Aula 17 medidas separatrizes
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AULA 17ESTATÍSTICA
Professor: João Alessandro
MEDIDAS SEPARATRIZES
MEDIDAS SEPARATRIZES
São números que dividem a seqüência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série.
Desta forma, a mediana que divide a seqüência ordenada em dois grupos, cada um deles contendo 50% dos valores da seqüência, é também uma medida separatriz.
Além da mediana, as outras medidas separatrizes que destacaremos são: quartis, quintis, decis e percentis.
QUARTIS Se dividirmos a série ordenada em quatro partes, cada uma
ficará com seus 25% de seus elementos.Os elementos que separam estes grupos são chamados de
quartis.Assim, o primeiro quartil, que indicaremos por Q1, separa a
seqüência ordenada deixando 25% de seus valores à esquerda e 75% de seus valores à direita.O segundo quartil, que indicaremos por Q2, separa a seqüência ordenada deixando 50% de seus valores à esquerda e 50% de seus valores à direita.
Note que o Q2 é a Mediana da série.O terceiro quartil Q3 obedece a mesma regra dos anteriores.
Q1 Q2 Q3 Q4
25% 25% 25% 25%
QUINTISSe dividirmos a série ordenada em cinco partes, cada
uma ficará com seus 20% de seus elementos.Os elementos que separam estes grupos são
chamados de quintis.Assim, o primeiro quintil, que indicaremos por K1,
separa a seqüência ordenada deixando 20% de seus valores à esquerda e 80% de seus valores à direita.
De modo análogo são definidos os outros quintis.
20% 20% 20% 20% 20%
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
DECIS Se dividirmos a série ordenada em dez partes, cada
uma ficará com seus 10% de seus elementos.Os elementos que separam estes grupos são
chamados de decis.Assim, o primeiro decil, que indicaremos por D1,
separa a seqüência ordenada deixando 10% de seus valores à esquerda e 90% de seus valores à direita.
De modo análogo são definidos os outros decis.
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
PERCENTISSe dividirmos a série ordenada em cem partes,
cada uma ficará com 1% de seus elementos.Os elementos que separam estes grupos são
chamados de centis ou percentis.Assim, o primeiro percentil, que indicaremos por
P1, separa a seqüência ordenada deixando 1% de seus valores à esquerda e 99% de seus valores à direita.
De modo análogo são definidos os outros percentis.
P1 P2 A P100
1% 99%
PERCENTISSe observarmos que os quartis, quintis e decis são
múltiplos dos percentis, então basta estabelecer a fórmula de cálculo de percentis. Todas as outras medidas podem ser identificadas como percentis. Ou seja:
QUARTIS- PERCENTIS QUINTIS-PERCENTIS DECIS - PERCENTIS
Q1 = P25
Q2 = P50
Q3 = P75
K1 = P20
K2 = P40
K3 = P60
K4 = P80
D1 = P10
D2 = P20
D3 = P30
D4 = P40
D5 = P50
D6 = P60
D7 = P70
D8 = P80
D9 = P90
DADOS NÃO-AGRUPADOSIdentificamos à medida que queremos obter com o percentil
correspondente, Pi.Calculamos i% de n para localizar a posição do percentil i
no Rol, ou seja:i x n 100
Em seguida, identificamos o elemento que ocupa esta posição.
Note que se o elemento for um número inteiro, então Pi que estamos procurando identificar é um dos elementos da seqüência ordenada.
Se não for um número inteiro, isto significa que Pi é um elemento intermediário entre os elementos que ocupam as posições aproximadas por falta ou por excesso do valor calculado. Neste caso, Pi é definido como sendo a média dos valores que ocupam estas posições aproximadas.
DADOS NÃO-AGRUPADOS - EXEMPLOS
Dada a série de valores, Calcule Q1
1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15.
Solução: Q1 = P25.
Calculamos 25% de 12 que é o número de elementos da série obtendo:
25 x 12 = 3 100
Este valor indica a posição do P25 no Rol, isto é, o P25 é o terceiro elemento do Rol. Observando o terceiro elemento do Rol obtém-se 5.
Portanto Q1 = P25 = 5.Interpretação: 25% dos valores desta seqüência são valores
menores que 5 e 75% dos valores desta seqüência são valores maiores que 5.
DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE
Identificamos à medida que queremos obter com o percentil correspondente, Pi.
Calculamos i% de n(Σfi) para localizar a posição do percentil i no Rol, ou seja:
i x Σfi
100
xi fi Fi
2
4
5
7
10
3
5
8
6
2
3
8
16
22
24
Σfi = 24
Exemplo: Calcule o D4 para a série
xi fi Fi
2
4
5
7
10
3
5
8
6
2
3
8
16
22
24
Σfi = 24
Solução: D4 = P40.
Calculamos 40% de 24 que é o número de elementos da série obtendo:
40 x 24 = 9,6 100
Este valor indica a posição do P40 é um valor compreendido entre o nono e o décimo elemento da série.
Observamos que o nono e o décimo elementos é o número 5. Assim:
D4 = 5
Interpretação: 40% dos valores desta seqüência são valores menores ou iguais que 5 e 60% dos valores desta seqüência são valores maiores ou iguais que 5.
DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
Para obtermos a fórmula geral para o cálculo dos percentis, vamos generalizar a fórmula de mediana:
i x n - F(ant) x hPi = li + 100
fi
Sendo:
Pi – Percentil i (1, 2, 3, ..., 99);li - limite inferior da classe que contém o percentil;n – número de elementos da série (Σfi);F(ant) – freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o percentil;fi - freqüência simples da classe que contém o percentil;h - amplitude do intervalo da classe mediana
Exemplo: Calcule o Q3 para a série.
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
i Intervalo de Classe fi Fi
1
2
3
4
5
0 ⌐ 10
10 ⌐ 20
20 ⌐ 30
30 ⌐ 40
40 ⌐ 50
16
18
24
35
12
16
34
58
93
105
Solução: Q3 = P75.
75 x 105 = 78,75 100
A classe que contém o elemento que ocupa a posição 78,75 na série é a quarta classe. Esta é a classe que contém o P75.
Substituindo os valores na fórmula obtém-se:
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
75 x 105 - 58 x 10P75 = 30 + 100 = 35,93
35
Portanto Q3 = P75 = 35,93.
Interpretação: 75% dos valores desta seqüência são valores menores ou iguais a 35,93 e 25% dos valores desta seqüência são valores maiores ou iguais que 35.93.
EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES
1- Se uma série ordenada possui 180 elementos, dê o número aproximado de elementos que situam:
a) Acima do P20;b) Abaixo do K3;c) Acima do Q3;d) Abaixo do P90;e) Entre o P10 e o P90;f) Entre o Q1 e o Q3;g) Entre o Q3 e o P80.
EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES
2- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule:
a) Q1;b) K2;c) D3;d) P98.
i Aluguel
(R$)
fi
1
2
3
4
5
0 ⌐ 200
200 ⌐ 400
400 ⌐ 600
600 ⌐ 800
800 ⌐ 1000
30
52
28
7
3
Σ = 120
i Consumo por nota
(R$)
fi
1
2
3
4
5
6
0 ⌐ 50
50 ⌐ 100
100 ⌐ 150
150 ⌐ 200
200 ⌐ 250
250 ⌐ 300
10
28
12
2
1
1
Σ = 54
3- A distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos. Calcule:
a) Q3;b) K4;c) D7;d) P75.
EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES
4 - Tomando como base o exercício anterior, o gerente
desta loja decidiu premiar a nível promocional com um
brinde diário, 10% dos fregueses que mais consumirem,
nos próximos 30 dias. A partir de qual valor de consumo
da nota fiscal os clientes seriam premiados?
EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES
i Preço unitário (R$)
fi
1
2
3
4
5
6
0 ⌐ 10
10 ⌐ 20
20 ⌐ 30
30 ⌐ 40
40 ⌐ 50
50 ⌐ 60
4.000
13.500
25.600
43.240
26.800
1.750
Σ = 54
5- A tabela ao lado representa a venda de livros didáticos em uma editora na primeira semana de março. Calcule:
a) Q1;b) Q3;c) P90;d) P10.
EXERCÍCIOS: SEPARATRIZES