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Postulados da óptica geométricaO Princípio de Fermat
A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Aula de Física III - Óptica Geométrica
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes
Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ
Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação
16 de novembro de 2010
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Óptica Geométrica
Postulados da óptica geométricaO Princípio de Fermat
A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Postulados da óptica geométrica
De�nimos como sendo o índice de refração n de um meio como a
relação n = cv, onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a
velocidade da luz no ambiente em questão. Os cinco postulados da
óptica geométrica são de�nidos como:
Caminhos em meios homogêneos e isotrópicos são retilí�neos;
Os caminhos de luz através de diferentes meios de propagação
são reversíveis.
Seja uma superfície que separa dois meios de índices n e N.
Os raio incidente, re�etido, transmitido ou refratado, e a
direção normal da superfície no ponto de incidência estão no
mesmo plano (plano de incidência);
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Postulados da óptica geométricaO Princípio de Fermat
A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Postulados da óptica geométrica
De�nimos como sendo o índice de refração n de um meio como a
relação n = cv, onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a
velocidade da luz no ambiente em questão. Os cinco postulados da
óptica geométrica são de�nidos como:
Caminhos em meios homogêneos e isotrópicos são retilí�neos;
Os caminhos de luz através de diferentes meios de propagação
são reversíveis.
Seja uma superfície que separa dois meios de índices n e N.
Os raio incidente, re�etido, transmitido ou refratado, e a
direção normal da superfície no ponto de incidência estão no
mesmo plano (plano de incidência);
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Postulados da óptica geométricaO Princípio de Fermat
A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Postulados da óptica geométrica
De�nimos como sendo o índice de refração n de um meio como a
relação n = cv, onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a
velocidade da luz no ambiente em questão. Os cinco postulados da
óptica geométrica são de�nidos como:
Caminhos em meios homogêneos e isotrópicos são retilí�neos;
Os caminhos de luz através de diferentes meios de propagação
são reversíveis.
Seja uma superfície que separa dois meios de índices n e N.
Os raio incidente, re�etido, transmitido ou refratado, e a
direção normal da superfície no ponto de incidência estão no
mesmo plano (plano de incidência);
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Postulados da óptica geométrica
De�nimos como sendo o índice de refração n de um meio como a
relação n = cv, onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a
velocidade da luz no ambiente em questão. Os cinco postulados da
óptica geométrica são de�nidos como:
Caminhos em meios homogêneos e isotrópicos são retilí�neos;
Os caminhos de luz através de diferentes meios de propagação
são reversíveis.
Seja uma superfície que separa dois meios de índices n e N.
Os raio incidente, re�etido, transmitido ou refratado, e a
direção normal da superfície no ponto de incidência estão no
mesmo plano (plano de incidência);
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Postulados da óptica geométrica
De�nimos como sendo o índice de refração n de um meio como a
relação n = cv, onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a
velocidade da luz no ambiente em questão. Os cinco postulados da
óptica geométrica são de�nidos como:
Caminhos em meios homogêneos e isotrópicos são retilí�neos;
Os caminhos de luz através de diferentes meios de propagação
são reversíveis.
Seja uma superfície que separa dois meios de índices n e N.
Os raio incidente, re�etido, transmitido ou refratado, e a
direção normal da superfície no ponto de incidência estão no
mesmo plano (plano de incidência);
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Sejam θ1, θ2 e θ3 os ângulos formados pelos raios incidente,
refratado e re�etido com relação á normal, respectivamente.
Os raios incidente e transmitido veri�cam a Lei de Snell:
n1senθ1 = n2senθ2
Os raios incidente e re�etido veri�cam a Lei de Re�exão:
θ1 = θ3
Alcançado o chamado ângulo critico, o feixe refratado desaparece e
toda a luz passa a ser re�etida. Esse fenômeno chama-se re�exão
total. Para que isso ocorra, é preciso que a luz seja proveniente de
um meio mais refringente em relação ao outro (n1 < n2).
θ2 = 90o =⇒ senθ1 =n2n1
(1)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Sejam θ1, θ2 e θ3 os ângulos formados pelos raios incidente,
refratado e re�etido com relação á normal, respectivamente.
Os raios incidente e transmitido veri�cam a Lei de Snell:
n1senθ1 = n2senθ2
Os raios incidente e re�etido veri�cam a Lei de Re�exão:
θ1 = θ3
Alcançado o chamado ângulo critico, o feixe refratado desaparece e
toda a luz passa a ser re�etida. Esse fenômeno chama-se re�exão
total. Para que isso ocorra, é preciso que a luz seja proveniente de
um meio mais refringente em relação ao outro (n1 < n2).
θ2 = 90o =⇒ senθ1 =n2n1
(1)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Sejam θ1, θ2 e θ3 os ângulos formados pelos raios incidente,
refratado e re�etido com relação á normal, respectivamente.
Os raios incidente e transmitido veri�cam a Lei de Snell:
n1senθ1 = n2senθ2
Os raios incidente e re�etido veri�cam a Lei de Re�exão:
θ1 = θ3
Alcançado o chamado ângulo critico, o feixe refratado desaparece e
toda a luz passa a ser re�etida. Esse fenômeno chama-se re�exão
total. Para que isso ocorra, é preciso que a luz seja proveniente de
um meio mais refringente em relação ao outro (n1 < n2).
θ2 = 90o =⇒ senθ1 =n2n1
(1)
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Sejam θ1, θ2 e θ3 os ângulos formados pelos raios incidente,
refratado e re�etido com relação á normal, respectivamente.
Os raios incidente e transmitido veri�cam a Lei de Snell:
n1senθ1 = n2senθ2
Os raios incidente e re�etido veri�cam a Lei de Re�exão:
θ1 = θ3
Alcançado o chamado ângulo critico, o feixe refratado desaparece e
toda a luz passa a ser re�etida. Esse fenômeno chama-se re�exão
total. Para que isso ocorra, é preciso que a luz seja proveniente de
um meio mais refringente em relação ao outro (n1 < n2).
θ2 = 90o =⇒ senθ1 =n2n1
(1)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
O Princípio de Fermat
Seja um meio homogêneo e isotrópico de índice n. De�nimos o
Caminho Óptico entre dois pontos A e B do meio como sendo o
produto entre o índice de refração n e a distância s entre A e B:
∆AB = nsAB (2)
Se a luz passa através de diferentes meios, o caminho óptico será:
∆ = Σni si (3)
Se o meio é heterogêneo e o índice de refração n varia de ponto a
ponto, a de�nição de caminho óptico torna-se a seguinte integral:
∆ =
∫c
nds (4)
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O Princípio de Fermat
Seja um meio homogêneo e isotrópico de índice n. De�nimos o
Caminho Óptico entre dois pontos A e B do meio como sendo o
produto entre o índice de refração n e a distância s entre A e B:
∆AB = nsAB (2)
Se a luz passa através de diferentes meios, o caminho óptico será:
∆ = Σni si (3)
Se o meio é heterogêneo e o índice de refração n varia de ponto a
ponto, a de�nição de caminho óptico torna-se a seguinte integral:
∆ =
∫c
nds (4)
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O Princípio de Fermat
Seja um meio homogêneo e isotrópico de índice n. De�nimos o
Caminho Óptico entre dois pontos A e B do meio como sendo o
produto entre o índice de refração n e a distância s entre A e B:
∆AB = nsAB (2)
Se a luz passa através de diferentes meios, o caminho óptico será:
∆ = Σni si (3)
Se o meio é heterogêneo e o índice de refração n varia de ponto a
ponto, a de�nição de caminho óptico torna-se a seguinte integral:
∆ =
∫c
nds (4)
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O Princípio de Fermat
Seja um meio homogêneo e isotrópico de índice n. De�nimos o
Caminho Óptico entre dois pontos A e B do meio como sendo o
produto entre o índice de refração n e a distância s entre A e B:
∆AB = nsAB (2)
Se a luz passa através de diferentes meios, o caminho óptico será:
∆ = Σni si (3)
Se o meio é heterogêneo e o índice de refração n varia de ponto a
ponto, a de�nição de caminho óptico torna-se a seguinte integral:
∆ =
∫c
nds (4)
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O Princípio de Fermat
Seja um meio homogêneo e isotrópico de índice n. De�nimos o
Caminho Óptico entre dois pontos A e B do meio como sendo o
produto entre o índice de refração n e a distância s entre A e B:
∆AB = nsAB (2)
Se a luz passa através de diferentes meios, o caminho óptico será:
∆ = Σni si (3)
Se o meio é heterogêneo e o índice de refração n varia de ponto a
ponto, a de�nição de caminho óptico torna-se a seguinte integral:
∆ =
∫c
nds (4)
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O Princípio de Fermat
Seja um meio homogêneo e isotrópico de índice n. De�nimos o
Caminho Óptico entre dois pontos A e B do meio como sendo o
produto entre o índice de refração n e a distância s entre A e B:
∆AB = nsAB (2)
Se a luz passa através de diferentes meios, o caminho óptico será:
∆ = Σni si (3)
Se o meio é heterogêneo e o índice de refração n varia de ponto a
ponto, a de�nição de caminho óptico torna-se a seguinte integral:
∆ =
∫c
nds (4)
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O Princípio de Fermat
Seja um meio homogêneo e isotrópico de índice n. De�nimos o
Caminho Óptico entre dois pontos A e B do meio como sendo o
produto entre o índice de refração n e a distância s entre A e B:
∆AB = nsAB (2)
Se a luz passa através de diferentes meios, o caminho óptico será:
∆ = Σni si (3)
Se o meio é heterogêneo e o índice de refração n varia de ponto a
ponto, a de�nição de caminho óptico torna-se a seguinte integral:
∆ =
∫c
nds (4)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
O princípio de Fermat diz que para ir de A para B, a luz segue um
caminho extremo (ou seja, um caminho máximo ou um caminho
mínimo).
O caminho óptico SOP da �gura é dado por:
∆SOP = n1[h2 + x2]12 + n2[b2 + (a − x)2]
12 (5)
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O princípio de Fermat diz que para ir de A para B, a luz segue um
caminho extremo (ou seja, um caminho máximo ou um caminho
mínimo).
O caminho óptico SOP da �gura é dado por:
∆SOP = n1[h2 + x2]12 + n2[b2 + (a − x)2]
12 (5)
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O princípio de Fermat diz que para ir de A para B, a luz segue um
caminho extremo (ou seja, um caminho máximo ou um caminho
mínimo).
O caminho óptico SOP da �gura é dado por:
∆SOP = n1[h2 + x2]12 + n2[b2 + (a − x)2]
12 (5)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
O princípio de Fermat diz que para ir de A para B, a luz segue um
caminho extremo (ou seja, um caminho máximo ou um caminho
mínimo).
O caminho óptico SOP da �gura é dado por:
∆SOP = n1[h2 + x2]12 + n2[b2 + (a − x)2]
12 (5)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Derivando em relação a x, obtemos:
n1x
[h2 + x2]12
− n2a − x
[b2 + (a − x)2]12
= 0 (6)
onde encontramos que:
n1senθ1 − n2senθ2 = 0 (7)
que é a expressão da lei de Snell de�nida anteriormente, para a
propagação de luz entre dois meios distintos 1 e 2.
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Derivando em relação a x, obtemos:
n1x
[h2 + x2]12
− n2a − x
[b2 + (a − x)2]12
= 0 (6)
onde encontramos que:
n1senθ1 − n2senθ2 = 0 (7)
que é a expressão da lei de Snell de�nida anteriormente, para a
propagação de luz entre dois meios distintos 1 e 2.
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Derivando em relação a x, obtemos:
n1x
[h2 + x2]12
− n2a − x
[b2 + (a − x)2]12
= 0 (6)
onde encontramos que:
n1senθ1 − n2senθ2 = 0 (7)
que é a expressão da lei de Snell de�nida anteriormente, para a
propagação de luz entre dois meios distintos 1 e 2.
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Derivando em relação a x, obtemos:
n1x
[h2 + x2]12
− n2a − x
[b2 + (a − x)2]12
= 0 (6)
onde encontramos que:
n1senθ1 − n2senθ2 = 0 (7)
que é a expressão da lei de Snell de�nida anteriormente, para a
propagação de luz entre dois meios distintos 1 e 2.
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Derivando em relação a x, obtemos:
n1x
[h2 + x2]12
− n2a − x
[b2 + (a − x)2]12
= 0 (6)
onde encontramos que:
n1senθ1 − n2senθ2 = 0 (7)
que é a expressão da lei de Snell de�nida anteriormente, para a
propagação de luz entre dois meios distintos 1 e 2.
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
A Lei de Snell Generalizada
A abordagem anterior se aplica ao caso unidimensional, ou seja,
quando o índice de refração varia em apenas uma direção. Como
exemplo desta situação, tomemos uma mistura não homogênea de
água (n=1.333) e álcool (n=1.361), que apresenta uma variação de
índice de refração como indicada na �gura:
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
A Lei de Snell Generalizada
A abordagem anterior se aplica ao caso unidimensional, ou seja,
quando o índice de refração varia em apenas uma direção. Como
exemplo desta situação, tomemos uma mistura não homogênea de
água (n=1.333) e álcool (n=1.361), que apresenta uma variação de
índice de refração como indicada na �gura:
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
A Lei de Snell Generalizada
A abordagem anterior se aplica ao caso unidimensional, ou seja,
quando o índice de refração varia em apenas uma direção. Como
exemplo desta situação, tomemos uma mistura não homogênea de
água (n=1.333) e álcool (n=1.361), que apresenta uma variação de
índice de refração como indicada na �gura:
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Vamos ainda supor que o raio de luz penetra nesta mistura a uma
altura y0, localizada na região de transição água-álcool,
propagando-se ao longo do eixo z, conforme a �gura a seguir.
Como a variação de n é pequena e ocorre numa região
relativamente grande (da ordem de um centímetro), admitiremos
que o desvio sofrido pelo feixe é pequeno. Assim, o raio
deslocar-se-á pouco da altura y0 e o índice de refração pode ser
expandido em série de Taylor, de acordo com:
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Vamos ainda supor que o raio de luz penetra nesta mistura a uma
altura y0, localizada na região de transição água-álcool,
propagando-se ao longo do eixo z, conforme a �gura a seguir.
Como a variação de n é pequena e ocorre numa região
relativamente grande (da ordem de um centímetro), admitiremos
que o desvio sofrido pelo feixe é pequeno. Assim, o raio
deslocar-se-á pouco da altura y0 e o índice de refração pode ser
expandido em série de Taylor, de acordo com:
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Postulados da óptica geométricaO Princípio de Fermat
A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Vamos ainda supor que o raio de luz penetra nesta mistura a uma
altura y0, localizada na região de transição água-álcool,
propagando-se ao longo do eixo z, conforme a �gura a seguir.
Como a variação de n é pequena e ocorre numa região
relativamente grande (da ordem de um centímetro), admitiremos
que o desvio sofrido pelo feixe é pequeno. Assim, o raio
deslocar-se-á pouco da altura y0 e o índice de refração pode ser
expandido em série de Taylor, de acordo com:
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
n(y) = n0 +
(dn
dy
)y0
(y − y0) (8)
onde n0 e(dndy
)y0
são respectivamente o índice de refração e seu
gradiente na altura y0. A Lei de Snell mantém-se constante
conforme o feixe de luz se propaga por diferentes lâminas.
Tomando o limite em que as espessuras de duas lâminas tendem a
zero, obtemos a lei de Snell generalizada:
n(y)cosα = n0 (9)
onde α é o ângulo que o feixe faz com as faces das lâminas. O feixe
descreve uma trajetória curva dada por y = y(z), cuja inclinação é:
dy
dz= tgα =
√1− cos2α
cosα(10)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
n(y) = n0 +
(dn
dy
)y0
(y − y0) (8)
onde n0 e(dndy
)y0
são respectivamente o índice de refração e seu
gradiente na altura y0. A Lei de Snell mantém-se constante
conforme o feixe de luz se propaga por diferentes lâminas.
Tomando o limite em que as espessuras de duas lâminas tendem a
zero, obtemos a lei de Snell generalizada:
n(y)cosα = n0 (9)
onde α é o ângulo que o feixe faz com as faces das lâminas. O feixe
descreve uma trajetória curva dada por y = y(z), cuja inclinação é:
dy
dz= tgα =
√1− cos2α
cosα(10)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
n(y) = n0 +
(dn
dy
)y0
(y − y0) (8)
onde n0 e(dndy
)y0
são respectivamente o índice de refração e seu
gradiente na altura y0. A Lei de Snell mantém-se constante
conforme o feixe de luz se propaga por diferentes lâminas.
Tomando o limite em que as espessuras de duas lâminas tendem a
zero, obtemos a lei de Snell generalizada:
n(y)cosα = n0 (9)
onde α é o ângulo que o feixe faz com as faces das lâminas. O feixe
descreve uma trajetória curva dada por y = y(z), cuja inclinação é:
dy
dz= tgα =
√1− cos2α
cosα(10)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
n(y) = n0 +
(dn
dy
)y0
(y − y0) (8)
onde n0 e(dndy
)y0
são respectivamente o índice de refração e seu
gradiente na altura y0. A Lei de Snell mantém-se constante
conforme o feixe de luz se propaga por diferentes lâminas.
Tomando o limite em que as espessuras de duas lâminas tendem a
zero, obtemos a lei de Snell generalizada:
n(y)cosα = n0 (9)
onde α é o ângulo que o feixe faz com as faces das lâminas. O feixe
descreve uma trajetória curva dada por y = y(z), cuja inclinação é:
dy
dz= tgα =
√1− cos2α
cosα(10)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
n(y) = n0 +
(dn
dy
)y0
(y − y0) (8)
onde n0 e(dndy
)y0
são respectivamente o índice de refração e seu
gradiente na altura y0. A Lei de Snell mantém-se constante
conforme o feixe de luz se propaga por diferentes lâminas.
Tomando o limite em que as espessuras de duas lâminas tendem a
zero, obtemos a lei de Snell generalizada:
n(y)cosα = n0 (9)
onde α é o ângulo que o feixe faz com as faces das lâminas. O feixe
descreve uma trajetória curva dada por y = y(z), cuja inclinação é:
dy
dz= tgα =
√1− cos2α
cosα(10)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Logo, por (7) e (9), temos:
dy
dz=
√n2
n20− 1 =
√2
n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (11)
onde o termo quadrático em dndy
foi desprezado. Integrando (10),
temos:
y = y0 +1
2n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (12)
que representa a trajetória parabólica do feixe dentro do meio. A
uma distância z no interior do meio, a parte inferior do feixe
satisfará a equação (11), enquanto que a parte superior executará
uma trajetória descrita em função do diâmetro ∆y do feixe:
y ′ = (y0 + ∆y) +1
2n0
(dn
dy
)y0+∆y
(y − y0) (13)
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Postulados da óptica geométricaO Princípio de Fermat
A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Logo, por (7) e (9), temos:
dy
dz=
√n2
n20− 1 =
√2
n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (11)
onde o termo quadrático em dndy
foi desprezado. Integrando (10),
temos:
y = y0 +1
2n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (12)
que representa a trajetória parabólica do feixe dentro do meio. A
uma distância z no interior do meio, a parte inferior do feixe
satisfará a equação (11), enquanto que a parte superior executará
uma trajetória descrita em função do diâmetro ∆y do feixe:
y ′ = (y0 + ∆y) +1
2n0
(dn
dy
)y0+∆y
(y − y0) (13)
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dz=
√n2
n20− 1 =
√2
n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (11)
onde o termo quadrático em dndy
foi desprezado. Integrando (10),
temos:
y = y0 +1
2n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (12)
que representa a trajetória parabólica do feixe dentro do meio. A
uma distância z no interior do meio, a parte inferior do feixe
satisfará a equação (11), enquanto que a parte superior executará
uma trajetória descrita em função do diâmetro ∆y do feixe:
y ′ = (y0 + ∆y) +1
2n0
(dn
dy
)y0+∆y
(y − y0) (13)
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dz=
√n2
n20− 1 =
√2
n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (11)
onde o termo quadrático em dndy
foi desprezado. Integrando (10),
temos:
y = y0 +1
2n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (12)
que representa a trajetória parabólica do feixe dentro do meio. A
uma distância z no interior do meio, a parte inferior do feixe
satisfará a equação (11), enquanto que a parte superior executará
uma trajetória descrita em função do diâmetro ∆y do feixe:
y ′ = (y0 + ∆y) +1
2n0
(dn
dy
)y0+∆y
(y − y0) (13)
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dz=
√n2
n20− 1 =
√2
n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (11)
onde o termo quadrático em dndy
foi desprezado. Integrando (10),
temos:
y = y0 +1
2n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (12)
que representa a trajetória parabólica do feixe dentro do meio. A
uma distância z no interior do meio, a parte inferior do feixe
satisfará a equação (11), enquanto que a parte superior executará
uma trajetória descrita em função do diâmetro ∆y do feixe:
y ′ = (y0 + ∆y) +1
2n0
(dn
dy
)y0+∆y
(y − y0) (13)
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dy
dz=
√n2
n20− 1 =
√2
n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (11)
onde o termo quadrático em dndy
foi desprezado. Integrando (10),
temos:
y = y0 +1
2n0
(dn
dy
)y0
(y − y0) (12)
que representa a trajetória parabólica do feixe dentro do meio. A
uma distância z no interior do meio, a parte inferior do feixe
satisfará a equação (11), enquanto que a parte superior executará
uma trajetória descrita em função do diâmetro ∆y do feixe:
y ′ = (y0 + ∆y) +1
2n0
(dn
dy
)y0+∆y
(y − y0) (13)
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Postulados da óptica geométricaO Princípio de Fermat
A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Relação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
O princípio de Fermat estabelece a existência de um caminho muito
bem de�nido para o raio ir de S a P. Trata-se de um princípio
variacional de acordo com (3):
δ
P∫S
n(S)dS = 0 (14)
Agora, quando um raio se propaga no espaço, ds é expresso em
coordenadas cartesianas como:
dS =√
dx2 + dy2 + dz2 = dz
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
(15)
Note que dz foi arbitrariamente colocado em evidência, mas
também poderíamos ter escolhido dx ou dy. Assim, o princípio de
Fermat �ca:
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Postulados da óptica geométricaO Princípio de Fermat
A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Relação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
O princípio de Fermat estabelece a existência de um caminho muito
bem de�nido para o raio ir de S a P. Trata-se de um princípio
variacional de acordo com (3):
δ
P∫S
n(S)dS = 0 (14)
Agora, quando um raio se propaga no espaço, ds é expresso em
coordenadas cartesianas como:
dS =√
dx2 + dy2 + dz2 = dz
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
(15)
Note que dz foi arbitrariamente colocado em evidência, mas
também poderíamos ter escolhido dx ou dy. Assim, o princípio de
Fermat �ca:
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Relação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
O princípio de Fermat estabelece a existência de um caminho muito
bem de�nido para o raio ir de S a P. Trata-se de um princípio
variacional de acordo com (3):
δ
P∫S
n(S)dS = 0 (14)
Agora, quando um raio se propaga no espaço, ds é expresso em
coordenadas cartesianas como:
dS =√
dx2 + dy2 + dz2 = dz
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
(15)
Note que dz foi arbitrariamente colocado em evidência, mas
também poderíamos ter escolhido dx ou dy. Assim, o princípio de
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Relação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
O princípio de Fermat estabelece a existência de um caminho muito
bem de�nido para o raio ir de S a P. Trata-se de um princípio
variacional de acordo com (3):
δ
P∫S
n(S)dS = 0 (14)
Agora, quando um raio se propaga no espaço, ds é expresso em
coordenadas cartesianas como:
dS =√
dx2 + dy2 + dz2 = dz
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
(15)
Note que dz foi arbitrariamente colocado em evidência, mas
também poderíamos ter escolhido dx ou dy. Assim, o princípio de
Fermat �ca:
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Relação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
O princípio de Fermat estabelece a existência de um caminho muito
bem de�nido para o raio ir de S a P. Trata-se de um princípio
variacional de acordo com (3):
δ
P∫S
n(S)dS = 0 (14)
Agora, quando um raio se propaga no espaço, ds é expresso em
coordenadas cartesianas como:
dS =√
dx2 + dy2 + dz2 = dz
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
(15)
Note que dz foi arbitrariamente colocado em evidência, mas
também poderíamos ter escolhido dx ou dy. Assim, o princípio de
Fermat �ca:Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Óptica Geométrica
Postulados da óptica geométricaO Princípio de Fermat
A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
δ
P∫S
n(x , y , z)
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
dz = 0 (16)
ou seja:
δ
P∫S
f (x , y , x ′, y ′, z) = 0; f (x , y , x ′, y ′, z) = n(x , y , z)√
1 + x ′2 + y ′2
(17)
A equação (17) é dita Princípio da Ação Mínima, e é aplicada
constantemente no contexto da Mecânica Clássica. Se supomos os
raios num plano yz, então (16) �ca:
dS = dy√
1 + z ′2 (18)
e a solução da equação (17) leva a um conjunto de equações do
tipo Euler-Lagrange:
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δ
P∫S
n(x , y , z)
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
dz = 0 (16)
ou seja:
δ
P∫S
f (x , y , x ′, y ′, z) = 0; f (x , y , x ′, y ′, z) = n(x , y , z)√
1 + x ′2 + y ′2
(17)
A equação (17) é dita Princípio da Ação Mínima, e é aplicada
constantemente no contexto da Mecânica Clássica. Se supomos os
raios num plano yz, então (16) �ca:
dS = dy√
1 + z ′2 (18)
e a solução da equação (17) leva a um conjunto de equações do
tipo Euler-Lagrange:
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δ
P∫S
n(x , y , z)
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
dz = 0 (16)
ou seja:
δ
P∫S
f (x , y , x ′, y ′, z) = 0; f (x , y , x ′, y ′, z) = n(x , y , z)√
1 + x ′2 + y ′2
(17)
A equação (17) é dita Princípio da Ação Mínima, e é aplicada
constantemente no contexto da Mecânica Clássica. Se supomos os
raios num plano yz, então (16) �ca:
dS = dy√
1 + z ′2 (18)
e a solução da equação (17) leva a um conjunto de equações do
tipo Euler-Lagrange:
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δ
P∫S
n(x , y , z)
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
dz = 0 (16)
ou seja:
δ
P∫S
f (x , y , x ′, y ′, z) = 0; f (x , y , x ′, y ′, z) = n(x , y , z)√
1 + x ′2 + y ′2
(17)
A equação (17) é dita Princípio da Ação Mínima, e é aplicada
constantemente no contexto da Mecânica Clássica. Se supomos os
raios num plano yz, então (16) �ca:
dS = dy√
1 + z ′2 (18)
e a solução da equação (17) leva a um conjunto de equações do
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δ
P∫S
n(x , y , z)
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
dz = 0 (16)
ou seja:
δ
P∫S
f (x , y , x ′, y ′, z) = 0; f (x , y , x ′, y ′, z) = n(x , y , z)√
1 + x ′2 + y ′2
(17)
A equação (17) é dita Princípio da Ação Mínima, e é aplicada
constantemente no contexto da Mecânica Clássica. Se supomos os
raios num plano yz, então (16) �ca:
dS = dy√
1 + z ′2 (18)
e a solução da equação (17) leva a um conjunto de equações do
tipo Euler-Lagrange:
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
δ
P∫S
n(x , y , z)
√1 +
(dx
dz
)2
+
(dy
dz
)2
dz = 0 (16)
ou seja:
δ
P∫S
f (x , y , x ′, y ′, z) = 0; f (x , y , x ′, y ′, z) = n(x , y , z)√
1 + x ′2 + y ′2
(17)
A equação (17) é dita Princípio da Ação Mínima, e é aplicada
constantemente no contexto da Mecânica Clássica. Se supomos os
raios num plano yz, então (16) �ca:
dS = dy√
1 + z ′2 (18)
e a solução da equação (17) leva a um conjunto de equações do
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d
dy
(∂f
∂z ′
)− ∂f
∂z= 0 (19)
onde f (y , z ′) = n(y)√1 + z ′2 independe de z e, portanto, ∂f
∂z = 0.
Isto simpli�ca a solução da equação (19) pois ∂f∂z será constante.
Desta forma, temos:
∂f
∂z ′=
n(y)z ′√1 + z ′2
= n0 (20)
Elevando (20) ao quadrado, obtemos:
n(y)2z ′2 = n20(1 + z ′2) (21)
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d
dy
(∂f
∂z ′
)− ∂f
∂z= 0 (19)
onde f (y , z ′) = n(y)√1 + z ′2 independe de z e, portanto, ∂f
∂z = 0.
Isto simpli�ca a solução da equação (19) pois ∂f∂z será constante.
Desta forma, temos:
∂f
∂z ′=
n(y)z ′√1 + z ′2
= n0 (20)
Elevando (20) ao quadrado, obtemos:
n(y)2z ′2 = n20(1 + z ′2) (21)
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d
dy
(∂f
∂z ′
)− ∂f
∂z= 0 (19)
onde f (y , z ′) = n(y)√1 + z ′2 independe de z e, portanto, ∂f
∂z = 0.
Isto simpli�ca a solução da equação (19) pois ∂f∂z será constante.
Desta forma, temos:
∂f
∂z ′=
n(y)z ′√1 + z ′2
= n0 (20)
Elevando (20) ao quadrado, obtemos:
n(y)2z ′2 = n20(1 + z ′2) (21)
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d
dy
(∂f
∂z ′
)− ∂f
∂z= 0 (19)
onde f (y , z ′) = n(y)√1 + z ′2 independe de z e, portanto, ∂f
∂z = 0.
Isto simpli�ca a solução da equação (19) pois ∂f∂z será constante.
Desta forma, temos:
∂f
∂z ′=
n(y)z ′√1 + z ′2
= n0 (20)
Elevando (20) ao quadrado, obtemos:
n(y)2z ′2 = n20(1 + z ′2) (21)
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d
dy
(∂f
∂z ′
)− ∂f
∂z= 0 (19)
onde f (y , z ′) = n(y)√1 + z ′2 independe de z e, portanto, ∂f
∂z = 0.
Isto simpli�ca a solução da equação (19) pois ∂f∂z será constante.
Desta forma, temos:
∂f
∂z ′=
n(y)z ′√1 + z ′2
= n0 (20)
Elevando (20) ao quadrado, obtemos:
n(y)2z ′2 = n20(1 + z ′2) (21)
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A Lei de Snell GeneralizadaRelação entre o Princípo de Fermat e a Lei de Snell
Substituindo a expressão aproximada para o índice de refração dado
por (8), e considerando que:
z ′ =dz
dy=
1dydz
=1
y ′(22)
então, obtemos:
y ′ =dy
dz=
(dn
dy
)y0
(y − y0) (23)
Com esta análise chegamos ao mesmo resultado obtido com a lei
de Snell generalizada, salientando que as equações de
Euler-Lagrange permitem tratar problemas onde o índice de
refração varia nas três direções.
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Substituindo a expressão aproximada para o índice de refração dado
por (8), e considerando que:
z ′ =dz
dy=
1dydz
=1
y ′(22)
então, obtemos:
y ′ =dy
dz=
(dn
dy
)y0
(y − y0) (23)
Com esta análise chegamos ao mesmo resultado obtido com a lei
de Snell generalizada, salientando que as equações de
Euler-Lagrange permitem tratar problemas onde o índice de
refração varia nas três direções.
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Substituindo a expressão aproximada para o índice de refração dado
por (8), e considerando que:
z ′ =dz
dy=
1dydz
=1
y ′(22)
então, obtemos:
y ′ =dy
dz=
(dn
dy
)y0
(y − y0) (23)
Com esta análise chegamos ao mesmo resultado obtido com a lei
de Snell generalizada, salientando que as equações de
Euler-Lagrange permitem tratar problemas onde o índice de
refração varia nas três direções.
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Substituindo a expressão aproximada para o índice de refração dado
por (8), e considerando que:
z ′ =dz
dy=
1dydz
=1
y ′(22)
então, obtemos:
y ′ =dy
dz=
(dn
dy
)y0
(y − y0) (23)
Com esta análise chegamos ao mesmo resultado obtido com a lei
de Snell generalizada, salientando que as equações de
Euler-Lagrange permitem tratar problemas onde o índice de
refração varia nas três direções.
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Substituindo a expressão aproximada para o índice de refração dado
por (8), e considerando que:
z ′ =dz
dy=
1dydz
=1
y ′(22)
então, obtemos:
y ′ =dy
dz=
(dn
dy
)y0
(y − y0) (23)
Com esta análise chegamos ao mesmo resultado obtido com a lei
de Snell generalizada, salientando que as equações de
Euler-Lagrange permitem tratar problemas onde o índice de
refração varia nas três direções.
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