Aula 12

Regra da Cadeia

Introdução

Em muitas situações da vida real, a taxa de variação de uma

grandeza pode ser expressa em termos do produto de outras

taxas de variação.

Suponha, por exemplo, que um automóvel esteja viajando a 80

km/h e o consumo de gasolina a essa velocidade seja de 0,1

L/km. Como faríamos para calcular o consumo de gasolina em

litros por hora? Veremos que basta multiplicar as duas taxas:

[ 0,1 L/km].[80 km/h] = 8 L/h.

Suponha que você precise derivar a função

As fórmulas de derivação que temos até agora não

nos permite calcular a derivada de F. Porém, se

observarmos melhor, veremos que F pode ser

escrita como a composição de duas outras funções,

a saber:

2 1F x x

2 1

f u u

g x x

2 1f g x x F x

A Regra da Cadeia

Se for derivável em e for derivável em , então a função

composta , definida por será derivável

em e será dada pelo produto .

g x f g x

F f g F x f g x

x F F x f g x g x

Na notação de Leibniz, se e forem funções

deriváveis, então

y f u u g x

dy dy du

dx du dx

Esquema Prático

depende dependey u x dy

du

du

dx

dy dy du

dx du dx

Exemplo 1

2Encontre se 1.F x F x x

2Façamos . Assim, temos 1, e:F x y y x

Solução

2; 1y u u x

Pela Regra da Cadeia: dy dy du

dx du dx

1Como: e 2 , teremos:

2

dy dux

du dxu

12

2

dy xx

dx u u

2

Substituindo nesta última igualdade o valor de ,

teremos a resposta final: .1

u

dy x

dx x

Exemplo 2

2 2

Derive:

(a) ( )y sen x b y sen x

Solução

2(a) y sen x 2,y sen u u x dy dy du

dx du dx

Como : cos 2 , temos:dy du

u e xdu dx

cos 2dy

u xdx

2Portanto : 2 cosdy

x xdx

2(b) y sen x 2 ,y u u senx dy dy du

dx du dx

Como : 2 cos , temos:dy du

u e xdu dx

2 cosdy

u xdx

Portanto : 2 cosdy

senx xdx

A Regra da Potência Generalizada

1

Se for qualquer número real e for derivável, então:

n n

n u g x

d duu n u

dx dx

Exemplo 3

1003Derive: 1y x

100 3Solução: , 1y u u x dy dy du

dx du dx 99 2100 3u x

992 3300 1 .x x

Exemplo 4

3 2

1Encontre se = .

1f x f x

x x

2

3

1

3

1Solução: , 1

=

y u x xu

y u

dy dy du

dx du dx

4

312 1

3u x

3 4

12 1

3x

u

423

2 1.

3 1

x

x x

Exemplo 5

9

2Encontre a derivada da função .

2 1

tg t

t

9 2: ,

2 1

tg u u u

t

Solução

dg dg du

dt du dt

9 89dg

i u udu

2

2 2

2 2 1 2 2 12

2 1 2 1

1 2 1 2 2 5.

2 1 2 1

t t t tdu tidt t t

t t

t t

8

82 2

245

5 2 19

2 1 2 1

tdg t

udt t t

8

8 2

2 145

2 1 2 1

t

t t

8

10

45 2.

2 1

t

t

89dg

udu

2

5.

2 1

du

dt t

Exemplo 5

Exemplo 6

45 3Derive 2 1 1 .y x x x

Exemplo 7

Derive .senxy e

: ,uy e u senx Soluçãody dy du

dx du dx

cosue x

cossenxe x

Regra da cadeia

A razão para o nome “Regra da Cadeia” fica

evidente se fizermos uma cadeia maior

adicionando mais um elo.

Suponha que:

Onde f, g e h são funções diferenciáveis. Então,

para calcularmos dy/dt, fazemos:

, ey f u u g x x h t

dy du dx

du dx dt

y u x t

dy dy du dx

dt du dx dt

Exemplo 8 Se cos , então:f x sen tgx

Fazendo t tgx cos , onde .y sen t t tgx

Fazendo cosu t , onde cos e .y sen u u t t tgx

Assim, temos:

dy du dt

du dt dx

y u t x dy dy du dt

dx du dt dx

2

Como:

cos , , secdy du dt

u sen t xdu dt dx

2cos sec .dy

u sen t xdx

2Em termos somente de : cos cos sec .dy

x tgx sen tgx xdx

Exemplo 9 sec 3Derive y e

Fazendo 3t sec , onde 3 .ty e t

Fazendo secx t , onde sec e 3 .xy e x t t

Assim, temos:

dy dx dt

dx dt d

y x t

dy dy dx dt

d dx dt d

Como:

, sec , 3xdy dx dte t tg t

dx dt d sec 3xdy

e t tg td

secEm termos somente de : 3 sec 3 3 .dy

e tgdx

Derivada de

( )

Sejam , : , intervalo, ( ) 0, .

Considere a função

( ) .g x

f g I R R I f x x I

y f x

( )( )g xf x

Então

ln ( ) ln ( )y g x f x

( ) ln ( )

e portanto

.g x f xy e

derivada da função

( ) ( ) ln ( )

Assim

( ) ( ) ln ( )g x g x f xf x g x f x e

( )( )g xf x

( )ln ( ) ( ) ln ( )g xf xe g x f x

( )( ) ( ) ln ( )g xf x g x f x

( ) ln ( )g x f xy e

Exemplo 10

Seja .xy x

Então ( ) e ( ) .f x x g x x

( ) ( )Portanto ( ) ( ) ( ) ln ( )g x g xf x f x g x f x

lnxx x x

1 lnxx x

lnx xx x

x

Exemplo 11

2Seja 8 log .xy x

2

lnEntão ( ) 8, ( ) e ( ) log .

ln 2

xf x g x x h x x

( ) ( )

Portanto

( ) ( ) ( ) ln ( )g x g xf x f x g x f x

8 ln8 8 ln8x xx 1

e .ln 2

h'(x)x

1' 8 ln8

ln 2xy

x