Aula 5: Capacitância
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Aula 5: Capacitância
Curso de Física Geral III F-328
1º semestre, 2014
F328 – 1S2014 1
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Capacitores Dois condutores carregados com cargas +Q e –Q e isolados, de formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor .
A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo elétrico por ele formado .
Capacitância
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Quatro capacitores carregados formando uma “Bateria”. Esse sistema foi usado por Daniel Gralath para armazenar energia potencial no campo elétrico existente no interior dos capacitores - 1756.
Daniel Bernoulli, e Alessandro Volta, mediram a força entre placas de um capacitor, e Aepinus em 1758 foi quem que supôs que era uma lei de inverso-de-quadrado. (Em 1785 - Lei de Coulomb).
Réplica do sistema de Gralath exitente no museu de Ciência da Cidade de Leiden (Holanda).
História – Garrafa de Leiden e bateria
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Capacitores O capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos condutores que o compõem, independentemente das suas formas.
Outros capacitores Capacitor de placas paralelas
Capacitância
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Capacitores Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à diferença de potencial entre elas, ou seja:
CVQ =onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então: A constante depende apenas da geometria do capacitor. No SI a capacitância é medida em farads (F).
1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V
Importante: pF/m85,80 =ε1 farad = µ F10 6−
,
VQC =
C
Capacitância
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Esquema de cálculo Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria, o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior através da lei de Gauss:
ϕ =
E(r ) ⋅ n̂ dA
S∫ =
qint
ε0
De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de potencial entre as duas placas como:
∫ ⋅−=−=f
i
r
rif ldrEVVV
!
!
!!! )(
E, finalmente, usamos o resultado anterior em , de onde podemos extrair C.
CVQ =
Cálculo da Capacitância
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Capacitor de placas paralelas
EdV =
dAC 0ε=
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅=∫!!
∫ ⋅−=−f
i
r
rif ldrEVV
!
!
!!! )(
Nota-se que a capacitância é proporcional a um comprimento e só depende de fatores geométricos do capacitor.
CVq=
AqE0ε
=
Capacitância: Exemplos
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⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=ab
LQV ln
2 0πε
CVQ =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
=
abLC
ln2 0πε
Capacitor cilíndrico
∫ ⋅−=−f
i
r
rif ldrEVV
!
!
!!! )(
LrQE02 επ
=
(L>> b)
L
L
superfície gaussiana
0
int
εqAdE
S
=⋅=Φ ∫!!
Capacitância: Exemplos
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Capacitor esférico
ababQV −=
04πε
CVQ =ab
abC−
= 04πε
∫ ⋅−=−f
i
r
rif ldrEVV
!
!
!!! )(
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅=∫!!
204 rQEεπ
=
S
Capacitância: Exemplos
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Esfera isolada
baa
ababC
−=
−=
144 00 πεπε
∞→b
aC 04πε=
)( aR =
Exemplo numérico:
pF/m85,80 =ε F101,1 10−×≈C ,
+
E!
+ + +
+
+ + +
+
+ +
∞→b
a
mR 1=
Capacitância: Exemplos
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Carregando o capacitor Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao capacitor. Assim, em função de V
cargas +Q e –Q irão se acumular nas placas do capacitor estabelecendo entre elas uma diferença de potencial –V que se opõe à diferença de potencial da bateria e faz cessar o movimento de cargas no circuito.
, CVQ =
Capacitância
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Associação de capacitores em paralelo VCqVCqVCq 332211 e, ===
VCCCqqqqq )( 321321 ++=⇒++=
321 CCCCeq ++=
∑=i
ieq CCou
Como VCq eq=
Associação de capacitores
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Associação de capacitores em série
332211 e, VCqVCqVCq ===
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=++=
321321
111CCC
qVVVV
321
1111CCCCeq
++= ∑=i ieq CC11
ou
Como eqCqV= :
Associação de capacitores
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Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. Este trabalho fica armazenado sob a forma de energia potencial na região do campo elétrico entre as placas.
Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar de uma placa para a outra é então:
qdCqqdVdW ′′
=′′= Cqqd
CqdWW
q
2
2
0
=′′
== ∫∫2
2
21
2CV
CqU ==
qd ′q′ q′
E!
ld!
dq’
- - - - - - - - - -
Energia armazenada no campo elétrico
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Densidade de energia
Em um capacitor de placas paralelas sabemos que:
dAC 0ε=
2202
21
21 dE
dACVU ε==
EdV =e
202
1 EAdUu ε=≡
(Apesar de a demonstração ter sido feita para o capacitor de placas paralelas, esta fórmula é sempre válida!)
volumepotencialenergia =u
Energia no capacitor
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Exercício: energia de uma esfera Considere um condutor esférico de raio R carregado com uma carga q.
Qual a energia total neste condutor? Duas interpretações:
a) Energia potencial de um capacitor esférico de raio R:
CqU2
21=
b) Integração da densidade de energia u:
+q
– q
c) Qual o raio R0 que contém metade da energia total?
RC 04πε= RqU0
2
8πε=
204
)(r
qrEπε
=
202
1 Eu ε=
U = 1
2ε0 E2 (r)4πr 2 dr
R
∞
∫ = q2
8πε0 R
RRRRRr
drrdrURU
R
R
R
212111(...)
21(...)
21)( 0
0220
0
=⇒=−⇒=⇒= ∫∫∝
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d
x A, εo V=Ax a) Qual é o trabalho W necessário para aumentar em x a separação das placas?
- É a energia adicional que apareceu no volume Ax, que antes não existia. Então:
QExAQxAE
xAExAuUW
21
21
21
00
20
==
====
εε
εAQE00 εε
σ ==
b) Qual é a força de atração entre as placas?
- Como xFW =
E!
QEF21=
Uma nova visão de U
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Visão atômica Dielétricos são materiais isolantes que podem ser polares ou não-polares.
+ - + - + - + -
+ - + - + - + -
+ - + - + - + - E0= 0 E0 E0
E ́E -
-
-
+
+
+
E!
E ′!
0E!
0E!00
!!=E
E ′!
σ ′+
0E!
0E!
dielétrico não-polar
um dielétrico polar: molécula de água
E!
p!
σ ′−
Dielétricos
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Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um capacitor, se V é mantido constante, a carga das placas aumenta; se Q é mantida constante, V diminui. Como Q = CV, ambas as situações são compatíveis com o fato de que o dielétrico entre as placas do capacitor faz a sua capacitância aumentar.
Vimos: C0=ε0L, onde L é uma função que depende apenas da geometria e tem dimensão de comprimento. Então, na presença de um dielétrico preenchendo totalmente o capacitor: Cd = κε0L = κC0, onde κ >1
No vácuo, κ =1
Capacitores com dielétricos
Dielétricos
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Material Constante dielétrica
Resistência Dielétrica (kV/mm)
Ar (1 atm) 1,00054 3 Poliestireno 2,6 24 Papel 3,5 16 Pirex 4,7 14 Porcelana 6,5 5,7 Silício 12 Etanol 25 Água (20º) 80,4 Água (25º) 78,5
Dielétricos
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0
ˆ)(εqqdAnrE
S
′−=⋅∫!!
AqE0
0 ε=
AqqE
0ε′−=
AqE0
0
κεκ=
κqqq =′−
qdAnrDA
=⋅∫ ˆ)(!!
é o vetor de deslocamento elétrico. Então, na lei de Gauss expressa com o vetor , aparecem apenas as cargas livres (das placas).
D!)()( 0 rErD !!!! κε≡
,
onde
∴
00 ˆ)(
εqdAnrE
S
=⋅∫!!(a):
(b):
=E
Em (b): 0
ˆ)(κεqdAnrE
S
=⋅∫!!
Ou:
Aqq
0ε′−=
q−
q+
κ
q+
q−
q′+q′−
(a)
(b)
superfície gaussiana
superfície gaussiana
0E!
E!
Lei de Gauss com dielétricos
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Exemplo Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1.24 cm, V0=85.5 V, b=0.78 cm, .
a) C0 sem o dielétrico; b) a carga livre nas placas; c) o campo E0 entre as placas e o dielétrico; d) o campo Ed no dielétrico; e) a ddp V entre as placas na presença do dielétrico; f) A capacitância C com o dielétrico.
Calcule:
2.61κ =
superfície gaussiana II
superfície gaussiana I
Dielétricos: Exemplo
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Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328-Física Geral III
Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
Lista de exercícios do Capítulo 25
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