Aula - RNP
Transcript of Aula - RNP
e-Te
c Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
Vamos conhecer mais sobre triângulos!
Ricardo Ferreira Paraizo
Aula
18
Fonte: http://cache02.stormap.sapo.pt/fotostore02/fotos//f1/87/c6/2062166_dfCBk.png
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
447
Meta
Apresentar a trigonometria básica.
Objetivos
Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:
1. aplicar as relações trigonométricas (triângulo
retângulo);
2. aplicar o Teorema de Pitágoras;
3. aplicar a lei do seno e a lei do cosseno;
4. aplicar o teorema da área de um triângulo
qualquer.
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
447Breve histórico sobre a trigonometria
A palavra “trigonometria” é formada por três radicais gregos: TRI (três), GONO
(ângulo) e METREIN (medir). Daí vem o seu significado: medida de triângulos. Trata-
se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.
Apesar de os egípcios e os babilônios terem utilizado as relações existentes
entre lados e ângulos dos triângulos para resolver problemas, foi a atração pelo
movimento dos astros que impulsionou a evolução da trigonometria. Daí que,
historicamente, a trigonometria surge muito cedo associada à Astronomia na
construção de relógios de sombra.
Hoje, a trigonometria é usada em muitas situações e não se limita apenas à
Astronomia e ao estudo de triângulos. Encontramos diferentes aplicações na
Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na
Música.
Agora vamos conhecer o triângulo retângulo e as suas relações trigonométricas.
Figura 18.1: Existem vários tipos de relógios de sombra. A obtenção dos valores dos ângulos
entre as marcações dos horários e o consequente traçado do mostrador de um relógio clássico
podem ser feitos geometricamente ou através da utilização da trigonometria.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
448
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
449O triângulo retângulo
O triângulo retângulo é formado utilizando-se dois lados perpendiculares entre si,
chamados de catetos (b e c), e um outro lado, chamado de hipotenusa (a). A partir
dessa forma, muitos teoremas importantíssimos foram construídos e um dos mais
importantes é o Teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras talvez seja o mais importante teorema de toda a
matemática. Com ele pode-se descobrir a medida de um lado de um triângulo
retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados. Pitágoras disse:
“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
Portanto: a2 = b2 + c2.
Figura 18.2: O triângulo retângulo. A soma dos ângulos α e β é igual a 90º.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
448
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
449
Em qualquer triângulo retângulo essa regra se aplica. Lembre-se de que triângulos
retângulos são triângulos que têm um ângulo interno medindo 90º. É possível
utilizar a regra de Pitágoras em praticamente todas as figuras geométricas planas,
pois de alguma forma elas podem ser divididas em triângulos.
Vamos ver o exemplo de um quadrado. Podemos determinar a medida da bissetriz
de um ângulo interno usando a mesma fórmula. Basta perceber que a BISSETRIZ
seria a hipotenusa de um triângulo inscrito no quadrado:
Curiosidade
Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que
nasceu no ano de 580 a.C., na cidade de Samos.
Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona
(colônia grega na península itálica), cujos princípios
foram determinantes para a evolução geral da
matemática e da filosofia ocidental, em que os
principais enfoques eram: harmonia matemática e a
doutrina dos números. Aliás, Pitágoras foi o criador
da palavra “filósofo”.
Segundo o pitagorismo, a essência, que é o
princípio fundamental que forma todas as coisas,
é o número. Os pitagóricos não distinguem forma,
lei e substância, considerando o número o elo entre
esses elementos. Para essa escola existiam quatro
elementos: terra, água, ar e fogo.
BISSETRIZ
É a semi-reta que divide um ângulo em dois
ângulos congruentes.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
450
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
451
Assim temos: h2 = a2 + b2.
Figura 18.3: Triângulo inscrito em um quadrado
de lados a e b.
Atende ao Objetivo 2Atividade 1
Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a 3 6 m?
Atende ao Objetivo 2Atividade 2
O perímetro de um losango mede 20 cm e uma das diagonais mede 8 cm. Quanto
mede a outra diagonal?
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
450
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
451Relações trigonométricas (triângulo retângulo)
Tendo como base o triângulo retângulo da Figura 18.2, podemos definir algumas
relações que envolvem os ângulos do triângulo retângulo. São elas o seno, o
cosseno e a tangente. Definimos essas linhas trigonométricas da seguinte forma:
Sendo a = Hipotenusa; b = Cateto adjacente ao ângulo α; c = Cateto oposto ao
ângulo α, podemos, então, definir:
sen α = cateto oposto a
hipotenusaca
α=
cos α = cateto adjacente a
hipotenusaba
α=
tg α = cateto oposto a
cateto adjacente asen c
bα
ααα
= =cos
Relações fundamentais da trigonometria
Agora vamos mostrar algumas relações importantes para a aplicação da trigonometria:
1. sen²α+cos²α = 1
Vamos mostrar a validade desta relação num triângulo ABC, retângulo em A.
Veja:
Consideremos um ângulo α de vértice C, como mostra a figura a seguir:
Figura 18.4: Triângulo retângulo ABC, com um ângulo α de vértice C.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
452
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
453 Lembrando o Teorema de Pitágoras, a² = b² + c², temos:
sen²α + cos² α = ca
ba
b ca
aa
+
= + = =2 2
2 1² ² ²
²
2. sen α = cos (90° – α)
O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar. Vamos mostrar
a validade dessa igualdade num triângulo retângulo ABC. Consideremos um
ângulo α de vértice C, como mostra a figura a seguir:
Sabemos que α + β = 90°.
Daí temos: β = 90° - α.
Se senca
α = e cos β = ca, logo senα = cosβ.
Ou seja, sen α = cos (90° - α).
Essa relação vale para qualquer ângulo.
Exemplos:
1. sen 30° = cos (90º - 30º) = cos 60º;
2. sen 20° = cos (90º - 20º) = cos 70º.
Figura 18.5: Triângulo retângulo ABC.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
452
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
453
Vejamos outros exemplos:
3. Calcule x na figura a seguir:
Atenção!
Os ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem com frequência em muitos problemas
de trigonometria. Para as razões trigonométricas relacionadas a esses ângulos,
é mais conveniente usar os valores indicados na tabela a seguir:
Razão Trigonométrica 30o 45o 60o
sen12
22
32
cos3
222
12
tg33
1 3
Figura 18.6: Projeto de uma peça metálica.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
454
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
455 Onde se deve fazer a inclinação para obter um ângulo de 25°?
tgCateto oposto
Cateto adjacente x
xx x
2520
0 46620
0 466 20
0 = =
= ⇒ = ⇒, , == ⇒ =200 466
42 91,
,x
4. Calcule a altura do prédio indicado na figura a seguir:
Figura 18.7: Veja a trigonometria ajudando você a calcular uma distância inacessível!
Atende ao Objetivo 1Atividade 3
O triângulo ABC é retângulo em Â. Se o seno do ângulo B é 0.8, calcular a tg C$ .
Dica: sen B = cos C$ .
tgCateto oposto
Cateto adjacentex
xx X
5827
1 61 27
1 6 27 43
0 = =
= ⇒ = =,, ,22
1 7
43 2 1 7 44 9
h x
h m
= += + =
,
, , ,
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
454
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
455
Atende aos Objetivos 1 e 2
O que seria dos topógrafos sem a trigonometria?
a. A distância x representada na figura.
b. A altura h do morro.
Atende aos Objetivos 1 e 2Atividade 4
Um TOPÓGRAFO e seu ajudante, equipados com trena e teodolito, veem o topo de
um morro sob um ângulo de 600 com a horizontal e, quando recuam 100 m, veem
o topo do mesmo morro sob um ângulo de 300 (veja figura a seguir). Calcular:
TOPÓGRAFO
Indivíduo que se ocupa da descrição minuciosa
de uma localidade ou das configurações do relevo de um terreno com a posição de seus acidentes naturais
ou artificiais.
Atividade 5
Sabendo-se que um cateto e a hipotenusa de um triângulo medem p e 2p,
respectivamente, calcule a tangente do ângulo oposto ao menor lado.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
456
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
457
A trigonometria ajudando no cálculo de distância entre dois pontos.
Atende ao Objetivo 1Atividade 6
Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 3 m do solo, forma,
com essa parede, um ângulo de 30º. Calcule a distância da parede ao “pé” da
escada, em metros.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
456
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
457
Triângulos quaisquer (lei dos senos e lei dos cossenos)
Já estudamos a resolução de triângulos retângulos. Agora estudaremos a resolução
de triângulos quaisquer. Para isso, é necessário conhecer a lei dos senos e a lei dos
cossenos, um conteúdo visto no 9o ano do ensino fundamental.
Nos problemas que envolvem ângulo(s) e lado(s) em triângulos quaisquer, podemos
observar duas situações:
1a – Temos dois ÂNGULOS e precisamos calcular um lado.
2a – Temos um ÂNGULO e precisamos calcular um lado.
Na primeira situação (em que temos dois ÂNGULOS e precisamos calcular um lado),
podemos usar a lei dos cossenos ou a lei dos senos (de preferência a lei dos senos).
A seguir, temos a fórmula da lei dos senos:
Atende ao Objetivo 1Atividade 7
Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC um ângulo
de 30º. Sabe-se que o móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h.
Após 3 horas de percurso, calcular a distância que o móvel se encontra da reta AC.
a
sen A
b
sen B
c
sen C$ $ $
= =
Figura 18.8: Lei dos senos.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
458
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
459Na segunda situação (em que temos um ÂNGULO e precisamos calcular um lado),
devemos usar a lei dos cossenos. A seguir, temos as fórmulas da lei dos cossenos:
Teorema da área de um triângulo qualquer
A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas de dois
de seus lados pelo seno do ângulo formado por esses lados. A seguir, temos as
fórmulas para a área de um triângulo qualquer:
a² = b² + c² – 2.b.c.cos A
b² = a² + c² – 2.a.c.cos B
c² = a² + b² – 2.a.b.cos C
Figura 18.9: Lei dos cossenos.
S = 12
a b sen C. .
S = 12
b c sen A. .
S = 12
a c sen B. .
Figura 18.10: Área de um triângulo qualquer.
Atende ao Objetivo 3Atividade 8
A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa
d’água a 50 m de distância (veja figura a seguir). A casa está a 80 m de distância
da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água/bomba e caixa
d’água/casa é de 600. Pretende-se bombear água do mesmo ponto de captação até
a casa; a distância que a casa está deste ponto vale:
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
458
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
459a. 60 m
b. 70 m
c. 80,66 m
d. 90,55 m
e. 115,86 m
Para resolver este problema, você precisa pensar em qual lei poderá usar: lei dos
senos ou lei do cosseno?
Atende ao Objetivo 4Atividade 9
Um jardineiro fez um canteiro triangular como o da figura adiante. Para regá-lo,
gasta 10 litros de água por m². Quantos litros de água ele vai gastar para regar
todo o canteiro?
Dados: AB = 4m e AC = 2 2 m;
sen 105° ≅ 0,97 (lê-se: seno de cento e cinco graus é igual a noventa e sete
centésimos)
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
460
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
461
• Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²
• Para resolver os problemas de trigonometria, precisamos saber onde aplicar
as relações trigonométricas de acordo com os dados dos problemas:
sen α = cateto oposto a αhipotenusa
ca
=
cos α = cateto adjacente a
hipotenusaba
α=
tg α = cateto oposto a
cateto adjacente asen c
bα
ααα
= =cos
• Relações fundamentais da trigonometria: sen²α + cos²α = 1;
sen α = cos (90° – α).
Resumindo...
Informação sobre a próxima aula
Na próxima aula, vamos estudar os Princípios Básicos de Estatística.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
460
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
461
Atividade 1
O perímetro do quadrado é igual à soma dos seus lados. Vamos chamar este lado
de a. O perímetro será 4a.
Respostas das Atividades
Podemos ver que o triângulo ABD é retângulo em A. Aplicamos o Teorema de
Pitágoras neste triângulo:
3 6 3 6 2 9 36 2 9 6 2
54 2542
9
22
2( ) = + ⇒ • ( ) = ⇒ • = ⇒ • =
= ⇒ = ⇒ =
a a a a a
a a a
² ² ² ² ²
² ² ² ⇒⇒ = ⇒ = • ⇒ = • ⇒ =a a a a27 9 3 9 3 3 3
Como o perímetro é 4•a, temos 4• 3 3 = 12 3 m.
Logo, o perímetro do quadrado é igual a 12 3 m.
Atividade 2
• O losango é um polígono com 4 lados iguais. Veja a fi gura:
• Podemos considerar d1 como a diagonal maior e
d2 como a diagonal menor (vamos calcular).
• Como o perímetro mede 20 cm, temos:
4a = 20
a = 20/4
a = 5 cm
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
462
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
463• As diagonais de um losango cruzam entre si formando ângulo de 90°.
• As diagonais de um losango se cruzam no ponto que as dividem ao meio.
• Temos então um triângulo retângulo ABE com as dimensões a seguir:
Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
5 42
25 164
25 164
94
36
22
2
2
2
2
2
2
2
2
² ²= +
= +( )
− =( )
=( )
( ) = ⇒
d
d
d
d
d d22 236 6= ⇒ =d cm
Logo, a outra diagonal mede 6 cm.
Atividade 3
• Como B e C são complementares ( B+ C = 90°), pode-se dizer que sen B = cos C .
• Foi dito no enunciado da questão que sen B = 0,8. Então cos C = 0,8.
• A relação fundamental da trigonometria diz que: sen² C + cos² C = 1.
• Então sen² C + (0,8)² = 1 ⇒ sen² C + 0,64 = 1 ⇒ sen² C = 1 -0,64 ⇒
sen² C = 0,36;
⇒ sen² C = 36100
⇒ sen C = 36100
⇒ sen C = 610
= 0,6.
• tg C = sen C
C
ˆ
cos ˆ,,
,= =0 60 8
0 75 .
Logo, tg C = 0,75.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
462
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
463Atividade 4
a. Para calcular x, vamos analisar os ângulos das figuras a seguir:
• α e 60° formam um ângulo raso; isso significa que (α + 60°)=180°.
Resolvendo a equação temos: α = 180 - 60° ⇒ α = 120°.
• Veja o triângulo BDC. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um
triângulo vale 180°. Vale dizer então que:
30°+α+β = 180° Como α já foi calculado anteriormente como sendo 120°,
então podemos ter:
30°+120°+β = 180°⇒ 150°+β = 180°⇒ β = 180° - 150°⇒ β = 30°.
• Veja agora a Figura 2, em que substituímos os valores encontrados.
• Podemos ver que o triângulo BDA é isósceles, pois os ângulos  e B são
iguais. Então o segmento CD = BD = 100m
Veja como fica o triângulo BAD
Figura 1 Figura 2
Cateto Adjacente
Hipotenusa
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
464
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
465 Para encontrar o valor de x, temos que procurar uma relação que tem cateto
adjacente e hipotenusa. Essa relação é:
cos
cos
60
60100
12 100
50
° =
° =
=
=
Cateto adjacentehipotenusa
x
x
x m
b. Para calcular a altura do morro, podemos usar o Teorema de Pitágoras.
A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.
(100)² = 50² + h²
10000 = 2500 + h²
h² = 7500
h = 7500
h= 2 5 3 2 5 3 50 32 4 2• • = • • = m.
Então, temos:
a, x = 50 m; b, h = 50 3 m.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
464
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
465Atividade 5
Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
(2p)² = p² + x²
4p² =p² +x²
x² = 4p² - p²
x² = 3p²
x p x p= ⇒ =3 32
Podemos perceber que o menor lado é p. Pela geometria plana, o menor ângulo está
oposto ao menor lado. O menor lado é p; o ângulo oposto a esse lado é o ângulo
C . Então vamos calcular a tg C .
tgCcateto oposto
cateto adjacentep
pˆ = = = = •
•= =
3
1
3
1 3
3 3
3
9
33
Logo, tgC = 33
.
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
466
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
467Atividade 6
Para calcularmos a distância da parede ao pé da escada ( AB ), precisamos
encontrar o x.
Precisamos de uma relação que tem cateto oposto e cateto adjacente. No caso, será:
tgcateto oposto
cateto adjacente
xx x x
30
33 3
3 3 33 3
33
° =
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
A distância da parede ao “pé” da escada é igual a 3 m.
Atividade 7
Se o móvel tem a velocidade de 50 km/h e faz um percurso em 3 horas, podemos
calcular a distância percorrida usando a fórmula da velocidade, que é a variação do
espaço dividido pelo tempo:
VSt
= ∆∆
Cateto adjacente ao ângulo de 30°
Cateto oposto ao ângulo de 30°
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
466
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
467Onde:
V= Velocidade = 50 km/h
∆S = Espaço percorrido = ?
t = tempo de percurso = 3 horas
Substituindo os dados anteriores na fórmula, temos:
503150
=
=
∆
∆
S
S km
Queremos calcular a distância BC = x
Temos na figura a hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo de 30°. Temos que usar
a razão:
sencateto oposto
hipotenusa
senx
x
x km
30
30150
12 150
75
° =
° =
=
=
A distância que o móvel se encontra da reta AC é de 75 km.
Atividade 8
Você poderia resolver este problema pela lei dos senos se conhecesse o sen 20°.
Como o mesmo é desconhecido, é mais fácil resolvê-lo usando a lei do cosseno,
que vai depender apenas do cos 60°, que é conhecido da tabela de Razão
Trigonométrica dada nesta aula.
a = x
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
468
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
469Pela lei dos cossenos temos:
a² = b² + c² - 2•b•c•cosÂ
x² = 50² + 80² - 2•50•80•cos60°
x² = 2500 + 6400 -8000•12
x² = 8900 - 4000 = 4900
x m= =4900 70
A distância da casa até o ponto onde está a bomba d’água é 70 m.
Atividade 9
Primeiramente, precisamos calcular a área do canteiro ABC. Para isso, precisamos
calcular o ângulo  e aplicar o teorema da área.
1o Passo: cálculo do ângulo Â
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180°, temos:
 + B + C = 180°. Substituindo B e C nesta equação, temos:
 + 30 + 45 = 180
 + 75 = 180
 = 105
2o Passo: vamos aplicar o teorema da área
S b c sen
S sen
S
S
S
= ⋅
= ⋅ °
=
==
1212
2 2 4 105
4 2 0 97
3 88 2
3 88 1 41
. .
. .
. ,
,
, . ,
A$
SS m= 5 47 2, S = área do triângulo
A área do triângulo é de aproximadamente 5,47 m².
e-Te
c-Br
asil
– M
atem
átic
a In
stru
men
tal
468
Aula
18
– Va
mos
con
hece
r m
ais
sobr
e tr
iâng
ulos
!
4693o Passo: para saber quantos litros de água se vai gastar para regar todo o canteiro,
fazemos a regra de três
Em 1 m² gastam-se 10 litros de água.
Como são 5,47 m², gastamos x litros de água.
Em suma:
1 m² - 10 litros
5,47 m² - x litros
x = 5,47.10 = 54,7 litros
Para regar todo o canteiro triangular, gastam-se 54,7 litros de água.
Referências bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações v.2. São Paulo: Ática,
1999.
IEZZI Gelson et al. Matemática v.1. 9. ed. São Paulo: Atual, 1981.
RUBINSTEIN, Cléa et al. Telecurso 2000: Matemática Ensino Médio v.2. Rio de
Janeiro: Fundação Roberto Marinho, 2003.