Aula 2 - Lógica Proposicional_V2
Transcript of Aula 2 - Lógica Proposicional_V2
![Page 1: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/1.jpg)
Lógica Proposicional
Aula 2 Prof. Msc. Angelo Darcy
![Page 2: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/2.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Fatos Históricos • Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.) • Filósofo grego. Produziu uma obra rica e
multifacetada. • Nela é encontrado uma exaustiva compilação dos
conhecimentos do seu tempo, mas também, uma filosofia que ainda hoje influência a nossa maneira de pensar.
• Responsável por escrever os primeiros grandes trabalhos de lógica: • Coleção de regras para raciocínio dedutivo que podem ser
usadas em qualquer área do conhecimento.
![Page 3: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/3.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Fatos Históricos
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) • Filósofo e matemático alemão,
provavelmente mais conhecido por ter inventado o cálculo integral e diferencial.
• Propõe o uso de símbolos para mecanizar o processo de raciocínio dedutivo.
![Page 4: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/4.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Fatos Históricos • George Boole (1815–1864) • Matemático
e filósofo inglês.
• Augustus De Morgan (1806–1871), matemático inglês.
• Propõem as bases da lógica simbólica moderna usando as idéias de Leibniz.
![Page 5: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/5.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Atualidade
• Pesquisa continua sendo aplicada em áreas como: – inteligência artificial; – projeto de circuito lógico; – teoria de autômatos e computabilidade; – teoria de bancos de dados relacionais; – teoria de linguagens; – teoria de sistemas distribuídos.
![Page 6: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/6.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Lógica
• A Lógica é a base de todo raciocínio matemático e de todo raciocínio automatizado.
• Para entender matemática, precisamos entender o que torna um argumento matemático correto. – Chamado de Demonstração
![Page 7: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/7.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Forma de Argumento
• Forma de Argumento – Conceito Central da lógica dedutiva
• Argumento – Sequência de afirmações para demonstrar a
validade de uma asserção.
![Page 8: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/8.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Principais Tópicos
• O que torna um argumento matemático correto;
• Introduzir ferramentas para construir esses argumentos.
![Page 9: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/9.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Lógica Proposicional
• As regras lógicas dão um significado preciso para as sentenças matemáticas;
• Proposições – Sentença declarativa, que pode ser
verdadeira ou falsa, mas não ambas.
• Obs.: Sentença declarativa: Sentença que declara um fato.
![Page 10: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/10.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Lógica Proposicional
• Exemplos de Sentenças Declarativas – Brasília é a capital do Brasil – São Paulo é a capital do Rio de Janeiro – 1 + 1 = 2 – 2 + 2 = 3
![Page 11: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/11.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Exemplos
• Sentença – Que horas são? – Leia isto cuidadosamente.
• Não são proposições por que não são sentenças declarativas
![Page 12: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/12.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Exemplos
• Sentenças: – X + 1 = 2 – X + Y = Z
• Não são proposições por que não são nem verdadeiras nem falsas.
• Podemos tornar estas sentenças proposições se atribuirmos valores as variáveis
![Page 13: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/13.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Preposições Compostas
• As sentenças matemáticas são construídas combinano-se um ou mais proposições.
• Novas proposições são criadas a partir de proposições existentes usando operadores lógicos.
![Page 14: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/14.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Preposições Compostas
• A partir deste momento, será usando letras minusculas para representar afirmações – p, q, r…
![Page 15: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/15.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Exemplo
• Encontre a negação da proposição – “Hoje é Sexta-Feira”
• Soluções: – “Não é o caso de hoje ser sexta-feira” – “Hoje não é sexta-feira” – “Não é sexta-feira hoje”
![Page 16: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/16.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Preposições Compostas Expressões Lógicas
Expressão Lógica Detalhe ~ ou ¬: negação ¬p é lido como “não p” ou
negação de p ∧ : e p ∧ q é lido como “p e q” e é
chamado de conjunção de p e q.
∨: ou p ∨ q é lido como “p ou q” e é chamado de disjunção de p e q.
![Page 17: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/17.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Exemplo
• Dado a expressão “p” – Hoje é Sexta-Feira.
• Qual a negação da sentença?
¬p
![Page 18: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/18.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Tabela-Verdade para uma Negação
p ¬p V F F V
![Page 19: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/19.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Sentenças em Linguagem Natual e Algebra de Simbolos
• Sentença – p = “O sol está brilhando” – q = “Está chovendo”
• Exemplos – “O sol está brilhando, mas está chovendo”
• “Mas”: ∧ - p ∧ q
– “O sol não está brilhando e não está chovendo
• “Nem A nem B”: ¬A ∧ ¬B - ¬p ∧ ¬q
![Page 20: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/20.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Tabela-Verdade Para a Conjunção (∧)
p q p∧q V V V F F V F F
![Page 21: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/21.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Tabela- Verdade para a Disjunção (∨)
p q p∨q V V V F F V F F
![Page 22: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/22.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Exemplo
• Qual a disjunção das proposições – p = “O sol está brilhando” – q = “Está chovendo”
“O sol está brilhando ou está chovendo”
![Page 23: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/23.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposições
• e (∧), ou (∨), e desigualdades Sejam três números reais representados por a, b, e x.
x ≤ a ≡ x < a ∨ x = a
a ≤ x ≤ b ≡ x ≥ a ∧ x ≤ b
![Page 24: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/24.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposições
• Sejam os predicados: “p: x > 0”; “q: x < 3”; “r: x = 3” – x ≤ 3 ≡ q ∨ r – 0 < x < 3 ≡ p ∧ q – 0 < x ≤ 3 ≡ p ∧ ( q ∨ r)
![Page 25: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/25.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposições Mais Complexas p q p ∨ q p ∧ q ¬(p ∧ q) E V V V F F V F F
E = (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
![Page 26: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/26.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposições Mais Complexas p q p ∨ q p ∧ q ¬(p ∧ q) E V V V V F F V F V F V V F V V F V V F F F F V F
E = p ⊕ q = p xor q (ou exclusivo)
![Page 27: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/27.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Equivalência Lógica
• Duas proposições P e Q são equivalentes logicamente se e somente se os valores-verdade obtidos forem idênticos para cada combinação possível das variáveis que formam as proposições.
![Page 28: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/28.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Equivalência Lógica
• As proposições p ∧ q e q ∧ p possuem os mesmos valores-verdade.
p q p ∧ q q ∧ p V V V V V F F F F V F F F F F F
![Page 29: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/29.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Equivalência Lógica
• Como verificar se duas proposições P e Q são equivalentes logicamente? – Construa a tabela da verdade para P . – Construa a tabela da verdade para Q usando os
mesmos valores de variáveis para as afirmações que formam a proposição.
– Verifique se as tabelas da verdade de P e Q são idênticas para cada combinação de valores-verdade. Se forem, P e Q são equivalentes logicamente, caso contrário não.
![Page 30: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/30.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Exemplo
• Responda as proposições abaixo, se são ou não são equivalentes.
• ¬(¬p) ≡ p • ¬(p∧q) ≡ ¬p∧¬q • ¬(p∧p) ≡ ¬p
![Page 31: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/31.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Continuação
![Page 32: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/32.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Tautologia e Contradições
• Tautologia é uma proposição que é sempre verdadeira independente dos valores-verdade das afirmações que compõem a proposição.
• Contradição é uma proposição que é sempre falsa independente dos valores-verdade das afirmações que compõem a proposição.
![Page 33: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/33.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Tautologias e Contradições
• De acordo com essas definições, a verdade de uma tautologia ou falsidade de uma contradição se devem a estrutura lógica da proposição em si e são independentes dos significados das afirmações que compõem a proposição.
![Page 34: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/34.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Tautologias e Contradições
1. Mostre que a proposição p ∨ ¬p é uma tautologia e que a proposição p ∧ ¬p é uma contradição.
2. Se t é uma tautologia e c uma contradição mostre que p∧t ≡ p e p∧c ≡ c.
![Page 35: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/35.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Equivalência Lógica
Comutatividade p∧q ≡ q∧p p∨q ≡ q∨p Associatividade (p∧q)∧r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p∨q)∨r ≡ p ∨ (q ∨ r) Distributividade p ∧ (q ∨ r) ≡
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Identidade p∧t ≡ p p∨c ≡ p Negação p ∨¬p ≡ t p ∧¬p ≡ c Dupla negação ¬(¬p) ≡ p Idempotência p∧p ≡ p p∨p ≡ p De Morgan ¬(p ∧ q) ≡ ¬p∨¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p∧¬q Limite universal p ∨ t ≡ t p∧c ≡ c Absorção p∨(p∧q) ≡ p p∧(p∨q) ≡ p Negações ¬t ≡ c ¬c ≡ t
![Page 36: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/36.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Excícios
• Mostre que ¬(p∨ ((¬p∧q)) ≡ ¬p∧¬q – Utilizando a tabela-verdade
![Page 37: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/37.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
¬(p∨ (¬p∧q) ≡ ¬p∧¬q p q ¬p ¬q ¬p∧q p∨ ((¬p∧q) ¬(p∨ ((¬p∧q)) ¬p∧¬q V V F F F V F F V F F V F V F F F V V F V V F F F F V V F F V V
![Page 38: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/38.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Exemplos p q ¬p ¬p∧q ¬ (p∨q) FINAL V V F F V V V V F F F V V V F V V V F V F F F V F V F F
![Page 39: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/39.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposições Condicionais ou Implicação
• Sejam p e q proposições – “Se p então q” (ou p implica q) é representado
simbolicamente por p → q
– p é chamado de hipótese e q de conclusão
• Essa sentença é chamada de condicional.
![Page 40: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/40.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposições Condicionais ou Implicação
• Sobre o “uso típico” de uma proposição condicional ou implicação: – Este tipo de sentença é usado tanto em
linguagem natural quanto em raciocínio matemático para dizer que a verdade da proposição q (conclusão) esta condicionada à verdade da proposição p (hipótese).
![Page 41: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/41.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional
• Promessa de Político
– “Se eu for eleito, então vou diminuir os impostos”.
![Page 42: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/42.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional
• → é um conectivo lógico binário para o qual podem ser definidos valores- verdade. (Se-Então)
p q p→q V V V V F F F V V F F V
![Page 43: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/43.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional
• “Se hoje estiver ensolarado então nós iremos à praia. “ – Implicação “típica” de uma conversac ja que
há uma relação entre a hipótese e a conclusão.
– Obs.: Implicação não é considerada válida quando o dia estiver ensolarado e nós não formos à praia.
![Page 44: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/44.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional
• Sequência de execução das proposições
¬, ∨, ∧, → • Construa a tabela da verdade para a
sentença p ∨ ¬q → ¬p.
![Page 45: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/45.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional p q ¬q ¬p p ∨ ¬q p ∨ ¬q → ¬p V V F F V F V F V F V F F V F V F V F F V V V V
![Page 46: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/46.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional
• Mostre que p ∨ q → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)
p q r p ∨ q p → r q → r p∨q→r (p → r) ∧ (q → r) V V V V V V V V V V F V F F F F V F V V V V V V V F F V F V F F F V V V V V V V F V F V V F F F F F V F V V V V F F F F V V V V
![Page 47: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/47.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional
• É possível representar p → q em termos dos conectivos ¬, ∨, ∧? – Sim
p → q ≡ ¬p ∨ q • Negação
¬(p → q) ≡ ¬(¬p∨q) ≡ ¬(¬p) ∧ ¬q ≡ p∧¬q
![Page 48: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/48.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional Contrapositiva
• A proposição contrapositiva de (p → q) é (¬q → ¬p)
p→q ≡ ¬q→¬p – Verdade?
• p → q: Se hoje é Páscoa então amanha é segunda-feira.
• ¬q → ¬p: Se amanha não é segunda-feira então hoje não é Páscoa.
![Page 49: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/49.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Sentenças Literais
• Original: Se hoje é Páscoa então amanha é segunda-feira.
• Oposta: Se amanha é segunda-feira então hoje é Páscoa.
• Inversa: Se hoje não é Páscoa então amanha não é segunda-feira.
![Page 50: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/50.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional Oposta
• A proposição oposta de (p→q) é (q→p).
p → q ≡ q → p – Verdade?
Não
![Page 51: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/51.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional Inversa
• A proposição inversa de (p → q) é (¬p → ¬q).
p → q ≡ ¬ p → ¬ q – Verdade?
Não
![Page 52: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/52.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Exercício
• Considere que p e q são proposições: – p: Eu compei um bilhete de loteria esta
semana. – q: Eu ganhei um milhão de dólares
• Expresse Cada uma dessas proposições: a) ¬ p b) p ∧ q c) p ∨ q d) p ∧ ¬q
![Page 53: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/53.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Exercício
• Faça a tabela-verdade da seguinte expressão: – E: ¬ ((p ∧ ¬q) ∧ (p ∨ q))
![Page 54: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/54.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
¬ ((p ∧ ¬q) ∧ (p ∨ q)) p q ¬q p ∧ ¬q p ∨ q (p ∧ ¬q) ∧ (p ∨ q) FINAL V V F F V F V V F V V V V F F V F F V F V F F V F F F V
![Page 55: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/55.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional: Somente Se
• A sentença “p somente se q” significa que (acrescentado verbos): – p [pode ocorrer] somente se q [ocorre].
• Logo Se q não ocorre então p não pode ocorrer
• Se ¬q então ¬p ≡ Se p então q ou p→q
![Page 56: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/56.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Somente Se
• Se ¬ q então ¬p ≡ Se p então q ou p→q.
• Exemplo: – 48 é divisível por 6 somente se (48 é divisível
por 3 ≡ Se 48 é divisível por 6 então 48 é divisível por 3
![Page 57: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/57.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Proposição Condicional Bicondicional
• A sentença “bicondicional” entre p e q é expressa como: – p se e somente se q
• Sendo representada por: – p↔q
![Page 58: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/58.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Bicondicional p q p↔q V V V V F F F V F F F V
![Page 59: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/59.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) p q (p → q) (q → p) p ↔ q (p → q) ∧ (q → p) V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V
Este programa está correto se somente se ele produz a resposta correta para todos os possíveis valores de dados de entrada.
![Page 60: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/60.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Bicondicional
• p↔q ≡ (¬p∨q)∧(¬q∨p)?
![Page 61: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/61.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Continuação
![Page 62: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/62.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Condição Necessária e Condição Suficiente
• r é uma condição suficiente para s: – Se r então s
• Logo a condição de r é suficiente para garantir a condição de s
– r é uma condição necessária para s: • Se não r então não s ≡ se s então r • Logo Se r não ocorrer então s também não pode
ocorrer a ocorrência de r é necessária para se ter a ocorrência de s.
![Page 63: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/63.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Condição Necessária e Condição Suficiente
• Considere a sentença condicional p → q – “Se João é elegível para votar então ele tem
pelo menos 16 anos.” • p: João é elegível para votar. • q: João tem pelo menos 16 anos.
![Page 64: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/64.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Condição Necessária e Condição Suficiente
• A verdade de p é suficiente para garantir a verdade de q, ou seja: – João ser elegível para votar é condição suficiente
para que ele tenha pelo menos 16 anos. • A condição q é necessária para a condição p ser
verdadeira, ou seja: – João ter pelo menos 16 anos é condição necessária
para que ele seja elegível para votar.
![Page 65: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/65.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos Válidos e Inválidos
• Alguns fatos sobre argumentos do ponto de vista da matemática e da lógica: – Um argumento não é uma disputa. – Um argumento é uma sequência de
comandos que termina numa conclusão. – Um argumento ser válido significa que a
conclusão pode ser obtida necessariamente das afirmações que precedem .
![Page 66: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/66.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumento (definição)
• Um argumento é uma sequência de afirmações.
• Todas as afirmações, exceto a última, são chamadas de premissas ou suposições ou hipóteses.
• A última afirmação é chamada de conclusão.
![Page 67: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/67.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos Válidos e Inválidos
• Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal .
• Então • Sócrates é um ser humano logo ele é
mortal.
![Page 68: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/68.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos Válidos e Inválidos
• Forma Simbólica – Se p então q; – Se p logo q.
• A forma de um argumento é válida se: – Para todas as combinações de argumentos
que levam premissas verdadeiras então a conclusão também é verdadeira.
![Page 69: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/69.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Validade de um Argumento
• Passos: – Identifique as premissas e conclusão do argumento. – Construa a tabela da verdade identificando as colunas das
premissas e da conclusão – Identifique as linhas onde todas as premissas são verdadeiras
(linhas críticas) – Para cada linha crítica verifique se a conclusão do argumento é
verdadeira. • Se for para todas as linhas críticas então a forma do argumento é
válida. • Se existir pelo menos uma linha crítica com conclusão falsa então a
forma do argumento é inválida.
![Page 70: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/70.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Analisar Validade
p ∨ (q ∨ r); ¬r;
Logo p∨q
![Page 71: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/71.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumento Valido Premissas Conclusão
p q r q ∨ r p ∨ (q ∨ r) ¬r p∨q V V V V V F V V V F V V V V V F V V V F V V F F F V V V F V V V V F V F V F V V V V F F V V V F F F F F F F V F
![Page 72: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/72.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Analisar Validade
p → q ∨ ¬r; q→p∧r;
Logo p→r;
![Page 73: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/73.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumento Inválido Premissas Conclusão
p q r ¬r q ∨ ¬r p∧r p → q ∨ ¬r q→p∧r p→r V V V F V V V V V V V F V V F V F F V F V F F V F V V V F F V V F V V F F V V F V F V F V F V F V V F V F V F F V F F F V V V F F F V V F V V V
![Page 74: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/74.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Exercício
p → q; q → r; r → p;
Logo p∧q∧r
![Page 75: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/75.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos válidos: Modus Ponens
• Seja o seguinte argumento: p → q;
p; Logo q.
• Se o último dígito de um no é 0 então este no é divisível
por 10. • O último dígito deste no é 0. • Logo Este no é divisível por 10.
![Page 76: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/76.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos válidos: Modus Tollens
• Seja o seguinte argumento: p → q;
¬q; Logo ¬p.
Se Zeus é humano então Zeus é mortal. Zeus não é mortal. Logo Zeus não é humano.
![Page 77: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/77.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos válidos: Modus Tollens
• Um argumento válido que tem essa forma é chamado de modus tollens em Latim e que significa “método de negar.”
![Page 78: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/78.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos válidos: Silogismo hipotético
• Forma do argumento: p → q; q → r
Logo p→r.
![Page 79: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/79.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos válidos: Silogismo hipotético Premissas Conclusão
p q r p → q q→p p→r V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F V F F V V V V V F V F V F V F F V V V V F F F V V V
![Page 80: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/80.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos Válidos Dilema: Prova por divisão em casos
• Raciocínio cuja premissa é alternativa, de tal forma que qualquer dos seus termos conduz à mesma consequência.
p ∨ q; p → r; q→r;
Logo r.
![Page 81: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/81.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos Válidos Dilema: Prova por divisão em casos
Premissas Conclusão p q r p∨q p→r q→r r V V V V V V V V V F V F F F V F V V V V V V F F V F V F F V V V V V V F V F V V F F F F V F V V V F F F F V V F
![Page 82: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/82.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Argumentos Válidos Dilema: Prova por divisão em casos
x é positivo ou x é negativo; Se x é positivo então x2 > 0; Se x é negativo então x2 > 0;
Logo x2>0.
![Page 83: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/83.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Uso de proposições em especificações
• Traduzir sentenças numa linguagem natural, como o português, em expressões lógicas é uma parte importante da especificação de sistemas computacionais (hardware e software).
![Page 84: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/84.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
• Profissionais que fazem a especificação de tais sistemas computacionais devem traduzir requisitos expressos numa linguagem natural em uma especificação precisa e não ambígua.
• Essa especificação pode ser usada como base para o desenvolvimento do sistema.
Uso de proposições em especificações
![Page 85: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/85.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
• Requisito: (a) Uma resposta automática não pode ser enviada se o sistema de arquivos está cheio.
• Proposições: a = Uma resposta automática não pode ser enviada. b = O sistema de arquivos está cheio.
• Tradução do requisito para a proposição: (a) b → a
Uso de proposições em especificações
![Page 86: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/86.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
• Requisitos: – (a) A mensagem de diagnóstico é
armazenada no buffer ou a mensagem de diagnóstico é retransmitida.
– (b) A mensagem de diagnóstico não é armazenada no buffer.
– (c) Se a mensagem de diagnóstico é armazenada no buffer então a mensagem de diagnóstico é retransmitida.
Uso de proposições em especificações
![Page 87: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/87.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
• Proposições: – p = A mensagem de diagnóstico é
armazenada no buffer. – q = A mensagem de diagnóstico é
retransmitida.
Uso de proposições em especificações
![Page 88: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/88.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
• Tradução dos requisitos para as proposições: – (a) p∨q – (b) ¬p – (c) p → q
Uso de proposições em especificações
![Page 89: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/89.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Falácias
• Erro no raciocínio que resulta num argumento inválido.
• Falácias comuns: – Usar uma premissa vaga ou ambígua; – Assumir como verdadeiro o que deve ser provado; – Concluir uma premissa sem uma argumentação
adequada; – Erro oposto; – Erro inverso.
![Page 90: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/90.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Falácias
• Como mostrar que um argumento é inválido? – Construir a tabela verdade e achar uma linha
crítica com a conclusão falsa. – Achar um argumento com premissas
verdadeiras e conclusão falsa. • Para um argumento ser válido, qualquer argumento da
mesma forma que tem premissas verdadeiras deve ter uma conclusão verdadeira.
![Page 91: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/91.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Erro Oposto
Se Zeca é um gênio então Zeca senta na primeira carteira na sala de aula;
Zeca senta na primeira carteira na sala de aula;
Logo Zeca é um gênio.
![Page 92: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/92.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Erro Oposto
• A forma geral do argumento acima é: p → q;
q; Logo p.
![Page 93: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/93.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Erro Oposto Premissas Conclusão
p q p→q q p V V V V V V F F F V F V V V F F F V F F
![Page 94: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/94.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Erro Inverso
Se as taxas de juros subirem então todos os preços das ações irão cair;
As taxas de juros não estão subindo; Logo as ações não irão cair.
![Page 95: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/95.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Erro Inverso
• A forma geral do argumento acima é: p → q;
¬p; Logo ¬q.
![Page 96: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/96.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Erro Inverso Premissas Conclusão
p q p→q ¬p ¬q V V V F F V F F F V F V V V F F F V V V
![Page 97: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/97.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Aplicação Circuito Lógico
• Uma chave pode estar em uma de duas possíveis posições:
• Chave fechada: corrente pode passar. • Chave aberta: há interrupção de corrente.
Aplicação: Circuito lógico
• Uma chave pode estar em uma de duas possíveis posições:
FechadaAberta
– Chave fechada: corrente pode passar.– Chave aberta: há interrupção de corrente.
• Exemplo de uma chave num circuito:
+
−
– Lâmpada acende sse corrente passa por ela.– Isto acontece, sse a chave está fechada.
• Observe que nesse modelo está sendo assumido que a bateria tem sempreenergia e a chave e a lâmpada nunca falham.‹ Considerações como essas são importantes sempre que um modelo é
proposto.UFMG/ICEx/DCC MD · Fundamentos da Logica – Logica Proposicional 81
Aplicação: Circuito lógico
• Uma chave pode estar em uma de duas possíveis posições:
FechadaAberta
– Chave fechada: corrente pode passar.– Chave aberta: há interrupção de corrente.
• Exemplo de uma chave num circuito:
+
−
– Lâmpada acende sse corrente passa por ela.– Isto acontece, sse a chave está fechada.
• Observe que nesse modelo está sendo assumido que a bateria tem sempreenergia e a chave e a lâmpada nunca falham.‹ Considerações como essas são importantes sempre que um modelo é
proposto.UFMG/ICEx/DCC MD · Fundamentos da Logica – Logica Proposicional 81
![Page 98: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/98.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Circuito Lógico
Aplicação: Circuito lógico
• Uma chave pode estar em uma de duas possíveis posições:
FechadaAberta
– Chave fechada: corrente pode passar.– Chave aberta: há interrupção de corrente.
• Exemplo de uma chave num circuito:
+
−
– Lâmpada acende sse corrente passa por ela.– Isto acontece, sse a chave está fechada.
• Observe que nesse modelo está sendo assumido que a bateria tem sempreenergia e a chave e a lâmpada nunca falham.‹ Considerações como essas são importantes sempre que um modelo é
proposto.UFMG/ICEx/DCC MD · Fundamentos da Logica – Logica Proposicional 81
![Page 99: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/99.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Monte a Tabela-Verdade
Aplicação: Circuito lógico
Sejam os circuitos abaixo e os possíveis comportamentos:
QP
−
+
Chaves LâmpadaP Q Estado
Fechada Fechada AcesaFechada Aberta ApagadaAberta Fechada ApagadaAberta Aberta Apagada
P
Q+
−
Chaves LâmpadaP Q Estado
Fechada Fechada AcesaFechada Aberta AcesaAberta Fechada AcesaAberta Aberta Apagada
UFMG/ICEx/DCC MD · Fundamentos da Logica – Logica Proposicional 82
![Page 100: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/100.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
Monte a Tabela-Verdade
Aplicação: Circuito lógico
Sejam os circuitos abaixo e os possíveis comportamentos:
QP
−
+
Chaves LâmpadaP Q Estado
Fechada Fechada AcesaFechada Aberta ApagadaAberta Fechada ApagadaAberta Aberta Apagada
P
Q+
−
Chaves LâmpadaP Q Estado
Fechada Fechada AcesaFechada Aberta AcesaAberta Fechada AcesaAberta Aberta Apagada
UFMG/ICEx/DCC MD · Fundamentos da Logica – Logica Proposicional 82
![Page 101: Aula 2 - Lógica Proposicional_V2](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/55cf9461550346f57ba199b7/html5/thumbnails/101.jpg)
Prof. Msc. Angelo Darcy Molin Brun Matemática Discreta
FIM…