Transferncia de Calor emSuperfcies Estendidas:

Aletas

Universidade Federal de AlfenasInstituto de Qumica

Professor: Adriano Aguiar Mendes

Superfcie estendida comumente usado paradescrever um caso especialimportante envolvendo atransferncia de calor porconduo no interior de umslido e a transferncia decalor por conveco (e/ouradiao) nas fronteiras doslido.

Em uma superfcieestendida, a direo datransferncia de calor nasfronteiras perpendicular direo principal datransferncia de calor doslido.

Transferncia de Calor

Aletas Existem vrias situaes diferentes que envolvem os

efeitos combinados de conduo/conveco, aaplicao mais frequente aquela na qual umasuperfcie estendida usada especificamente paraaumentar a taxa de transferncia de calor entre umslido e um fludo adjacente. Tal superfcie estendida chamada de aleta.

Objetivo do uso de aletas aumentar a taxa detransferncia de calor.

Aletas so superfcies que estendem a partir dasuperfcie de um objeto, de modo a aumentar a taxade transferncia de calor para o ambiente (ou vice-versa) atravs do aumento da conveco.

Aletas

Como aumentar a taxa de transferncia de calor?

1 Aumentando o gradiente de temperatura. 2 Aumentando o coeficiente de conveco. 3 Reduzir a resistncia.3 Aumentando a rea de contato.

Aletas: Aplicaes Para resfriar motores a combusto (Radiadores).

Transformadores de potncia eltrica.

Motores eltricos.

Trocadores de calor com tubos aletados.

Aletas: Aplicaes

Aletas: Configuraes

Aleta plana comseo transversaluniforme.

Aleta plana comseo transversalno-uniforme.

Aleta anular Aleta piniforme

Equaes de TC com Aletas

Lei de Conservao de Energia

Equao de Fourier: e

VCacumuladaVCgerada

conv

SCsai

cond

SCsai

cond

SCentra EEEEE =+00

0= convSCsaicond

SCsai

cond

SCentra EEE

0= + convdxxx qqq

dx

dTkAq trx = dx

dx

dqqxq xdxx +=+

dxdx

dTA

dx

dk

dx

dTkAq trtrdxx

=+

Conduo de calor:Lei de Conservao de EnergiaConveco de calor:

Substituindo as equaes, tem-se:

( ) 0... =

TTdxPhdx

dx

dTAk

dx

dtr

ou

( ) ( )= TTdxPhqconv ...

( ) 0...2

2

= TTPhdx

TdAk tr

Equao Geral de Transferncia de Calor em superfcies estendidas (aletas)

( ) 0.

.2

2

= TTAk

Ph

dx

Td

tr

Lei de Conservao de Energia

Simplificando a equao anterior, tem-se:

Onde m o coeficiente da aleta (m-1).

022

2

=

mdx

d

trkA

hPm 2

( ) ( ) TT xx

trkA

hPm =

Lei de Conservao de Energia

A expresso anterior uma equao diferencial linearordinria de segunda ordem, cuja soluo geral :

Em que: C1 e C2 so constantes para seremdeterminadas atravs das condies de contornoapropriadas.

Aplicando CC na equao de segunda ordem:

x=0; T=TS

mxmx eCeCTT += 21

Lei de Conservao de EnergiaCaso A: Barra infinitamente longa.

+==

mm eCeCTT 210

Neste caso, sua temperatura se aproxima datemperatura do fluido quando x T, ou T=TS em x T.Substituindo essa condio na equao anterior, tem:

Como o segundo termo da equao acima zero, acondio de contorno satisfeita apenas se C1=0.Substituindo C1 por 0, na equao acima, tem-se:

A distribuio de temperatura :

= TTC s2

=m

S eTTTT )(

Lei de Conservao de Energia

Como o calor transferido por conduo atravs da baseda aleta deve ser transferido por conveco dasuperfcie para o fluido, tem-se:

Substituindo a equao anterior na equao acima ederivando para x=0, tem-se:

0=

=x

traletadx

dTkAq

( ) ( )[ ] ( )

== =

TT

kA

hPkAeTTmkAq S

tr

trx

m

Straleta 0

0...

( )= TThPkAq Straleta

Lei de Conservao de EnergiaCaso B: Barra de comprimento finito, com perda de calorpela extremidade desprezvel.

ml

S

e

TTC

21 1+

=

Neste caso, a 2 CC ir requerer que o gradiente detemperatura em x=L seja igual a zero, ou seja,dT/dx=0 em x=L. Com estas condies:

Substituindo as CC na equao anterior, tem-se:

ml

S

e

TTC

22 1

+

=

( )

++

+=

ml

mx

ml

mx

SSe

e

e

eTTTT

22 11.

Lei de Conservao de Energia Considerando que o cosh definido como Neste caso, a equao anterior pode ser escrita em uma

forma adimensional simplificada :

A transferncia de calor pode ser obtida atravs daequao abaixo, substituindo o gradiente detemperatura na base:

( )( )ml

xlm

TT

TT

S cosh

cosh =

( ) 2cosh xx eex +=

( ) ( )

+

=

+

++

=

=

mlml

mlml

SmlmlS

x ee

eemTT

eemTT

dx

dT.

1

1

1

1.

22

0

( ) ( )mltghmTTdx

dTS

x

.0

=

=

Lei de Conservao de Energia O calor transferido, na unidade de tempo, ento:

( ) ( )mltghTThPkAq Straleta =

Caso C: Barra de comprimento finito, com perda de calorpela extremidade.

Neste caso, a lgebra envolvida algo maiscomplicado, entretanto o princpio o mesmo e o fluxode calor transferido :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+

+=

mlsenhmkhml

mlmkhmlsenh

TThPkAq Straletacosh

cosh

Tipos de Aletas

Aletas com seco transversal retangular.Considerando que a aleta tem espessura b e largura e(espessura pequena em relao largura), ocoeficiente da aleta m pode ser calculado assim :

trkA

hPm =

twA

wtwP

tr .

.2.2.2

=

+=

kwt

whm

2=

kt

hm

2=

Tipos de Aletas

Aletas com seco transversal no-retangular. Oclculo do coeficiente m pode ser feito de modo similarao caso anterior, considerando uma rea transversalmdia.

Tipos de Aletas

Aletas curvas. Depende da direo do escoamento dofluido externo, pois as aletas no devem prejudicar ocoeficiente de pelcula, ou seja, no podem provocarestagnao do fluido.

trkA

hPm =

( )erA

rrP

tr ...2

..4..2.2

=

erk

hrm

...2.

...4

=ke

hm

2=

Tipos de Aletas

Aletas piniformes. O coeficiente da aleta m pode sercalculado assim:

trkA

hPm =

2.

..2

rA

rP

tr

=

=

2..

..2.

rk

rhm

=kr

hm

2=

Eficincia das Aletas

Considerando uma superfcie-base sobre a qual estofixadas aletas de seo transversal uniforme. As aletastem espessura e, altura l e largura b. A superfcie baseest na temperatura TS maior que a temperaturaambiente T.

Eficincia das Aletas

O fluxo de calor total transferido atravs da superfciecom as aletas igual ao fluxo transferido pela reaexposta das aletas (AA) mais o fluxo transferido pelarea exposta da superfcie base (AB):

A diferena de temperatura para a rea das aletas (T? -T) desconhecida. A temperatura TS da base daaleta, pois medida que a aleta perde calor, a suatemperatura diminui, ou seja, AA no trabalha com omesmo potencial trmico em relao ao fluido.

aletaBT qqq +=( )= TThAq SBB( )= TThAq Aaleta ?

Eficincia das Aletas

Por este motivo qA, calculado com o potencial (TST),deve ser corrigido, multiplicando este valor pelaeficincia da aleta (). A eficincia da aleta pode serdefinida assim:

Portanto:

SA TatemperaturnaestivesseAsetrocadoseriaquecalor

aletapelatrocadorealmentecalor=

( )=

TThA

q

SA

aleta

Eficincia das Aletas

O fluxo de calor em uma aleta cuja troca de calor pelaextremidade desprezvel obtido atravs da equaoabaixo, obtida anteriormente:

Igualando as duas equaes para o fluxo de calor, tem-se:

Isolando a eficincia da aleta, obtm-se:

( ) ( )mltghTThPkAq Straleta =

( ) ( ) ( )mltghTThPkATTAh StrSA = ..

( )mltghAh

hPkA

A

tr

.=

( )=

TThA

q

SA

aleta

Eficincia das Aletas A rea de troca de calor da aleta pode ser aproximada

para:

Substituindo a equao acima na equao anterior,obtm-se:

O coeficiente da aleta (m) pode ser introduzido naequao acima para dar a expresso final da eficinciada aleta:

( ) ( ) ( )

lkA

Ph

lmthgmltgh

hPl

kAmltgh

lPh

kAPh

t

tt

..

.

...

. 2/12/1===

lPAA .=

( )lm

lmtgh

.

.= onde:

tAk

Phm

.

.= e ( )

mlml

mlml

ee

eelmtgh

+

=.

Eficincia das Aletas De acordo com a equao abaixo, anteriormente

determinada, o fluxo de calor trocado em umasuperfcie aletada por ser calculado:

Rearranjando a equao acima, tem-se:

A eficincia da aletas obtida a partir da equaoacima e as reas no-aletada (AB) e das aletas (AA) soobtidas atravs de relaes geomtricas.

aletaBT qqq +=

( )( )+= TTAAhq sABT

( ) ( )... += TTAhTTAhq SASBT

Exerccios 1) A dissipao de calor em um

transistor de formato cilndrico podeser melhorada inserindo um cilindrovazado de alumnio (k=200 W/m.K)que serve de base para 12 aletasaxiais. O transistor tem raio externode 2 mm e altura de 6 mm, enquantoque as aletas tem largura de 10 mm eespessura de 0,7 mm. O cilindrovasado com as aletas, cuja espessura 1 mm, est perfeitamente ajustadoao transistor e tem resistncia trmicadesprezvel. Sabendo que ar fluindo a20C sobre as super