelle (viscous source) wird das Maximum im Gebietangenommen.

Die numerische Ergebnisse im symmetrischen Falle der Gleichung (4.5) sindin der Abb. 4.19 zu sehen. Die Rechnung startet mit θ = 0 als Anfangsbe-dingung. Die restlichen Simulationsparameter wurden von dem obigen Fallubernommen. Aufgrund der inneren Reibung erhoht sich die Temperaturin der Mitte des Kanals, in voller Ubereinstimmung mit dem theoretischenWert.

Ich modifiziere nun leicht das Testproblem und betrachte die planare Poi-seuille Stromung. Die vorherigen Uberlegungen bezuglich der Temperatur-gleichung gelten weiterhin. Der einzige Unterschied ist die rechte Seite. DerSource-Term ist nicht mehr konstant, sondern ein quadratisches Polynom.Ich nehme an, dass das Geschwindigkeitsprofil durch v = y(b − y) gegebenist. Dann gilt s = ηv2y = (b−2y)2. Mittels Integration und unter Verwendungder Randbedingungen erhalt man die Losung der Gleichung (4.3):

θ =η

α

(

−y4

3+

2b

3y3 −

b2

2y2 +

b3

6y)

+ θ0 −y

b

(

θ0 − θb

)

(4.6)

Die ubrigen Simulationsparameter sind: θ0 = 0, θb = 0.05, b = 1.0, α = 1.5,η = 2.0. Die theoretische Kurve 4-ter Ordnung sowie die numerische Uberein-stimmung kann man in der Abb. 4.20, 4.21 beobachten.

51

Abbildung 4.18: Couette Flow.

Abbildung 4.19: Couette Flow.

52

Abbildung 4.20: Poiseuille Flow.

Abbildung 4.21: Poiseuille Flow.

53

Die Fehleranalyse

An dieser Stelle analysiere ich den numerischen Fehler fur den Fall der Poi-seuille Stromung mit den Wandetemperaturen θ0 = 0 und θb = 0.05. Diezugehorige numerische Losung ist auf der Abb. 4.20 dargestellt. Die Simula-tion wurde auf dem Level 2 und 3 durchgefuhrt. Der relative L2-Fehler sowiedie Fehlerreduktion kann man der unten stehenden Tabelle entnehmen. DieReduktion des Fehlers wird graphisch in der Abb. 4.22 prasentiert.

Abbildung 4.22: Die Fehlerreduktion mit steigendem Level.

Poiseuille Flow

Level 2 Level 3

L2−error relativ error L2−error relativ error

0.890573d-3 0.31 % 0.321572d-3 0.08 %

Der Fehler akkumuliert sich aus der Berechnung des Quelltermes fur jede Git-terzelle, der Interpolation des Quelltermes auf die Knoten der Zelle und demapproximativen Fehler im Raum der Finiten Elemente Q1. Im betrachtetenSpezialfall wird der Fehler um den Faktor 4 reduziert.

54

Kapitel 5

Die Geometriedefinition

5.1 1-gangiges Schneckenelement

Bezeichnungen

Abbildung 5.1: Verwendete Bezeichnungen zum Profil der 1-gangigenSchnecke.

Der untere Kreisbogen (rot auf dem Bild 5.1) gehore zum Kreis 1. DasZentrum des Kreises ist der Koordinatenursprung (0, 0) und der Radius istmit R1 bezeichnet. Die Gleichung des Kreises lautet

x2 + y2 = R21.

Der Endpunkt des Bogens sei (x1, y1) und der Winkel sei Θ. Der Anfangs-punkt des Bogens ist wegen der Symmetrie somit (−x1, y1). Da die beiden

55

Punkte auf dem Kreis 1 liegen, genugen sie der Kreisgleichung

x21 + y21 = R21.

Der obere Kreisbogen (blau auf dem Bild 5.2) gehore zum Kreis 2. Da das


eingangige Schneckenelement spiegelsymmetrisch ist, liegt das Zentrum desKreises auf der Y -Achse. Das Zentrum sei im Punkt (0, b2) und der Radiussei R2. Die Gleichung des Kreises lautet dann

x2 + (y − b2)2 = R2

2.

Der Endpunkt des Bogens sei bezeichnet mit (x2, y2). Der Winkel Θ sei der-selbe Winkel, wie fur den oberen Kreisbogen. Der Punkt (x2, y2) liegt aufdem Kreis, somit gilt

x22 + (y2 − b2)2 = R2

2.

Die Punkte (x1, y1) und (x2, y2) verbindet ein weiterer Kreisbogen (grun aufdem Bild 5.3), der zum Kreis 3 gehore. Das unbekannte Zentrum des Kreises3 sei mit (a3, b3) und der Radius mit R3 bezeichnet. Die Kreisgleichung indem Fall lautet

(x− a3)2 + (y − b3)

2 = R23.

Wegen der Spiegelsymmetrie bezuglich der Y -Achse liegt das Zentrum desKreisbogens zwischen (−x1, y1) und (−x2, y2) in dem Punkt (−a3, b3) und

56


hat auch den Radius R3 (auf dem Bild nicht gezeichnet).Es gilt

(x1 − a3)2 + (y1 − b3)

2 = R23

und(x2 − a3)

2 + (y2 − b3)2 = R2

3.

Weiterhin nehmen wir an, dass der Ubergang im Punkt (x2, y2) nicht nurstetig, sondern auch glatt ist, d. h. die Tangente zum Kreis 2 in diesemPunkt liegt mit der Tangente zum Kreis 3 auf einer Geraden.

Berechnung

Die Stetigkeit im Punkt (x2, y2) gibt uns zwei Gleichungen

x22 + (y2 − b2)2 = R2

2 ,

(x2 − a3)2 + (y2 − b3)

2 = R23 .

Die folgenden Identitaten kann man direkt aus dem Bild ablesen:

x1 = R1 sinΘ

2, y1 = −R1 cos

Θ

2,

57

x2 = R2 sinΘ

2, y2 = R2 cos

Θ

2+ b2 .

Die Stetigkeit der 1. Ableitung nach x liefert noch eine Bedingung durchfolgende Uberlegungen. Fur den Kreis 2 und fur x > 0, y > 0 gilt

y = b2 +√

R22 − x2 ,

dy

dx=

x√

R22 − x2

.

Fur den Kreis 3 und fur x > 0, y > 0 gilt

y = b3 +√

R23 − (x− a3)2 ,

dy

dx=

x− a3√

R23 − (x− a3)2

.

Wir fordern die Stetigkeit im Punkt (x2, y2).

x2√

R22 − x22

=x2 − a3

√

R23 − (x2 − a3)2

oder( x2x2 − a3

)2

=R2

2 − x22R2

3 − (x2 − b3)2.

Wir formen die letzte Gleichung um und schreiben sie in der Form

x22R23 − x22(x2 − a3)

2 = R22(x2 − a3)

2 − x22(x2 − a3)2 ,

⇒ x22R23 = R2

2(x2 − a3)2 .

Dann muss fur x > 0 gelten

x2(R3 −R2) = −a3R2 .

Aus der Gleichheit x2 = R2 sinΘ2=

−a3R2

R3 − R2findet man a3:

a3 = (R2 − R3) sinΘ

2.

Der Punkt (0, b2) liegt auf der Geraden zwischen den Punkten (x2, y2) und(a3, b3) (siehe Abb. 5.4). Ware der Koordinatenursprung im Punkt (0, b2),dann wurde b3 = a3 cot

Θ2= (R2 − R3) cos

Θ2

gelten. Aber in unserem Fallmussen wir den Wert noch um b2 verschieben:

b3 = (R2 − R3) cosΘ

2+ b2.

58

Abbildung 5.4: Die gemeinsame Normale der Kreise 2 und 3. Die Punkte(x2, y2), (a3, b3) und (0, b2) liegen auf einer Gerade wegen der Kollinearitatder Tangenten zu den Kreisen 2 (blau) und 3 (grun) im Punkt (x2, y2).

Der Punkt (x1, y1) liegt auch auf dem Kreis 3, deswegen gilt fur b3 auch

b3 = y1 −√

R23 − (x1 − a3)2.

Wenn man in den obigen Ausdruck x1, a3 und y1 einsetzt, bekommt man:

b3 = −R1 cosΘ

2−

√

R23 −

(

R1 +R3 − R2

)2

sin2 Θ

2.

Man kennt also a3 und b3, falls man R1, R2, R3 kennt. Den Wert b2 kann mandann aus der obigen Gleichung finden:

b2 = b3 − (R2 − R3) cosΘ

2.

Betrachten wir wieder die Identitaten:

a3 = (R2 −R3) sinΘ2,

b3 = −R1 cosΘ2−

√

R23 −

(

R1 +R3 −R2

)2

sin2 Θ2

,

b2 = b3 − (R2 −R3) cosΘ2

,

x2 = R2 sinΘ2

, y2 = R2 cosΘ2+ b2 ,

x1 = R1 sinΘ2

, y1 = −R1 cosΘ2

.

Man hat alle Punkte gefunden, wenn man die Radien R1, R2, R3 kennt.

59

Geometrieparameter

Es seien gegebenDz der Zylinderdurchmesser ,a der Achsabstand ,s das Spiel Schnecke-Schnecke sowieδ das Spiel Schneckenkamm- Gehausewand.

Wir wollen mit deren Hilfe die Radien R1, R2, R3 finden.

R1 =Dz

2− δ , R2 +R1 = a− s .

Wahrend die erste Identitat problemlos erfullt werden kann, ist die zweitenur fur b2 = 0 richtig. Wir fordern deswegen

b2 = 0

und finden somit R3, denn

b2 = b3 − (R2 −R3) cosΘ

2= . . .

= −R1 cosΘ

2−

√

R23 −

(

R1 +R3 −R2

)2

sin2 Θ

2︸︷︷︸

b3

−(R2 −R3) cosΘ

2= 0 .

Aquivalent dazu ist

−

√

R23 −

(

R1 +R3 −R2

)2

sin2 Θ

2= (R1 +R2 − R3) cos

Θ

2.

Bemerke, dass auf der linken Seite eine negative Zahl steht. Es muss alsoR1 +R2 ≤ R3 gelten.

Weiter quadriert man beide Seiten, fasst die Terme zusammen und erhalt:

R23 − (R1 +R3 − R2)

2 sin2 Θ

2= (R1 +R2 −R3)

2 cos2Θ

2

Es bleibt ubrig

2R2R3 + 2R1R3 cosΘ = R21 +R2

2 + 2R1R2 cosΘ .

60

Man benutzt die Formel sin2 Θ2+ cos2 Θ

2= 1 und cos2 Θ

2− sin2 Θ

2= cosΘ

dabei.

Fur R3 erhalt man den Ausdruck

R3 =R2

1 +R22 + 2R1R2 cosΘ

2(

R2 +R1 cosΘ) .

Zusatzbedingung

Zusammenfassend gilt

R1 =Dz

2− δ ,

R2 = a− s− R1 ,

R3 =R2

1 +R22 + 2R1R2 cosΘ

2(

R2 +R1 cosΘ) .

Schauen wir das Bild noch mal an: Der Punkt (0, b2) liegt auf der Gerade

Abbildung 5.5: Verschiedene Positionen des Zentrums vom Kreis 3.

zwischen (a3, b3) und (x2, y2). Unsere Forderung b2 = 0 ist nur dann moglich,wenn der Punkt (a3, b3) ausserhalb des Kreises 1 liegt. Das bedeutet, dassa23 + b23 ≥ R2

1 gelten muss. Dann ist

(R2 − R3)2 sin2 Θ

2︸︷︷︸

a3

+ (R2 − R3)2 cos2

Θ

2︸︷︷︸

b3, denn b2=0.

≥ R21

61

⇒ (R2 − R3)2 ≥ R2

1 .

Man beachte, dass R3 > R2 ist. Daraus folgt ⇒ R3 − R2 ≥ R1 .

⇒ R3 ≥ R1 +R2 .

Diese Relation haben wir auch bei der Berechnung von R3 vorausgesetzt.Versuchen wir sie umzuformen:

R21 +R2

2 + 2R1R2 cosΘ

2(

R2 +R1 cosΘ)

︸︷︷︸

R3

≥ R1 +R2 ,

1

2

(

R21 +R2

2 + 2R1R2 cosΘ)

≥(

R2 +R1 cosΘ)(

R1 +R2

)

= . . .

= R21 cosΘ +R1R2 +R1R2 cosΘ +R2

2 ,

1

2R2

1 +1

2R2

2 ≥ R21 cosΘ +R2

2 +R1R2

Der Ausdruck R1 + R2 = a − s ist besonders einfach. Man nutzt ihn,indem man beide Seiten quadratisch erganzt:

1

2R2

1 +1

2R2

2 +R1R2 ≥ R21 cosΘ + (R2

2 + 2R1R2 +R21)− R2

1

⇒1

2

(

R1 +R2

)2

≥ R21(cosΘ− 1) +

(

R1 +R2

)2

⇒1

2

(

R1 +R2

)2

≤ R21(1− cosΘ) .

Wir erinneren uns, dass Θ = 2 arcsina

Dz

ist.

Dann ist 1− cosΘ = 2 sin2 Θ2= 2

( a

Dz

)2

.

Insgesamt gilt also

1

2

(

a− s)2

︸︷︷︸

(R1+R2)2

≤ 2(Dz

2− δ

)2

︸︷︷︸

R21

( a

Dz

)2

,

62

1

4

(

a− s)2

≤(Dz

2− δ

)2( a

Dz

)2

,

Dz

(

a− s)

≤ 2a(Dz

2− δ

)

,

=⇒ Dzs ≥ 2aδ .

Falls diese Bedingung verletzt ist, dann ist b2 6= 0 und somit R1+R2 6= a−s.

Im Falle der Gleichheit Dzs = 2aδ stimmen die Punkte (a3, b3) und(−x1, y1) uberein (siehe Bild 5.6), denn dann

R3 =R2

1 +R22 + 2R1R2 cosΘ

2(

R2 +R1 cosΘ) = R1 +R2 .

Abbildung 5.6: Das 1-gangiges Schneckenprofil fur die Bedingung Dzs = 2aδ.

63

5.2 2-gangiges Schneckenelement


Bezeichnungen

Der obere blaue Kreisbogen gehore zum Kreis 1. Das Zentrum des Kreisesist der Koordinatenursprung (0, 0) und der Radius ist mit R1 bezeichnet. DieGleichung des Kreises lautet x2 + y2 = R2

1. Der Endpunkt des Bogens sei(x1, y1) und der Kammwinkel sei Θ.

Der rechte blaue Kreisbogen gehore zum Kreis 2. Der Radius sei R2. DieGleichung des Kreises lautet dann x2 + y2 = R2

2. Der Anfangspunkt des Bo-gens sei bezeichnet mit (x2, y2). Der Grundwinkel sei wieder Θ.

Der rote Kreisbogen (oben rechts auf dem Bild) gehore zum Kreis 3. DasZentrum des Kreises sei mit (0, y3) bezeichnet und der Radius sei R3.

64

Geometrieparameter

Es seien gegebenDz der Zylinderdurchmesser ,a der Achsabstand ,s das Spiel Schnecke-Schnecke sowieδ das Spiel Schneckenkamm-Gehausewand.

R1 =Dz

2− δ , R2 +R1 = a− s .

Unter Annahme, dass der Kammwinkel gleich dem Nutwinkel ist, gilt

Θ =π

2− 2 arccos

a

Dz

.

Berechnungen

Der rote Kreisbogen verbindet die Punkte (x1, y1) und (x2, y2). Es gilt:

x21 + (y1 + y3)2 = R2

3,

x22 + (y2 + y3)2 = R2

3.

Somit kann man den unbekannten Punkt y3 finden. Denn

x21 + (y1 + y3)2 = x22 + (y2 + y3)

2

⇒ R21 + 2y1y3 = R2

2 + 2y2y3

⇒ y3 =R2

2 − R21

2y1 − 2y2

Die folgenden Identitaten kann man direkt aus dem Bild ablesen:

y1 = R1 cosΘ

2,

y2 = R2 sinΘ

2.

Das heißt, wir kennen jetzt auch den Radius R3:

R3 =√

x21 + (y1 + y3)2 =√

R21 + 2y1y3 + y23

65

Zusammenfassung

Die Geometrieparameter sind hier aufgelistet:

Dz der Zylinderdurchmesser ,a der Achsabstand ,s das Spiel Schnecke-Schnecke sowieδ das Spiel Schneckenkamm- Gehausewand.

R1 =Dz

2− δ , R2 +R1 = a− s , Θ =

π

2− 2 arccos

a

Dz

.

y1 = R1 cosΘ

2, y2 = R2 sin

Θ

2, y3 =

R22 −R2

1

2y1 − 2y2

R3 =√

R21 + 2y1y3 + y23

66

Kapitel 6

Numerische Resultate

Das Verfahren wurde fur vier Kunststoffe simuliert: Polyacryl (PA), Poly-carbonat (PC), Polyethylenterephthalat (PET) und Polymethylmethacrylat(PMMA). Es handelt sich um reelle Materialien und Prozesse.

Die grundlegenden Einheiten in dem Code sind: Sekunde [s], Gramm [g],Millimeter [mm]. Die Prozessparameter beinhalten u. a. die Drehzahl [s−1]sowie den Massestrom [g

s]. Diese Großen sind fur die Definition der Anfangs-

bedingung wichtig. Fur die Anstromungs-Geschwindigkeit setzen wir ein:

v0 = −2π(y − a2) · Drehzahl[s−1]

u0 = 2πx · Drehzahl[s−1]

w0 = dScale ·(a

2− r

)(

r −Dz

4

)

furDz

46 r 6

a

2und 0 sonst,

wobeiMassestrom[g

s]

[ g

mm3 ]= Volumenstrom[

mm3

s] = · · ·

=

∫

Ω

2πw0dr =π · dScale

6

(a

2+Dz

4

)(a

2−Dz

4

)3

.

⇒ dScale =Massestrom[g

s]

[ g

mm3 ]

6

π(a

2+Dz

4

)(a

2−Dz

4

)3

Die Geometrieparameter sind in allen Tests unverandert geblieben. Der Achs-abstand ist wieder mit a bezeichnet und der Gehausedurchmesser mit Dz.

Weiterhin haben wir fur die Tests nur ein Segment berechnet, ohne das vor-herige sowie das nachfolgende Element zu berucksichtigen. Dadurch habenwir die Problemgroße und die Kalkulationszeit reduziert.

67

Polyacryl (PA)

Abbildung 6.1: 2-gangiges Knetelement mit dem Versatzwinkel =π

4.

Vorgegebene Bedingungen fur den Test:

• Verfahrensdaten: Drehzahl = 10 [s−1], Massestrom ca. 70 [gs]

• Carreau Ansatz: η =61.2

(

1 + (5d− 4)‖γ‖)0.3201

• Simulationsdaten: Zeitschritt = 1d− 04, Level = 3

Abbildung 6.2: Die Geschwindigkeit nach einer 12-Drehung.

• Statistik: ca. 155[s] und 7.5 nichtlineare Iterationen pro Zeitschritt

68

Polycarbonat (PC)

Abbildung 6.3: 2-gangiges Forderelement (links) und die Druckverteilungnach zwei Drehungen (rechts).


• Verfahrensdaten: Drehzahl ca. 16.5 [s−1], Massestrom ca. 83 [gs]


(

1 + (3d− 4)‖γ‖)0.97


Abbildung 6.4: Die Temperaturverteilung nach zwei vollen Drehungen.

• Statistik: ca. 128[s] und 6 nichtlineare Iterationen pro Zeitschritt

69

Polyethylenterephthalat (PET)

Abbildung 6.5: 1-gangiges Knetelement mit dem Versatzwinkel π6(links) und

mit der Temperaturverteilung nach einer 25-Drehung (rechts).


• Verfahrensdaten: Drehzahl = 5 [s−1], Massestrom ca. 56 [gs]


(

1 + (1.08d− 4)‖γ‖)0.40184


Abbildung 6.6: Die Geschwindigkeitsverteilung nach einer 25-Drehung.

• Statistik: ca. 137.5[s] und 6.5 nichtlineare Iterationen pro Zeitschritt

70

Polymethylmethacrylat (PMMA)

Abbildung 6.7: 1-gangiges Forderelement (links) und die Druckverteilungnach einer 1

4-Drehung.


• Verfahrensdaten: Drehzahl ca. 0.8 [s−1], Massestrom = 50 [gs]


(

1 + (2d− 4)‖γ‖)0.78426


Abbildung 6.8: Die Temperaturverteilung (links) und die Geschwindigkeits-verteilung (rechts) nach einer 1

4-Drehung.

• Statistik: ca. 204[s] und 10 nichtlineare Iterationen pro Zeitschritt

71

6.1 Schlusswort

Bei der Simulation des Doppelschneckenextruders werden viele numerischeTechniken verwendet: Das Mehrgitterverfahren mit den Glattern SOR bzw.SSOR, parallelisiert mittels MPI; die Gebietszerlegung; die Methode der Fik-tiven Rander (FBM); die Algebraische Fluss Korrektur (AFC) etc.Der Umfang des Problems fordert sehr effiziente Algorithmen und eine tiefeAnalyse des Konvergenzverhaltens. Dies ist ein offenes Feld fur die Forschung.

Die Simulation erhoht das Verstandnis der Extrusionsprozesse und liefertErgebnisse zu Fragestellungen, die messtechnisch nicht zuganglich sind. DieRechnung erfordert jedoch eine gewaltige Computerkapazitat.

Abbildung 6.9: Der Druckverlauf nach einer 14-Drehung.

In der Abb. 6.9 - 6.13 sieht man das Ergebnis einer Simulation, bei der fikti-ve Werte verwendet wurden, um den Code zu testen und die Konvergenz zuuntersuchen.

• Problemgroße: Anzahl der Elementen 56544

• Verfahrensdaten: Drehzahl = 5 [s−1]

• Potenzgesetz: η = η0‖γ‖0.9


• Statistik: siehe Tabelle auf Seite 30

72

Abbildung 6.10: Die Temperaturverteilung (adiabate Zylinderwand) nacheiner 1

4-Drehung.

Abbildung 6.11: Die Temperaturverteilung (adiabate Zylinderwand) nacheiner 1

4-Drehung.

Abbildung 6.12: Die Geschwindigkeitsverteilung nach einer 14-Drehung.

73

Abbildung 6.13: Die w-Komponente der Geschwindigkeit.

Zum Schluß mochte ich noch eine Testkonfiguration auf der Abbildung 6.14vorstellen, die die Resultate der vorliegenden Arbeit illustriert und veran-schaulicht.

Abbildung 6.14: Drei gekoppelte, 2-gangige Elemente (von links nach rechts):Das Knetelement mit dem Versatzwinkel π

2, das Forderelement und das Knet-

element mit dem Versatzwinkel π4.

74

Literaturverzeichnis

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[2] St. Turek: Efficient Solvers for Incompressible Flow Problems:An Algorithmic Approach in View of Computational Aspects,Springer, 1999.

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[4] D. Braess: Finite Elemente, Springer, 2007.

[5] C. Cuvelier, A. Segal, A. A. van Steenhoven: Finite Element Methodsand Navier-Stokes Equations, D. Reidel Publishing Company, 1988.

[6] A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, Vielweg, 2008.

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[8] R. Temam: Navier-Stokes Equations. Theory and numerical analysis,Studies in mathematics and its applications (Volume 2), 1979.

[9] V. Girault, P.-A. Raviart: Finite Element Approximation of the Navier-Stokes Equations, Springer, 1979.

[10] R. P. Chhabra, J. F. Richardson: Non-Newtonian Flow in the ProcessIndustries, Butterworth-Heinemann 1999.

[11] G. Bohme: Stromungsmechanik nicht-newtonscher Fluide, Teubner,1981

[12] D. Kuzmin: A Guide to Numerical Methods for Transport Equations,Universitat Erlangen-Nurnberg, 2010.

75

[13] R. Rannacher: Numerik Partieller Differentialgleichungen,(Numerische Mathematik 2), Vorlesungsskriptum, Uni Heidelberg,http://numerik.iwr.uni-heidelberg.de/.

[14] R. Rannacher: Numerik von Problemen der Koninuumsmechanik,(Numerische Mathematik 3), Vorlesungsskriptum, Uni Heidelberg,http://numerik.iwr.uni-heidelberg.de/.

[15] St. Turek et al.: FEATFLOW . Finite element software for the incom-pressible Navier Stokes equations, User Manual, Release 1.2 (1999),www.featflow.de

[16] St. Turek, D.C. Wan, L.S. Rivkind: The Fictitious Boundary Methodfor the implicit treatment of Dirichlet boundary conditions with appli-cations to incompressible flow simulations. Lecture Notes in Computa-tional Science and Engineering, Volume 35, Springer, 2003.

[17] V. Schoppner: Verfahrenstechnische Auslegung von Extrusionsanlagen,Habilitationsschrift, Uni Paderborn, 2001.

[18] K. Kohlgruber: Der gleichlaufige Doppelschneckenextruder, Hanser,2007.

76

Ich versichere hiermit, die vorliegende Arbeit selbstandig verfasst und keineanderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet zu haben.

Tatiana Theis

Dortmund, den 15. Juli 2011

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