Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo...
Transcript of Aula 3: Derivada e Integral - INPE/LACmargarete/download/MET200-0/ClasseCalculoI.pdf · qdo...
Aula 3: Derivada e Integral .
Margarete Oliveira Domingues
PGMET/INPE
Aula 3 – p.1/17
Integral
Aula 3 – p.2/17
Conceito de Integral definida
Pode ser motivado pelo conceito da área limitada por uma
curva � � � ��� �
, o eixo � e a vertical que passa pelos pontos
� � � e � � �
Aula 3 – p.3/17
Conceito de Integral definida
Pode ser motivado pelo conceito de soma limite
subdivide–se � � � � �
em � sub–intervalos pormédias de pontos � ��� � ��� � � � � �� �
� �� � � � ���� ��� � � � � ���� �� ��� �
são escolhidos pontos� ���� �� �
�
� � � � � ��� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � ��
� �� � � �
em que � � � e � � � �
, considerando�� � � ��� � � � � � � � , pode-se escrever o somatório
Aula 3 – p.3/17
Conceito de Integral definida
���� �
� � � � � ��� � � � � � � � ��
��� �� � � � � �� ��
Este somatório representa a área de todos osretângulos plotados
Qdo � � � tal que�� � � �
esse somatório édenotado por �
�� ��� �� � �
integral definida da função
� ��� �
em
� ���
.
� ��� �é o integrando e
� ���
é o limite de integração
Aula 3 – p.3/17
Integral definida
Esse limite existe se
� ��� �
é continua ou contínua porpartes em
� ���
.
Se
� ��� �
possuir valores positivos e negativos, essaintegral representa a soma algébrica dessas áreas
áreas positivas as áreas em que
� ��� ��� �
áreas negativas as áreas em que
� ��� � � �
.
Aula 3 – p.4/17
Propriedades
Se
� ��� �
e � ��� �
são duas funções integráveis em
� ���
então
��
� � ��� � � � ��� � � � ��
�� ��� �� � � �
� � �� �� �
�� � � ��� �� � � �
��
� ��� �� � � em que � é uma constante.
��
� ��� �� � � ��
� ��� �� � � ��
� �� �� � � em que
� ��� �
éintegrável em
� �� � e� ���
.
��
� ��� �� � � �
�� � ��� �� �
��
� ��� �� � � �
Aula 3 – p.5/17
Propriedade (cont.)
Se � � � � �
e � � � ��� � �
em que � e sãoconstantes, então
� � � � � � �
��
� ��� �� � � � � � � �
Se � � � � �
e
� �� � � � ��� �
, então
��
� ��� �� � �
��
� ��� �� �
�����
��
� ��� �� ������
� ��
� � ��� � � � �
Aula 3 – p.6/17
Teoremas de valor médio paraintegrais
Se
� ��� �
é contínua em
� ���
existe um�
em
� ��� �
talque �
�� ��� �� � � � � � � � � � � �
Se
� ��� �
e � ��� �
são continuas em
� ���
e � ��� �
não mudade sinal nesse intervalo, então existe um
�
em
� ��� �
talque �
�� ��� � � ��� �� � � � � � �
��
� ��� �� � �
Se � ��� � � �tem–se o caso anterior.
Aula 3 – p.7/17
Integrais indefinidas
Dada uma função
� ��� �
� ��� �
tal que
� � ��� � � � �� �
é integral indefinidade� ��� �� ��� � � � tb. é, pois
� � ��� � � � � � � � ��� � � � �� �
.
O símbolo
� �� �� � expressa a integral indefinida.
EX: se
� � �� � � � �
, então,
� ��� � � � �� � �� �
�
� �
é uma integral indefinida ou anti–derivada.Aula 3 – p.8/17
Teorema fundamental do cálculointegral
Possibilita o uso de soluções de integrais indefinidas,qdo conhecidas, para calcular integrais definidas.
Se
� ��� �
é contínua em
� ���
� ��� �
é tal que
� � ��� � � � �� �então,
��
� ��� �� � � � � � � � � � � ��
Aula 3 – p.9/17
Métodos de integração
� ��� �
e � ��� �
funções contínuas
� � ��� �
e � � ��� �
funções contínuas
Integração por partes
� ��� � � � ��� �� � � � �� � � ��� �� � � ��� � � ��� �� �
Aula 3 – p.10/17
Métodos de integração
Frações parciais: Polinômios racionais
�
� �� � � ��� �
�� � �
� �� � � �� � � ��� �
em que � � ��
��
�� , que sempre podem ser
integradas em termos dessas funções elementares.Ex:
���
�� � � � � � � � �
�
�� � � �
�
� � � � � �
�
� � � � � �
�
� �� � �
� � � �
� � � � � � � � � � � �
�� � �
� � � � � � � � �
�� � �
� � � � � � � �
�
� �
Aula 3 – p.10/17
Métodos de integração
Funções racionais de � � �� e �� � � podem ser sempreintegradas em termos de funções elementares pelasubstituição
��� � � � � � .
Aula 3 – p.10/17
Integral imprópria
Se o intervalo de integração
� ���
não é finito ou se
� ��� �
não está definido ou é ilimitado em um ou mais pontos de� ���
, a integral de
� ��� �
é dita imprópria.EX:
�
� �� � � �
� � � �� ���� �
�
� �� � � � � �� �� � �
��� �� � ������
�
��
�
Aula 3 – p.11/17
Métodos numéricos
Aula 3 – p.12/17
Integrais definidas
São baseados na subdivisão de um intervalo
� ���
em
� partes iguais de tamanho
�� �� � � � �
� .
Em geral, as aproximações melhoram a medida que �
aumenta.
Notação:
� � � � � �� � � � ��� � � é denotado � �, em que
� � ��
��
�� � �.
Aula 3 – p.13/17
Regra do Retângulo
��
� �� �� � � �� � � � � � � � � �� �
Geometricamente isto significa a área de todos os retângu-
los plotadosAula 3 – p.14/17
Regra do Trapézio
��
� �� �� � �
���
� � � � � � � � � � � � � � �� � � � �
Geometricamente isto significa aproximar
� �� �
por segmen-
tos de reta.Aula 3 – p.15/17
Regra de Simpson
��
� �� �� � �
���
� � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � ��� � � � �� � � � � ��
divide–se o intervalo
� ���
em um número ímpar deintervalos iguais
aproximando
� ��� �
por uma forma quadrática
utilizando três pontos sucessivos correspondentes a
� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� �� � �� � � � �
geometricamente, neste caso faz–se uma curva
� � � ��� �por um conjunto de aproximações de arcos
parabólicos.Aula 3 – p.16/17
Fim da Aula 3
Aula 3 – p.17/17