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Aula II – Estatística Aplicada à Instrumentação Industrial - Avaliação
da Incerteza de Medição
Universidade Federal da BahiaEscola PolitécnicaDisciplina: Instrumentação e Automação Industrial I (ENGF99)Professor: Eduardo Simas ([email protected])
Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação
Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Introdução
• Neste módulo serão estudados aspectos importantes para ainstrumentação industrial relacionados com a adequada expressão de umvalor medido.
• Para isso é necessário a utilização de conhecimentos da estatística quepermitem a correta avaliação da “incerteza de medição”.
• Adicionalmente, deve-se seguir as regulamentações no que diz respeito aoarredondamento de um valor medido e ao correto uso dos algarismossignificativos
2Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação
Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Expressão do Valor Medido
• Qual o comprimento do segmento AB?– 13,4
– 13,5
– 13,6
• Como não é possível ter certeza do valor medido, convenciona-se utilizar ametade da menor divisão: LAB=13,5
• O valor medido é composto de 3 algarismos significativos (sendo que oúltimo algarismo é duvidoso, ou seja está dentro da incerteza da medição).
3Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação
Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Algarismos Significativos
• Os algarismos significativos de um número contam-se da esquerda para adireita, a partir do primeiro não nulo.
• Exemplos:
– 0,002500 4 a.s.
– 83 2 a.s.
– 78,0 3 a.s.
– 0,18 2 a.s.
– 134,5 4 a.s.
– 26,10 4 a.s.
– 28,1 3 a.s.
– 0,0105 3 a.s.
4Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação
Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Regras básicas de arredondamento (NBR-5891)
• REGRA 1 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo por conservar é menor que 5, ele permanecerá conservado sem modificações.
– Exemplo: 1,333 ⇒ 1,33
• REGRA 2 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo por conservar é superior a 5, ele deverá ser aumentado uma unidade.
– Exemplo: 1,666 ⇒ 1,67 ⇒ 1,7
• REGRA 3 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo por conservar é igual a 5 , e for seguido de um algarismo diferente de zero, o último algarismo por conservar deverá ser aumentado de uma unidade.
– Exemplo: 4,8512 ⇒ 4,9
5Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação
Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Regras básicas de arredondamento (NBR-5891)
• REGRA 4 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo por conservar é um 5 seguidos de zeros:
– 4,5750; 2,750; 3,650; 1,25
• REGRA 4.1 - Quando o último algarismo por conservar é ímpar, aumenta-se de uma unidade o último algarismo por conservar:
– 4,5750 => 4,58
– 3,350 => 3,4
• REGRA 4.2 - Quando o último algarismo por conservar for par, ele permanecerá conservado sem modificação:
– 2,8650 => 2,86
– 1,650 => 1,6
6Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação
Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Estatística aplicada à metrologia
• Estatística é ciência que realiza a análise e interpretação de dados comcaracterísticas aleatórias (variáveis aleatórias ou estocásticas).
• A confiabilidade metrológica utiliza ferramentas estatísticas para
– avaliar a eficiência de ensaios;
– produzir resultados confiáveis.
• A inferência estatística tira conclusões probabilísticas sobre aspectos daspopulações, a partir de amostras extraídas dessas populações.
• No âmbito da metrologia, conceitos de estatística são utilizados para aobtenção de estimativas da incerteza de medição.
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Estatística aplicada à metrologia
Média:
• Considerando um conjunto de medições com “n” valores individuaisindependentes x1, x2, ..., xn, a média aritmética é definida como:
• Onde:
– x = média aritmética;
– xi = valores da amostra;
– n = números de elementos da amostra.
8
∑=
=
N
i
ixN
x1
1
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Estatística aplicada à metrologia
Média - Exemplo:
• Após o ajuste de um transmissor de pressão, foram feitas três leiturasseguidas:
– 4,02 mA;
– 3,99 mA;
– 4,10 mA.
• Calcule a média das 3 leituras.
9Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação
Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Estatística aplicada à metrologia
Média - Exemplo:
• Após o ajuste de um transmissor de pressão, foram feitas três leiturasseguidas:
– 4,02 mA;
– 3,99 mA;
– 4,10 mA.
• Calcule a média das 3 leituras.
10Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação
Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Estatística aplicada à metrologia
Média - Exemplo:
• Após o ajuste de um transmissor de pressão, foram feitas três leiturasseguidas:
– 4,02 mA;
– 3,99 mA;
– 4,10 mA.
• Calcule a média das 3 leituras.
• O valor calculado deve ser expresso com o mesmo número de algarismossignificativos que os valores medidos:
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mA 04,4=x
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Estatística aplicada à metrologiaVariância / desvio padrão:
• Avalia o quanto os valores observados estão dispersos ao redor da média:
• Exemplo: Após o ajuste de um transmissor de pressão, foram feitas asleituras:
– 4,02 mA;
– 3,99 mA;
– 4,10 mA.
Calcule a variância
das 3 leituras:
12
1
)(1
2
−
−
=
∑=
N
xx
S
N
i
i
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Resumo Amostra x População
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• A análise da população a partir da amostra só faz sentido se a amostra éum conjunto representativo da população.
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuições de Probabilidade (Fx(x)):
• São utilizadas para descrever o comportamento das variáveis aleatórias.
• Exemplo de distribuições de probabilidade:
14
)()( oox xxPxF ≤=
x
fx(x)
Área total sob a curva:
� �� < � < �� = � � ���
�
� � � = 1�
��
Função densidadede probabilidade
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Estatística aplicada à metrologiaDistribuição Normal (ou Gaussiana):
• Na natureza, muitos fenômenos são descritos (mesmo que aproximadamente) pordistribuições normais.
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Estatística aplicada à metrologia
Características da distribuição Normal :
– Forma de sino;
– Simétrica em relação á média;
– A probabilidade tende a zeronas extremidades.
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Estatística aplicada à metrologia
Distribuição normal padronizada:
• Para trabalhar com distribuições normais, em geral são usadas tabelas.
• A distribuição normal padronizada foi criada para evitar o uso de umatabela para cada combinação de valores da média e do desvio padrão.
• É definida então a variável normalizada:
• A distribuição padronizada tem média zero e desvio um:
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)
Estatística aplicada à metrologia
Exemplo: Distribuição normal padronizada:
• Na medição da temperatura ambiente de um laboratório, foram medidos valoresonde a temperatura média = 20,2 oC e o desvio padrão = 0,2 oC . Admitindo-se queo conjunto de temperaturas tenha uma distribuição normal, determinar aprobabilidade de que a temperatura do laboratório seja menor que 20,0 oC .
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Da tabela para z = 1 → 0,3413
Então: prob = 0,5 – 0,3413 = 0,1587
ou seja: prob=15,87%
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Tabela da distribuição Normal Padronizada
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Estatística aplicada à metrologia
Intervalo de Confiança / Confiabilidade:
• Intervalo de confiança é a faixa de valores onde espera-se que umavariável aleatória (no nosso caso o valor medido) ocorra.
• A confiabilidade é a probabilidade associada a um certo intervalo deconfiança:
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student
• Quando o número de pontos tomados é pequeno, fazer as análises utilizando adistribuição normal pode ser muito arriscado. Uma opção é a distribuição de Student.
• Na distribuição de Student é definido o parâmetro tv que é semelhante ao “z” dadistribuição normal padronizada:
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student
• Para consulta na tabela da distribuição de Student é preciso conhecer onúmero de “graus de liberdade” associados à medição.
• O número de graus de liberdade (g.l.) é definido como sendo o número demedições (n) menos um:
g.l.=n-1
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
• A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que 374,9993 mmHg ?
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
• A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que 374,9993 mmHg ?
1- Resultado utilizando a distribuição normal:
• Z = (374,9993 – 374,9992) / 0,00065 = 0.1538
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
• A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que 374,9993 mmHg ?
1- Resultado utilizando a distribuição normal:
• Z = (374,9993 – 374,9992) / 0,00065 = 0.1538
• Da tabela temos P=55,96 %
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
• A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que 374,9993 mmHg ?
2- Resultado utilizando a distribuição de Student:
• tv= (374,9993 – 374,9992) / (0,00065/√10) = 0.487
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
• A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que 374,9993 mmHg ?
2- Resultado utilizando a distribuição de Student:
• tv= (374,9993 – 374,9992) / (0,00065/√10) = 0.487
• Da tabela (para nove graus de liberdade), o valor 0,487 não existe, mas temos 0,261 e0,543, faremos então uma interpolação linear para obtermos o valor da probabilidade:
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição de Student- Exemplo:
• A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que 374,9993 mmHg ?
2- Resultado utilizando a distribuição de Student:
• tv= (374,9993 – 374,9992) / (0,00065/√10) = 0.487
• Da tabela (para nove graus de liberdade), o valor 0,487 não existe, mas temos 0,261 e0,543, faremos então uma interpolação linear para obtermos o valor da probabilidade:
• (x – 0,60) / (0,70 – 0,60) = (0,487 – 0,261) / (0,543 – 0,261) então: x=0,68%
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Estatística aplicada à metrologia
Distribuição Normal x de Student:
• Percebe-se que num mesmo problema o uso da distribuição de Student leva aresultados mais “conservadores” (maior probabilidade para um mesmo intervalo).
• A distribuição de Student considera que quanto menor o número de graus deliberdade, mais incerta será a variável medida.
• A diferença entre as distribuições só é significativa para um número pequeno de grausde liberdade (menor que 30).
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Avaliação da Incerteza de Medição
Pode ser feita de duas formas (segundo o Guia para Expressão da Incerteza de Medição do Inmetro):
• Por análise estatística a partir de uma série de medições repetidas da mesma grandeza (avaliação tipo A).
• A partir de julgamento científico utilizando todas as informações disponíveis sobre o sistema de medição (avaliação do tipo B).
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Avaliação da Incerteza Padrão do Tipo A
• Quando dispomos de uma série de N observações de uma variável x, a incerteza de medição U pode ser estimada por:
• Onde s é o desvio padrão das medições xi:
N
s=u
1
1
2
−
−∑N
)x(x
=s
N
=i
i
∑N
=i
ixN
=x1
1a média é dada por:
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Avaliação da Incerteza do Tipo A
• A incerteza padrão é utilizada para intervalos de confiança da ordem de um desvio padrão:
• Da distribuição normal esse intervalo está associado a -1 > z > 1 → P=68 %.
• Para uma maior confiabilidade podemos utilizar a incerteza estendida:
• Se z=2 → → confiabilidade associada → 95 %
uxx ±=
uzxx ×±=
uxx 2±=
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Avaliação da Incerteza do Tipo A
• Se o número de medições for pequeno, pode-se utilizar a distribuição de Student
para estimativa da confiabilidade:
1. Determinar o nível de confiabilidade desejado;
2. Determinar o número de graus de liberdade;
3. Encontrar na tabela o valor de tv associado;
4. Escrever a incerteza na forma:
Exemplo: Considerando n=5 e confiabilidade = 95%, encontre tv :
utxx v ×±=
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)34
Avaliação da Incerteza do Tipo A
• Se o número de medições for pequeno, pode-se utilizar a distribuição de Student
para estimativa da confiabilidade:
1. Determinar o nível de confiabilidade desejado;
2. Determinar o número de graus de liberdade;
3. Encontrar na tabela o valor de tv associado;
4. Escrever a incerteza na forma:
Exemplo: Considerando n=5 e confiabilidade = 95%, encontre tv :
P=0,5+0,95/2=0,975
v=n-1=4
utxx v ×±=
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)35
Avaliação da Incerteza do Tipo A
• Se o número de medições for pequeno, pode-se utilizar a distribuição de Student
para estimativa da confiabilidade:
1. Determinar o nível de confiabilidade desejado;
2. Determinar o número de graus de liberdade;
3. Encontrar na tabela o valor de tv associado;
4. Escrever a incerteza na forma:
Exemplo: Considerando n=5 e confiabilidade = 95%, encontre tv :
P=0,5+0,95/2=0,975
v=n-1=4
utxx v ×±=
tv=2,776 uxx 776,2±=
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)36
Avaliação da Incerteza do Tipo A
• Para uma certa confiabilidade, percebe-se da tabela da distribuição de Student que quanto maior o número de graus de liberdade, mais próximo da distribuição normal fica o resultado:
• Para confiabilidade de 95 % (P 0,975):
• v = 1 → tv = 12,706;
• v = 2 → tv = 4,303;
• v = 3 → tv = 3,182;
• ...
• v = 10 → tv = 2,228;
• ...
• v = 20 → tv = 2,086;
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Exemplo prático com a incerteza de medição Tipo A
Considerando que a uma peça foi medida diretamente com um micrômetro e foram obtidas as 12 leituras a seguir, estime a incerteza padrão de medição.
10,002010,002310,004010,002310,001810,002010,002110,002310,001810,002410,002310,0023
Comprimentos medidos em mm.
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)38
Exemplo prático com a incerteza de medição Tipo A
Considerando que a uma peça foi medida diretamente com um micrômetro e foram obtidas as 12 leituras a seguir, estime a incerteza padrão de medição.
10,002010,002310,004010,002310,001810,002010,002110,002310,001810,002410,002310,0023
Comprimentos medidos em mm.
A partir dos valoresmedidos chega-se a;
002310,=x 0,0006=s
0,0001732=N
s=u
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Exemplo prático com a incerteza de medição Tipo A
Considerando que a uma peça foi medida diretamente com um micrômetro e foram obtidas as 12 leituras a seguir, estime a incerteza padrão de medição.
10,002010,002310,004010,002310,001810,002010,002110,002310,001810,002410,002310,0023
Comprimentos medidos em mm.
A partir dos valoresmedidos chega-se a;
002310,=x 0,0006=s
0,0002=N
s=u
mm0,0002002310 )±,(=x
A variável medida é então expressa por:
Obs: a incerteza deve ser expressa com o mesmo número de casas decimais que o valor medido
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)40
Exemplo prático com a incerteza de medição Tipo A
Considerando o modelo da distribuição normal ( que nesse caso apresenta resultados semelhantes ao de Student), qual o intervalo que apresenta uma confiabilidade de 90% ?
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)41
Exemplo prático com a incerteza de medição Tipo A
Considerando o modelo da distribuição normal ( que nesse caso apresenta resultados semelhantes ao de Student), qual o intervalo que apresenta uma confiabilidade de 90% ?
Da tabela da distribuição normal para essa probabilidade temos: z=1,65.
uzxx ×±=
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)42
Exemplo prático com a incerteza de medição Tipo A
Considerando o modelo da distribuição normal ( que nesse caso apresenta resultados semelhantes ao de Student), qual o intervalo que apresenta uma confiabilidade de 90% ?
Da tabela da distribuição normal para essa probabilidade temos: z=1,65.
mm),,±,(=x 00020651002310 ×
uzxx ×±=
mm),±,(=x 00040002310
Obs: a incerteza de medição é sempre expressa na mesma quantidade de casas decimais que o valor medido e é sempre aproximada para o maior valor
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)43
Avaliação da Incerteza Tipo B
Para a variável x que não foi obtida a partir de uma série de observações a incerteza deve ser avaliada utilizando-se todas as informações disponíveis como:
– Medições anteriores;
– Especificações do fabricante;
– Dados de calibração;
– Conhecimento dos instrumentos e materiais utilizados;
– Etc.
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)44
Avaliação do Tipo B da incerteza de medição
• A incerteza padrão do tipo B é determinada por:
S = SY1 + SY2 + ... +SYN
Onde Y1 pode ser a incerteza associada a medidas anteriores, Y2 a incerteza associada às especificações do fabricante, etc
Incertezas devido às fontes Y1, Y2, ..., YN
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)45
Avaliação da incerteza de medição Tipo B
• Exemplo: Uma balança digital indica massas com intervalos de 0,1 kg. Sabendo que ela foi calibrada por uma massa padrão de incerteza padrão 0,01kg, calcule a incerteza padrão da balança.
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)46
Avaliação da incerteza de medição Tipo B
• Exemplo: Uma balança digital indica massas com intervalos de 0,1 kg. Sabendo que ela foi calibrada por uma massa padrão de incerteza padrão 0,01kg, calcule a incerteza padrão da balança.
• S = (0,1)/2 +
Metade da menor divisão (resolução) do instrumento
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)47
Avaliação da incerteza de medição Tipo B
• Exemplo: Uma balança digital indica massas com intervalos de 0,1 kg. Sabendo que ela foi calibrada por uma massa padrão de incerteza padrão 0,01kg, calcule a incerteza padrão da balança.
• S = (0,1)/2 + 0,01 = 0,06 kg.
Incerteza do processo de calibração
Metade da menor divisão (resolução) do instrumento
Obs: a incerteza de medição do tipo B também pode ser expressa na forma estendida. Neste caso em geral utiliza-se a aproximação pela curva normal.
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)48
Propagação de incertezas
• Quando uma grandeza x é calculada a partir de uma ou mais variáveis medidas, suaincerteza Sx pode ser estimada a partir das incertezas das variáveis medidas.
)y,,y,f(y=x k2 ...1Sendo:
Então, se as variáveis yi são não-correlacionadas:
2
2
2
2
1
... )(Syy
F++)(Sy
y
F=Sx K
K
1
∂
∂
∂
∂
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)49
Propagação de incertezas
• Exemplo: Considerando que uma grandeza X é estimada a partir da medição dasvariáveis Y1 e Y2, estime a incerteza na estimação de X.
21+YX=Y 22)(Sy)(Sy=Sx 1 2+
21 YX=Y × 22)Sy(y)Sy(y=Sx 11 22 +
1X=aY11 aSy)(aSy=Sx =
2
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Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)50
Exercícios:Questão 01: Considerando que foram realizadas as medições ao lado utilizando um voltímetro, calcule:
a. A incerteza padrão
b. A incerteza associada à confiabilidade de :
• 80 %
• 95 %
• 99 %
Questão 02: Refaça a Questão 01 considerando a distribuição de Student.
Questão 03: Um amperímetro digital foi calibrado utilizando um instrumento de incerteza padrão igual a0,0007 A, considerando que a menor divisão do mostrador do amperímetro é igual a 0,001 A, estime aincerteza associada a medições realizadas com este amperímetro para uma confiabilidade de 99%.
Questão 04: O comprimento de uma barra foi calculado a partir das distâncias L1 e L2 medidas dasextremidades da barra para um ponto referencial. A incerteza associada a cada uma das medições é de 0,001cm, estime a incerteza associada ao comprimento da barra.
Questão 05: Estima a incerteza de medição associada a uma variável Y que é medida de modo indireto apartir das variáveis X1 e X2, considerando que Y = 17 X1
2 + 1/X2 e que as incertezas de medição associadas àsmedições de cada variável foram respectivamente 0,01 e 0,05 para X1 e X2.
U (Volts)
12,102
12,103
12,105
12,103
12,101
12,103
12,104
12,103
12,103
12,104
12,102
Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação
Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)51