Aula 8 MA14 PROFMAT CPII

Sumario

NUMEROS ESPECIAIS

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br

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PROFMAT - Colegio Pedro II

18 de novembro de 2016

Primos de Fermat, de Mersenne e em PA Numeros Perfeitos Decomposicao do Fatorial em Primos A Equacao Ep(x!) = α

Sumario

1 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA

2 Numeros Perfeitos

3 Decomposicao do Fatorial em Primos

4 A Equacao Ep(x!) = α


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2 Numeros Perfeitos




Primos de Fermat

Proposicao 8.1: Sejam a e n numeros naturais maiores que 1.Se an + 1 e primo, entao a e par e n = 2m, com m ∈ N

Definicao: Os numeros de Fermat sao numeros da formaFn = 22n

+ 1, n = 0,1,2, ...

Fermat (em cartas a Mersenne em 1640): Esses numeros saotodos primos

Euler (1732): F5 = 225+ 1 = 4294967297 = 641.6700417,

portanto, composto (Exemplos 9.19 e 10.18)


Primos de Fermat

Definicao: Os primos de Fermat primos sao chamados deprimos de Fermat

Conjectura (Hardy e Wright): Os primos de Fermat sao emnumero finito

Exemplo 6.18 (a): (Fn,Fm) = 1, se n 6= m

Esse resultado fornece-nos uma outra prova de que existeminfinitos numeros primos, pois cada numero de Fermat tempelo menos um divisor primo (Teorema 7.3) e esses divisoresprimos sao todos distintos


Primos de Mersenne

Proposicao 8.2: Sejam a e n numeros naturais maiores doque 1. Se an − 1 e primo, entao a = 2 e n e primo

Definicao: Os numeros de Mersenne sao ps numeros daforma Mp = 2p − 1, onde p e um primo

. maior numero primo conhecido (2013): M57885161 com17425170 dıgitos no sistema decimal


Primos em uma PA

Teorema de DirichletTeorema 8.3: Em uma PA de numeros naturais, com primeirotermo e razao primos entre si, existem infinitos numeros primos

Casos particulares desse teorema

Proposicao 8.4: Na progressao aritmetica3,7,11,15, ...,4n + 3, ... existem infinitos numeros primos

Lema 8.5: Seja x ∈ N, com x ≥ 2. Todo divisor ımpar de x2 + 1e da forma 4n + 1

Proposicao 8.6: Na progressao aritmetica1,5,9,13,17, ...,4n + 1, ... existem infinitos numeros primos


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2 Numeros Perfeitos




Numeros Perfeitos

Definicao: Seja n ∈ N. Denotaremos por s(n) a soma de todosos seus divisores naturais. Note que s(1) = 1

Exemplo 8.7: Seja n ∈ N. Tem-se que s(n) = n + 1 se, esomente se, n e um numero primo

Proposicao 8.8: Seja n = pα11 ...pαr

r a decomposicao de n emfatores primos. Entao

s(n) =pα1+1

1 − 1p1 − 1

...pαr+1

r − 1pr − 1


Numeros Perfeitos

Corolario 8.9: A funcao s(n) e multiplicativa, isto e, se (n,m) = 1, entao s(nm) = s(n)s(m)

Exemplo 8.10:

s(3) =32 − 1

3− 1= 4

s(6) = s(2.3) =22 − 1

2− 1

32 − 1

3− 1= 12

s(18) = s(2.32) =21 − 1

2− 1

33 − 1

3− 1= 39

s(28) = s(22.7) =

23 − 1

2− 1

72 − 1

7− 1= 56

s(45) = s(32.5) =

33 − 1

3− 1

52 − 1

5− 1= 78

Note que s(18) = 39 6= 48 = s(3).s(6) e, portanto, a conclusao do corolario nao vale se (n,m) 6= 1

Os numeros como o 6 e 28, com a propriedade de serem iguais a metadde da soma de seus divisores, tiveram opoder de fascinar os gregos antigos, que os chamaram de numeros perfeitos


Numeros Perfeitos

Definicao: Um numero natural n e chamado de numero perfeito ses(n) = 2n. Ou ainda, se o numero e igual a soma dos seus divisoresnaturais distintos dele mesmo

. Todos os numeros perfeitos conhecidos sao pares

Euclides-EulerTeorema 8.11: Um numero natural n e um numero perfeito par se, esomente se, n = 2p−1(2p − 1), onde 2p − 1 e um primo de Mersenne

. O fato de o numero 2p − 1 no enunciado do teorema ser um primode Mersenne implica que p e primo

. O teorema reduz a existencia ou nao de um numero infinito denumeros perfeitos pares ao problema analogo para primos deMersenne, o que ainda esta em aberto


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2 Numeros Perfeitos




Decomposicao do Fatorial em Primos

Proposicao 8.12: Sejam a,b, c ∈ N. Temos que[ a

bc

]=[

abc

]. Ep(n!): expoente da maior potencia de p que divide n!, ouseja, o exppoente da potencia de p que aparece na fatoracaode n! em fatores primos

Teorema 8.13: Sejam n um numero natural e p um numeroprimo. Entao

Ep(n!) =[n

p

]+[ n

p2

]+[ n

p3

]+ ...



Na pratica, e facil calcular Ep(n!). Isso se faz com o uso doseguinte algoritmo:

n = pq1 + r1q1 = pq2 + r2...qs−1 = pqs + rs

Como q1 > q2 > ..., segue-se que, para algum s, tem-se queqs < p. Portanto,

Ep(n!) = q1 + q2 + ...+ qs

Exemplo 8.14: Vamos determinar a decomposicao de 10! emfatores primos e descobrir com quantos zeros termina arepresentacao decimal desse numero



Lema 8.15: Sejam a1, ...,am,b numeros naturais. Tem-se que[a1

b

]+ ...+

[am

b

]≤[a1 + ...+ am

b

]<[a1

b

]+ ...+

[am

b

]+ m

Corolario 8.16: Se a1, ...,am sao numeros naturais, entao enatural o numero (a1+...+am)!

a1!...am!

Teorema 8.17: Sejam p,n ∈ N, com p primo. Sen = nr pr + nr−1pr−1 + ...+ n1p + n0 e a representacao p-adicade n, entao

Ep(n!) =n − (n0 + n1 + ...+ nr−1 + nr )

p − 1



Vamos a seguir descrever um algoritmo para calcular Ep

(( nm

))Sejam dados os numeros naturais

m = m0 + m1p + ...+ msps e l = l0 + l1p + ...+ lt pt ,

escritos na sua expansao p-adica, e seja n = m + l com expansao p-adican = n0 + n1p + ...+ nr pr .Para determinar os ni em funcao dos mi e li , introduziremos a seguinte notacao:

ε0 =

{0, se m0 + l0 < p1, se m0 + l0 ≥ p

e para i > 0

εi =

{0, se mi + li + εi−1 < p1, se mi + li + εi−1 ≥ p

Pondo ε−1 = 0 para 0 ≤ i ≤ r , temos que

ni = mi + li + εi−1 − εi p



KummerCorolario 8.18: Com as notacoes acima temos que

Ep

(( nm

))=

r∑i=0

εi

. O numero Ep

(( nm

)), para n > m, e igual ao numero de vezes

que se “toma emprestado” uma unidade da casa superior aoefetuarmos a subtracao n −m na base p

. Se n tem r + 1 algarismos na base p, entao so podemos “tomaremprestado” no maximo r vezes uma unidade da casa superior aosubtrairmos de n um numero inferior a ele



Exemplo 8.19: Seja n = 196 e m = 67, vamos determinar por

meio do algoritmo de Kummer o valor de Ep

(( 19667

))

Exemplo 8.20: Seja n ∈ N. Vamos mostrar que(

2nn

)divide

[1,2, ...,2n]


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2 Numeros Perfeitos




A Equacao Ep(x !) = α

O nosso objetivo nesta secao sera o de complementar a teoriadesenvolvida na secao anterior, determinando quando aequacao Ep(x!) = α tem solucao em x ∈ N e, nesse caso,determinar todas as solucoes

Note que se n = mp + r , onde 0 ≤ r < p, entaoEp(n!) = Ep((mp)!). Portanto, se existir uma solucao deEp(x!) = α, todas as solucoes serao da formamp,mp + 1, ...,mp + p − 1, para algum m ∈ N



Dados p e α, descreveremos o algoritmo para resolver em m a equacaoEp((mp)!) = α

1 Iniciamos com o calculo da expansao p-adica de α2 Em seguida verificamos se α = ps + ps−1 + ...+ p. Em tal caso a

nossa equacao nao tem solucao

3 Em seguida, calculamos ms =[α(p−1)ps+1−1

]. Se for zero, calculamos[

α(p−1)ps−1

], que nesse caso e igual a ms−1. Assim procede-se ate

encontrar o primeiro l tal que[α(p−1)pl+1−1

]6= 0. Nesse caso

ms = ms−1 = ... = ml+1 = 0 e ml =[α(p−1)pl+1−1

]6= 0

4 Em seguida, poe-se m′ = m −mlpl e α′ = α−ml(pl + ...+ 1) eficamos reduzidos a resolver a equacao Ep((m′p)!) = α′, onde m′ < me α′ < α. Para a qual aplicamos os passos anteriores do algoritmo



Exemplo 8.22: Vamos resolver em x a equacao E7(x!) = 855

Com esse exemplo vemos que a equacao Ep(x!) = α pode naoter solucao mesmo que α 6= ps + ps−1 + ...+ p, pois esse eapenas o primeiro passo do algoritmo, podendo tal casoocorrer em algum outro passo, inviabilizando a existencia dasolucao.

Exemplo 8.23: Vamos resolver a equacao E5(x!) = 148

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