Estatística - Estimação – VII - 1; Estimação por intervalo de confiança.
Aula 11 estimação
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Estimação
Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
Universidade Federal de Itajubá
Aula 11
Resumo
A principal preocupação numa inferência estatística é obter
conclusões sobre a população.
Com a média de uma amostra extraída de uma população será
estimada a média dessa população.
Entretanto, de uma mesma população pode-se tomar muitas
amostras diferentes do mesmo tamanho.
O parâmetro média da população é um valor único e
desconhecido.
A estatística média da amostra é um valor
conhecido, porém pode variar de amostra para
amostra.
Com as médias das amostras, é possível construir a
distribuição de freqüências das médias das amostras,
denominada distribuição amostral da média, cuja média
denomina-se média amostral e seu desvio padrão, erro
padrão ou erro amostral.
Resumo
• Devido a natureza aleatória envolvida num
procedimento amostral (AAS), não podemos
garantir que repetições de amostras produzam
sempre resultados idênticos.
• Então, ao coletarmos uma amostra, não
podemos prever antecipadamente seu
resultado, ou seja, todas as quantidades
associadas à amostra terão caráter aleatório e
portanto, devem receber tratamento
probabilístico.
Estimação
• À combinação dos elementos da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar, um parâmetro de interesse na população denominamos estimador. Em geral, denotamos os estimadores por símbolos com o acento circunflexo: , , , etc.
• Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores denominamos estimativas pontuais ou estimativas
Estimação
^ ^ ^
• Def. Um estimador T do parâmetro é
qualquer função da amostra, ou seja,
T=g(X1,...,Xn).
• Estimativa é o valor assumido pelo
estimador em uma amostra.
Estimação
Um estimador é uma estatística associada a um parâmetro
populacional.
• O estimador precisa ter algumas propriedades:
Vício: Um estimador é não viciado ou não viesado
para um parâmetro se:
Em outras palavras, um estimador é não viciado
se o seu valor esperado coincide com o
parâmetro de interesse.
Estimação
)ˆ(E
• Mas qualquer função representa bem o parâmetro
em estudo?
Consistência: Um estimador é consistente se, à
medida que o tamanho da amostra aumenta,
seu valor esperado converge para o parâmetro
de interesse e sua variância converge para
zero:
Estimação
;0)ˆ(lim)
;)ˆ(lim)
Varii
Ei
n
n O estimador
depende de n !!
Eficiência: Dados dois estimadores 1 e 2, não
viciados para um parâmetro . Dizemos que 1 é
mais eficiente do que 2 se:
Estimação
)ˆ()ˆ( 21 VarVar
^ ^^
^
Parâmetro Estimador Propriedades
Não viciado e
consistente
p Não viciado e
consistente
2 Não viciado e
consistente
2 Viciado e
consistente
n
X
X
n
i
i 1
1
)(1
2
2
n
XX
S
n
i
i
n
XXn
i
i
1
2
2
)(
np
ticacaracteríscom%ˆ
Exemplo
• Considere que, numa certa população,
uma variável aleatória X assuma os
valores 0, 10, 20 e 30 com porcentagens
20%, 30%, 30% e 20%, respectivamente.
Logo = 15 e 2 = 105.
X 0 10 20 30
P(X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
• Retirando todas as amostras de 2
elementos com reposição tem-se a
distribuição conjunta
X1\X2 0 10 20 30
0 0,04 0,06 0,06 0,04
10 0,06 0,09 0,06 0,09
20 0,06 0,09 0,09 0,06
30 0,04 0,06 0,06 0,04
• Para estimar na população, considere
os estimadores:
n
X
X
n
i
i
12
11
ˆ
ˆ
1 0 10 20 30
P(1=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
2 0 5 10 15 20 25 30
P(2=x) 0,04 0,12 0,21 0,26 0,21 0,12 0,04
^
^
• Obtendo o valor esperado de 1 ,2:
• Portanto, os estimadores são não
viciados:
1504,0*30...21,0*1012,0*504,0*0)ˆ(
153,0*303,0*203,0*102,0*0)ˆ(
2
1
E
E
^ ^
)ˆ(
)ˆ(
2
1
E
E
• Esses estimadores são consistentes?
0limlim
)(
lim...
lim)ˆ(lim)
lim
)(
lim...
lim)ˆ(lim)
105lim)(lim)ˆ(lim)
15lim)(lim)ˆ(lim)
2
2
2
2
1212
1212
2
11
11
nn
n
n
XVar
n
XXXVarVarii
n
n
n
XE
n
XXXEEi
XVarVarii
XEEi
nn
n
i
i
n
n
nn
n
n
i
i
n
n
nn
nnn
nnn
Propriedade da Variância:
)()( 2 XVaraaXVar
Portanto,o estimador 1 não é consistente e o estimador 2 é consistente!!!
• Qual é o estimador mais eficiente?
)ˆ()ˆ( 12 VarVar
5,522
105)ˆ(
105)ˆ(
2
2
2
1
nVar
Var
Portanto o estimador 2 é mais eficiente que o estimador 1.
• Mostre que o estimador da variância dividido por
n-1 é não viciado?
• Supondo uma amostra (X1,...,Xn) obtida de uma
população com média e variância 2. Um
estimador natural da variância é:
Trabalho em grupo para casa
n
XXn
i
i
1
2
2
1
)(
• Esse estimador é viciado?
• Como é uma constante e
Estimação
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
XXXX
XXXX
1
2
11
2
1
2
1
2
)())((2)(
)()(
X
n
i i XnX1
2)()(
n
i
i
n
i
i XnXXX1
22
1
2 .)()()(
• Segue que
2
22
2
1
2
1
2
2
1
1
11
)()(1
)(
)ˆ(
n
n
nn
n
XnEXEn
n
XXE
E
n
i
i
n
i
i
• Logo
n
i
i XXn
S
n
nE
1
22
2
1
2
1
)(1
1
ˆˆ1
Exercício 1• Foi analisado uma população de 15 famílias
com filhos num certo bairro e observado o
número de crianças de cada família,
matriculadas na escola. Os dados foram:
1,1,2,0,2,0,2,3,4,1,1,2,0,0, e 2.
• Qual dos estimadores abaixo é o “melhor”
estimador da média e por quê?
XXX
321
21ˆ;
2
)(ˆ;
2
min)(maxˆ
Exercício 2
• Suponha um experimento consistindo de n
provas de Bernoulli, com probabilidade de
sucesso p. Seja X o número de sucessos, e
considere os estimadores
• Determine a esperança e a variância de cada
estimador. Por que p2 não é um bom estimador?
• Verifique se p1 e p2 são consistentes.
contrário.caso,0
,sucessoresultarprovaprimeiraase,1ˆ;ˆ
21 pn
Xp
^
^ ^