Aula 06 Cisalhamento

Resistencia de Materiales

Prof. Eduardo Vieira de carvalho

[email protected]

Tel: 0979732811

Mecnica II

ESFUERZO CORTANTE EN VIGA

1

Cuando una viga se somete a cargas transversales, stas no solamente generan un momento interno en la viga sino una fuerza cortante interna. Esta fuerza cortante intenta que las secciones longitudinales (fibras) se deslicen una sobre las otras.

Para ilustrar mejor esto, utilizaremos una viga simplemente apoyada, conformada por tres tablones no unidos entre s.


2

Al aplicar una carga como se muestra en la figura, puede notarse cmo los tablones se deslizan entre ellos. Si luego se unen los tablones y se aplica nuevamente la carga, no se presentar dicho deslizamiento.

Esto nos indica que debe aparecer una fuerza interna que evite el deslizamiento entre secciones longitudinales de una viga sometida a momento flector.


3

Nos enfocaremos ahora en conseguir una expresin que nos permita determinar el esfuerzo que se genera en la viga para evitar el deslizamiento anteriormente descrito.

Para ello, consideremos una viga como se muestra en la figura. Estudiaremos las fuerzas a que estn sometido un elemento diferencial de la misma viga.


4

b

Seccin reta

z

y


5

b

Seccin reta

z

y

P


6

P

b

Seccin reta

z

y

Si suponemos que H2>H1, podemos plantear la primera condicin de equilibrio en el elemento diferencial:


7


8

Ya conocidas

=

= b.dx

= bdx


9

= bdx

Al sustituir H1 y H2, nos queda:


10

Recordando que:

Al introducir esto en la expresin anterior, obtenemos:

(Fuerza cortante)

(Primer Momento de rea)


11

Si consideramos que M1 - M2 = dM, al despejar t nos queda:

Sustituiendo estos en (1):

(1)

Tenemos finalmente nuestra expresin para el esfuerzo cortante en la viga:


12

Fuerza de corte por unidad de largo:

: Esfuerzo cortante en un punto de la seccin transversal

V: Carga transversal sobre la seccin

Q: Momento de rea (respecto al punto de inters)

I: Momento de inercia de la seccin transversal

b: Espesor de la seccin transversal (respecto al punto de inters)


13

Podemos observar entonces que un esfuerzo cortante consta de tres caractersticas:

Acta en un plano

Acta en una direccin, que debe ser tangente a dicho plano

Posee una magnitud.

Todas estas caractersticas se sealan en la nomenclatura del esfuerzo cortante, como sigue:


14

ANALISE DEL PUNTOS A1

y

b

condicin

Se =

A1

LN

= b.

y

Tenemos:

h

-

-

15


y

b

condicin

Se =

A2

LN

= b.

y

Tenemos:

h

-

=

Q =

=

-

16


y

b

condicin

Se = 0

A3

LN

= b.

y

Tenemos:

h

-

=

Q =

-

17

Finalmente, la distribucin de esfuerzos en la seccin transversal ocurre como se muestra en la figura.


18

Note que la distribucin es hiperblica

y

h

b

LN

t

t

La viga abajo soporta una fuerza cortante V= 5000 kgf. Determinar la distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta basado en los puntos h1 hasta h4.

2,5 cm

30 cm

30 cm

1,5 cm

h1

h2

h2

h3

h4

LN

EJEMPLO 1

20

30

1,5

30

2,5

y1

A1

A2

y2

1. Centroide de la a seccin transversal abajo en relacin al eje X

Y= 25,16 cm

= 30x2,5 = 75

=1,5x30 =

= 30+2,5/2 = 31,25 cm

= 30/2 = 15cm

EJEMPLO 1

20

2. Momentos de inercias de la viga

30

1,5

30

2,5

A1

A2

EJEMPLO 1

21


30

1,5

30

2,5

A1

A2

EJEMPLO 1

22


30

1,5

30

2,5

A1

A2

EJEMPLO 1

23

3. Distribucin de esfuerzo cortante al largo de la seccin recta

EJEMPLO 1

h1

LN

1,5

30

30

2,5

25,16

A1

24


h2

EJEMPLO 1

LN

A1

1,5

30

30

1,25

25,16

/

25


EJEMPLO 1

/

h2

LN

A1

1,5

30

30

1,25

25,16

26


h3

EJEMPLO 1

LN

A2

1,5

25,16

30

2,5

12,58

/

4,84

27


h3

EJEMPLO 1

LN

A3

1,5

30

30

2,5

2,42

/

25,16

28


EJEMPLO 1

LN

1,5

30

30

2,5

25,16

h4

29


EJEMPLO 1

LN

/

/

/

30

31

10kN

0,6

0,9

0,9

0,6

5kN

10kN

d

0,09

Una viga con 3 m largo y 0,09 m de ancho debe suportar 25kN conforme figura abajo. Su y su Determinar la altura mnima d de la estructura. Cuotas en metros.

A

B

C

D

E

EJEMPLO 2

32

10kN

0,6

0,9

0,9

0,6

5kN

10kN

Solucin: Reacciones de apoyo - DCL

A

B

C

D

E

EJEMPLO 2

33

Reacciones de apoyo

EJEMPLO 2

34

10kN

0,6

0,9

0,9

0,6

5kN

10kN

Diagramas de momento flector, esfuerzo transverso y los valores mximos.

A

B

C

D

E

12,5 kN

12,5 kN

EJEMPLO 2

35

EJEMPLO 2

36

EJEMPLO 2

37

4

EJEMPLO 2

38

EJEMPLO 2

39

10kN

0,6

0,9

0,9

0,6

5kN

10kN

A

B

C

D

E

12,5kN

12,5kN

-12,5kN

-2,5kN

2,5kN

7,5kN

9,75kN

EJEMPLO 2

40

Altura d basado en la tensin admisible

Y = d/2

0,09

Momento de inercia

Y = d/2

EJEMPLO 2

41

Y = d/2

0,09

Momento de inercia

Y = d/2

m

Altura d basado en la tensin de cizallamiento

EJEMPLO 2

La viga abajo soporta una fuerza cortante V = 10000 lbf. Determinar la tensin de cizallamiento mxima. Determinar nos valores de tensin en la interface aba-alma. O sea, la tensin h2 y h2.

3 pol

6 pol

14 pol

6 pol

h2

h2

V

EJEMPLO 3

EJEMPLO 3

43


= 14x3 =

= 6x6 =

3

6

14

6 pol

A1

A2

5,43

7,5

LN

3

43


EJEMPLO 3

3

6

14

6 pol

A1

A2

5,43

7,5

LN

2,07

44


EJEMPLO 3

3

6

14

6 pol

A1

A2

5,43

7,5

LN

2,43

45


EJEMPLO 3

3

6

14

6 pol

A1

A2

5,43

7,5

LN

46

3. Tensin en la interface

EJEMPLO 3

/

2,07

14

6 pol

A1

A2

7,5

5,42

h2

h2

47

EJEMPLO 3

2,07

14

6 pol

A1

A2

7,5

5,42

h2

/

3. Tensin en la interface

48

4. Esfuerzo cortante mximo es en la Lnea Neutra (LN)

EJEMPLO 3

/

14

6 pol

A1

A2

9

2,71

h3

49


EJEMPLO 3

/

14

6 pol

A1

A2

9

0,28

h3

LN

50


EJEMPLO 3

LN

/

/

/

51

La viga abajo soporta 3,0 kN de fuerza cortante. Determinar la tensiones de cizallamiento que usted debe dimensionar la estructura considerando las dos juntas (a a) y (b b).

20 mm

80 mm

100 mm

60 mm

20 mm

a

a

b

b

20 mm

y

x

EJEMPLO 4

EJEMPLO 4

53


Y= 68,3mm

= 20+80+20/2 = 110 mm

= 20+80/2 = 60mm

= 20/2 = 10mm

20 mm

68,3 mm

100 mm

60 mm

20 mm

a

a

b

b

20 mm

y

x

53

EJEMPLO 4

y

x

20 mm

68,3 mm

100 mm

60 mm

20 mm

a

a

b

b

20 mm


54


EJEMPLO 4

y

x

20 mm

68,3 mm

100 mm

60 mm

20 mm

a

a

b

b

20 mm

55


EJEMPLO 4

y

x

20 mm

68,3 mm

100 mm

60 mm

20 mm

a

a

b

b

20 mm

56

EJEMPLO 4

+

y

x

20 mm

68,3 mm

100 mm

60 mm

20 mm

a

a

b

b

20 mm


57

3. Tensin de cizallamiento en la juncin (a a)

EJEMPLO 4

y

x

20 mm

68,3 mm

100 mm

60 mm

20 mm

a

a

b

b

20 mm

58

3. Tensin de cizallamiento en la juncin (b b)

EJEMPLO 4

y

x

58,3 mm

100 mm

60 mm

20 mm

a

a

b

b

20 mm

59

La viga abajo es conformada por tres tablones de madera pegadas con clavos. Los distanciamientos de los clavos son de 25 mm y el esfuerzo vertical V= 500N. Determinar la fuerza de corte en cada clavo.

20 mm

100 mm

100 mm

20 mm

20 mm

y

EJEMPLO 5

x

25

25

25

25

EJEMPLO 5

61


Y= 70mm

= 20+100+20/2 = 130 mm

= 20+100/2 = 70mm

= 20/2 = 10mm

y

x

20 mm

100 mm

100 mm

100 mm

20 mm

20 mm

61

EJEMPLO 5

y

x


20 mm

100 mm

100 mm

20 mm

20 mm

70 mm

LN

62


EJEMPLO 5

y

x

20 mm

100 mm

100 mm

20 mm

70 mm

LN

63


EJEMPLO 5

y

x

20 mm

100 mm

100 mm

20 mm

70 mm

LN

64

EJEMPLO 5

+

y

x


20 mm

100 mm

100 mm

20 mm

70 mm

LN

65

3. Fuerza de corte por unidad de largo q en la cara inferior del tabln superior.

EJEMPLO 5

y

x

20 mm

100 mm

100 mm

20 mm

70 mm

LN

66

3. Fuerza de corte en cada clavo, para un distanciamiento de 25 mm

EJEMPLO 5

y

x

20 mm

100 mm

100 mm

20 mm

70 mm

LN

67

La viga hueca de seccin cuadrada es conformada por tres tablones con clavos como se muestra abajo. Los distanciamientos entre los clavos es de 30 mm y esta bajo de un esfuerzo vertical de V = 1200N. Determinar la fuerza de corte en cada clavo. (cuotas en mm)

20

100

80

20

20

20

30

30

30

30

30

30

EJEMPLO 6

EJEMPLO 6

69


Y= 60mm

= 120/2 = 60 mm

= 20+80/2 = 60mm

y

x

20

80

80

20

20

20

69

EJEMPLO 6

y

x


LN

20

60

80

20

20

70

EJEMPLO 6

y

x


LN

20

60

80

20

20

71

3. Fuerza de corte por unidad de largo q en la cara inferior de la tabla superior.

EJEMPLO 6

y

x

LN

20

60

80

20

20

72

3. Fuerza de corte en cada clavo, para un distanciamiento de 25 mm

EJEMPLO 6

LN

20

60

80

20

20

30

30

30

30

30

30

73

74

Demonstrar la frmula de los esfuerzos cortantes mximos en una barra de seccin circular y su distribucin de esfuerzos.

LN

y

r

y

x

Tarea 2

Tarea 2

10 mm

40 mm

50 mm

30 mm

10 mm

10 mm

y

x

La viga abajo soporta una fuerza cortante V=2500kgf. Determinar la distribucin de esfuerzo cortante al largo de su seccin recta.

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Mecnica II


76

dF

`

dF

dF

`

dF

dA

dH

=

1

1

s

dA

dH

=

2

2

s

-

=

c

y

c

y

dA

dA

dF

1

2

1

2

s

s

I

y

M

=

s

-

=

c

y

c

y

dA

y

I

M

dA

y

I

M

dx

b

1

2

1

2

t

=

c

y

dA

y

b

I

dx

dM

1

1

t

V

dx

dM

=

Q

dA

y

c

y

=

1

b

I

Q

V

=

t

I

Q

V

q

=

b

I

Q

V

ij

=

t

b

I

Q

V

=

t

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