3

Probabilidade e E

statística

Conteúdo:

1.1 Por que estudar ?

1.2 O que é ?

1.3 População e A

mostra

1.4 Um

exemplo

1.5 Teoria da P

robabilidade1.6 A

nálise Com

binatória Professora:

Rosa M

. M. Leão

Aula 2

1.1 Por que estudar P

robabilidade e Estatística?

A E

statística é empregada com

o ferramenta fundam

ental em

várias áreas, tais como:

4

• em com

putação - estudo do desempenho de sistem

as,algoritm

os para aumentar a eficiência, etc;

• na área médica - m

etodologia adequada que possi-bilita decidir sobre a eficiência de um

novo tratamento;

• na indústria - controle de qualidade de produto e processo;

• na pesquisa de mercado e de opinião pública - defini-

ção de novos produtos, lançamentos, vendas, etc;

• na definição de indicadores econômicos e sociais;

• meteorologia, ecologia, biologia, entre outras.

Grande parte das inform

ações divulgadas pelos meios de

comunicação provém

de pesquisas e estudos estatísticos:

"a inflação esse mês foi ...."

"a taxa de desemprego no B

rasil no ano de 2005...."

"o candidato A tem

32% da intenção de votos, o can-

didato B tem

41% e 27%

dos entrevistados não souberam

ou não quiseram responder"

"o número de carros vendidos no país aum

entou em

20%"

" a altura média da população aum

entou em 5%

"

"o time A

teve 60% do tem

po de posse de bola, ..."

→→→→→→5

Pode tam

bém ajudar a responder perguntas do nosso dia

a dia, como por exem

plo:

6

Pode tam

bém ajudar a responder perguntas do nosso dia

a dia, como por exem

plo:

→7

Será que se jogarm

os sempre no m

esmo núm

ero na Me-

ga Sena terem

os uma possibilidade m

aior de ganhar?

Pode tam

bém ajudar a responder perguntas do nosso dia

a dia, como por exem

plo:

→→

8

Será que se jogarm

os sempre no m

esmo núm

ero na Me-

ga Sena terem

os uma possibilidade m

aior de ganhar?

Se em

um teste com

várias perguntas onde teremos que

responder "falso" ou "verdadeiro", dá para saber se te-rem

os uma probabilidade de acertar um

número m

aior de respostas se "chutarm

os" sempre a m

esma resposta?

ou seria melhor alternarm

os as respostas?

Para m

odelar e/ou avaliar o sistema a ser estudado é

preciso coletar dados e/ou fazer algumas suposições:

→→9

Caso 1: S

istema já existe e deseja-se coletar dados

para seu estudo/modelagem

.

Caso 2: S

istema não existe e deseja-se criar um

modelo

para prever o seu desempenho.

• Sobre a obtenção dos dados para estudo/m

odelagemdo sistem

a:

10

• Sobre a obtenção dos dados para estudo/m

odelagemdo sistem

a:

11 • Se o sistem

a não existe, como obter os dados para

criar o modelo ?

• Com

o definir o período no qual deve-se coletar os dados (24h, som

ente pela manhã, no horário de m

aior uso do sistem

a) ?

• Pode-se usar os dados coletados durante um

certo período (am

ostra), para concluir sobre o comportam

ento do sistem

a ?

• Por quanto tem

po deve-se coletar os dados ?

ii) O que fazer com

os dados colhidos?

12

• Com

o fazer para que os dados obtidos para esse período de tem

po possam ser generalizados para

obtermos infom

ações sobre o sistema ?

• Com

o extrair informações de interesse?

• Com

o organizar esses dados?

13 Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los

necessitamos de técnicas conhecidas, que nos perm

i-tam

responder a essas questões com segurança e obje-

tividade.

14 Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los

necessitamos de técnicas conhecidas, que nos perm

i-tam

responder a essas questões com segurança e obje-

tividade.

Estas técnicas são:

Estatística

Probabilidade

Inferência estatística

→→→

Estatística: conjunto de técnicas destinadas a

descrever, organizar e resumir os dados a fim

de que possam

os tirar conclusões de características de interesse.

15

Estatística: conjunto de técnicas destinadas a

descrever, organizar e resumir os dados a fim

de que possam

os tirar conclusões de características de interesse.

Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"

dos fenômenos de caráter "aleatório". P

ode-se dizer que é a teoria utilizada para quantificar o acaso.

16

Estatística: conjunto de técnicas destinadas a

descrever, organizar e resumir os dados a fim

de que possam

os tirar conclusões de características de interesse.

Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"

dos fenômenos de caráter "aleatório". P

ode-se dizer que é a teoria utilizada para quantificar o acaso.

Inferência estatística: estudo de técnicas que possibilitam

a análise e interpretação de dados com objetivo de genera-

lizar e prever resultados.

17

1.3 População e am

ostra

18

A população é o conjunto de todos os dados que

que temos interesse.

1.3 População e am

ostra

Exem

plos:

i) Se o objeto de estudo for um

a aplicação P2P

, como

por exemplo o B

itTorrent. O

que é a população ?

19

A população é o conjunto de todos os dados que

que temos interesse.

1.3 População e am

ostra

Exem

plos:

ii) Se o objeto de estudo for a confiabilidade de um

produto de uma certa fábrica durante um

período de tem

po, por exemplo, a durabilidade das lâm

padas pro- duzidas durante o ano de 2004, a população será com

- posta por todas as lâm

padas produzidas pela fábrica em

questão no ano de 2004.

20

A população é o conjunto de todos os dados que

que temos interesse.

i) Se o objeto de estudo for um

a aplicação P2P

, como

por exemplo o B

itTorrent. O

que é a população ?

População

pode ser finita ou infinita

21

População

pode ser finita ou infinita

Em

determindas situações há im

possibilidade de se analisar toda população, ou por razões econôm

icas, ou pela população ser infinita.

22

Um

exemplo:

23

Sabem

os que uma aplicação é usada por m

ilhões depessoas, por exem

plo o Skype, e querem

os avaliarquantos pacotes de voz, em

média, são perdidos

prejudicando a qualidade da comunicação:

Um

exemplo: C

omo escolher?

24

Sabem

os que uma aplicação é usada por m

ilhões depessoas, por exem

plo o Skype, e querem

os avaliarquantos pacotes de voz, em

média, são perdidos

prejudicando a qualidade da comunicação:

População - todos os pacotes de voz transm

itidos pela aplicação

Am

ostra - parcela dos pacotes coletados

25

Am

ostrasubconjunto da população a ser estudado

o mais parecido possível com

a população que lhe deu origem

26

Análise: feita na população total ou em

uma am

ostra

Am

ostrasubconjunto da população a ser estudado

o mais parecido possível com

a população que lhe deu origem

27

Análise: feita na população total ou em

uma am

ostra

populaçãoam

ostra

A1 ?

A2 ?

Am

ostrasubconjunto da população a ser estudado

o mais parecido possível com

a população que lhe deu origem

28

Análise: feita na população total ou em

uma am

ostra

populaçãoam

ostra

A1

Am

ostrasubconjunto da população a ser estudado

o mais parecido possível com

a população que lhe deu origem

29 Teoria de P

robabilidade: Conceitos B

ásicos

Fenôm

eno Aleatório

Situação ou acontecim

ento cujos resultados não podem

ser previstos com certeza.

30 Fenôm

eno Aleatório

Situação ou acontecim

ento cujos resultados não podem

ser previstos com certeza.

Exem

plos:

→ O

resultado do lançamento de um

dado.

→ O

clima num

determinado dia da sem

ana que vem.

→ A

média final que você tirará nesta disciplina.

Teoria de P

robabilidade: Conceitos B

ásicos

31 Espaço am

ostral

O conjunto de todos os resultados possíveis de um

certo fenôm

eno aleatório.

Denom

inaremos este espaço pela letra grega Ω

(Ôm

ega).

32 Espaço am

ostral

O conjunto de todos os resultados possíveis de um

certo fenôm

eno aleatório.

Denom

inaremos este espaço pela letra grega Ω

(Ôm

ega).

Os subconjuntos do espaço am

ostral são chamados de

eventos e são representados por letras maiúsculas

(A, B

, C, ...).

33 Exem

plos:

→ U

ma m

oeda é lançada duas vezes e observam-se as

faces obtidas

onde aqui C é cara e R

coroa.

Ω = {C

C,C

R,R

C,R

R},

34 Exem

plos:

→ U

ma m

oeda é lançada duas vezes e observam-se as

faces obtidas

onde aqui C é cara e R

coroa.

Ω = {C

C,C

R,R

C,R

R},

→ U

ma m

oeda é lançada consecutivamente até o apare-

cimento da prim

eira cara

Ω = {C

,RC

,RR

C,R

RR

C,...},

que contém um

número infinito de elem

entos.

35 Lembrando da T

eoria dos Conjuntos:

→ O

conjunto vazio é denotado por ∅

→ A

união de dois eventos A e B

representa a ocorrên-

cia de, pelo menos, um

dos eventos A ou B

.

Denotam

os a união de A com

B por

→ A

intersecção do evento A com

B é a ocorrência sim

ul-

tânea de A e B

.

Denotam

os a intersecção de A com

B por .

36 Exem

plo

Sejam

A, B

e C três eventos do

espaço amostral Ω

:

Ω =

{A,B

,C}

AB

C

Pelo m

enos um dos eventos ocorre

AB

C

37 Exemplo

Sejam

A, B

e C três eventos do

espaço amostral Ω

:

Ω =

{A,B

,C}

AB

C

Am

bos os eventos ocorremA

B

C

38

→ D

ois eventos A e B

são disjuntos (ou mutuam

ente exclusivos) quando não têm

elementos em

comum

, ou seja:

→ D

ois eventos A e B

são complem

entares se sua uni- ão é o espaço am

ostral e sua intersecção é vazia, ou seja:

39

Exem

plo:

AB

C

A e C

: eventos disjuntos

Ac →

complem

entar de A

AB

C

AA

c

40

Outros exem

plos

→ P

elo menos um

dos eventos ocorre

→ O

evento A ocorre m

as o evento B não

→ N

enhum deles ocorre

41 4.3 Probabilidade

Um

a função P(.) é denom

inada probabilidade se satisfaz as condições:

ou seja, probabilidade é a função que atribui valores numé-

ricos aos eventos do espaço amostral.

,com todos os disjuntos.

42 Questão que se coloca:

como atribuir probabilidade aos elem

entos do espaço am

ostral?

43

Questão que se coloca:

como atribuir probabilidade aos elem

entos do espaço am

ostral?

1) Baseado nas características da realização

de um fenôm

eno;

2) Usando as freqüências de ocorrência.

44 → B

aseado nas características da realização de um

fenômeno

Exem

plo:

Lançamento de um

dado cúbico perfeitamente hom

ogê-neo e sim

étrico com os lados num

erados, teremos o es-

paço amostral:

E nesse caso a probabilidade de ocorrência de cada

evento será:

45 → U

sando as freqüências de ocorrência

Exem

plo:

Pegam

os um dado e jogam

os várias vezes.

Para um

número suficientem

ente grande de lançamentos,

podemos usar as freqüências de ocorrência com

o probabi-lidades. M

as ......

46

O que quer dizer núm

ero suficientemente grande de lança-

mentos ?

Geralm

ente a medida que o núm

ero de repetições aumenta,

as freqüências relativas vão se estabilizando em um

número

que chamarem

os de probabilidade.

47 Exem

plo: Q

ual a probabilidade de escolhermos um

estudante do se-xo fem

inino ou

alguém da turm

a B?

Sabendo que 52%

dos alunos estão na turma A

e 48% na

turma B

, escolhemos um

estudante ao acaso.

Usem

os a tabela abaixo que mostra o núm

ero de alunosde cada sexo num

a escola:

Sexo

fn

FMT

otal

370,74

130,26

501

48 Tabela

Da tabela e das características das turm

as A e B

temos

P(M

) = 0,26;

P(A

) = 0,52;

P(F

) = 0,74; P(B

) = 0,48.

49 Pergunta colocada:

"Qual a probabilidade de escolherm

os um estudante do se-

xo feminino ou alguém

da turma B

?"

Não podem

os simplesm

ente somar P

(F) com

P(B

) já que teríam

os probabilidade maior que 1.

Estam

os somando duas vezes alguns elem

entos pois há m

ulheres em am

bas as turmas

Querem

os

P(M

) = 0,26;

P(A

) = 0,52;

P(F

) = 0,74; P(B

) = 0,48.

50 Temos que é igual ao núm

ero de estudantes do sexo fem

inino e da turma B

.

Assim

, para obter a probabilidade correta temos que som

ar as probabilidades P

(F) com

P(B

) e, então subtrair deste va-lor

ou seja,

51 Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabi-

lidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B

, é dada por

observe que se os eventos A e B

forem disjuntos (e som

en-te neste caso),a probabilidade da intersecção de A

com B

énula e tem

os que a união é igual a soma das probabilidades

dos dois eventos.

Esta regra pode ser estendida para som

a de três ou mais

termos.

52

e que

Observe que

53

Observe que

e que

Logo,

54 → C

omo calcular as freqüências de ocorrência:

Contando o núm

ero de casos favoráveis para ocorrênciade um

certo evento, se os eventos são equiprováveis

Quando o espaço am

ostral é grande, temos que usar a

análise combinatória

P(E

) = núm

ero de casos favoráveis/número total de casos