AULADE EL MUNDO

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Si por alguna razón la matemática es conocida, si existe algún concepto matemático quegoce de general conocimiento y respeto, ése es el de ecuación. El término en sí recojetantas y tan distintas acepciones que han cambiado a lo largo de la Historia que resultaimposible poder englobar todo lo que se dice y se ha dicho sobre las ecuaciones enuna sóla definición. En el origen de su tratamiento sistemático se haya una palabramágica: el álgebra. Símbolo de generalidad y abstracción y por ello, de utilidad.

por Lolita Brain

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E l ÁLGEBRA es el corazón dela matemática. Salpìca to-dos sus rincones. En su

origen, nace como respues-ta a la necesidad de resolverecuaciones sistematicamen-te. Es decir, cómo la bús-qeuda de mecanismos quepermitan solucionar proble-mas que aparecen una y otravez bajo la misma forma, ya los que se debe propor-cionar idénticas procedi-mientos de resolución. Al-Khwarizmi fue un brillanteastrónomo y bibliotecario dela Casa de la Sabiduria y delObservatorio Astronómicode Bagdad. Su brillantez re-side en reconocer la similitudformal de múltiples fenóme-nos y dar solución común aellos.

La principal obra de Al-Kwarizmi se titula AL-MUJ-TASAR FI HISAB AL-JABR WA’L-MUQABALA. Ambos tér-minos son de dificil traducción y corresponden a

los dos mecanismos que utiliza el autor para resol-ver las ecuaciones, y que se corresponden con lastécnicas que hoy utilizamos nosotros. En sus pági-nas se estudian las soluciones de los seis tiposdistintos de ecuaciones de segundo grado que élconsideró.

A l-Kwarizmi utiliza hábiles métodos geometrícos para encontrar la so-lución. Cada forma de ecuación requiere una técnica distinta parasu solución. No se consideran las cantidades negativas. Recuerda que

los negativos no llegarán hasta muy avanzado el siglo XVI

A l-Kwarizmi clasifica las ecuaciones de segundo grado en seistipos distintos. Estudia cada caso de modo separado. Aun-que nosotros no las catalogamos de igual forma, se hizo así

hasta el siglo XVI.

EL PADRE DEL ÁLGEBRA ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

LA SOLUCIÓN

OTRO CASO

ABU JA'FAR MUHAMMAD IBN MUSA

AL-KHWARIZMI

(HACIA 780 - 850)

x2 9 10x

La definición de ecuación puede ser tan simple como una igualdad en la que algunostérminos son desconocidos. Resolver la ecuación significa por tanto, encontrar los va-lores de esos términos desconocidos. Sin embargo hay tantos tipos de ecuaciones

que esta definición no basta, aunque es perfectamente válida para la época de Al-Khwa-rizmi. Desde tiempos de los babilonios, el hombre se planteó problemas cotidianos enlos que debía encontrarse algún valor númerico . El álgebra aparece cuando esos pro-blemas particulares se estudian con una visión generalista. Hasta bien entrado el siglo XVI,las ecuaciones tenían un significado geométrico heredado de los griegos.

PÁGINA DEL TEXTO DE AL-KHWARIZMI, AALL--MMUUJJTTAASSAARR

FFII HHIISSAABB AALL--JJAABBRR WWAA’’LL--MMUUQQAABBAALLAA. FUE TRADUCIDO AL

LATÍN POR ROBERTO DE CHESTER EN TOLEDO EN

1145

MUQABALA significa comparación y se relaciona con nuestra técni-ca de “agrupar términos semejantes”.

AL-JABR proviene de jabr que significa restaurar, insertar. Los mé-dicos que reparaban los huesos se llamaban algebristas. En las ecua-ciones se corresponde con lo que nostros denominamos “pasar al otromiembro”. Nuestra palabra ÁLGEBRA proviene de éste término.

PASO 1

PASO 2Podemos completar la figura anterior con cua-tro cuadrados de lado 5/2. Así podemos poner:CUADRADO GRANDE = 39 U2+ 4 CUADRADOS PE-QUEÑOSCUADRADO PEQUEÑO = (5/2) X (5/2) = 25 /4 U2.CUADRADO GRANDE = 39 U2+ 4 X 25/4 U2= 64 U2entonces ya hemos completado el cuadrado yLADO CUADRADO GRANDE = 8 (8 X8 =64)LADO CUADRADO GRANDE = X + 5/2 + 5/2 = X +5.

SOLUCIÓN: X = 3

25/4 25/4

25/425/4

Dividimos el rectángulo 10x endos partes iguales.

Obtenemos de una mitad el cua-drado amarillo x2. Formamos uncuadrado agregando el rectánguloazul y el cuadrado naranja a la otramitad.

-

La ecuación anterior se interpreta geometricamete del siguiente modo: un cuadra-do de lado desconocido, xx, tiene una superficie que mide x22. Un rectángulo que tu-viera un lado como el del cuadrado, xx, y el otro de 10 unidades tendría de área de10x. Así pues las áreas de esas dos figuras debe resultar igual a 39. El problema esdeterminar el lado del cuadrado original.

AL-JABR Y AL-MUQABALA

10x

EL PADRE DELÁLGEBRA

Dividimos el rectángulo en cuatro partes iguales manteniendo el lado de medida x.Se coloca alrededor del cuadrado cuyo lado desconocemos. La figura de la de-recha debe tener por tanto un área de 39 unidades cuadradas (u2).

Si observamos la igualdad entre las áreas de las diferentes figuras en las quedescompusimos el diagrama inicial, ya casi tenemos la solución.

Basta observar que el cuadrado naranja tiene de lado 5 -X ( 5 menos el valorbuscado). Es sencillo ver que x ha de valer 1.

Partimo de la versión geométrica de la ecuación, distinta de la anterior.

Vista desde el presente, la historia pasada se aparece a menudo caprichosa. También enla de la Matemática. La historia de la solución de la ecuación de tercer grado, la cúbica,es una de las más apasionantes. A comienzos del siglo XVI, los matemáticos se hallabaninmersos en un problema desde hacía ya siglos: si bien las ecuaciones de grado uno ydos estaban completamente resueltas desde Al-Khwarizmi, nadie era capaz de resolverla de grado tres. Hoy, la hazaña de aquellos matemáticos permanece en el olvido aun-que sus fórmulas, que no se estudian en la escuela, son tan eficaces como entonces.

por Lolita Brain

POESÍA, ÁLGEBRAY ESPIONAJE

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EL POETA ALGEBRISTA

Tentado por la fórmula mágica, Del Fiore retaa Tartaglia, reputado matemático veneciano, auna disputa pública en la que cada uno debe

solucionar los problemas que le propone el otro.Del Fiore, conocedor del valor de su fórmula, pro-pone a Tartaglia problemas que sólo se puedenresolver con una ecuación de tercer grado. Tar-taglia la encuentra el 12 de febrero de 1535, y de-rrota públicamente a Del Fiore.

Scipione del Ferro, profesor de la Universidad deBolonia, descubrió, hacia 1505, la fórmula queaún hoy se emplea para solucionar una ecua-

ción de tercer grado, pero no comunicó a nadiesu descubrimiento, sin duda para usarlo en lasdisputas públicas y así ganar fama. Sólo en su le-cho de muerte informa de su fórmula a su yer-no Annibale della Nave y a su alumno AntonioMaría del Fiore.

Nuestra historia aconteció en la Italia renacentista del siglo XVI. Desde hacíacasi tres siglos, las matemáticas se enseñan en las Escuelas de Ábaco,donde sobre todo se impartía álgebra, y en especial las técnicas para resol-

ver ecuaciones. Aunque las ecuaciones de primer grado (como 3x=14 ) ya lasresolvían los egipcios y los babilonios. Desde finales del siglo VIII ya se solu-cionaba la ecuación de segundo grado (como x2+2x=8). Sin embargo, la ecua-ción cúbica (como x 3+3x=14) se había resistido durante cientos de años a to-dos los matemáticos que la estudiaron. No será hasta 1505 cuando Del Ferro en-cuentre la solución. Niccolò Fontana,Tartaglia el tartamudo, también la encontróindependientemente en 1535. Cardano y su alumno Ludovico Ferrari (1522-1565)profundizaron en las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

GEROLAMO CARDANO

(1501-1576)

Una vez más, la memoria de las ecua-ciones se remonta al Oriente, a la mí-tica ciudad de Samarcanda, a la que

Omar Khayyan llega en 1070 proceden-te de Nishapur, al norte del actual Irán.Poeta, astrónomo y matemático, su obra‘Tratado sobre las demostraciones en ál-gebra’ estudia geométricamente lasecuaciones cúbicas proponiendo méto-dos para su resolución. Pero sus siste-mas necesitaban, para llegar a ser efec-tivos, de herramientas matemáticas delas que desafortunadamente no se dis-ponía entonces. En cualquier caso, sussoluciones, además de correctas, son he-rederas de la más fascinante tradición ge-ométrica de los griegos y aúnan álgebray geometría.

La famosa fórmula descubierta por Del Ferro y Tartaglia que resuelve la ecuación de tercer grado x 3+px= q es la siguiente. Observa que las solucionesaparecen como resultado de operaciones entre los

Como poeta, Khayyamfue descubierto en Occidente en el sigloXIX, cuando EdwardFitzgerald tradujo sutexto ‘Robaiyyat’. Mástarde, G. K. Chestertondaría un gran impulso asu labor literaria.

LOS DOS PROTAGONISTAS

LA FÓRMULA DE LA DISCORDIA

NICCOLO FONTANA TARTAGLIA

(1499-1557)

Tartaglia, muy ofendido, escribe en 1546 ‘Questi et inmventionidiverse’, en la que relata su versión de los hechos y reprodu-ce su correspondencia con Cardano, dando comienzo un tenaz

intercambio de cartas y carteles públicos entre Tartaglia y ¡Fe-rrari!, que salió en defensa de su maestro Cardano, quien se man-tuvo al margen de esta polémica. La historia termina el 10 de agos-to de 1548 como comenzó: en una disputa pública en Milán entreun tartamudo y cansado Tartaglia y Ferrari, un joven elocuentey brillante matemático que además jugaba en casa. La disputa noacabó. Tartaglia abandonó humillado, perdiendo bastante desu fama. Cardano no asistió.

¿POR QUÉ LA

INCÓGNITA ES LA X ?Los árabes llamaban a laincógnita shay (cosa). Enmuchas traducciones seescribía latinizada comoxay y de ahí, al abreviar,quedó x. En Italia, shay setradujo como cosa y a losque resolvían ecuacionesse les l lamó cosistas,quienes escribían la x comoco.

Cardano y Ferrari estudiaron la fórmula pero la mantuvieron ensecreto. En 1542, casi en actitud detectivesca, deciden vi-sitar a Annibale della Nave y, revisando los papeles de Del

Ferro, encuentran ¡la fórmula que Tartaglia había descubier-to! Cardano podría publicar en su ‘Ars Magna’ la importantísi-ma fórmula sin faltar al juramento hecho a Tartaglia. Así lo hizo,escribiendo

“[...] mi amigo Niccolo Tartaglia resolvió el mismo caso [...]y movido por mis ruegos, me la confió a mí.”

Cardano, famosísimo matemático y doctor del nor-te de Italia, al saber que Tartaglia ha descu-bierto la fórmula, le pide que se la cuente en

un encuentro, el 25 de marzo de 1539. Cardano,en un solemne juramento, se compromete a no ha-cer públicos sus descubrimientos, con lo que Tar-taglia accede, comunicándole su método operati-vo en un poema. Estaba presente también el jovende 17 años, Ludovico Ferrari, ayudante de Car-dano, nuestro sexto protagonista.

GHIYATH AL-DIN ABU'L-FATH UMAR IBN

IBRAHIM AL-NISABURI AL-KHAYYAM

(hacia 1048-1131)

AULADE EL MUNDO

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por Lolita Brain

Habitualmente, cuando pensamos en el Álgebra lo hacemos en relación con la resolución deecuaciones y la manipulación de letras y números. La famosa letra x es la reina de esta vasta áreade las matemáticas. Pero en realidad las manipulaciones algebraicas que realizamos con estasletras (x, y, z, etcétera) no nos causan grandes problemas porque son básicamente representa-ciones de números, y su manipulación es resultado de las operaciones con números. Pero existeun tipo de Álgebra denominada abstracta en la que los elementos que se manipulan ni tienen por quéser números ni suelen serlo. Constituye una de las áreas más ambiciosas de la Matemática porser aplicable a infinidad de entidades abstractas. Los grupos son la primera teoría surgida en ella.

¿QUÉ ES UNGRUPO? I

UN SENCILLO EJEMPLO

¿CÓMO OPERAMOS ESTAS TRANSFORMACIONES?

LA SUPERTEORÍA DE MATEMÁTICAS ¿QUÉ ES UN GRUPO? LOS CREADORES DE LA TEORÍA DE GRUPOS

Imaginemos tres naipes, sota,caballo y rey, extraídos de unabaraja. A partir de una posi-

ción de estas tres cartas pode-mos construir otras ordenacio-nes de ellas barajándolas demuchas formas. Podemosdejarlas como están, o pode-mos cambiar la primera con laúltima, o intercambiar la segun-da con la tercera. Sin embargo,por complicada que sea la for-ma de barajar las tres cartas,todas ellas se pueden obtenerpor combinación de alguna delas seis manipulaciones quemostramos en el diagramaadjunto. En él se describen losresultados de realizar seistransformaciones básicassobre la sota, el caballo y el rey.Este es un grupo en el que sólohay seis elementos que llama-mos x1, x2, x3, x4, x5 y x6.

Eddington decía a comienzos delsiglo XX que para entender elmisterio de lo desconocido del

universo eran necesarias unassupermatemáticas en las que lasoperaciones deberían ser tan des-conocidas como las cantidadessobre las que operasen. Él habla-ba también de la necesidad de unsupermatemático que no supieralo que realmente estaba haciendocuando realizara esas operacio-nes. Para él, esas supermatemáti-cas eran la Teoría de Grupos.

Un grupo es un sistemade elementos, ya seafinito o infinito, en el

que existe alguna reglaque permite combinar-los, operarlos, entre sí.Además, el resultado deestas combinaciones hade proporcionar siempreelementos del mismoconjunto. En realidad,para que tal sistema seaun grupo, se exigen doscondiciones más queexploraremos en lasiguiente lámina.

La Teoría de Grupos surgió a mediados del siglo XIX de la manode dos creativos matemáticos: el malogrado francés Galois yel noruego Abel. Llegaron a la concepción de esta estructura

estudiando la forma de resolver ecuaciones de quinto grado. Deeste modo, el Álgebra Abstracta nació del Álgebra Clásica.

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

NIELS HENRIK ABEL

1802 - 1829

ARTHUR STANLEY

EDDINGTON

1882 - 1944

X1: acción de no barajar las cartas X2: resultado de intercambiar la primera yla segunda carta

X4: acción de intercambiar la segunday la tercera carta

X5: resultado de cambiar la sota con elcaballo, seguido de intercambiar ésta conel rey.

X6: efecto de cambiar la primera con lasegunda carta, seguido de intercambiarla primera con la tercera.

X3: efecto de cambiar la sota con el rey

EVARISTE GALOIS

1811 - 1832

Veamos en primer lugar que podemos definir una manerade operar entre sí estas formas de barajar los tres naipesy que al efectuar dicha operación obtenemos alguno de

los seis elementos de este grupo. Operar dos de estos ele-mentos, por ejemplo x2 con x3, supone aplicar la transfor-mación x2 a una ordenación de las tres cartas y aplicar alresultado la transformación x3. Es fácil comprobar queobtenemos el mismo resultado que aplicando únicamentela transformación x6. Decimos entonces que:

Del mismo modo podemos realizarvarias transformaciones, unadetrás de la otra, y así comprobarí-

amos que operar x2 con x3 y despuésx4 produce el mismo resultado queaplicar directamente x3.

La semana pasada nos introdujimos en el mundo del Álgebra Abstracta comenzando a estu-diar una de sus más sencillas estructuras: los grupos. Para ello estudiamos el caso particularde las distintas formas de barajar tres cartas de una baraja y nos convencimos de la existenciade una operación interna entre unas formas simples de mezclar las cartas. Continuamos esta se-mana explorando algunas características de esta simple pero ambiciosa estructura algebraica.

¿QUÉ ES UN GRUPO? Y IIRESUMEN DE NUESTRO GRUPO

Si consideramos las seis formassimples de barajar tres cartasde una baraja, que se ilustran

en la imagen, (denominadasx1...x6) y establecemos como pro-ducto de ellas la operación de apli-car una mezcla a continuación deotra, observamos que siempreobtenemos un nuevo miembro deesta colección de seis transforma-ciones entre cartas. Estos seiselementos son lo que denomina-mos un grupo.

Existen muchos ejemplos de con-juntos con operaciones que tie-nen estructura de grupo, algu-

nos de los cuales son ampliamenteconocidos por todos. Entre ellos,los conjuntos de números más sen-cillos, los números de contar o lasfracciones son grupos.

El conjunto de los números ente-ros, los números de contar y losnegativos con la operación de lasuma es un grupo. Su elementoneutro es el 0.

Todo conjunto de transformacio-nes obtenidas al permutar car-tas, letras o símbolos como el

ejemplo de las cartas que hemosdesarrollado son casos de un gru-po general denominado grupo depermutaciones . El número decartas o símbolos que se permutanse denomina orden del grupo. Ennuestro ejemplo, el grupo está for-mado por seis elementos x1, x2,x3,x4, x5, x6 que se obtienen deintercambiar tres cartas. Se diceentonces que es un grupo de orden3.

De hecho podemos resumirtodas las posibles combina-ciones entre estas seis for-

mas de barajar las tres cartas enla tabla adjunta. Es la que sedenomina Tabla de un Grupo,que nos informa de los resulta-dos que obtenemos al combinarcualquiera de los elementos quelo constituyen. Seguro querecuerdas la tabla de sumar conla que aprendiste a sumar ente-ros. Lo que hacías era aprenderla tabla de un grupo: el de losnúmeros de contar con la suma.

Los grupos, además de tener una ley de composición interna,deben cumplir la propiedad asociativa. Esta propiedad obliga aque el resultado de aplicar varias transformaciones seguidas no

dependa del orden en que se apliquen.

En todo grupo debe existir un elemento singular, llamado elementoneutro, que tiene la propiedad especial de no hacer nada, es decir,que operado con cualquier elemento lo deja invariante. En nuestro

ejemplo de las distintas formas de barajar tres cartas, el elemento x1que deja igual el mazo de cartas es el neutro.

En 1891, el cristalógrafo y geómetraruso E.S. Fedorov enunció su famo-so Teorema de Fedorov de clasifica-

ción de grupos cristalográficos planosen el que proporcionó una asombrosaaplicación de la teoría de grupos. En éldemostró que sólo existen 17 estructu-ras básicas posibles para obtenermosaicos periódicos que decoren el pla-no. Estas decoraciones resultan decombinar cuatro movimientos simples:TRASLACIÓN . La nueva loseta que añadi-mos es una loseta anterior desplazada auna nueva posición sin giros de ningúntipo.ROTACIÓN. La nueva loseta se obtienepor el giro de una anterior con centro enalgún punto determinado y con un ángu-lo concreto.REFLEXIÓN. Cada nueva loseta es la ima-gen especular de otra, con un eje desimetría dado.SIMETRÍA CON DESLIZAMIENTO . Se trata deuna reflexión seguida de una traslaciónen la dirección del eje de reflexión.

Cada uno de los 17 modos posibles reci-be una denominación que procede de lacristalografía.

Infografía y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

Lo más asombroso es que los nazaríes queconstruyeron la Alhambra y que no conocíanla teoría de Fedorov realizaron mosaicospara decorar las paredes del palacio detodos los 17 grupos que, 400 años después,el ruso catalogara como los únicos posibles.

LA TABLA DE UN GRUPO UN GRUPO NUMÉRICO

EL GRUPO DE PERMUTACIONES

UN GRUPO ES ASOCIATIVO

UN GRUPO TIENE ELEMENTO NEUTRO

UN ÉXITO DE LA TEORÍA DE GRUPOS

por Lolita Brain

X1: acción de no barajarlas cartas

X2: resultado de inter-cambiar la primera y lasegunda carta

X4: acción de intercam-biar la segunda y la ter-cera carta

X5: resultado de cambiarla sota con el caballo,seguido de intercambiaraquélla con el rey

X6: efecto de cambiar laprimera con la segundacarta, seguido de inter-cambiar la primera conla tercera

X3: efecto de cambiar lasota con el rey