Aula01 Circuito RLCC
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Modelagem no Domnio da Frequncia
Carlos Alexandre Mello
Carlos Alexandre Mello [email protected] 1
Carlos Alexandre Mello
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Transformada de Laplace
O que so Transformadas?
Quais as mais comuns: Laplace
Fourier
Cosseno
2Carlos Alexandre Mello [email protected]
Cosseno
Wavelet
.....
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Transformada de Laplace
A transf. de Laplace representa entrada, sada e sistema como entidades separadas
A relao entre elas algbrica
Transformada de Laplace:
3Carlos Alexandre Mello [email protected]
onde s = + j uma varivel complexa
F(s) dita a transformada de Laplace de f(t)
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Transformada de Laplace
O limite inferior da integral anterior significa que mesmo que f(t) seja descontnua em t = 0, podemos comear a integrao apesar da descontinuidade, contanto que a integral convirja
Podemos assim encontrar a transf. de Laplace da funo impulso
4Carlos Alexandre Mello [email protected]
funo impulso
Transformada Inversa de Laplace
onde:
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Transformada de Laplace
Em geral, o clculo da transformada inversa bastante custoso, pois envolve o clculo de integrais complexas
Mas o conjunto de funes importantes para a rea de controle pequeno, permitindo o uso de tabelas que fazem o mapeamento dessas funes
5Carlos Alexandre Mello [email protected]
tabelas que fazem o mapeamento dessas funes e de suas transformadas
Vamos ver, a seguir, o clculo de algumas transformadas mais comuns:
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Transformada de Laplace
Algumas transformadas conhecidas
6Carlos Alexandre Mello [email protected]
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Transformada de Laplace
Propriedades
7Carlos Alexandre Mello [email protected]
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Transformada de Laplace
Exemplo 1:
8Carlos Alexandre Mello [email protected]
-
Transformada de Laplace
Exemplo 2: Transformada Inversa
Pelo teorema do deslocamento em frequncia e pela transformada de Laplace de f(t) = t.u(t):
9Carlos Alexandre Mello [email protected]
transformada de Laplace de f(t) = t.u(t):
Se: F(s) = 1/s2 f(t) = t.u(t)
e: F(s + a) = 1/(s + a)2 f(t) = e-att.u(t)
Ento: F1(s) = 1/(s + 3)2 f(t) = e-3tt.u(t)
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Transformada de Laplace
Transformada Inversa: Expanso em Fraes Parciais A Expanso em Fraes Parciais uma ferramenta
matemtica bastante til no clculo da transf. de Laplace
Objetivo matemtico: Simplificar uma funo, expandindo-a em funes de menor grau
10Carlos Alexandre Mello [email protected]
expandindo-a em funes de menor grau
Objetivo para controle: Facilitar o clculo da transf. de Laplace
Mtodos: Clearing Fractions
Heaviside Cover-Up (ou Resduos)
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Transformada de Laplace
Expanso em Fraes Parciais (Clearing Fractions) Exemplo:
11Carlos Alexandre Mello [email protected]
Fonte: aula de Sinais e Sistemas do prof. Aluzio Ribeiro.
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Transformada de Laplace
Expanso em Fraes Parciais (Heaviside Cover-Up ou Resduos) Exemplo:
12Carlos Alexandre Mello [email protected]
Fonte: aula de Sinais e Sistemas do prof. Aluzio Ribeiro.
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Transformada de Laplace
Expanso em Fraes Parciais (Uso dos dois mtodos) Exemplo:
13Carlos Alexandre Mello [email protected]
Fonte: aula de Sinais e Sistemas do prof. Aluzio Ribeiro.
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Transformada de Laplace
Expanso em Fraes Parciais Caso 1: Razes do denominador so reais e distintas
Caso 2: Razes do denominador so reais e repetidas
14Carlos Alexandre Mello [email protected]
Caso 3: Razes do denominador so complexas
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Transformada de Laplace
Uso de Transf. de Laplace: Resoluo de Equaes Diferenciais: Resolva a
seguinte equao diferencial para y(t) com todas as condies iniciais nulas
15Carlos Alexandre Mello [email protected]
A transformada de Laplace para y(t) :
que leva a:
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Transformada de Laplace
Uso de Transf. de Laplace: Resoluo de Equaes Diferenciais (cont):
Por expanso em fraes parciais:
16Carlos Alexandre Mello [email protected]
ou
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Funo de Transferncia
A funo de transferncia retrata a relao entre a sada e a entrada de um sistema
Tal relao pode ser expressa em funo da transf. de Laplace
Geralmente, as funes de entrada e sada se
17Carlos Alexandre Mello [email protected]
Geralmente, as funes de entrada e sada se relacionam atravs de uma equao diferencial linear e invariante no tempo de n-sima ordem:
onde y(t) a sada e x(t) a entrada do sistema
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Funo de Transferncia
Dada a equao diferencial linear e invariante no tempo de n-sima ordem:
Calculando a transf. de Laplace:
18Carlos Alexandre Mello [email protected]
Se as condies iniciais forem nulas:
Ou seja:
G(s) a Funo de Transferncia
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Funo de Transferncia
Funo de Transferncia como diagrama de bloco:
X(s) Y(s)
G(s)
19Carlos Alexandre Mello [email protected]
E podemos encontrar a sada de um sistema dada a entrada e sua funo de transferncia: Y(s) = G(s).X(s)
G(s)
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Funo de Transferncia
A FT de um sistema um modelo matemtico Mtodo operacional de expressar a equao diferencial
que relaciona a entrada sada do sistema
A FT uma propriedade do sistema Independe do sinal de entrada
20Carlos Alexandre Mello [email protected]
A FT relaciona a entrada sada, mas no fornece qualquer informao quanto estrutura fsica do sistema Diferentes sistemas podem ter a mesma funo de
transferncia
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Funo de Transferncia
Se a funo de transferncia de um sistema for conhecida, a sada pode ser estudada para vrias formas de entrada a fim de entender a natureza do sistema
Se a funo de transferncia for desconhecida, ela pode ser inferida experimentalmente introduzindo-
21Carlos Alexandre Mello [email protected]
pode ser inferida experimentalmente introduzindo-se sinais de entrada conhecidos e analisando o sinal de sada
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Funo de Transferncia
Quando a entrada a funo impulso, temos: Y(s) = G(s).X(s)
X(s) = 1 Y(s) = G(s)
cuja transformada inversa daria g(t)
Essa a chamada resposta impulsional do sistema e tambm sua funo de transferncia
22Carlos Alexandre Mello [email protected]
tambm sua funo de transferncia
Portanto, possvel obter informao completa sobre as caractersticas de um sistema excitando-o com um impulso unitrio e medindo a sua resposta
Na prtica, seria um pulso de durao bastante curta
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Funo de Transferncia
Diagrama de blocos Representao grfica das funes desempenhadas por
cada um dos componentes de um sistema e do fluxo de sinais entre eles
Todas as variveis so ligadas umas s outras atravs de blocos funcionais
23Carlos Alexandre Mello [email protected]
de blocos funcionais O bloco traz a representao matemtica da operao aplicada
sobre a entrada que leva sada
A representao em diagramas de bloco de um sistema no nica
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Funo de Transferncia
Diagrama de blocos Elementos:
G(s)XX(s) E(s) Y(s)
Ponto de Soma
Ponto de Ramificao
24Carlos Alexandre Mello [email protected]
G(s)X+ -X(s) E(s) Y(s)
Sistema de malha fechada
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Funo de Transferncia
Diagrama de blocos Outros tipos:
G(s)X+ -X(s) E(s) Y(s)
25Carlos Alexandre Mello [email protected]
H(s)
B(s)
Y(s) = E(s)G(s) = [X(s) B(s)]G(s) = [X(s) Y(s)H(s)]G(s)
Y(s) + Y(s)H(s)G(s) = X(s)G(s)
Y(s)/X(s) = G(s)/[1 + H(s)G(s)] (Funo de Transferncia do sistema)
-
Funo de Transferncia
Diagrama de blocos Outros tipos:
G1(s)X+ -X(s) Y(s)
G2(s)X++
PerturbaoD(s)
26Carlos Alexandre Mello [email protected]
H(s)
B(s)
Se D(s) = 0:
Y(s)/X(s) = G1(s)G2(s)/[1 + G1(s)G2(s)H(s)] (Funo de Transferncia do sistema)
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Funo de Transferncia
Exemplo 1: Ache a funo de transferncia do sistema representado por: dy(t)/dt +2y(t) = x(t)
Soluo: Tomando a transf. de Laplace:
sY(s) + 2Y(s) = X(s)
(s + 2)Y(s) = X(s)
27Carlos Alexandre Mello [email protected]
(s + 2)Y(s) = X(s)
G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)
-
Funo de Transferncia
Exemplo 2: Dada a funo de transferncia anterior, ache a resposta do sistema para um degrau unitrio; considere nulas as condies iniciais: x(t) = u(t)
G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)
28Carlos Alexandre Mello [email protected]
G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)
X(t) = u(t) X(s) = 1/s
Logo: Y(s) = G(s).X(s)
Y(s) = 1/[s.(s + 2)]
Y(s) = 0,5/s 0,5/(s + 2) Expanso em Fraes Parciais
y(t) = 0,5 0,5e-2t
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Funo de Transferncia
Exemplo 2 (cont.): Soluo total pelo MatLab
29Carlos Alexandre Mello [email protected]
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Funo de Transferncia
Exerccio 1: Ache a funo de transferncia da equao diferencial:
Soluo: Tomando a transf. de Laplace:
30Carlos Alexandre Mello [email protected]
Soluo: Tomando a transf. de Laplace: Y(s)(s3 + 3s2 + 7s + 5) = X(s)(s2 + 4s + 3)
Logo: G(s) = Y(s)/X(s) = (s2 + 4s + 3)/(s3 + 3s2 + 7s + 5)
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Funo de Transferncia
Exerccio 2: Ache a equao diferencial correspondente seguinte funo de transferncia: G(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)
Soluo:
31Carlos Alexandre Mello [email protected]
G(s) = Y(s)/X(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)
Logo: Y(s)(s2 + 6s + 2) = X(s)(2s + 1)
s2Y(s) + 6sY(s) + 2Y(s) = 2sX(s) + X(s)
d2y/dt2 + 6dy/dt + 2y = 2dx/dt + x
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Funo de Transferncia
Exerccio 3: Ache a resposta a uma rampa para um sistema cuja funo de transferncia : G(s) = s/[(s + 4)(s + 8)]
Soluo:
32Carlos Alexandre Mello [email protected]
Logo:
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Modelagem matemtica de circuitos eltricos Resistores, capacitores e indutores
Componentes so combinados em circuitos e encontramos a funo de transferncia
33Carlos Alexandre Mello [email protected]
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Rede RLC Problema: Encontrar a funo de transferncia que
relaciona a voltagem do capacitor (Vc(s)) com a voltagem de entrada (V(s))
34Carlos Alexandre Mello [email protected]
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Rede RLC Somando as voltagens no lao e considerando nulas as
condies iniciais, temos a seguinte equao diferencial para essa rede:
35Carlos Alexandre Mello [email protected]
Considerando:
Temos:
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Rede RLC
A voltagem de um capacitor dada por:
Temos assim:
Ou seja:
36Carlos Alexandre Mello [email protected]
Calculando a Transformada de Laplace:
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Rede RLC
Ou:
37Carlos Alexandre Mello [email protected]
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Para simplificar, vamos considerar a transf. de Laplace das equaes de voltagem da tabela anterior (assumindo nulas as condies iniciais): Capacitor:
Resistor:
38Carlos Alexandre Mello [email protected]
Resistor:
Indutor:
Definimos, assim, a seguinte funo de transferncia:
Impedncia
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Rede RLC:
Podemos entender Z(s) como a soma das impedncias e V(s) como a soma das voltagens. Assim:
39Carlos Alexandre Mello [email protected]
e V(s) como a soma das voltagens. Assim: [Soma das Impedncias].I(s) = [Soma das Voltagens]
Circuito
transformado
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Rede RLC: Resolvendo o problema anterior usando impedncias:
Temos:
Logo:
40Carlos Alexandre Mello [email protected]
Como:
Assim:
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Rede RLC: Ou:
41Carlos Alexandre Mello [email protected]
Como encontrado anteriormente....
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Malha Substitua elementos passivos por funes de
impedncia
Substitua fontes e variveis de tempo por suas transf. de Laplace
Assuma uma corrente transformada e uma direo de
42Carlos Alexandre Mello [email protected]
Assuma uma corrente transformada e uma direo de corrente em cada malha
Aplique a lei de Kirchhoff para cada malha
Resolva as equaes simultneas para a sada
Forme a funo de transferncia
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Malha Exemplo:
43Carlos Alexandre Mello [email protected]
Malha 1 Malha 2
G(s) = I2(s)/V(s) = ?
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Malha Exemplo (cont.): Passo 1: Impedncias
44Carlos Alexandre Mello [email protected]
Malha 1 Malha 2
Malha 1:
Malha 2:
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Malha Exemplo (cont.): Temos:
45Carlos Alexandre Mello [email protected]
De (2):
Substituindo em (1):
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Malha Exemplo (cont.): Ou:
46Carlos Alexandre Mello [email protected]
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Malha Exemplo (cont.): Observe que as equaes paras as
malhas 1 e 2 seguiram um mesmo padro usado anteriormente. Ou seja:
Malha 1: I (s) - I (s) = Soma das Soma das Soma das
47Carlos Alexandre Mello [email protected]
Malha 1: I1(s) - I2(s) = Soma das
Impedncias
da Malha 1
Soma das
Impedncias
comuns
Soma das
Voltagens da
Malha 1
Malha 2: I1(s) + I2(s) = Soma das
Impedncias
comuns
Soma das
Impedncias
da Malha 2
Soma das
Voltagens da
Malha 2
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Ns: Exemplo: Encontrar a funo de transferncia Vc(s)/V(s)
para o circuito abaixo, usando anlise de ns:
48Carlos Alexandre Mello [email protected]
Nesse caso, usamos a soma das correntes nos ns ao invs da soma das voltagens nas malhas
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Ns: Exemplo (cont.): Da figura anterior, as somas das
correntes nos ns VL(s) e VC(s) so, respectivamente:
49Carlos Alexandre Mello [email protected]
Expressando as resistncias em termos de condutncia G1 = 1/R1 e G2 = 1/R2
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Ns: Exemplo (cont.): Assim:
50Carlos Alexandre Mello [email protected]
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Ns: Substitua elementos passivos por funes de admitncia
Y(s) = 1/Z(s) = I(s)/V(s) (admitncia = inverso da impedncia)
Substitua fontes e variveis de tempo por suas transf. de Laplace
Substitua as fontes de voltagem transformadas por fontes de corrente transformadas
51Carlos Alexandre Mello [email protected]
corrente transformadas
Aplique a lei de Kirchhoff para cada n
Resolva as equaes simultneas para a sada
Forme a funo de transferncia
Teorema de Norton Uma fonte de tenso V(s) em srie com uma impedncia
ZS(s) pode ser substituda por uma fonte de corrente I(s) = V(s)/ZS(s), em paralelo com ZS(s)
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Ns: Exemplo: Ache a funo de transferncia VC(s)/V(s) usando
anlise de ns e circuito transformado com fontes de corrente
Circuito Original:
52Carlos Alexandre Mello [email protected]
Circuito Original:
Circuito Transformado:
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Ns: Exemplo (cont.): Todas as impedncias so convertidas para admitncias
Todas as fontes de tenso so convertidas para fontes de corrente colocadas em paralelo com admitncia de acordo com o teorema de Norton
53Carlos Alexandre Mello [email protected]
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Ns: Exemplo (cont.): Como Y(s) = I(s)/V(s) I(s) = Y(s)V(s)
Somando as correntes no n VL(s) temos:
54Carlos Alexandre Mello [email protected]
Somando as correntes no n VC(s) temos:
Combinando essas equaes, encontramos, como antes:
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Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Anlise de Ns: Exemplo (cont.): Como antes, tambm temos um padro:
N 1: VL(s) - VC(s) =
Soma das
Admitncias
conectadas
Soma das
Admitncias
comuns aos
Soma das
Correntes
aplicadas no
55Carlos Alexandre Mello [email protected]
conectadas
no N 1
comuns aos
Ns
aplicadas no
N 1
N 2: VL(s) + VC(s) =
Soma das
Admitncias
comuns aos
Ns
Soma das
Admitncias
conectadas
ao N 2
Soma das
Correntes
aplicadas no
N 2
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Exemplo:
Malha 3
56Carlos Alexandre Mello [email protected]
Malha 1 Malha 2
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Exemplo (cont.):
Malha 1:
Malha 2:
Soma das
Impedncias
na Malha 1
I1(s) - I2(s) - I3(s) =
Soma das
Impedncias
comuns s
Malhas 1 e 2
Soma das
Impedncias
comuns s
Malhas 1 e 3
Soma das
voltagens
aplicadas
Malha 1
Soma das
Impedncias - I (s) + I (s) - I (s) = Soma das
Soma das
Impedncias
Soma das
voltagens
57Carlos Alexandre Mello [email protected]
Malha 2:
Malha 3:
Impedncias
comuns s
Malhas 1 e 2
- I1(s) + I2(s) - I3(s) = Soma das
Impedncias
na Malha 2
Impedncias
comuns s
Malhas 2 e 3
voltagens
aplicadas
Malha 2
Soma das
Impedncias
comuns s
Malhas 1 e 3
- I1(s) - I2(s) + I3(s) =
Soma das
Impedncias
comuns s
Malhas 2 e 3
Soma das
Impedncias
na Malha 3
Soma das
voltagens
aplicadas
Malha 3
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Exemplo (cont.): Malha 1: (2s + 2)I1(s) (2s + 1)I2(s) I3(s) = V(s)
Malha 2: -(2s + 1)I1(s) + (9s + 1)I2(s) 4sI3(s) = 0
Malha 3: -I1(s) 4sI2(s) + (4s + 1 + 1/s)I3(s) = 0
As 3 equaes devem ser resolvidas simultaneamente para encontrarmos as funes de transferncia
58Carlos Alexandre Mello [email protected]
para encontrarmos as funes de transferncia desejadas (como I3(s)/V(s), por exemplo)
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Exemplo (cont.):(2s + 2)I1 (2s + 1)I2 I3 = V (1)
-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 4sI3 = 0 (2)
-I1 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0 (3)
De (3):
I = -4sI + (4s + 1 + 1/s)I (4)
59Carlos Alexandre Mello [email protected]
I1 = -4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 (4)
Substituindo (4) em (2):
(2s + 1)[4sI2 - (4s + 1 + 1/s)I3] + (9s + 1)I2 4sI3 = 0
I2 = -I3(8s2 + 10s + 3 + 1/s)/(8s2 + 13s + 1) (5)
Substituindo (5) em (4), achamos I1 em funo apenas de I3. Assim, temos em (1), I1 e I2 em funo de I3 e podemos isolar I3 e calcular a funo de transferncia I3/V.
-
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
Exemplo (cont.): No MatLab(2s + 2)I1 (2s + 1)I2 I3 = V
-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 4sI3 = 0
-I1 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0
60Carlos Alexandre Mello [email protected]
MatLab Symbolic Toolbox
-
Amplificador Operacional
Os amplificadores operacionais so amplificadores de
acoplamento direto, de alto ganho, que usam
realimentao para controle de suas caractersticas
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
61Carlos Alexandre Mello [email protected]
realimentao para controle de suas caractersticas
-
Amplificador Operacional
Amplificador
operacional
Amplificador
operacional
inversor
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
62Carlos Alexandre Mello [email protected]
Amplificador
operacional
como funo
de transferncia
-
Amplificador Operacional
Caractersticas:
Entrada diferencial: v2(t) v1(t)
Alta impedncia de entrada: Z (ideal)
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
63Carlos Alexandre Mello [email protected]
Alta impedncia de entrada: Zi (ideal)
Baixa impedncia de sada: Zo 0 (ideal)
Alta constante de ganho de amplificao: A (ideal)
A sada dada por: vo(t) = A(v2(t) v1(t))
-
Amplificador Operacional Inversor Se v2(t) est aterrado, o amplificador chamado de
inversor porque passamos a ter: vo(t) = -Av1(t)
Na configurao da figura c anterior, a funo de transferncia do amplificador operacional inversor :
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
64Carlos Alexandre Mello [email protected]
-
Exemplo: Ache a funo de transferncia Vo(s)/Vi(s) para o circuito abaixo:
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
65Carlos Alexandre Mello [email protected]
-
Exemplo (cont.): Como a admitncia de componentes paralelos se
somam, Z1(s) o inverso da soma das admitncias ou:
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
66Carlos Alexandre Mello [email protected]
Para Z2(s) as impedncias se somam:
Assim:
Compensador PID
-
Amplificador Operacional No Inversor
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
67Carlos Alexandre Mello [email protected]
-
Amplificador Operacional No Inversor: Exemplo: Ache Vo(s)/Vi(s)
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
68Carlos Alexandre Mello [email protected]
-
Amplificador Operacional
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
69Carlos Alexandre Mello [email protected]
-
Amplificador Operacional
Funo de Transferncia de Circuitos Eltricos
70Carlos Alexandre Mello [email protected]
-
Exerccios Sugeridos (Nise)
Cap. 2, Problemas:
1, 2, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20a
No MatLab:
5, 6, 14, 20b
71Carlos Alexandre Mello [email protected]
5, 6, 14, 20b
-
Aproximaes Lineares de Sistemas Fsicos
Carlos Alexandre Mello
Carlos Alexandre Mello [email protected] 72
Carlos Alexandre Mello
-
Linearizao
Embora muitos sistemas sejam vistos como lineares eles so, de fato, lineares em intervalos
Se o sistema operar em torno de um ponto de equilbrio e os sinais envolvidos tiverem pequena amplitude, possvel aproximar o sistema no-linear por um linear
73Carlos Alexandre Mello [email protected]
linear por um linear Ambos sero considerados equivalentes dentro de um
conjunto limitado de operaes
-
Linearizao
Um sistema definido linear em termos da excitao e da resposta do sistema
No caso de uma rede eltrica, a excitao a corrente de entrada e a resposta a tenso
Em geral, uma condio necessria para um
74Carlos Alexandre Mello [email protected]
Em geral, uma condio necessria para um sistema ser linear pode ser determinada em termos de uma excitao x(t) e uma resposta y(t)
Quando o sistema est em repouso e sujeito a uma
excitao x1(t), ele prov uma resposta y1(t); quando ele
sujeito a uma exitao x2(t), ele gera uma resposta
y2(t)
-
Linearizao
Para um sistema ser linear, necessrio que a
excitao x1(t) + x2(t) gere uma resposta y1(t) +
y2(t)
Isso normalmente chamado de princpio da superposio
75Carlos Alexandre Mello [email protected]
superposio
Mais ainda, um fator de escala de magnitude deve
ser preservado em um sistema linear
Para um sistema com entrada x(t) e sada y(t), se
a entrada multiplicada por uma constante ,
ento a sada tambm ser multiplicada por
Essa propriedade chamada de homogeneidade
-
Linearizao
Um sistema linear satisfaz as propriedades de
superposio e homogeneidade
y = x2 no linear porque no satisfaz a condio de
superposio
y = mx + b no linear porque no satisfaz a condio
76Carlos Alexandre Mello [email protected]
y = mx + b no linear porque no satisfaz a condio
de homogeneidade
No entanto, esse segundo caso pode ser
considerado linear sob um ponto x0, y0, se as
mudanas x e y forem pequenas
-
Linearizao
Quando x = x0 + x e y = y0 + y, temos:
y = mx + b
ou
y0 + y = mx0 + mx + b
Para y = mx, as condies necessrias so
77Carlos Alexandre Mello [email protected]
Para y = mx, as condies necessrias so
satisfeitas
-
Assim, a ideia linearizar um sistema no linear
assumindo condies de sinais pequenas
Considere uma excitao x(t) e uma resposta y(t)
A relao entre as duas variveis pode ser escrita
como y = g(x(t))
LinearizaoAproximao Linear de Modelos Matemticos No Lineares
78Carlos Alexandre Mello [email protected]
como y = g(x(t))
O ponto de operao normal considerado x0 Como a curva (funo) contnua sobre uma rea
de interesse, uma expanso em srie de Taylor
sobre o ponto de operao pode ser usada
-
Uma expanso em srie de Taylor a expanso de uma srie de funes ao redor de um ponto
Uma srie de Taylor de uma dimenso uma
expanso de uma funo real f(x) ao redor do
LinearizaoAproximao Linear de Modelos Matemticos No Lineares
79Carlos Alexandre Mello [email protected]
expanso de uma funo real f(x) ao redor do
ponto em que x assume um valor qualquer (a,
por exemplo)
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Temos ento:
ou:
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Apenas notaes diferentes...
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A inclinao sob o ponto de operao
uma boa aproximao para a curva sobre uma
pequena extenso de (x x )
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pequena extenso de (x x0)
Assim, uma aproximao razovel :
onde m a inclinao no ponto de operao x0
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Temos assim a equao linear:
ou y = mx
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Resumo:
Base: Expanso em Srie de Taylor Considere um sistema com entrada x(t), sada y(t) e
relao y = f(x)
Se a condio de operao normal corresponde a x0 e y , ento a relao entre x e y pode ser expandida como
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y0, ento a relao entre x e y pode ser expandida como srie de Taylor como:
com as derivadas avaliadas em (x x0). Se a variao de (x x0) for pequena, podemos desprezar os
termos de ordem mais elevada
(1)
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Assim, a Equao 1 pode ser re-escrita como:
onde:
(2)
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A equao 2 pode ainda ser re-escrita como:
Ou seja, (y y0) proporcional a (x x0)
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Com isso, temos uma aproximao linear para o modelo no-linear dado
Considere agora um sistema no-linear cuja sada y funo de duas entradas x1 e x2: y = f(x1, x2)
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1 2
Expandindo em srie de Taylor em torno de x1 e x2:
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O modelo matemtico linear desse sistema no-linear, nas proximidades das condies normais de operao dado por:
onde:
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onde:
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Se as condies de operao variam muito, essas
equaes linearizadas no so adequadas e as
equaes no lineares devem ser usadas
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Exemplo 1: Modelo de Oscilao de Pndulo
Considere o pndulo abaixo:
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O torque na massa M : T = MgL sen, onde g a gravidade
A condio de equilbrio para a massa em 0=0o
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Exemplo 1 (cont.):
A relao entre T e pode ser vista graficamente abaixo:
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Exemplo 1 (cont.):
A primeira derivada calculada no ponto de equilbrio prov a aproximao linear:
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E, quando T0 = 0, temos:
que uma aproximao razovel para entre -/4 e /4
Cerca de 5% de erro para = /6
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Exemplo 2: Linearize a equao no linear z=xy na regio 5 x 7, 10 y 12. Encontre o erro para o caso em que a equao linearizada seja utilizada para calcular o valor de z quando x = 5 e y = 10.
Soluo: Como a regio considerada 5 x 7, 10 y 12, escolhemos x = 6 e y = 11.
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10 y 12, escolhemos x0 = 6 e y0 = 11.
Assim, z0 = x0.y0 = 6.11 = 66
Expandindo a equao no linear em uma srie de Taylor prxima do ponto x0 = 6 e y0 = 11 e desprezando os termos de ordem mais elevada, temos:
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LinearizaoAproximao Linear de Modelos Matemticos No Lineares
Exemplo 2 (cont.):
Onde:
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Logo:
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LinearizaoAproximao Linear de Modelos Matemticos No Lineares
Exemplo 2 (cont.):
Quando x = 5 e y = 10 o valor de z dado pela equao linearizada 49, enquanto o valor exato seria 50
Isso d um erro de 2%
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Isso d um erro de 2%
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LinearizaoLinearizando uma equao diferencial
Circuito Eltrico No-Linear Problema: Encontrar a funo de transferncia
VL(s)/V(s) para o circuito abaixo, o qual contm um resistor no-linear cuja relao entre corrente e tenso dada por ir = 2e
0,1vr, onde ir e vr so a corrente e tenso do resistor respectivamente
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do resistor respectivamente
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LinearizaoLinearizando uma equao diferencial
Circuito Eltrico No-Linear Pela lei das malhas, temos:
Ou seja:
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Considerando i0 como a corrente de equilbrio, tomamos uma pequena variao, assim, i = i0 + i
Logo:
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LinearizaoLinearizando uma equao diferencial
Circuito Eltrico No-Linear Precisamos agora linearizar :
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Assim, a equao diferencial fica:
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LinearizaoLinearizando uma equao diferencial
Circuito Eltrico No-Linear Vamos analisar a condio de equilbrio
Se a fonte v(t) for ajustada para zero, teremos apenas a bateria de 20V em srie com o indutor e o resistor no-linear
No estado estacionrio, a tenso sobre o indutor ser
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No estado estacionrio, a tenso sobre o indutor ser zero j que vL(t) = Ldi/dt e di/dt = 0 no estado estacionrio, com a bateria constante
Assim, a tenso do resistor 20V
Como ir = 2e0,1vr, ento ir = 2e
0,1.20 = 14,78 amps = i0
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LinearizaoLinearizando uma equao diferencial
Circuito Eltrico No-Linear Agora, voltando para a equao diferencial aps a
linearizao com L = 1 e i0 = 14,78
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Obs: 10*ln(14,78/2) 20
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LinearizaoLinearizando uma equao diferencial
Circuito Eltrico No-Linear A tenso no indutor dada por:
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Como:
Ento:
Para pequenos valores ao redor de i = 14,78 amps
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A Seguir....
Modelagem no Domnio do Tempo
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