Aula sobre triângulos
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Definição Dado três pontos A, B e C não-colineares, chama-setriângulo ABC a figura plana constituída pela reuniãodos segmentos AB, AC e BC e pelos pontos interiores àregião que eles determinam.
A
B
C
Elementos principais
A figuramostra o triângulo ABC. Nele, destacamos
A
B
C
a
b
c
os vértices A, B e C
os lados e suas medidas:
AB = c, AC = b e BC = a
os ângulos internos
A, B e C.
ângulo externo ()
Quanto à medida de seus lados
Triângulo escaleno
A
B
C
a
b
c
As medidas dos três lados são diferentes (a ≠ b, b ≠ c e a ≠ c)
As medidas dos três ângulo são diferentes A ≠ B ≠ C.
Quanto à medida de seus lados
Triângulo isóscelesA
B C
xx
Pelo menos dois de seus lados são iguais (AB = AC = x).
o lado BC não-congruente aos outros, é chamado de base.
os ângulos B e C são os ângulos da base e o ângulo A é o
ângulo no vértice.
Quanto à medida de seus lados
Triângulo eqüiláteroA
B C
xx
Todos os lados são iguais (AB = AC = BC = x).
os ângulos A, B e C, também, são todos iguais
(60º).
x
Quanto à medida de seus ângulos internos
Triângulo acutângulo
A
B
C
As medidas dos três ângulos internos são agudos
(A < 90º, B < 90º e C < 90º)
Quanto à medida de seus ângulos internos
Triângulo retângulo
A B
C
A medida de um de seus ângulos internos é reto. (A = 90º)
O lado BC é chamado de hipotenusa; os outros dois
são chamados catetos.
Quanto à medida de seus ângulos internos
Triângulo obtusângulo
AB
C
A medida de um de seus ângulos internos é obtuso. (A > 90º)
Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um triângulo é constante eigual a 180º.
A
C
B
r
A + B + C = 180º
+ C + = 180º
= A e = B
⇒
r // AB
Medida do ângulo externo
Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dosdois ângulos internos não-adjacentes.
A
C
B
+ C = 180º
A + B + C = 180º
( I )
( II )
⇒
+ C = A + B + C
⇒
= A + B
Medida do ângulo externo
Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dosdois ângulos internos não-adjacentes.
f
A
C
B
e = A + B
g
e
f = A + C
g = B + C
Exemplo
Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD.Calcular amedida x do ângulo indicado.
B
A
D
76º 115º
C
x
y y76 + y = 115 y = 39º⇒
115 + y = x
115 + 39 = x
x = 154º⇒
Mediana
Une o vértice ao pontomédio do lado oposto.
B
A
CM
AM é mediana
BM = CM
⇒
M é o ponto médio do segmento BC.
Altura
Une o vértice ao lado oposto (ou a seu prolongamento) e éperpendicular à reta suporte desse lado.
B
A
CH
AH é altura
AH é perpendicular a BC
⇒
Bissetriz interna
Une o vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo dessevértice em dois ângulos congruentes.
B
A
CS
AS é bissetriz
Mediatriz Chama-se mediatriz de um segmento AB a reta m
perpendicular a AB, passando pelo seu pontomédio.
A
m
BM A reta m é mediatriz
AM = BM
⇒
Triângulo isósceles
A
B C
xx
a altura AM relativa à base é também mediana e
bissetriz interna.
M
Triângulo eqüiláteroA
B C
NP
Em cada vértice, a mediana, a altura e a bissetriz interna
coincidem e são todas congruentes (AM = BN = CP).
M
Relacionando lados e ângulos
A trigonometria tem sua origem na necessidade de
relacionar lados e ângulos de um triângulo.
a hipotenusa BC = a
A
B
C
a
b
c
o cateto AC = b
o cateto AB = c
A = 90º
B + C = 90º
Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
ca2 = b2 + c2
⍺
cateto oposto a ⍺
hipotenusa=sen ⍺ =
c
a
cateto adjacente a ⍺
hipotenusa=cos ⍺ =
b
a
Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
ca2 = b2 + c2
⍺
cateto oposto a ⍺=tg ⍺ =
c
bcateto adjacente a ⍺
os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões
trigonométricas do ângulo ⍺.
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obteras razões trigonométricas do ângulo B.
12 16
A
BC
Teorema de Pitágoras
BC2 = AB2 + AC2
x2 = 162 + 122
x2 = 256 + 144
x2 = 400
x = 20
20
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obteras razões trigonométricas de B.
cateto oposto a B
hipotenusasen B = =
12
20=
3
5= 0,6
cateto adjac. a B
hipotenusa
cos B = =16
20=
4
5= 0,8
12 16
A
BC20
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obteras razões trigonométricas de B.
cateto oposto a B
cateto adjac. a Btg B = =
12
16
=3
4= 0,75
12 16
A
BC20
Exemplos
Calcular os ângulos agudos de um triânguloretângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.
5 cm16
6 cm
x
y
tg y =6
5= 1,2 ⇒ y ≈ 50º
x + y = 90º
⇒ x ≈ 40º
Ângulos complementares
A
B
C
5
4
3
⍺ + = 90º
⍺
tg ⍺ =3
4
⇒Os ângulos ⍺ e são
complementares
sen ⍺ =3
5cos ⍺ =
4
5
tg =4
3sen =
4
5cos =
3
5
Ângulos complementares
A
B
C
a
b
c
⍺ + = 90º
⍺
tg ⍺ =1
tg
⇒Os ângulos ⍺ e são
complementares
sen ⍺ = cos cos ⍺ = sen
Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
1tg
½ cos
½ sen
60º 45º 30º
√2/2
√2/2
√3/2
√3/2
√3/3 √3
Exemplos
A partir dos dados apresentados na figura,determinar as medidas indicadas por x e y.
x16
y
30º
sen 30º =x
12⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm
cos 30º =y
12⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm
Exemplos
Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulosem B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º eBDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valoresde x, y e z.
30ºAB
C
D
x
y
z 2 cm
60º
b/a
c/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos
deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
sen ⍺
cos ⍺= =
b
a.
a
c=
b
c= tg ⍺
tg x =sen x
cos x
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é
igual a 3/5, determine o co-seno e a tangente
desse ângulo.
sen2 x + cos2 x
⇒3
5+
2
cos2 x = 1
⇒9
25+ cos2 x = 1
⇒9
25–cos2 x = 1 =
25 – 9
25
⇒ cos x =
=16
25
± 4/5 ⇒ cos x = 4/5
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é
igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-
tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
tg x =sen x
cos x=
3
5
4
5
=3
4