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#omo pode apreciar-se em cada ponto arecta tangente muda$ indicando %ue uma

função pode ter valores diferentes da

derivada em cada ponto.

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)ortanto toda função de duas variáveis x e ypode ter duas derivadas parciais,

Nome Símbolo

*erivada parcial comrespeito a x

*erivada parcial comrespeito a y

ssim$ se existeo limite.

nalogamente$

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• ssim$ toda função de n variáveis x$ x/$0$ xn pode ter n derivadas parciais.

• s derivadas parciais duma função num pontopodem, existir as todas$ existir algumas$ existir

uma soin1a ou não existir nen1uma.• ! valor de cada derivada parcial é independente

do valor da outra.

• ! valor da derivada parcial duma função comrespeito a uma variável no ponto representa ataxa de crescimento da função como resultadodo crescimento dessa variável somente$ ou se2aa in3uencia dessa variável no crescimento da

função no ponto.

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• 4m a%ueles pontos do dom'nio da funçãoonde existe a derivada parcial com respeito ax$ pode formar-se uma nova função$ %uenomearemos derivada parcial com respeito a

 x.

!nde * representa o con2unto de pontos dodom'nio de f onde f possui derivada parcialcom respeito a x.

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4xemplo

• 42emplos y / pag 676-678

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+e f  é uma função de duas variáveis$ asseus derivadas parciais f  x  y f  y  tam9ém

são funções de duas variáveis$ de modo%ue podemos considerar novamentesuas derivadas parciais f  xx , f  xy , f  yx   y

f  yy , c1amadas derivadas parciais de

segunda ordem de f .

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4xemplo,

#alcular as funções derivadas parciaisde segunda ordem da função,( )

  424 6,   y x x y x f     +=

Solução:

)rimeiro$ calculamos as primeiras derivadas parciais e depois$ apartir de estas$ as segundas derivadas parciais,

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)or analogia com as funções de uma variável$ vamosa de&nir o conceito de função diferenciável de duasvariáveis.

4m funções duma variável se de&niu comodiferenciável a toda função cu2o incremento ∆f podiaexpressar-se como a soma duma parte linear (odiferencial e um resto %ue era uma função máscomplexa a %ual dependia do incremento ∆x e %ue%uando ∆x→:$ esse resto tendia mais rapidamente a: %ue o pr;prio incremento ∆x.

Em símbolos:( )   0

x

)x(lime)x(xf )(f 

0xlinear  parte

ldiferencia

=

∆

∆ε∆ε+∆′=∆

→∆

 

aa

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4m funções de várias variáveis a de&nição ésimilar,

)ranteando a de&nição para funções de /

variáveis,Em símbolos:( ) ( )

0)y,x()y,x(lime

)y,x(y,f x,f ),(f 

)0,0()y,x(

deroelinear  parte

totalldiferencia

yx

=∆∆∆∆ε

∆∆ε+∆+∆=∆

→∆∆ 

ãointerpolaçr

bababa

.yx

) b,a(df ),(f 

∆∆

≈∆

 

esincrementodospe%uenosvalorespara

 entãovel$diferenciáéf +e   ba

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! conceito de diferencia9ilidade de funções devárias variáveis$ se 9em não diferencia-se muitodo conceito de funções duma variável$ temimportantes implicações,

•)odem existir as duas derivadas parciais dumafunção de duas variáveis e a função não serdiferenciável.

•+e uma função é diferenciável$ então é continuae possui todas as suas derivadas parciais.

•+e todas as suas derivadas parciais dumafunção são cont'nuas numa viin1ança dumponto$ então pode a&rmar-se %ue a função édiferenciável em esse ponto.

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• grá&ca duma funçãodiferenciável numponto possui 9emmais %ue duas rectastangentes no ponto detangencia$ possui umplano tangenteplano tangente.

• +uperf'cies como ocone possuem planotangente em todoponto$ excepto novértice.

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4xerc'cio para a pr;ximaaula,

• c1ar a e%uação do plano tangente "superf'cie de e%uação noponto ($