Aula 1 - Introducao a Mecanica Estatistica

8/18/2019 Aula 1 - Introducao a Mecanica Estatistica

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Nesta aula daremos uma visão

panorâmica da Mecânica Estatística.

Introdução à Mecânica

Estatística


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Estatística

O que é mecânica estatística?

A mecânica estatística determina asgrandezas macroscópica e as suasrelações a partir da estrutura

microscópica. Ou seja, a FísicaEstatística parte de grandezasmicroscópicas e das correspondentes


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Estatística

leis fundamentais da Mecânica Clássica e da

Mecânica Quântica. Introduz hipóteses plausíveis, mas não demonstradas, como porexemplo, a suposição de que “todos os estados

acessíveis são igualmente prováveis”. Usandométodos estatísticos, são, então, definidasgrandezas macroscópicas e deduzidas relaçõesentre as mesmas.


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Estatística

De que se ocupa a Física Estatística?

De sistemas com muitíssimas partículas, como por exemplo, os átomosde um gás, líquido ou sólidos, os fônons

dum sólido ou os fótons num plasma. Asleis do movimento das partículasindividuais são dadas pela Mecânica

Clássica ou Quântica.


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Estatística

Como as propriedades de um sistema

macroscópico (sistema composto de 1023

partículas) podem ser calculadas? Se as forças que governam esse

sistema fossem conhecidas, poder-se-iatentar resolver (sem sucesso) as 1023 equações acopladas; por exemplo, as

equações de Newton.


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Estatística

Laplace acreditava fortemente no

determinismo, há alguma relação entre aquestão anterior e o determinismo? Sim, analise as próprias palavras de

Laplace. “ Nós podemos tomar o estado presente do universo como o efeito do

seu passado e a causa do seu futuro.


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Estatística

Um intelecto que, em

dado momento,conhecesse todas as

forças que dirigem a

natureza e todas as posições de todos os

itens dos quais a

natureza é composta,


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Estatística

se este intelecto também fosse vasto o

suficiente para analisar essas informações,compreenderia numa única fórmula os

movimentos dos maiores corpos do universo

e os do menor átomo; para tal intelectonada seria incerto e o futuro, assim como o

passado, seria presente perante seus olhos”.


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Estatística

Mesmo que fosse possível resolver as

1023

equações, o que se faria com aevolução temporal de 1023 coordenadas?

Uma tabela contendo essa evolução

temporal seria de pouca utilidade, devidoà enorme quantidade de dados a seremanalisados.


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Estatística

Então como podemos tratar um sistema

macroscópico? O tratamento destes sistemas é, assim,estatístico, ou seja, com base em

suposições sobre as probabilidades dediferentes estados. O cálculo das propriedades macroscópicas é resolvido

introduzindo-se valores médios.


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Estatística

Como o conceito de probabilidade é

muito importante para a mecânicaestatística (por ser a probabilidade a

principal ferramenta dessa ciência),

faremos aqui uma breve exposiçãodesse conceito.


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Probabilidade

Considere a afirmação: “a probabilidade

p, de obter um no lançamento dum dado,é 1/6”. Isto significa que, em média, 1/6dos lançamentos conduz a 1.

Assim, ,lim N N p i

N i

onde N i é o número de vezes que ocorre

o acontecimento (no caso o no

1 ), ou


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seja, número de eventos favoráveis e N é

o número de lançamento (número deeventos possíveis.Como podemos determinar a

probabilidade pi, através de N lançamentos? A determinação da probabilidade pi,

Probabilidade


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através de N lançamentos, pode ser efetuada

de dois modos a que damos a denominaçãode média temporal e de média de ensemble.Média temporal significa que o mesmo

dado foi lançado N vezes nas mesmascondições. Na média de ensemble,consideramos N dados idênticos e para

cada um efetuamos um lançamento.

Probabilidade


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Qual o sentido em dizer que a

probabilidade de obter a face um em umlançamento de um dados é pi=1/6 ? A afirmação pi=1/6 relativamente ao

dado, tem dois sentidos diferentes, asaber:1.Propriedade física – para um dado real,

geralmente

Probabilidade


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.6

1

i p

Em particular, se o centro de gravidade

estiver deslocado em direção a face 1,então p1 > 1/6 (“efeito pão commanteiga”).

Probabilidade


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2. Propriedade hipotética do sistema –

para um dado construído de modosimétrico supor que todos os eventos i (1,2, 3, 4, 5 ou 6) são igualmente prováveis,

logo .61i p

Esta suposição é razoável pelo menos

Probabilidade


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antes (a priori) de estarem disponíveis

medidas.A Física Estatística é precisamenteconstruída sobre uma análoga hipótese a

priori.“A afirmação de que todos os estadosacessíveis de um sistema isolado são

igualmente prováveis.”

Probabilidade


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Existe alguma diferença de ordem práticaentre a suposição básica da Física Estatística eda probabilidade dos dados? Infelizmente, ao contrário dos dados, não pode a suposição básica da Física Estatística

ser diretamente comprovadaexperimentalmente. Apenas as conseqüênciasdesta suposição podem ser confirmadas ou

desmentidas.

Probabilidade


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Exemplo

Exemplo: Considere um gás de átomos ou

moléculas, a uma temperatura T . A energiacinética ε dum átomo é medida com precisão Δε. Então, podemos associar a cadaátomo um valor discreto ε

i=i Δε, onde i = 0,

1, 2, ... .

Através de choques entre si, os átomosmodificam, com frequência, a sua energia.


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Exemplo

No ar, o tempo médio de colisão das

moléculas é τ ≈ 2 x 10-10

s. Perguntamos,com que probabilidade pi ocorrem asenergias εi no gás?

Podemos determinar a média deensemble, medindo (num determinadoinstante) as energia de N átomos. Nessecaso, encontramos a energia ε

i

, N i

vezes.


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Exemplo

Em comparação, obtemos uma média

temporal quando medimos a energia dumdeterminado átomo em N instantes diferentes.Representamos novamente por N i o númerode medidas de que resulta εi . Nos doiscasos, temos

.)( N

N p p iii


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Exemplo

Uma vez que os átomos não diferem uns

dos outros, são iguais as probabilidadesda média de ensemble e da médiatemporal. Aqui, supõe-se que, para a

média temporal, os intervalos temporaisentre as medidas sejam grandes emcomparação com o tempo de colisão τ .


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Exemplo

Posteriormente, veremos que

.

j

i j

i

e

e

p

Dê um argumento físico para a

probabilidade decair com o aumento daenergia de cada estado particular. Em primeira análise, pode-se concluir

que essa probabilidade terá que decair

Estado particularde energia εi.

Soma sobre

todos os estadode energia ε j.


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Exemplo

com o aumento da energia de cada

estado particular. Do contrário,uma partícula mais energética

poderia ocorrer com maior probabilidade quando comparadacom uma menos energética.


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Um Pouco de História e Filosofia

da Mecânica Estatística

Formalmente, o desenvolvimento daMecânica Estatística começou na segundametade do século XIX. Você pode apontara principal motivação para essedesenvolvimento?

A motivação para este grande trabalhointelectual está ligado ao grande sucesso

obtido pela formulação da Termodinâmica.


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Qual o domínio de atuação da

Termodinâmica? A Termodinâmica fornece umadescrição precisa para sistemas

macroscópicos que podem trocar energiade diversas maneiras, inclusive sob aforma de calor.


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Como é construída a Termodinâmica?

O modo de trabalho da Termodinâmicaconsiste em combinar um grande númerode resultados experimentais, calcados na

observação sistemática dos fenômenosenvolvidos, com as suas leis ou princípios básicos da teoria, para a descrição das


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Assim, o desafio que alguns cientistas se

colocaram foi o de se obter uma descriçãodos mesmos fenômenos abordados pelaTermodinâmica, mas agora partindo-se da

suposição que esses sistemasmacroscópicos eram constituídos porconstituintes microscópicos.


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Esta nova descrição partiria da aplicaçãodas leis da Mecânica de Newton para adescrição destes constituintes, e deveria

chegar às mesmas leis fenomenológicasobtidas dentro da Termodinâmica.

Como seria essa nova descrição?


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Estava claro, desde o início, que na

comparação das duas descrições, osresultados da Termodinâmica para umacerta grandeza (por exemplo, a energia)deveriam ser comparados com os valoresobtidos pelas médias (ponderadas) dasgrandezas correspondentes para osconstituintes microscópicos.


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O problema fundamental da teoria era,de um lado, o estabelecimento do

método de cálculo das médias ponderadas destes estadosmicroscópicos, o que é feito com uma

função peso; e, em seguida, obter a

Qual era então o problema fundamental

da nova teoria?


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forma desta função peso para que

expliquem os dados experimentais e osresultados da Termodinâmica. Esta função peso é chamada de distribuição de

probabilidade.A quem se deve o estabelecimento dasidéia, conceitos e métodos para se atingir

os objetivos supracitados?


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O estabelecimento das idéia, conceitos e métodos parase atingir os objetivos supracitados deve-se,

principalmente, aos trabalhos de:

Maxwell Boltzmann Gibbs


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A nova teoria experimentou um grande

sucesso prático ao fornecer umaexplicação microscópica das propriedades macroscópicas de diversos

sistemas.A Mecânica Estatística foi muitocombatida na sua fase inicial. Você

poderia dizer qual a razão para isso?


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A razão para isso é que ela busca dar uma

explicação consistente para o seguinte fatocontraditório: de um lado, sabe-se quetodos os fenômenos envolvendo sistemas

materiais envolvem a dissipação de calor esão, em maior ou menor grau, irreversíveis.Para descrever adequadamente


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este aspecto, a Termodinâmica faz uso da

função entropia, que nunca decresce paraum sistema isolado. Do outro lado, as leisda Mecânica Clássica e Quântica são

reversíveis. Assim, o propósito dedescrever a irreversibilidade daTermodinâmica usando - se uma teoria


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reversível constitui-se no aspecto de

maior resistência formal aoestabelecimento da Mecânica Estatística.Este aspecto permanece sem solução até

os nossos dias, apesar do fato de que aMecânica Estatística seja universalmentereconhecida dentro da Física.


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Como exemplo, considere a seguinteexperiência idealizada.

Ao se retirar a parede, o gás começa a sedifundir para a direita até se distribuiruniformemente por todo recipiente.


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Não, o processo é irreversível, pois,conforme se sabe experimentalmente,ainda não foi observada a situação em queo gás, nesse tipo de experiência, voltaespontaneamente à situação inicial. (sefosse possível uma reversão desse tipo, poderíamos nos sufocar, pois, de repente

O processo visto acima é reversível?


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e espontaneamente, poderia ocorrer o

vácuo próximo de nós.)


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Do ponto de vista microscópico, adifusão gasosa analisada acima ocorre devidoa um processo de colisões entre as moléculas

do gás, promovendo uma dada configuraçãodas moléculas numa determinada situação,como a posição final do processo acima.

Como você explica essa difusão gasosa do ponto de vista microscópico?


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As colisões são regidas pela Mecânica.Que leis regem as colisões moleculares?

Ora, como as colisões são regidas pela

Mecânica, poderia então ocorrer a inversão dasvelocidades de todas as moléculas naquela posição e, como conseqüência o gás voltaria àsituação inicial.

Qual a conseqüência desse fato?


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Embora mecanicamente possível em princípio, esta é uma situação altamenteimprovável de acontecer.

Essa situação acontece na prática?

Um novo tipo de raciocínio – o probabilístico – deveria ser usado para

descrever os processos irreversíveis.

Como atacar esse problema então?


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Uma caixa termicamente isolada é dividida por uma parede em dois compartimentos,cada uma com volume V . Inicialmente um

dos compartimentos contém n moles de umgás ideal a uma temperatura T e no outrocompartimento foi feito vácuo.

Vejamos como tal interpretação funciona:


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A seguir quebramos a parede e o

gás se expande e preenchecompletamente os dois compartimentosda caixa. Qual é a variação de entropia

neste processo de expansão livre?


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Neste processo, Q=0, W=0 e ΔU = 0 e,

portanto (como o sistema é um gás ideal), ΔT = 0. Poderíamos pensar que avariação de entropia fosse igual a zero

porque não existe troca de calor. Porém,,

2

1 T dq

S


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só vale quando o processo é reversível;

esta expansão não é reversível e existeuma variação de entropia. O processo éadiabático, mas não é isentrópico. Para

calcular lembramos que ΔS dependeapenas do estado inicial e final (S é umafunção de estado).


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Podemos imaginar um processo

reversível possuindo os mesmos pontosextremos e usar.

2

1 T dq

S

Um processo reversível apropriado nestecaso é uma expansão isotérmica desde Vaté 2V.


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Como, numa expansão isotérmica ΔU = 0

.2ln2

1

2

nRT V

dV nRT pdV W Q

V

V

Assim,

./75,5

)2)(ln/315,8)(1(2ln

K J

K mol J mol nRT

QS


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Segundo a Mecânica Estatística adefinição de entropia é

Porém, vimos que:

onde k B = 1,38 x 10-23 J/K é umaconstante e Ω é o número demicroestados acessíveis ao sistema.

,ln Bk S


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Esta definição é compatível com o

resultado encontrado?



Temos N moléculas, como o volumedobra cada molécula tem a possibilidade

de estar em cada um dos lados do volumeV , ou a molécula está em um lado ou nooutro.

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Como há N moléculas, há um aumento no

número de microestado acessíveis de 2 N

.

).(2)( 12 E E N

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Assim,

.2ln2

ln

lnln

1

1

1

2

212

1

N k k

k k S S S

B

N

B

B B

N

Como N = nN A e k B N A = R, escrevemos

./75,52ln K J nRS


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O fato que ela começou a serdesenvolvida numa época em que aexistência de átomos e moléculas eraainda uma hipótese que muitos

rejeitavam Como a Mecânica Estatística

Um outro aspecto histórico dificultou a

aceitação dos métodos e resultados daMecânica Estatística. Qual foi esse?


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essa teoria contribuiu, através de

importantes resultados obtidos porEinstein e outros, para a aceitação dofato que a matéria ser constituída por

átomos e moléculas.


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Com o surgimento da Mecânica Quântica,

os principais conceitos introduzidos edesenvolvidos para a Mecânica Estatísticaclássica puderam ser justificados

rigorosamente pela Mecânica Estatísticaquântica. Após a sua estrutura e métodosde trabalho terem sido estabelecidos e


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aceitos, a maior parte dos resultados foi

na área dos fenômenos em equilíbriotermodinâmico, onde o estadomacroscópico do sistema não se altera

com o passar do tempo. Durante cercade 50 anos, o estudo de transições de fase e fenômenos críticos concentrou

grande parte de trabalhos na Mecânica


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Estatística. Estes conceitos referem-se

àquelas situações em que há uma mudançado estado de agregação dos átomos emoléculas ou alteração de suas propriedadesmecânicas, elétricas ou magnéticas como por exemplo, quando a água passa da faselíquida para a de vapor d’água, ou quando


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um sólido magnético perde sua magnetizaçãoao ser aquecido. Mais recentemente aevolução da Mecânica Estatística estámarcada por uma maior atenção a sistemasfora do equilíbrio e também por uma fortetendência à interdisciplinaridade: biofísica emorfogênese, redes neurais, sistemasgeofísicos e climáticos, etc.


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REFERÊNCIAS• Salinas, S. R., Introdução à física estatística, EDUSP, SãoPaulo, (1997).

• Flie bach, T. Curso de Física Estatística. Coimbra,Fundação Calouste Gulbenkian, (2000).• Rocha, José Fernando (org.) Origens e Evolução das Idéiasda Física. EDUFBA, Salvado – BA, (2002).

• Bassalo, J. M. F., Cattani, M. S. D. e Nassar, A. B., AspectosContemporâneos da Física. Editora Universitária UFPA,Belém - PA, (2005).• Bassalo, J. M. F., O Nascimento da Física. EditoraUniversitária UFPA (2000)

Aula 1 - Introducao a Mecanica Estatistica

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