Aula de eletrônica digital
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FUNÇÕES LÓGICAS – PORTAS LÓGICAS
1- Breve histórico
Em meados do século passado George Boole desenvolveu um sistema matemático de análise lógica. Esse sistema é conhecido como Álgebra de Boole.
No início da era Eletrônica, todos os problemas eram resolvidos por sistemas analógicos, também conhecidos por sistemas lineares.Com o avanço da tecnologia , esses mesmos problemas começaram a ser solucionados através da eletrônica digital. Esse ramo da eletrônica emprega nas suas máquinas, tais como: computadores, processadores de dados, sistemas de controle e de comunicação digital, codificadores, decodificadores etc., apenas um pequeno grupo de circuitos lógicos básicos, que são conhecidos como portas lógicas OU, E, NÃO e Flip-Flops.
Através da combinação desses circuitos, criou-se a Lógica Combinacional e foi possível implementar todas as expressões geradas pela Álgebra de Boole.
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2- FUNÇÕES: E , OU, NÃO, NE e NOU
Para i início da nossa análise, façamos as seguintes considerações:
Nível 0 – Chave aberta – Lâmpada apagadaNével 1 – Chave fechada – Lâmpada acesa
2.1 – Função “E” ou “AND”
A função “E” é aquela que opera a multiplicação de duas ou mais variáveis binárias.
S = A . B onde se lê, S = A e B
Representação da função E através de um circuito elétrico.
E => é uma bateria;
Ch A e Ch B => são chaves;
S => é a saída que está representada por uma lâmpada.
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2.1.1 – Montagem da tabela verdade do circuito apresentado.
Chave A Chave B Lâmp - S
Aberta Aberta Apagada
Aberta Fechada Apagada
Fechada Aberta Apagada
Fechada Fechada Acesa
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2.1.2 - Tabela Verdade de uma função E ou AND
A B Saída
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
2.1.3 - Simbologia da porta E ou AND
Obs: A e B são as variáveis de entrada da porta E, ou seja, 2 variáveis, logo, 4 combinações possíveis.
O nº de combinações será igual a 2N , onde N é o nº de variáveis de entrada.
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2.1.4 - Simbologia da porta E de 3 entradas
2.1.5 - Tabela Verdade da porta E com 3 variáveis de entrada
S = A . B . C => é a expressão Booleana resultante da submissão das 3 variáveis a porta E ou AND.
N = 3 pois temos 3 variáveis de entrada (A,B e C), logo o nº de combinações possíveis é igual 23, ou seja, 8 combinações como podem ser observadas na tabela verdade.
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2.2 - Função OU ou função OR
É aquela que assume valor 1 (um) quando uma ou mais variáveis forem iguais a 1 (um) e assume valor 0 (zero), se e somente se, todas as variáveis forem 0 (zero).
A representação algébrica para duas variáveis de entrada é:
S = A + B, onde se lê, S = A ou B.
Representação da função OU através de um circuito elétrico.
E => é uma bateria;
Ch A e Ch B => são chaves;
S => é a saída que está representada por uma lâmpada.
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2.2.1 - Tabela Verdade do circuito (ckt) apresentado:
Ch A Ch B Lamp - S
Aberta Aberta Apagada
Aberta Fechada Acesa
Fechada Aberta Acesa
Fechada Fechada Acesa
Aberto = 0;
Apagado = 0;
Fechado = 1;
Aceso = 1
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2.2.2 - Tabela Verdade da porta OU ou porta OR
A B Saída
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Obs: A e B são as variáveis de entrada da porta OU, ou seja, 2 variáveis, logo, 4 combinações possíveis.
O nº de combinações será igual a 2N , onde N é o nº de variáveis de entrada.
2.2.3 - Simbologia da porta OU ou porta OR
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2.2.4 - Simbologia da porta OU de 4 entradas.
S = A + B + C + D => é a expressão Booleana resultante da submissão das 4 variáveis a porta OU ou OR .
2.2.5 - Tabela Verdade da porta OU com 4 variáveis de entrada.
N = 4 pois temos 4 variáveis de entrada (A, B, C e D), logo o nº de combinações possíveis é igual 24, ou seja, 16 combinações como podem ser observadas na tabela verdade.
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2.3 - Função NÃO ou NOT
A função NÃO é aquela que inverte ou complementa o estado da variável, ou seja, se a variável estiver em 0 (zero), a saída vai para 1 (um) e se estiver em 1 (um), a saída vai para 0 (zero). É representada algebricamente da seguintes formas:
S = A ou S = A’ ; onde se lê A barra ou NÃO A.
2.3.1 - Representação da função OU através de um circuito elétrico.
E => é uma bateria;
R => é uma resistência que limita a corrente de curto circuito;
Ch A => é uma chave;
S => é a saída que está representada por uma lâmpada.
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2.3.2 - Análise do ckt apresentado.
1ª condição => Chave A aberta
Qd a chave A está aberta, a corrente atravessa a resistência R, passando pela lâmpada S e fazendo com que fique acesa.
2ª condição => Chave A fechada
Qd a chave A está fechada, a corrente do ckt atravessa a resistência R e retorna pela chave A, ou seja nenhuma corrente passa pela lâmpada S, fazendo com que fique apagada.
Aberto = Apagado = 0 (zero)
Fechado = Aceso = 1 (um)
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2.3.3 - Tabela Verdade da porta NÃO ou NOT
A S
0 1
1 0
2.3.4 - Simbologia do INVERSOR
O Inversor é o bloco lógico que executa a função NÃO ou NOT.
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2.4 - Função NÃO E , NE ou NAND
Conforme o nome NÃO E, essa função é uma composição da função E com a função NÃO, ou seja, teremos a função E invertida.
A representação algébrica é a seguinte: S = (A . B) , onde o travessão em cima do produto, significa que o resultado dessa operação será invertido.
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
2.4.1 - Tabela Verdade da função NE ou NAND
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2.4.2 - Simbologias da porta NE ou NAND
Simbologias do Inversor , da porta NÃO
OBS: Podem ser encontrados no mercado circuitos integrados AND, NAND e NOT separadamente, mas não há impedimento para que a porta NAND seja estabelecida a partir de portas AND e NOT separadamente conforme a figura.
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2.5 - Função NÃO OU, NOU ou NOR
Da mesma forma que a função NE, a função NOU é a composição da função NÃO coma a função OU, ou seja, a função NOU será o inverso da função OU.
A representação algébrica e da seguinte forma: S = (A + B), onde o travessão indica a inversão da soma Booleana (A +B)
2.5.1 – Tabela Verdade da função NOU ou NOR
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
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2.5.2 – Simbologias da porta NOU ou NOR
Simbologias do Inversor , da porta NÃO
OBS: Podem ser encontrados no mercado circuitos integrados OR, NOR e NOT separadamente, mas não há impedimento para que a porta NOR seja estabelecida a partir de portas OR e NOT separadamente conforme a figura.
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2.6 – Quadro RESUMO
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3 – Expressões Booleanas obtidas de Circuitos Lógicos
Todo ckt lógico executa uma expressão booleana e por mais complexo que seja, é formado pela interligação das portas lógicas básicas.
Podemos obter a expressão boolena que é executada por um ckt lógico qualquer.
3.1 - Vejamos o exemplo a seguir.
Para facilitar a análise vamos dividir o ckt em duas partes distintas.
S1= A . B
S = S1 + C , logo
S = (A . B) + C
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3.1.1 – Exercício Resolvido
Escreva, ou determine a expressão booleana executada pelo ckt abaixo:
Comecemos escrevendo a expressão de saída de cada bloco (porta), submetendo-as ao último bloco (porta).
S = (A + B) . (C + D)
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3.1.2 – Exercícios Propostos
a)
b)
c)
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3.2 – Circuitos obtidos a partir de Expressões Booleanas
Assim como foi possível obter expressões Booleanas de CKTs lógicos, é possível que CKTs lógicos sejam estabelecidos a partir de expressões Booleanas, como se estivéssemos executando uma engenharia reversa.
Conhecida uma determinada expressão Boolena, deve-se buscar a identificação da função das porta lógicas dentro da expressão dada. Veja o exemplo a seguir:
S = (A + B) . C . (B + D)
Para a solução a partir de expressões, devemos sempre respeitar a hierarquia das funções aritméticas, ou seja, para exemplo apresentado, iniciaremos avaliando os conteúdos entre parênteses. Pode-se identificar com facilidade que tem-se duas somas Boolenas entre parênteses, que são: (A+B) que chamaremos de expressão 1 e (B+D) que chamaremos de expressão 2. Logo, S = Expressão 1 . C . Expressão 2.
Passo 1 - A solução para a expressão 1 é a porta OU.
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Passo 2 - A solução para a expressão 2 também é a porta OU.
Passo 3 – A solução é a multiplicação através de uma porta AND de 3 entradas.
Passo 4 – A solução final e como deve ser apresentada é a seguinte:
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Desenhe o ckt que executa a expressão Booleana a seguir:
S = A . B .C + (A + B) . C
Passo 1 – Identificar e separar as portas lógicas na expressão dada.
Passo 2 – Definir as portas lógicas que compõem cada segmento.
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Passo 3 – Montar o ckt final com todas as portas lógicas interligadas.
Desenhe os CKTs para as seguintes expressões:
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3.3 – Tabelas Verdade Obtidas de Expressões Booleanas
Como vimos anteriormente quando estudamos as Portas e Funções lógicas (OR, NOR, AND e NAND), uma maneira de se fazer o estudo de uma função Booleana, é um mapa onde se colocam todas as situações possíveis de dada expressão, juntamente com o valor por esta assumido. Para que se extraia a tabela verdade de uma dada expressão, segue-se o seguinte procedimento:
1º - Identifica-se quantas variáveis compõem a expressão;
2º - Monta-se a o quadro de possibilidades baseado na seguinte fórmula: 2N , onde N é o nº de variáveis que compõem a expressão. Veja o exemplo.
2 variáveis (A e B) – 22 – 4 possibilidades;
3 variáveis (A, B e C) – 23 – 8 possibilidades;
4 variáveis (A, B, C e D) – 24 – 16 possibilidades;
5 variáveis (A, B, C, D e E) – 25 - 32 possibilidades.
3º - Montam-se colunas para os vários membros da expressão;
4º - Preenchem-se essas colunas com os respectivos resultados das expressões;
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Para o melhor entendimento deste processo, vamos utilizar a expressão a seguir:
S = A . B . C + A . D + A . B . D
Temos na expressão, 4 variáveis: A, B, C e D, logo , teremos 24 possibilidades de combinação de entrada.
Vamos, a seguir, montar o quadro de possibilidades com 4 variáveis de entrada, 3 colunas auxiliares, sendo uma para cada membro da expressão e uma coluna para o resultado final (S).
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Um outro modo de resolução para a expressão anterior, que é mais prático, mas requer mais atenção, consiste em montar a tabela de possibilidades sem utilizar as colunas auxiliares, ou seja, apenas as possibilidades e o resultado final.
Façamos a tabela verdade para a expressão: S = A + B + A . B . C
Primeiramente, monta-se o quadro de possibilidades com 23 linhas ou possibilidades
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Logo após, vamos preencher a tabela utilizando os casos notáveis, que permitem a conclusão do resultado final imediato:
1 – Nos casos onde A = 0 (A = 1), temos a o resultado da expressão S = 1, pois, sendo A = 1, temos na expressão: S = 1 + B + A . B . C = 1 (qualquer que sejam os valores assumidos pela variável B ou pelo termo A . B . C).
2 – Nos casos remanescentes onde B = 1, temos S = 1, pois da mesma forma que nos casos anteriores S = A + 1 + A . B . C = 1.
3 – O termo A . B . C será igual a 1 somente no caso remanescente 100.
4 – Por exclusão, ou ainda por substituição dos valores, concluímos que no último caso (101), temos na saída S = 0
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Exercícios
Prove as identidades abaixo relacionadas:
a) A . B ≠ A . B
b) A + B ≠ A + B
c) A . B = A + B
d) A + B = A . B
Levantar a tabela verdade dos termos das identidades apresentadas como se os termos pertencessem a uma mesma expressão S
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Solução para as identidades apresentadas
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Levante a tabela verdade da expressão:
S = (A + B) . (B . C)
Monte a tabela verdade da expressão:
S = [ (A + B) . C ] + [ D . (B + C) ]
Analise o comportamento do CKT abaixo:
Expressão de S = ?
Tab. Verdade = ?
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3.4 - Expressões Booleanas obtidas de Tabelas da Verdade
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Determine a expressão Booleana em função da tabela abaixo.
Dada a expressão, estabeleça o ckt lógico correspondente
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Monte o ckt lógico correspondente a expressão apresentada
3.5 -
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Simbologia da porta OU EXCLUSIVO
OBS : Existe disponível no mercado de componentes eletrônicos o circuito integrado TTL de nº 7486, que é um QUAD GATE OU EXCLUSIVO ( 4 x portas OU EXCLUSIVO)
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DATASHEET do CI 7486 do fabricante FAIRCHILD
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DATASHEET do CI 7486 do fabricante FAIRCHILD
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DATASHEET do CI 7486 do fabricante FAIRCHILD
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DATASHEET do CI 7486 do fabricante FAIRCHILD
Detalhes referentes ao encapsulamento do CI
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Determine o sinal de saída (S) em função dos sinais de entrada
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Determine a expressão de saída e monte a tabela verdade para o ckt apresentado.
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DICAEnumere as portas lógicas envolvidas e realize a expressão Boolena referente a cada uma.
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A porta lógica NE com as entradas curtocircuitadas, ou interligadas como na figura abaixo, funciona como se fosse uma porta NÃO.
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Um outro caminho para que se obtenha a porta NÃO a partir de uma porta NOR.
Esta é uma das identidades, ou equivalências obtidas através do Teorema de De Morgan.
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Agora vamos substituir cada porta lógica pelo equivalente composto por portas NE
Observando o ckt, verificamos que surgiram portas inversoras consecutivas, o que nos permitirá realizar uma simplificação do ckt acima.
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Ckt simplificado com a exclusão das portas NÃO consecutivas.
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Como primeiro passo, implemente o ckt conforme a expressão e em seguida, realize a equivalência com portas NOU.
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Após a entrada das portas NOU devemos verificar a existência de portas NÃO que estejam em série e em seguida eliminá-las. O ckt abaixo já está simplificado, ou seja, com as portas NÃO em série eliminadas.
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S = ?
Não esqueça que na resolução deste tipo de exercício, para facilitar a análise, devemos montar a expressão Booleana de cada uma das portas lógicas apresentadas.
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1 -
2 -
3 -
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Postulados da COMPLEMENTAÇÃO
Chamaremos A o complemento de A :
1º ) Se A = 0, logo A = 1
2º ) Se A = 1, logo A = 0
Através deste postulado, podemos estabelecer a seguinte identidade:
Se A= 1 , temos: A = 0 e se A = 0 , A = 1
Se A = 0 , temos A = 1 e se A = 1 , A = 0
Postulado da ADIÇÃO
Este postulado mostra como são as regras da Adição na Algebra de Boole.
1º) 0 + 0 = 02º) 0 + 1 = 13º) 1 + 0 = 14º) 1 + 1 = 1
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Através deste postulado, podemos estabelecer as seguintes identidades:
A + 0 = A , para qualquer valor de A.
A + 1 = 1 , para qualquer valor de A.
A + A = A , para qualquer valor de A.
A + A = 1, para qualquer valor de A.
Postulado da MULTIPLICAÇÃO
É o postulado que determina as regras da multiplicação Booleana:
1º) 0 . 0 = 02º) 0 . 1 = 03º) 1 . 0 = 04º) 1 . 1 = 1
Através deste postulado, podemos estabelecer as seguintes identidades:
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A . 0 = 0 , para qualquer valor de A.
A . 1 = A , para qualquer valor de A.
A . A = A , para qualquer valor de A.
A . A = 0 , para qualquer valor de A.
PROPRIEDADES
As principais propriedades algébricas no manuseio e simplificação de expressões Boolenas são:
Comutativa
Associativa
Distributiva
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Propriedade Comutativa
Esta propriedade é válida tanto na Adição quanto na Multiplicação.
Adição: A + B = B + A
Multiplicação: A . B = B . A
Propriedade Associativa
Esta propriedade é válida tanto na Adição quanto na Multiplicação.
Adição: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
Multiplicação: A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C
Propriedade Distributiva
A . (B + C) = A . B + A . C
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A . (B + C) = A . B + A . C
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1ª)
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2ª)
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3ª)
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IMPORTANTE TER EM MENTE AS PROPRIEDADES, OS POSTULADOS, OS TEOREMAS E AS IDENTIDADES DESTE QUADRO RESUMO
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Utilizando a Álgebra de Boole podemos simplificar expressões e conseqüentemente os circuitos que realizam as funções lógicas dessas expressões.
Para efetuar simplificações existem dois métodos que são:
1 – Simplificação através da Álgebra de Boole;
2 – Simplificação através do diagrama de Veitch Karnaugh.
Ao utilizarmos a Álgebra de Boole para a simplificação, é o mesmo que dizer que vamos nos valer dos postulados, identidades e teoremas para simplificar ao máximo as expressões apresentadas.
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De Morgam demonstra
que: C + B = C . B
Utilizando as identidades da ADIÇÃO
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Sublinhados os termos envolvidos, onde foi aplicado ALGEBRISMO MATEMÁTICO
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Sublinhados os termos envolvidos, onde foi aplicado ALGEBRISMO MATEMÁTICO
Aplicando a teremos :
Aplicando a teremos :
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Aplicando a teremos :
Aplicando a teremos :
Aplicando a teremos :
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Aplicando-se a Propriedade Distributiva que é puro algebrismo matemático teremos:
Aplicando identidade da Multiplicação teremos:
S = A C + B C
Colocando-se C em evidência teremos:
S = [ C ( A + B )]
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Aplicando a teremos :
Aplicando a
IMPORTANTE
Sem parênteses;
Sem duplos travessões;
CIs de duas entradas (E e OU);
4 portas lógicas (2 x NÃO; 1 E ; 1 OU)
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Aplicando a propriedade Distributiva no 1º termo entre parênteses e De Morgan no 2º termo entre parênteses internos aos colchetes teremos:
X + Y + Z = X . Y . Z
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De Morgan
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Expressão final que não permite mais simplificações
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Retirando da tabela a expressão de S apenas nos casos verdadeiros S = 1, teremos:
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Já simplificados pelo por Karnaugh
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ATENÇÃO com a quadra formada na letra (c), devemos imaginar um cilindro estabelecido, como se uníssemos uma folha de papel retangular
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Minimize o ckt que realiza a tabela abaixo:
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LÓGICA COMBINACIONAL CIRCUITOS FLIP - FLOP
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ENTRADAS SET e RESET
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GERADOR DE PRODUTOS CANÔNICOS
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ENCADEAMENTO DE MUX p/ OBTER MUX MAIORES
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