Aula 5 Hidrostática -...

Universidade Federal Fluminense

Disciplina:

Aula 5 – Hidrostática

FENÔMENOS DE TRANSPORTE

Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Engenharia Agrícola e Meio Ambiente)Elson Nascimento (Depto. de Engenharia Civil)

Escola de Engenharia


Estática dos fluidos

▪ Pressões

▪ Empuxo

▪ Forças hidrostáticas sobre superfícies planas

▪ Forças em tubulações curvas

▪ Equilíbrio de corpos flutuantes

Pressão

Estática dos fluidos (hidrostática)

𝑑 𝐹

𝑑𝑉= 𝜌

𝑑𝑉

𝑑𝑡

𝑑 𝐹𝑔

𝑑𝑉= 𝜌 𝑔

𝑑 𝐹𝑝𝑑𝑉

= −𝛻𝑝

𝑑 𝐹𝑣𝑑𝑉

= 𝛻 ∙ 𝜎𝑖𝑗

𝜎𝑖𝑗 = 𝜇𝑑𝜃𝑖𝑗

𝑑𝑡= 𝜇

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑗

𝑥1 = 𝑥𝑥2 = 𝑦𝑥3 = 𝑧

0

0

= 0

𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 = 0

→ V x,y,z,t = 0

𝑢1 = 𝑢𝑢2 = 𝑣𝑢3 = 𝑤

Forças

Campo

▪ Gravitacional:

Contato

▪ Pressão:

▪ Viscosa:

→ 𝛻𝑝 = 𝜌 𝑔


Gravidade orientada para -z :

em z:

→ V x,y,z,t = 0

→𝜕𝑝

𝜕𝑧= 𝜌 −𝑔 →

𝑑𝑝

𝑑𝑧= −𝜌 𝑔 → 𝑑𝑝 = −𝜌 𝑔 𝑑𝑧

→ 𝑝1

𝑝2

𝑑𝑝 = − 𝑧1

𝑧2

𝜌 𝑔 𝑑𝑧 → 𝑝2 − 𝑝1 = − 𝑧1

𝑧2

𝛾 𝑑𝑧

→ 𝑝2 = 𝑝1 − 𝑧1

𝑧2

𝛾 𝑑𝑧

→ 𝛻𝑝 = 𝜌 𝑔


→ 𝑝2 = 𝑝1 − 𝛾 𝑧1

𝑧2

𝑑𝑧

→ 𝑝2 = 𝑝1 − 𝛾 𝑧2 − 𝑧1

Obs: pressão manométrica: 𝑝𝑚 = 𝑝 − 𝑝𝑎𝑡𝑚

∆𝑧12

Incompressível:

Compressível: → 𝑝2 = 𝑝1 − 𝑧1

𝑧2

𝛾 𝑑𝑧


▪ Teorema de Stevin:

zAA

zPP

−ℎ

z

atmosfera

h

𝑝2 = 𝑝1 − 𝛾 𝑧2 − 𝑧1

𝑝𝑃 = 𝑝𝐴 − 𝛾 𝑧𝑃 − 𝑧𝐴

𝑝𝑎𝑡𝑚

→ 𝑝 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝛾ℎ

Incompressível:

fluido

𝛾 = 𝜌𝑔

→ ∆𝑝1 = ∆𝑝2▪ Teorema de Pascal:


Dois fluidos

... incompressíveis

zAA

zCC

zBB

A

B

𝑝2 = 𝑝1 − 𝑧1

𝑧2

𝛾 𝑑𝑧

𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 −

𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 − 𝛾𝐴 𝑧𝑐 − 𝑧𝐴 − 𝛾𝐵 𝑧𝐵 − 𝑧𝐶

z

∆𝑧𝐴𝐶 ∆𝑧𝐶𝐵

− 𝑧𝐶

𝑧𝐵

𝛾𝐵 𝑑𝑧− 𝑧𝐴

𝑧𝐶

𝛾𝐴 𝑑𝑧 −


Múltiplos (n) fluidos incompressíveis

𝑝𝑛 = 𝑝0 −

𝑧1 − 𝑧0 1

n

2

h1

h2

hn

z

z0

z1

pn-1

p0

p1

p2

pn

z2

zn-1

zn

𝑧2 − 𝑧1 𝑧𝑛 − 𝑧𝑛−1

−ℎ1 −ℎ2 −ℎ𝑛

→ 𝑝𝑛 = 𝑝0 + 𝛾1ℎ1 + 𝛾2ℎ2 + ⋯+ 𝛾𝑛ℎ𝑛

→ 𝑝𝑛 = 𝑝0 +

𝑘=1

𝑛

±𝛾𝑘ℎ𝑘

↓ +𝛾𝑘ℎ𝑘

↑ −𝛾𝑘ℎ𝑘

𝛾 = 𝜌𝑔

⋮

−𝛾1∆𝑧0,1 −−𝛾2∆𝑧1,2 −− ⋯ −−𝛾𝑛∆𝑧𝑛−1,𝑛


ExemploNa figura ao lado, a pressão manométrica em A é 1,5 kPa. Os fluidos estão a 20°C.Determine as elevações z, em metros, dos níveis dos líquidos nos piezômetros B eC (Dados: ar=1,2 kg/m³ ; gas=680 kg/m³ ; gli=1.264 kg/m³).

B C

A

Glicerina

Gasolina

Ar2,0 m

z

1,5 m

1,0 m

pn=p0+

k=1

n

±γkhk

↓ +γkhk

↑−γkhk

zA

zB

zC

zD

zE

pB=pA +

0 2m

+ γarhAD − γgashDB

zB - zD

1+1,5 = 2,5

zB = pA g + 2 ρarρgas

+ 2,5 → zB= 2,7 m

γ = ρg


ExemploNa figura ao lado, a pressão manométrica em A é 1,5 kPa. Os fluidos estão a 20°C.Determine as elevações z, em metros, dos níveis dos líquidos nos piezômetros B eC (Dados: ar=1,2 kg/m³ ; gas=680 kg/m³ ; gli=1.264 kg/m³).

B C

A

Glicerina

Gasolina

Ar2,0 m

z

1,5 m

1,0 m

pn=p0+

k=1

n

±γkhk

↓ +γkhk

↑−γkhk

zA

zB

zC

zD

zE

pC=pA +

0 2m

+ γarhAD + γgashDE

1,5m

1

zC = pA g + 2 ρar+ 1,5 ρgas

ρgli+ 1

zB= 2,7 m

γ = ρg

− γglihEC

zC-zE

→ zC= 1,9 m

Empuxo

Empuxo:

F1

F2

fluido

𝐸 = 𝐹2 − 𝐹1

Empuxo:

z1

z2

h

fluido

incompressível

fluido

dF1

dF2

𝑑𝐸 = 𝑑𝐹2 − 𝑑𝐹1

→ 𝑑𝐸 = 𝑝2𝑑𝐴 − 𝑝1𝑑𝐴= 𝑝2 − 𝑝1 𝑑𝐴

→ 𝐸 =

𝑆

𝑝2 − 𝑝1 𝑑𝐴

𝑝2 − 𝑝1 = − 𝑧1

𝑧2

𝛾 𝑑𝑧 = −𝛾 𝑧2 − 𝑧1

→ 𝐸 = −

𝑆

𝛾 𝑧2 − 𝑧1 𝑑𝐴

−ℎ

= 𝛾

𝑆

ℎ𝑑𝐴

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

→ 𝐸 = 𝛾𝑓 ∙ 𝑉𝑠𝑢𝑏

Forças hidrostáticas sobre superfícies planas

Força hidrostática sobre superfície plana:

Barragens

Comportas

Vertedouros

outros...

Disponível em <http://www.engenhariacivil.com/maiores-obras-engenharia-civil-brasil>. Acesso em 06/12/2016.

Disponível em: <http://www.gentedeopiniao.com.br/mobile/energia/noticia/concluida-a-montagem-das-tres-primeiras-comportas-do-vertedouro-principal-da-uhe-santo-antonio/72405>. Acesso em 06/12/2016.

Disponível em: <http://engenharia-t1a.webnode.com.br/news/a%C3%A7%C3%B5es%20hidraulicas%20em%20comportas/>. Acesso em 06/12/2016.

http://www.engenhariacivil.com/maiores-obras-engenharia-civil-brasil

http://www.gentedeopiniao.com.br/mobile/energia/noticia/concluida-a-montagem-das-tres-primeiras-comportas-do-vertedouro-principal-da-uhe-santo-antonio/72405

http://engenharia-t1a.webnode.com.br/news/a%C3%A7%C3%B5es hidraulicas em comportas/

Fonte: White (2001)

Superfície livre

Vista superior de uma

superfície plana arbitrária

ℎ(𝑥, 𝑦)ℎ𝐶𝐺

𝐹

𝜉

𝑑𝐴 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝐶𝐺𝑦

𝑥

𝐶𝑃

𝜃Fluido

Força hidrostática sobre superfície plana

Fonte: White (2001)

Superfície livre




𝜉 =ℎ

𝑠𝑒𝑛𝜃


𝐶𝐺𝑦

𝑥

𝐶𝑃

𝜃Fluido

𝐹

𝐹 = 𝑆

𝑝 𝑑𝐴 = 𝑆

𝑝𝑎 + 𝛾ℎ 𝑑𝐴

= 𝑆

𝑝𝑎 𝑑𝐴 + 𝑆

𝛾ℎ 𝑑𝐴

• considerando fluido incompressível:

→ 𝐹 = 𝑝𝑎 𝑆

𝑑𝐴 + 𝛾 𝑆

ℎ 𝑑𝐴ℎ = 𝜉 𝑠𝑒𝑛𝜃

= 𝑝𝑎𝐴 + 𝛾 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑆

𝜉 𝑑𝐴

𝜉𝐶𝐺 = 𝑆 𝜉 𝑑𝐴

𝐴

= 𝑝𝑎𝐴 + 𝛾 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜉𝐶𝐺𝐴ℎ𝐶𝐺

→ 𝐹 = 𝑝𝑎𝐴 + 𝛾ℎ𝐶𝐺𝐴

𝑝𝐶𝐺

𝐹 = 𝑝𝐶𝐺𝐴

= 𝑝𝑎 + 𝛾ℎ𝐶𝐺 𝐴



→ 𝑦𝐶𝑃 = −𝛾 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥𝑥

𝐹𝑦𝐶𝑃 = −

𝛾 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥𝑥𝐹

Fonte: White (2001)

Superfície livre




𝜉 =ℎ

𝑠𝑒𝑛𝜃


𝐶𝐺𝑦

𝑥

𝐶𝑃

𝜃Fluido 𝑀𝐹 = 𝑀𝑝


𝐹𝑦𝐶𝑃 = 𝑆

𝑦 𝑝 𝑑𝐴

𝑦𝐶𝑃

= 𝑆

𝑦 𝑝𝑎 + 𝛾ℎ 𝑑𝐴

= 𝑆

𝑦 𝑝𝑎 𝑑𝐴 + 𝑆

𝑦 𝛾 ℎ 𝑑𝐴

ℎ = 𝜉 𝑠𝑒𝑛𝜃

= 𝑝𝑎 𝑆

𝑦 𝑑𝐴 + 𝛾 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑆

𝑦 𝜉 𝑑𝐴

𝑦𝐶𝐺 = 𝑆 𝑦 𝑑𝐴

𝐴= 0

𝑦

𝜉𝐶𝐺

𝜉 = 𝜉𝐶𝐺 − 𝑦

= 𝛾 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜉𝐶𝐺 𝑆

𝑦 𝑑𝐴 − 𝑆

𝑦2 𝑑𝐴

→ 𝐹𝑦𝐶𝑃 = −𝛾 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥𝑥

𝐼𝑥𝑥


Fonte: White (2001)

Superfície livre




𝜉 =ℎ

𝑠𝑒𝑛𝜃


𝐶𝐺𝑦

𝑥

𝐶𝑃

𝜃Fluido


𝑦𝐶𝑃

𝑦

𝜉𝐶𝐺

𝑦𝐶𝑃 = −𝛾 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥𝑥

𝐹

Resumo:

𝑥𝐶𝑃 = −𝛾 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥𝑦

𝐹



𝐼𝑥𝑥 = 𝑆

𝑦2 𝑑𝐴

𝐼𝑥𝑦 = 𝑆

𝑥𝑦 𝑑𝐴


Momento de inércia de área

▪ Retângulo

▪ Triângulo

x

y

CG

b

L

L/2

b/2

𝐼𝑥𝑥 =𝑏𝐿3

12

L/3

𝐼𝑥𝑥 =𝑏𝐿3

36

CG

x

yL

b/2

𝐼𝑥𝑦 = 0

b/2

s

𝐼𝑥𝑦 =𝑏 𝑏 − 2𝑠 𝐿2

72


Momento de inércia de área

▪ Círculo

▪ Semicírculo

x

y

CG

𝐼𝑥𝑥 =𝜋𝑟4

4

CG

x

y

4𝑟

3𝜋

𝐼𝑥𝑥 =𝜋

8−

8

9𝜋𝑟4

𝐼𝑥𝑦 = 0

r

r

r

𝐼𝑥𝑦 = 0

𝜃

1,8 m

2,4 m

4,6 m

𝑝𝑎

𝑝𝑎

Pare

de

A

B

𝜌 = 1.025𝑘𝑔

𝑚3

Exemplo:

A comporta da figura ao lado possui 1,5 m de

largura, é rotulada em B e se apoia na parede em

A. Calcule:

a) a força exercida na comporta pela água;

b) a força horizontal P exercida pela parede na

comporta em A;

c) as reações na rótula B.

Fonte: White (2001)

𝜃

1,8 m

2,4 m

4,6 m

𝑝𝑎

𝑝𝑎

Pare

de

A

B

𝜌 = 1.025𝑘𝑔

𝑚3

Exemplo:



A. Calcule:



comporta em A;


CG

CG

CP

CP

𝐹

hCG

0,9m

Fonte: White (2001)

𝜃

1,8 m

2,4 m

4,6 m

𝑝𝑎

𝑝𝑎

Pare

de

A

B

𝜌 = 1.025𝑘𝑔

𝑚3

Exemplo:



A. Calcule:



comporta em A;


CG

CG

CP

CP

𝐹F = pCG A

hCG

0,9mhCG = 4,6−0,9 = 3,7m

→ pCG == γ hCG = ρ g hCG

= 1025 ∙ 9,8 ∙ 3,7

= 37,2 kPa

→ F = pCG A = 37200 1,5 ∙ 3

→ F = 167 kN

a)

Fonte: White (2001)

𝜃

1,8 m

2,4 m

4,6 m

𝑝𝑎

𝑝𝑎

Pare

de

A

B

𝜌 = 1.025𝑘𝑔

𝑚3

Exemplo:



A. Calcule:



comporta em A;


CG

CP

𝐹

hCG

0,9m

F = 167 kNa)

b)

CG

CPFonte: White (2001)

𝜃

1,8 m

2,4 m

𝑝𝑎

𝑝𝑎

A

B

𝜌 = 1.025𝑘𝑔

𝑚3

Exemplo:



A. Calcule:



comporta em A;


CG

CP

𝐹F = 167 kNa)

b)

𝑃

𝐵𝑥

𝐵𝑦

MB = 0

yCP = − γ senθ Ixx F

ρg

1,8/3 = 0,6

bL3

12=1,5∙33

12=3,37

→ yCP=−1025∙9,8 ∙0,6∙3,37

167000

= −0,12 m

MB = −F dF + P dP = 0

→ dF = 1,5 − 0,12 = 1,38 m

→ P = F dF dP = 167000∙ 1,38 1,8 P = 128kN→

Fonte: White (2001)

𝜃

1,8 m

2,4 m

𝑝𝑎

𝑝𝑎

A

B

𝜌 = 1.025𝑘𝑔

𝑚3

Exemplo:



A. Calcule:



comporta em A;


CG

CP

𝐹F = 167 kNa)

b)

𝑃

𝐵𝑥

𝐵𝑦

P = 128kN

c)

Fx = 0

Fy = 0

→ Bx = 27 kN

→ By = 134 kN

Fonte: White (2001)

𝜃

→ F senθ + Bx −P = 0

→ By − F cosθ = 0

Forças hidrostáticas sobre superfícies curvas

p(y)

𝐹

𝐹𝑥

𝐹𝑦

dA

p(y)

𝑑 𝐹𝑥

= 𝑝 𝑑𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃

= 𝑝 𝑑𝐴𝑥

dAx

→ 𝐹𝑥 = 𝐴𝑥

𝑝 𝑑𝐴𝑥

AxA

𝐹𝑥p(y)

= 𝑝 𝑑𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃

Forças horizontais:

Deve haver equilíbrio entre as forças

horizontais nos VCs 1 e 2.

Portanto, no VC 2, a força exercida na

superfície curva deve ser igual, em

intensidade, a força no lado oposto, que

corresponde à uma projeção horizontal da

superfície curva num plano vertical.

Desta forma, o cálculo da força horizontal

pode ser feito pela metodologia aplicada a

superfícies planas, considerando como

superfície a projeção.

FH1 - FH1

FH2 - FH2

1

2

Forças verticais:

Na direção vertical, tem-se o peso dos VCs 1 e 2,

com intensidade igual ao volume de cada um

multiplicado pela massa específica do fluido.

O ponto de aplicação das forças peso se localiza

no centro geométrico dos respectivos VCs.

A força vertical exercida na superfície curva será:

FV = P1 + P2

P1

1

2

CG1

P2

CG2

FV

Forças hidrostáticas sobre tubulações curvas

Tubulação com curva 90°

Di

De

pe

pi

Tubulação com curva 90° Projeções horizontais:

pe pi

pipe

pe

pepi

Projeção da área

interna para o

interior da curva

Projeção da área

externa para o

interior da curva

Projeção da área

externa para o

exterior da curva

Projeção da área

interna para o

exterior da curva

Resultante

da pressão

internaResultante da

pressão

externa

pi

Tubulação com curva 90° Resultante das projeções horizontais:

Normalmente,

pe

pepi

Resultante

da pressão


pressão

externa

𝑝𝑖𝐴𝑖 𝑝𝑒𝐴𝑒

pi

𝑝𝑖 ≫ 𝑝𝑒 → 𝑝𝑖𝐴𝑖 > 𝑝𝑒𝐴𝑒

Tubulação com curva 90° Resultante das projeções horizontais:

Normalmente,

pe

pepi

Resultante

da pressão


pressão

externa

𝑝𝑖𝐴𝑖 − 𝑝𝑒𝐴𝑒

Força efetiva: 𝐹𝑒𝑓𝑓

pi

𝑝𝑖 ≫ 𝑝𝑒 → 𝑝𝑖𝐴𝑖 > 𝑝𝑒𝐴𝑒

Tubulação com curva 90° Resultante das projeções horizontais e verticais:

𝐹𝑒𝑓𝑓 = 𝑝𝑖𝐴𝑖 − 𝑝𝑒𝐴𝑒

pe

pi

𝐹𝑒𝑓𝑓

𝐹𝑒𝑓𝑓2 𝐹𝑒𝑓𝑓

Tubulação com curva ° Resultante das projeções horizontais e verticais:

2 1 − cos𝜃 𝐹𝑒𝑓𝑓

pe

pi

𝐹𝑒𝑓𝑓 = 𝑝𝑖𝐴𝑖 − 𝑝𝑒𝐴𝑒

Equilíbrio dos corpos flutuantes

Corpo flutuante:

Centro de Gravidade (G): É o centro de gravidade de todo corpo flutuante (e.g.: embarcação). É o ponto de aplicação da força peso.

Centro de carena (C ou B): é o centro de gravidade do volume “deslocado” de água, ou seja, do volume submerso substituído por água. É o ponto de aplicação da força de empuxo.

Eixo de simetria

Volume submerso

PE

C

G

Corpo flutuante:

Metacentro (M): É a interseção do eixo de simetria do flutuador com a direção do empuxo.

G

C’

M

Pequeno

ângulo de

perturbação𝜃

Eixo de

simetria

G

Volume submerso

CE

P

C

Corpo flutuante:

Altura metacêntrica (GM): É a distância entre o Centro de Gravidade (G) e o Metacentro (M). É uma das características fundamentais no estudo da estabilidade, onde a partir dela podemos determinar, para pequenos ângulos o momento de estabilidade inicial.

C

G

Momento de

viragem

Eixo de

simetria

G

C

M

Momento

restaurador

G

C

M

Corpo flutuante:

Altura metacêntrica:

GM < 0 Instável

GM = 0 Crítico

GM > 0 Estável

▪ se o GM é negativo, o navio mantém um ângulo de adernamento crítico que, por si só, sugere pouca segurança.

▪ se o GM é muito pequeno ou nulo, o navio reagirá suavemente, tendo tendência a “adormecer” aos bordos;

▪ quanto maior for GM, maior será a estabilidade, ou seja, o navio reagirá mais energicamente quando desviado da sua posição de equilíbrio;

Corpo flutuante:

Cálculo de GM para pequenos ângulos:

, onde I0 é momento de inércia da área definida pelo perímetro molhado ao redor do corpo flutuante na altura da superfície d’água (plano horizontal).

GCVol

IGM

sub

0

Soluções para estabilização :

Aliviar pesos situados acima de CG: Seria uma situação de descarregamento

Remover para baixo pesos acima de CG: Remover carga do convés para o porão ou também remover líquidos de tanques elevados para tanques de fundo duplo

Adicionar pesos abaixo de CG: Estando no porto, esta é uma providência recomendável. Em viagem esta providência pode ser tomada enchendo com água salgada os tanques vazios de fundo duplo.

Exemplo: Uma barcaça tem uma seção transversal

retangular uniforme de largura 2L e uma altura de calado H,

como na figura abaixo. Se G estiver exatamente na altura na

linha d’água, determine:

a) a altura metacêntrica para um pequeno ângulo de perturbação; e

b) a faixa da razão L/H para a qual a barcaça é estaticamente estável.

L L

H

G

C


Estática dos fluidos

▪ Pressões

▪ Empuxo

▪ Forças hidrostáticas sobre superfícies planas

▪ Forças em tubulações curvas

▪ Equilíbrio de corpos flutuantes

BIBLIOGRAFIA:

WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw-

Hill, 2010.

FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução à

Mecânica dos Fluídos. 8ª ed. John Wiley and Sons, N.Y.,

Tradução: LTC, 2014.

www.HidroUff.uff.br

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