Aula Aletas FT2

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  • Transferncia de Calor emSuperfcies Estendidas:

    Aletas

    Universidade Federal de AlfenasInstituto de Qumica

    Professor: Adriano Aguiar Mendes

    Superfcie estendida comumente usado paradescrever um caso especialimportante envolvendo atransferncia de calor porconduo no interior de umslido e a transferncia decalor por conveco (e/ouradiao) nas fronteiras doslido.

    Em uma superfcieestendida, a direo datransferncia de calor nasfronteiras perpendicular direo principal datransferncia de calor doslido.

    Transferncia de Calor

    Aletas Existem vrias situaes diferentes que envolvem os

    efeitos combinados de conduo/conveco, aaplicao mais frequente aquela na qual umasuperfcie estendida usada especificamente paraaumentar a taxa de transferncia de calor entre umslido e um fludo adjacente. Tal superfcie estendida chamada de aleta.

    Objetivo do uso de aletas aumentar a taxa detransferncia de calor.

    Aletas so superfcies que estendem a partir dasuperfcie de um objeto, de modo a aumentar a taxade transferncia de calor para o ambiente (ou vice-versa) atravs do aumento da conveco.

    Aletas

    Como aumentar a taxa de transferncia de calor?

    1 Aumentando o gradiente de temperatura. 2 Aumentando o coeficiente de conveco. 3 Reduzir a resistncia.3 Aumentando a rea de contato.

  • Aletas: Aplicaes Para resfriar motores a combusto (Radiadores).

    Transformadores de potncia eltrica.

    Motores eltricos.

    Trocadores de calor com tubos aletados.

    Aletas: Aplicaes

    Aletas: Configuraes

    Aleta plana comseo transversaluniforme.

    Aleta plana comseo transversalno-uniforme.

    Aleta anular Aleta piniforme

    Equaes de TC com Aletas

  • Lei de Conservao de Energia

    Equao de Fourier: e

    VCacumuladaVCgerada

    conv

    SCsai

    cond

    SCsai

    cond

    SCentra EEEEE =+00

    0= convSCsaicond

    SCsai

    cond

    SCentra EEE

    0= + convdxxx qqq

    dx

    dTkAq trx = dx

    dx

    dqqxq xdxx +=+

    dxdx

    dTA

    dx

    dk

    dx

    dTkAq trtrdxx

    =+

    Conduo de calor:Lei de Conservao de EnergiaConveco de calor:

    Substituindo as equaes, tem-se:

    ( ) 0... =

    TTdxPhdx

    dx

    dTAk

    dx

    dtr

    ou

    ( ) ( )= TTdxPhqconv ...

    ( ) 0...2

    2

    = TTPhdx

    TdAk tr

    Equao Geral de Transferncia de Calor em superfcies estendidas (aletas)

    ( ) 0.

    .2

    2

    = TTAk

    Ph

    dx

    Td

    tr

    Lei de Conservao de Energia

    Simplificando a equao anterior, tem-se:

    Onde m o coeficiente da aleta (m-1).

    022

    2

    =

    mdx

    d

    trkA

    hPm 2

    ( ) ( ) TT xx

    trkA

    hPm =

    Lei de Conservao de Energia

    A expresso anterior uma equao diferencial linearordinria de segunda ordem, cuja soluo geral :

    Em que: C1 e C2 so constantes para seremdeterminadas atravs das condies de contornoapropriadas.

    Aplicando CC na equao de segunda ordem:

    x=0; T=TS

    mxmx eCeCTT += 21

  • Lei de Conservao de EnergiaCaso A: Barra infinitamente longa.

    +==

    mm eCeCTT 210

    Neste caso, sua temperatura se aproxima datemperatura do fluido quando x T, ou T=TS em x T.Substituindo essa condio na equao anterior, tem:

    Como o segundo termo da equao acima zero, acondio de contorno satisfeita apenas se C1=0.Substituindo C1 por 0, na equao acima, tem-se:

    A distribuio de temperatura :

    = TTC s2

    =m

    S eTTTT )(

    Lei de Conservao de Energia

    Como o calor transferido por conduo atravs da baseda aleta deve ser transferido por conveco dasuperfcie para o fluido, tem-se:

    Substituindo a equao anterior na equao acima ederivando para x=0, tem-se:

    0=

    =x

    traletadx

    dTkAq

    ( ) ( )[ ] ( )

    == =

    TT

    kA

    hPkAeTTmkAq S

    tr

    trx

    m

    Straleta 0

    0...

    ( )= TThPkAq Straleta

    Lei de Conservao de EnergiaCaso B: Barra de comprimento finito, com perda de calorpela extremidade desprezvel.

    ml

    S

    e

    TTC

    21 1+

    =

    Neste caso, a 2 CC ir requerer que o gradiente detemperatura em x=L seja igual a zero, ou seja,dT/dx=0 em x=L. Com estas condies:

    Substituindo as CC na equao anterior, tem-se:

    ml

    S

    e

    TTC

    22 1

    +

    =

    ( )

    ++

    +=

    ml

    mx

    ml

    mx

    SSe

    e

    e

    eTTTT

    22 11.

    Lei de Conservao de Energia Considerando que o cosh definido como Neste caso, a equao anterior pode ser escrita em uma

    forma adimensional simplificada :

    A transferncia de calor pode ser obtida atravs daequao abaixo, substituindo o gradiente detemperatura na base:

    ( )( )ml

    xlm

    TT

    TT

    S cosh

    cosh =

    ( ) 2cosh xx eex +=

    ( ) ( )

    +

    =

    +

    ++

    =

    =

    mlml

    mlml

    SmlmlS

    x ee

    eemTT

    eemTT

    dx

    dT.

    1

    1

    1

    1.

    22

    0

    ( ) ( )mltghmTTdx

    dTS

    x

    .0

    =

    =

  • Lei de Conservao de Energia O calor transferido, na unidade de tempo, ento:

    ( ) ( )mltghTThPkAq Straleta =

    Caso C: Barra de comprimento finito, com perda de calorpela extremidade.

    Neste caso, a lgebra envolvida algo maiscomplicado, entretanto o princpio o mesmo e o fluxode calor transferido :

    ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    +

    +=

    mlsenhmkhml

    mlmkhmlsenh

    TThPkAq Straletacosh

    cosh

    Tipos de Aletas

    Aletas com seco transversal retangular.Considerando que a aleta tem espessura b e largura e(espessura pequena em relao largura), ocoeficiente da aleta m pode ser calculado assim :

    trkA

    hPm =

    twA

    wtwP

    tr .

    .2.2.2

    =

    +=

    kwt

    whm

    2=

    kt

    hm

    2=

    Tipos de Aletas

    Aletas com seco transversal no-retangular. Oclculo do coeficiente m pode ser feito de modo similarao caso anterior, considerando uma rea transversalmdia.

    Tipos de Aletas

    Aletas curvas. Depende da direo do escoamento dofluido externo, pois as aletas no devem prejudicar ocoeficiente de pelcula, ou seja, no podem provocarestagnao do fluido.

    trkA

    hPm =

    ( )erA

    rrP

    tr ...2

    ..4..2.2

    =

    erk

    hrm

    ...2.

    ...4

    =ke

    hm

    2=

  • Tipos de Aletas

    Aletas piniformes. O coeficiente da aleta m pode sercalculado assim:

    trkA

    hPm =

    2.

    ..2

    rA

    rP

    tr

    =

    =

    2..

    ..2.

    rk

    rhm

    =kr

    hm

    2=

    Eficincia das Aletas

    Considerando uma superfcie-base sobre a qual estofixadas aletas de seo transversal uniforme. As aletastem espessura e, altura l e largura b. A superfcie baseest na temperatura TS maior que a temperaturaambiente T.

    Eficincia das Aletas

    O fluxo de calor total transferido atravs da superfciecom as aletas igual ao fluxo transferido pela reaexposta das aletas (AA) mais o fluxo transferido pelarea exposta da superfcie base (AB):

    A diferena de temperatura para a rea das aletas (T? -T) desconhecida. A temperatura TS da base daaleta, pois medida que a aleta perde calor, a suatemperatura diminui, ou seja, AA no trabalha com omesmo potencial trmico em relao ao fluido.

    aletaBT qqq +=( )= TThAq SBB( )= TThAq Aaleta ?

    Eficincia das Aletas

    Por este motivo qA, calculado com o potencial (TST),deve ser corrigido, multiplicando este valor pelaeficincia da aleta (). A eficincia da aleta pode serdefinida assim:

    Portanto:

    SA TatemperaturnaestivesseAsetrocadoseriaquecalor

    aletapelatrocadorealmentecalor=

    ( )=

    TThA

    q

    SA

    aleta

  • Eficincia das Aletas

    O fluxo de calor em uma aleta cuja troca de calor pelaextremidade desprezvel obtido atravs da equaoabaixo, obtida anteriormente:

    Igualando as duas equaes para o fluxo de calor, tem-se:

    Isolando a eficincia da aleta, obtm-se:

    ( ) ( )mltghTThPkAq Straleta =

    ( ) ( ) ( )mltghTThPkATTAh StrSA = ..

    ( )mltghAh

    hPkA

    A

    tr

    .=

    ( )=

    TThA

    q

    SA

    aleta

    Eficincia das Aletas A rea de troca de calor da aleta pode ser aproximada

    para:

    Substituindo a equao acima na equao anterior,obtm-se:

    O coeficiente da aleta (m) pode ser introduzido naequao acima para dar a expresso final da eficinciada aleta:

    ( ) ( ) ( )

    lkA

    Ph

    lmthgmltgh

    hPl

    kAmltgh

    lPh

    kAPh

    t

    tt

    ..

    .

    ...

    . 2/12/1===

    lPAA .=

    ( )lm

    lmtgh

    .

    .= onde:

    tAk

    Phm

    .

    .= e ( )

    mlml

    mlml

    ee

    eelmtgh

    +

    =.

    Eficincia das Aletas De acordo com a equao abaixo, anteriormente

    determinada, o fluxo de calor trocado em umasuperfcie aletada por ser calculado:

    Rearranjando a equao acima, tem-se:

    A eficincia da aletas obtida a partir da equaoacima e as reas no-aletada (AB) e das aletas (AA) soobtidas atravs de relaes geomtricas.

    aletaBT qqq +=

    ( )( )+= TTAAhq sABT

    ( ) ( )... += TTAhTTAhq SASBT

    Exerccios 1) A dissipao de calor em um

    transistor de formato cilndrico podeser melhorada inserindo um cilindrovazado de alumnio (k=200 W/m.K)que serve de base para 12 aletasaxiais. O transistor tem raio externode 2 mm e altura de 6 mm, enquantoque as aletas tem largura de 10 mm eespessura de 0,7 mm. O cilindrovasado com as aletas, cuja espessura 1 mm, est perfeitamente ajustadoao transistor e tem resistncia trmicadesprezvel. Sabendo que ar fluindo a20C sobre as super