Prof. Edson A. R. Theodoro UTFPR Cornlio Procpio

Definio:

Um SEP dito estvel pequenas perturbaes se, e somente se, o mesmo capaz de manter o sincronismo entre os geradores sncronos conectados ao SEP aps ser submetido a uma pequena perturbao.

Pequena perturbao: aquela tal que o sistema linearizado em torno do ponto de operao de interesse reproduz de forma satisfatria (qualitativa e quantitativamente) a resposta do sistema original (no linear).

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Causas:

Alterao no despacho de carga/gerao;

Variaes aleatrias de carga;

Alteraes nos taps de transformadores (OLTCs).

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Problemas locais:

Associados a um gerador (ou planta) oscilando contra o resto do sistema;

Problema similar ao sistema OMIB;

Problema mais comum em estabilidade pequenas perturbaes;

Modos de oscilao locais (entre mquinas ou intra-planta) = 0,7 a 2 Hz.

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Problemas globais:

Associados a um grupo de geradores oscilando contra outro grupo de geradores (inter-rea);

Possuem duas formas distintas:

Oscilao de baixa frequncia envolvendo todos os geradores do sistema: 0,1 a 0,3 Hz;

Oscilaes de alta frequncia entre subgrupos de geradores: 0,4 a 0,7 Hz.

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Problemas relacionados aos controles:

Geram oscilaes devido ao ajuste inadequado dos controladores (regulador de tenso e velocidade) de um gerador.

Problemas relacionados ao eixo do conjunto turbina-gerador: Geram oscilaes devido aos modos torsionais

mecnicos do conjunto turbina-gerador.

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Lembrando que a equao do swing, em sua forma exata, dada em funo do torque lquido sobre o gerador.

A variao do torque eltrico (Te) possui duas componentes:

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= +

Torque sincronizante

Torque de amortecimento

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Dd

t

CASO 1

Dd

t

CASO 2

Dd

t

CASO 3

A instabilidade pode resultar de:

1 modo no-oscilatrio ou aperidico, resultante da falta de torque sincronizante (Ts) => geralmente pode ser evitado com o ajuste do regulador de tenso;

2 modo oscilatrio, resultante da falta de torque de amortecimento (TD) => este o modo de instabilidade mais comum em SEPs.

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Seja o sistema no linear: = (), e considere um ponto de equilbrio 0.

Expandindo em srie de Taylor:

= 0 +

|0( 0) +

Desprezando os termos de alta ordem:

0 =

|0 0 = |0 ( 0)

= (sistema linearizado)

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Seja A uma matriz (n x n) e f um vetor (n x 1), ento todo escalar l que satisfaz a relao:

=

chamado autovalor da matriz A.

Da equao anterior: = 0

Para solues no triviais temos: det = 0 Uma vez que se existe ( )1 ento = 0.

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Seja o sistema linearizado: =

A equao caraterstica deste sistema dada por:

= 0

As razes da equao caraterstica so os chamados autovalores da matriz A.

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Exemplo 1 OMIB sem amortecimento

Equao caractersitica e autovalores.

Exemplo 2 OMIB com amortecimento

Equao caractersitica e autovalores.

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1. Mtodo de Lyapunov (Teorema de Hartman-Grobman)

Dada as razes da equao caracterstica (autovalores) do sistema linearizado:

Se todos os autovalores tem parte real negativa -> estabilidade assinttica do equilbrio;

Se pelo menos um autovalor possui parte real positiva -> instabilidade do equilbrio;

Se existe autovalor com parte real nula -> nada se pode afirmar sobre a estabilidade do equilbrio.

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2. Mtodo de Lyapunov (Funo de Lyapunov Funo escalar auxiliar)

Dada uma funo escalar V: Rn->R, localmente definida positiva em uma regio D em torno do ponto de equilbrio sob anlise:

Se semidefinida negativa em D ento o ponto de equilbrio estvel;

Se definida negativa em D ento o ponto de equilbrio assintticamente estvel.

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16 Fonte: Kundur, 1994.

17 Fonte: Kundur, 1994.

18 Fonte: Kundur, 1994.

Seja = o sistema linearizado:

E f um vetor (n x 1) e A uma matriz (n x n). Um autovetor direita satisfaz a equao:

=

E y um vetor (1 x n) e A uma matriz (n x n). Um autovetor esquerda satisfaz a equao:

=

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Sejam f e y autovetores direita e esquerda:

Se ambos os autovetores esto associados autovalores distintos ento:

. = 0 (ortogonais)

Se ambos os autovetores esto associados um mesmo autovalores ento:

. = (em particular = 1)

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Matrizes modais:

= [1 2 3 ]

= [1 2

3

]

Assim,

= 1 (relao entre autovetores)

No sistema linearizado = : A resposta de cada varivel de estado uma

combinao linear de todas as variveis de estado (existe um acoplamento cruzado).

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Para eliminar este acoplamento cruzado faz-se a seguinte mudana de variveis:

=

Assim, = (1) = , com a matriz diagonal composta pelos autovalores da matriz A.

De outra forma: = , = 1, ,

Cuja soluo : = (0)

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Lembrando que: =

() = (0)=1

Sendo: = 1 = ()

= [ 0 ]=1

= =1

A resposta do sistema linear depende dos autovalores e respectivos autovetores.

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= [ 0 ]

=1

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Elemento i do autovetor direita

Autovetor esquerda

O produto escalar = 0 representa a magnitude da excitao devido s condies iniciais.

A multiplicao vetorial =1

d a combinao linear entre os diferentes modos (respectivos aos diferentes autovalores). Se o vetor de condies iniciais estiver na direo

do j-simo autovetor (), ento as multiplicaes 0 = 0 se , e somente o modo j excitado!

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Seja um autovalor l = s+jw

Alguns dos valores caractersticos deste autovalor so:

Frequncia natural de oscilao amortecida:

= 2 + 2

Frequncia de oscilao amortecida: =

2

Fator de amortecimento: = cos =

2+2

Constante de decaimento: =1

|| =

2||

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Objetivo: aumentar o amortecimento dos modos de oscilao relacionados oscilaes de origem eletromecnica (alterao na posio dos autovalores da matriz do sistema linearizado).

Existem vrias possibilidades para a melhora da estabilidade pequenas pertubaes:

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1 Projeto de controladores: PSS: Power System Stabilizer;

FACTS: Flexible AC Transmission Systems;

Controle de amortecimento com elos de transmisso HVDC (High Voltage Direct Current );

2 Alterao do ponto de operao do SEP

(redespacho de gerao ativa e reativa);

3 Outros mtodos. 28

Determine os autovalores, e seus valores caractersticos, e a resposta do sistema linearizado (Dx(t)) para o seguinte sistema OMIB quando sujeito perda da linha 1.

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LINHA 1

~

GERADOR Modelo clssico

P= 0,9 p.u. Q= 0,3 p.u.

(superexcitado)

TRAFO com tap = 1,0

BARRAMENTO INFINITO

LINHA 2

j0,30

j0,15

j0,5 j0,93

0,9950o

H= 3,5 s, considere D igual a: (a) zero, (b) 10 e (c)-10.

1,036

1 Kundur, P., Power System Stability and Control, McGraw-Hill, 1994.

2 Lallement, G., Inman, D.J., A Tutorial on Complex Eigenvalues, XIII IMAC.

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